许瑞珍、贾谊明 大学物理课后答案（机械工业出版社）

第七章 真空中的静电场

7－1 在边长为a的正方形的四角，依次放置点电荷q,2q,-4q和2q，它的几何中心放置一个单位正电荷，求这个电荷受力的大小和方向。

解：如图可看出两2q的电荷对单位正电荷的在作用力 将相互抵消，单位正电荷所受的力为

q 2q F?4??0(q22a)25q,方向由q指向-4q。 (1?4)＝22??0a2q -4q 7－2 如图，均匀带电细棒，长为L，电荷线密度为λ。（1）

习题7－1图

求棒的延长线上任一点P的场强；(2)求通过棒的端点与棒垂直上任一点Q的场强。

解：（1）如图7－2 图a，在细棒上任取电荷元dq，建立如图坐标，dq＝?d?，设棒的延长线上任一点P与坐标原点0的距离为x，则

dE??d?4??0(x??)2??d?4??0(x??)2

dq d?

则整根细棒在P点产生的电场强度的大小为

0

E??4??0?L0d??11?(?) 2(x??)4??0x?Lx方向沿?轴正向。

x P

习题7－2 图a

?

＝

?L4??0x(x?L)（2）如图7－2 图b，设通过棒的端点与棒垂直上任一点Q与坐标原点0的距离为y

dE??dx

4??0r2dE y

dEy??dxcos?， 24??0r? ?dxdEx?sin?

4??0r2d?y因x?ytg?,dx?y， ,r?2cos?cos?代入上式，则

y Q ?0 0 dq dx

P

习题7－2 图b

x

Ex???dEx???4??0y?0???0sin?d?

?1?(?(1?cos?0)＝?4??0y4??0y1y?L22)，方向沿x轴负向。

Ey??dEy???cos?d?

4??0y?00??L? sin?0＝

224??0y4??0yy?L7－3 一细棒弯成半径为R的半圆形，均匀分布有电荷q，求半圆中心O处的场强。

解：如图，在半环上任取dl=Rd?的线元，其上所带的电荷为dq=?Rd?。对称分析Ey=0。

dEx??Rd?sin?

4??0R2d? y

??E??dEx?sin?

4??0R?0R ? x

? dE ?? 2??0R?q2??0R22习题7－3图

，如图，方向沿x轴正向。

7－4 如图线电荷密度为λ1的无限长均匀带电直线与另一长度为l、线电荷密度为λ2的均匀带电直线在同一平面内，二者互相垂直，求它们间的相互作用力。

解：在λ2的带电线上任取一dq，λ1的带电线是无限长，它在dq处产生的电场强度由高斯定理容易得到为，

E??1

2??0xλ1 0 a dq λ2 x 两线间的相互作用力为

??dx??F??dF??12?122??0x2??0dx?ax

l习题7－4图

?1?2a?lln,如图，方向沿x轴正向。 2??0a7－5 两个点电荷所带电荷之和为Q，问它们各带电荷多少时，相互作用力最大？ 解：设其中一个电荷的带电量是q，另一个即为Q－q，若它们间的距离为r，它们间的相互作用力为

F?相互作用力最大的条件为

q(Q?q)

4??0r2dFQ?2q??0 2dq4??0r由上式可得：Q=2q，q=Q/2

7－6 一半径为R的半球壳，均匀带有电荷，电荷面密度为σ，求球心处电场强度的大小。

解：将半球壳细割为诸多细环带，其上带电量为

y dq??2?rRd???2?R2sin?d?

dq在o点产生的电场据（7－10）式为

dE?ydq，y?Rcos?

4??0R3o ?r ? 习题7－6图 3?2?Rsin?E??dE??0cos?d? 304??0R??2?0???20?sin?sin?d(sin?)?2?02220??。如图，方向沿y轴负向。 4?07－7 设匀强电场的电场强度E与半径为R的半球面对称轴平行，计算通过此半球面电场强度的通量。

解：如图，设作一圆平面S1盖住半球面S2， 成为闭合曲面高斯，对此高斯曲面电通量为0， 即

S1 E

???????E?dS??E?dS??E?dS?0

SS1S2S2 ?????S1??E?dS???E?dS??E?R2

S1S2习题7－7图

7－8 求半径为R，带电量为q的空心球面的电场强度分布。

解： 由于电荷分布具有球对称性，因而它所产生的电场分布也具有球对称性，与带电球面同心的球面上各点的场强E的大小相等，方向沿径向。在带电球内部与外部区域分别作与带电球面同心的高斯球面S1与S2。对S1与S2，应用高斯定理，即先计算场强的通量，然后得出场强的分布，分别为

???E?dS?E4?r2?0

S1R 0 r

得 E内?0 （r

习题7－18图

???E?dS?E4?r2?S2q?0

E外?q4??0r2? (r>R) r7－9 如图所示，厚度为d的“无限大”均匀带电平板，体电荷密度为ρ，求板内外的电场分布。

解:带电平板均匀带电，在厚度为d/2的平分街面上电场强度为零，取坐标原点在此街面上，建立如图坐标。对底面积为A，高度分别为xd/2的高斯曲面应用高斯定理，有

???E?dS?EA?S1?Ax ?0得 E1????dxi (x?) ?02d 0 习题7－9图 ?A???E?dS?EA?S2?0d2

E x

???dE2＝di (x?)

2?027－10 一半径为R的无限长带电圆柱，其体电荷密度为???0r(r?R)，ρ0为常数。求场强分布。 解： 据高斯定理有

??1E?dS?E2?rl??S?0kV??dV ?r?2?r?ldr??0ro r

r?R时：E2?rl?2?lk?0?0?r0r?2dr?

?kr2?2?lkr3?E?en E2?rl??033?0习题7－10图

r?R时：E2?rl?k?0?r?2?r?ldr??0R2?lk?0?R0r?2dr?

?kR3?2?lkR3?E?en E2?rl??033?0r7－11 带电为q、半径为R1的导体球，其外同心地放一金属球壳，球壳内、外半径为R2、

R3。

（1）球壳的电荷及电势分布；

（2）把外球接地后再绝缘，求外球壳的电荷及球壳内外电势分布； （3）再把内球接地，求内球的电荷及外球壳的电势。 解：（1）静电平衡，球壳内表面带－q，外表面带q电荷。 据（7－23）式的结论得：V1?q4??0(111??)(r?R1), R1R2R3V2?111(??)(R1?r?R2); 4??0rR2R3qV3?q4??0R3q4??0r(R2?r?R3),

q

-q q o R1 R2 V4?(r?R3). q4??011?)(r?R1), R1R2R3 习题7－11图

（2）U1?(V2?11(?)(R1?r?R2);V3?0(R2?r?R3),V4?0(r??R3). 4??0rR2q（3）再把内球接地，内球的电荷及外球壳的电荷重新分布设静电平衡，内球带q/，球壳内表面带－q/，外表面带q/－q。

V1?14??0(q?q?q??q??)(r?R1), R1R2R3得：q??R1R2q

R2R3?R1R3?R1R2V3?(R1?R2)qq??q(R2?r?R3) ?4??0R34??0(R2R3?R1R3?R1R2)7－12 一均匀、半径为R的带电球体中，存在一个球形空腔，空腔的半径r(2r

证明：利用补缺法，此空腔可视为同电荷密度的一个完整的半径为R 的大球和一个半径为r 与大球电荷密度异号完整的小球组成，两球在腔内任意点P产生的电场分别据〔例7－7〕结果为

E1??r1?r2, E2?? 3?03?0?r1?r2 ?3?03?0?oo? 3?0r1 o p r2 o/ E=E1+E2=

?习题7－12图

上式是恒矢量，得证。

（3）外球接地时，两球电势各为

1.0?10?1011qq(?)＝60V U1?(?)U1??12?24?3.14?8.85?10?10134??0R1R21U2?0

8－6 证明:两平行放置的无限大带电的平行平面金属板A和B相向的两面上电荷面密

度大小相等，符号相反，相背的两面上电荷面密度大小等，符号相同。如果两金属板的面积

－－

同为100cm2，带电量分别为QA=6×108 C和QB=4×108C，略去边缘效应，求两个板的四个表面上的电面密度。

A B 证：设A板带电量为QA、两侧的电荷为q1、q2，

B板板带电量为QB、两侧的电荷为q3、q4。由电荷守恒有

q1 q2 q3 q4

q1?q2?QA（1）

q3?q4?QB（2）

在A板与B板内部取两场点，金属板内部的电场为零有

习题 8－6图

q1q?22S?02S?0?q3q?4?02S?02S?0，得

q1?q2?q3?q4?0（3）

qq1qq?2?3?4?0，得q1?q2?q3?q4?0（4） 2S?02S?02S?02S?0联立上面4个方程得：q1?q4?QA?QBQ?QB,q2??q3?A 22即相向的两面上电荷面密度大小相等，符号相反，相背的两面上电荷面密度大小等，符

号相同，本题得证。

－－

如果两金属板的面积同为100cm2，带电量分别为QA=6×108 C和QB=4×108C，则

(6?4)－6?82

5.0×10C/m, ?10??42?100?10(6?4)?2???3??10?8?1.0×10-6C/m2 ?42?100?10?1??4?8－7 半径为R的金属球离地面很远，并用细导线与地相联，在与球心相距离为D=3R处有一点电荷+q，试求金属球上的感应电荷。

解：设金属球上的感应电荷为Q，金属球接地 电势为零，即

R Q D=3R qQq ??0

4??0R4??0DQ??Rqq?? D3习题 8－7图 8－8 一平行板电容器，两极板为相同的矩形，宽为a，长为b，间距为d，今将一厚

度为t、宽度为a的金属板平行地向电容器内插入，略去边缘效应，求插入金属板后的电容量与金属板插入深度x的关系。

解：设如图左边电容为C1，右边电容为C2 t d ?a(b?x)x C1?0db C2??0axd?t 习题 8－8图

左右电容并联，总电容即金属板后的电容量与金属板插入深度x的关系，为

C?C1?C2??0a(b?x)dd?t?atx=0(b?) dd?t??0ax

8－9 收音机里的可变电容器如图（a）所示，其中共有n块金属片，相邻两片的距离

均为d，奇数片联在一起固定不动（叫定片）偶数片联在起而可一同转动（叫动片）每片的形状如图（b）所示。求当动片转到使两组片重叠部分的角度为?时，电容器的电容。 解：当动片转到使两组片重叠部分的角度 为?时，电容器的电容的有效面积为

(r22?r12)??(r22?r12)?? S??2?180360此结构相当有n-1的电容并联，总电容为

(n?1)?0S(n?1)?0??(r22?r12)＝ C?360dd(a)

习题 8－9图

(b)

8－10 半径都为a的两根平行长直导线相距为d（d>>a），（1）设两直导线每单位长

度上分别带电十?和一?求两直导线的电势差；（2）求此导线组每单位长度的电容。

解：（1）两直导线的电电场强度大小为

E?2?? 2??0ro r 两直导线之间的电势差为

?dr?V?????0r??0?d?aadr?d?a?ln ??0ar（2）求此导线组每单位长度的电容为

C??V=

??0lnd?aa

习题 8－10图 8－11 如图，C1=10?F，C2=5?F，C3=5?F，求（1）AB间的电容；（2）在AB间加上100V电压时，求每个电容器上的电荷量和电压；（3）如果C1被击穿，问C3上的电荷量和电压各是多少？

解：（1）AB间的电容为

C?C3(C1?C2)5?15?=3.75?F；

C1?C2?C320（2）在AB间加上100V电压时，电路中的总电量就是C3电容器上的电荷量，为

q?q3?CV?3.73?10?6?100?3.73?10?4C

q3.73?10?4V1?V2???25V

C1?C215?10?6A C1 C3

C2

V3?100?25?75V

q1?C1V1?10?10?25?2.5?10C q2?C2V2?5?10?6?25?1.25?10?4C

?6?4B 习题 8－11图

（3）如果C1被击穿，C2短路，AB间的100V电压全加在C3上，即V3=100V，

C3上的电荷量为

q3?C3V3?5?10?6?100?5.0?10?4C

8－12 平行板电容器，两极间距离为l.5cm，外加电压39kV，若空气的击穿场强为30kV/cm，问此时电容器是否会被击穿？现将一厚度为0.3cm的玻璃插入电容器中与两板平行，若玻璃的相对介电常数为7，击穿场强为100kV/cm，问此时电容器是否会被击穿？结果与玻璃片的位置有无关系?

解：（1）未加玻璃前，两极间的电场为

E?39?26kV/cm?30kV/cm 1.5不会击穿

（2）加玻璃后，两极间的电压为

E?39?E?31kV/cm?30kV/cm 7空气部分会击穿，此后，玻璃中的电场为 1.2E?0.3V

习题 8－12图

E?39?130kV/cm?100kV/cm，玻璃部分也被击穿。结果与玻璃片的位置无关。 0.38－13 一平行板电容器极板面积为S，两板间距离为d,其间充以相对介电常数分别为?r1、?r2，的两种均匀电介质，每种介质各占一半体积，如图所示。若忽略边缘效应，求此电容器的电容。

解：设如图左边电容为C1，右边电容为C2

C1?C2??0?r1S/2d

?0?r2S/2d?r1 ?r2 左右电容并联，总电容为

C?C1?C2??0?r1S/2d2)

??0?r2S/2d习题 8－13图

??0S?r1??r2d(8－14 平行板电容器两极间充满某种介质，板间距d为2mm，电压600V，如果断开

电源后抽出介质，则电压升高到1800V。求（1）电介质相对介电常数；（2）电介质上极化电荷面密度；（3）极化电荷产生的场强。

解：设电介质抽出前后电容分别为C与C/

?0?rS?S,C??0Q?CU?C?U?d2d2??S?SU1800V?0rU?0U?,?r???3d2d2U?600VU600V(2)E???3?105V/m ?3d2?10m???D??0E??0E(?r?1)?5.31?10?6C/m2U?1800V(3)E?E0?E?,E0???9?105V/m?3d2?10m?E??E?E0?9?105V/m?3?105V/m?6?105V/m(1)?C??0?rS?S,C??0Q?CU?C?U?d2d2??S?SU1800V?0rU?0U?,?r???3d2d2U?600VU600V(2)E???3?105V/m ?3d2?10m???D??0E??0E(?r?1)?5.31?10?6C/m2U?1800V(3)E?E0?E?,E0???9?105V/m?3d2?10m?E??E?E0?9?105V/m?3?105V/m?6?105V/m(1)?C?8－15 圆柱形电容器是由半径为R1的导体圆柱和与它共轴的导体圆筒组成。圆筒的半径为R2，电容器的长度为L，其间充满相对介电常数为?r的电介质，设沿轴线方向单位长度上圆柱的带电量为+?，圆筒单位长度带电量为-?，忽略边缘效应。求（1）电介质中的电位移和电场强度；（2）电介质极化电荷面密度。 解：

取同轴圆柱面为高斯面，由介质中的高斯定理可得????D?ds?D?2?rl??l?D???,E? 2?r2?r?0?r(?r?1)?(?r?1)??1?P?D??E?,??P?D??E?10220?r2?R1?r2?R2

8－16 半径为R的金属球被一层外半径为R/的均匀电介质包裹着，设电介质的相对介电常数为?r，金属球带电量为Q,求（1）介质层内外的电场强度；（2）介质层内外的电势；（3）金属球的电势。 解：

R/ R1 U1 U2

U0 E1 E2

习题 8－16图

(1)取同心高斯球面，由介质的高斯定理得??Q2D?ds?D?4?r?Q,?D?D?12??4?r2DD2QQ?E1?1?E??2?0?r4?r2?0?r?04?r2?0?R?????(2)介质层内的电势U1??E2?dl??E1?dl?R?rQ11Q(?)?4??0?rrR?4??0R?

??Q介质层外的电势U2??E2?dl＝R?4??0r?R?????(3)金属球的电势U0??E2?dl??E1?dl??R1R1Q11Q(?)?4??0?rR1R?4??0R?

8－17 球形电容器由半径为R1的导体球和与它同心的导体球壳组成，球壳内半径为R2，其间有两层均匀电介质，分界面半径为r，电介质相对介电常数分别为?r1、?r2，如图所示。求（1）电容器的电容；（2）当内球带电量为+Q时各介质表面上的束缚电荷面密度。 解：

(1)取同心高斯球面，由介质的高斯定理得??Q2D?ds?D?4?r?Q,?D?D?12??4?r2DD2QQ?E1?1?,E??2?0?r14?r2?0?r1?0?r24?r2?0?r2?R1??r?Q11Q11?U??E2?dl??E1?dl?(?)?(?)R2r4??0?r2rR24??0?r1R1r?C?4??0?r2?r1R2R1rQ?U(?r1??r2)R2R1?r(R2?r2?R1?r1)Q1Q1(1?),????(1?)1?r1?r14?R124?R12R2 R1 r (1)?1?D1??0E1?习题 8－17图

?2?Q1Q1Q1(1?),???(1?),??(1?)34?r1?r2?r24?r24?r24?R228－18 一平行板电容器有两层介质（如图），?r1＝4，?r2＝2，厚度为d1=2.0mm，d2=3.0mm，

极板面积S=40cm2，两极板间电压为200V。（1）求每层电介质中的能量密度；（2）计算电容器的总能量；（3）计算电容器的总电容。

解：

习题 8－18图

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