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三角形有限元的超收敛性

陈传淼

单位：陈传淼(湖南师范大学计算研究所，长沙 410081 1998-11-02收稿 *数学天元基金重点资助项目(批准号：19331021)

*

摘要 基于三角形上的两类正交展开，对二阶椭圆问题研究了任意m次三角形有限元解(对偶数m)及平均梯度(对奇数m)在对称点上的超收敛性. 除此之外，再没有其他与方程系数无关的超收敛点.

关键词 超收敛 三角形元 任意次

设在平面域Ω上三角形剖分是拟一致的，记椭圆方程的解u及满足

这里假定双线性型

为m次三角形有限元子空间. 二阶

在Ω的边界Γ上有u=v=0. 三角形有限元(Ritz投影)

(1)

用Wk,p(Ω)记Sobolev空间，范数为‖u‖k，p，Ω.

单元正交分析(EOA)的思想［1，2］是构造u的一个较好的展开uI∈uh，由(1)式，这等价于要求R=u-uI近似正交于

:

(2)

，使得uI超接近于

A(uh-uI,v)=A(u-uI,v)=O(hm+2)‖v‖2,1,Ω， m?2，

这里网格范数‖v‖2,1,Ω=∑e‖v‖2,1,e. 若(2)式成立并取v=gh∈下面引理1)，它导致在Ω中一致的超收敛估计

(离散Green函数，见

(uh-uI)(z)=O(hm+2lnh), D(uh-uI)(z)=O(hm+1lnh), m?2. (3)

于是，R及其梯度DR的根正好分别是uh与Duh的超收敛点. 故单元正交分析由两部分组成，即用单元上的某种正交展开来构造所需的逼近uI,并用单元之间的消除技术证明(2)式.

最基本的工具是在区间e=(-h,h)上的L-型与M-型正交展开. 仍用u(t)记u(x)=u(ht),t∈(-1,1)，用D记对x求导，用记对t求导. 显然，iu=hiDiu=O(hi). 引进Legendre正交多项式lj(t)=i(t2-1)j/(2j)!!(注意lj(±1)=(±1)j). 对t积分后，得M-型多项式［3］：M0=1，M1=t,?,Mj+1=j-1(t2-1)j/(2j)!!. 若i-j=0或±2, 则有(Mi,Mj)≠0，否则(Mi,Mj)=0. 显然对n?2有Mn(±1)=0.

为构造前述所需的展开，在过去20年中人们一直基于这样一种性质，即有限元解在每单元的顶点上有好的精度，于是常常使用M-型展开. 为了处理一般方程(组)，提出了单元消除技术，并研究了多种单元的整体超收敛性，如任意次一维元与矩形元，三角形线元与二次元［4～6］等. 由于奇次三角形元在每个单元的顶点没有超收敛, 奇次一维元与矩形元L2投影也是如此［7］. 为此，必须引进某些新思想和L-型展开.

文献［8～10］对高次三角形元得到了局部对称点上的内部超收敛性. 本文将用单元正交分析导出某些深刻结果.

定理 设u∈Wm+1,2(Ω)∩Wm+2，∞(Ωλ)，Ωλ=｛x∈Ω,dist(x,Ω)＞λ＞0｝，且uh∈是u的m次三角形有限元投影. 设对某个l＞0，下列负范数估计成立：对偶数m?2有 ‖u-uh‖-l,Ω=O(hm+2)，或对奇数m?1有O(hm+1). 设剖分在Ωλ上是均匀的，用Th记所有单元顶点与边中点的集合，则在z∈Th∩Ω2λ上，

或者平均梯度

(u-uh)(z)=O(hm+1lnh) (奇数m?1).

(5)

(u-uh)(z)=O(hlnh) (偶数m?2),

m+2

(4)

除此之外，uh及Duh在所有单元中再没有其他与A的系数aij无关的超收敛点.

本文结果能推广到二阶椭圆组. 为了研究内部超收敛性，利用适当光滑的截断函数ψ∈

在Ωλ中ψ≡1，可构造对某个l＞0, 有［11］

‖uh-uh‖1,∞，Ω2λ?C(h2m‖u‖m+1,Ωλ+‖u-uh‖-l,Ω),

由此，uh的内部超收敛性能从局部投影uh的超收敛导出. 不失一般性，下面只要讨论u∈Wm+2,∞0(Ω′)就够了，这里Ω′=Ωλ，且Γ′=Ω′.

及其局部的Ritz投影

1 在三角形上的M-型分解

记参考三角形E=｛(s,t)｜-1＜s,t＜1,s+t＜0｝，3个顶点是z1=(-1，-1)，z2=(1,-1)，z3=(-1,1)，且3边是E=S0+S1+S2，这里S0=｛s=-1,-1?t?1｝，S1=｛t=-1,-1?s?1｝，S2=｛t=-s,-1?s?1｝. 任意n次多项式u∈Pn包含Nn=(n+1)(n+2)/2项，其中3n项由u在E上的值确定，而其他Nn-2=Nn-3n项由u在E内的值确定. 对n?3次齐次多项式｛sn,sn-1t,?,stn-1,tn｝，显然sn与tn由u在E上的值确定. 因为线性组合

sn-1t-(-1)nstn-1=st(sn-2-(-1)ntn-2)总包含着因子s+t，于是它能组成在E上为0的内部基(s+1)i(t+1)j(s+t). 但sn-1t+(-1)nstn-1仍由u在E上的值确定. 现在利用M-型多项式Mj(t)在E上定义如下的基：

p1=｛1,t,s｝, pj=｛pj0,pj1,pj2｝， pj0=Mj(t), pj1=Mj(s), j?2， p22=-(s+1)(t+1), pj2=(Mj-1(-t)(s+1)-Mj-1(s)(t+1))/2, j?3，

pji(s,t)=(s+1)j-i+1(t+1)i-2(s+t), 3?i?j?n.

注意在S0,S1,S2上分别有

p1=｛1,t,-1｝, ｛1,-1,s｝, ｛1,-s,s｝,

pj=｛Mj(t),0,0｝, ｛0,Mj(s),0｝, ｛(-1)jMj(s),Mj(s),pj2(s,-s)｝, 2?j?n, 这里

(6) (7)

特别地，对j?2, 在3个顶点上pj=｛0,0,0｝. 将任意n次多项式u∈Pn写为形式

并对j?2在S0,S1，S2上分别定义它的线积分

bj0=j1(ut(-1,t),lj-1), bj1=j1(us(s,-1),lj-1), bj2=j1(s(u(s,-s)),lj-1),

(8)

(9)

这里且比较u在S0，S1，S2上的系数，得3n-3个方程

记dj=bj2-(-1)jbj0-bj1. 首先有

γj+2,2dj+2+?，这里最后一项是γj,n-1dn-1(对奇数j)或者γ式并合并dj的同类项，得到一个基本分解式

jn

然后逐个确定

dn(对偶数j). 将它们代入(8)

(10)

这里L(s,t;u)=((u2+u3)+(u3-u1)t+(u2-u1)s)/2,bj=｛bj0,bj1,bj2｝,j=｛j0,j1,j2｝,

j

j0=Mj(t)-(-1)j2,j1=Mj(s)-j2,j2=γjjpj2+γj,j-2pj-2,2+?. 基j在S0,S1,S2上分别取｛Mj(t),0,0｝,｛0,Mj(s),0｝,｛0,0,Mj(s)｝. 在有边

及顶点

的共轭三角形(对

类似)，并写

E′=｛-1＜s,t＜1,s+t＞0｝上，定义相应的基

出n次多项式u=L(-s,-t;u)+Ln(b′,′)+Hn(b′,p′). 注意到lj(-t)=(-1)jlj(t)，可知在E′上的系数除中起着重要作用.

有类似于bji的表示式，但带有因子(-1)j. 此性质在以后的单元消

2 超接近的多项式：偶数m=2l?2

设且ue是它在单元e上的m次逼近. 由于低次多项

式总可并入到ue中，不失一般性，将误差写为R=u-ue=L(s,t;R)+Ln(b,)+Hn(b,p)，这里

bnj(j=0,1,2，?，n)由u的最高次系数给定，而其余的系数待定.

首先要求在E上R⊥Mj(j=0,2,4,?,m),于是R变为R=Fn=∑j=3,5,?,nbjj+Hn(b,p),这里使用了3l+3个约束.当m=2时已得所需的展开(注意对m=1有R=b22).当m?4时，引入

这里常数

常数有

其次，进一步要求

在某个固定的x0∈e上给定,且对任意u≠

这里又使用了3l-3+Nm-2个约束(总共是3(l+1)+3(l-1)+Nm-2=Nm个约束).显然，在E上Fn⊥1且在E中Fn⊥P1.由于基函数｛j,pji｝(j＜n)的线性无关性，得到一个唯一可解的线性方

程组，且这些系数｛bj，bji｝(j＜n)能用已给的常数线性表示.于是

当m?4时它们也依赖于A的系数，这导致ue穿过e时有间断.于是所需的误差展开为

这里Fnj在E上仍是M3，M5，?,Mn的线

性组合，它们有公共根s(或t)=0,±1(对称点). 当m?4，它们的切向导数没有公共根. 此外，这些Fnj(或DFnj)在E内没有与aij无关的公共根.

对任意u∈Wn+1,∞(Ω′)，利用u在E上的系数bj=｛bj0,bj1,bj2｝，可置+Ln(b,)，并展开

即其中系数bji(3?i?j?n)也能被确定. 由

Bramble-Hilbert引理，bnj=F(Dnu)hn,Rn=O(hn+1). 重复上面的论证，可在e上得到一个逼近ue,使得R=u-ue=Fn+Rn,Fn=

这里在E上Rn⊥1，且由u在E上的值

唯一确定(于是Rn在Ω中连续). 系数bnj(e)也依赖于e中的Dnu,但Fnj的结构未变，在两个相邻单元e与e′上,

为了修补ue的间断性，注意余项Fn在S0,S1,S2上分别为

∑j=3,5,?,nbj0Mj(t),∑j=3,5,?,nbj1Mj(s),∑j=3,5,?,nbj2Mj(s),且在3个顶点上Fn=0，于是所需的修改能限制在3边上. 将从左下至右上逐个单元完成此过程. 设新单元er有某些新边，例如S2(设在老边上的边值bj0(el),bjl(ek)已被定义)，用bj2(er)规定新边值，并构造m-1次分片多项式L(el,ek,er)=

它在

Ω中连续.在单元e=er中，差ω=L(e,e,e)-L(el,ek,er)=O(hn+1). 因此，所需的逼近uI=ue+ω在穿过e时连续，误差为

R=u-uI=Fn(s,t;b(e))+Rn, Rn=O(hn+1),

在E上Rn⊥1. 利用m次检验函数

有

(11)

(12)

这里Dlv是v沿e的切向导数，｜｜?C. 因u是双奇函数，u(-s,-t)=-u(s,t). 在共轭单元E′上有误差表示R′=u-=(s,t)aDν

并导出类似于(12)式的公式. 注意

′r及A0′r在E′上的符号未变，且反号，于是线积分(12)式能看作是沿反时针

方向的围道积分.

最后，对u∈Wn+1,∞(Ω′)，注意到在相邻两单元e及e′上

aij(e)-aij(e′)=O(h),bj(e)-bj(e′)=O(hn+1)，并对所有单元求和，则所有在Ω内的线积分相互抵消，并导致

(13)

3 对偶数m的定理证明

引理1［12,1］ 令g(x；z)及gh(x；z)∈

分别是A的正规化Green函数及其有限元投

影，则‖g-gh‖1,1,Ω?ch｜lnh｜,‖g‖2,1,Ω+‖gh‖2,1,Ω?c｜lnh｜,‖gh‖1,1,Γ?c｜lnh｜. 若参变点z远离曲线Γ，则有内估计‖g‖2,1,Γ+‖gh‖2,1,Γ?c｜lnh｜.

α

引理2 若函数r=O(h)在Ω上分片连续且在任意单元的每条边上与1正交，则

A(r,gh)=O(hα)‖gh‖2,1，Ω=O(hα lnh).

证 用记aDνgh在每条边上的平均值，用A*表示A的共轭算子. 利用Green公式，r的正交性，Bramble-Hilbert引理与逆估计，直接可得所需估计. 现在转向(4)式的证明. 将导出误差的基本表示

由引理2，A(Rn,gh)=O(hm+2lnh)，剩下估计A(Fn,v). 首先考虑低次项

因在e上vt=β10+O(2v),在有公共边

(14)

S0(对S1,S2类似)的共轭单元e′上v′t=-β′10+O(2v),β′10=-β10,因此在Ω′内的所有单元积分相互抵消，仅剩下宽度为O(h)的边界层Bh上的单元积分，即

这里及下面总记rh=O(hm+2)‖v‖2,1,Ω′，并使用了嵌入不等式‖v‖1,1,Γ′?C‖v‖2,1,Ω′. 类似地也有

其次，因在E上Fn⊥1，它的原函数记为Q=D-1lFn=O(hn+1)，

Q(±1)=0. 于是用Green公式及在E上分部积分后有

记偏差δa=ae-a=O(h)，并利用逆性质和上述低阶项估计，有综合这些估计及(13)式，推出(14)式.

最后，由假设在Γ′上Dm+1u=0，于是在(14)式中的线积分消失. 取v=gh∈一致估计. 因此，所需的结果(4)式可从(14)及(11)式推出.

，得到

4 三角形上的L-型分解

利用L- 型多项式lj(s)，在E上构造基

p1=｛1,t,s｝, pj=｛pj0, pj1, pj2｝, pj0=lj(t)， pj1=lj(s), pj2=(lj-1(-t)(s+1)-lj-1(s)(t+1)-s-t)/2, j=2,3,?,n，

(15)

且pji由(7)式定义.在S0,S1,S2上分别有p1=｛1,t,-1｝,｛1,-1,s｝,｛1,-s,s｝，对偶数j有pj=｛lj(t),1,1｝，｛1，lj(s),1｝,｛lj(s),lj(s),lj-1(s)s｝,对奇数j有pj=｛lj(t),-1,-t｝, ｛(-1)j,lj(s),1｝,｛(-1)jlj(s),lj(s),lj-1(s)s｝，这里

2.

将任意n次多项式u∈Pn写为

u=b00+b10t+b11s+Ln(b*,p)+Hn(b,p),

比较u在S0,S1,S2上的系数，得到3n-3个方程

记dj=bj2-(-1)jbj0-bj1.首先得到并表

γj+2,jdj+2+?，将它们代入u，合并同类项，得到dj的基gj2=γjjpj2+γj,j-2pj-2,2+?+γj2p22(对偶数j)或者+γj3p32(对奇数j). 由gj2(对偶数j?2)的构造可知，gj2在S2上将变为

gj2=即所有中间项彼此抵消. 于是gj2(对偶数j)在S0,S1上取相同的常数

Kj=γ

jj

+类似地gj2(对奇数j?3)在S0,S1,S2上分别取

这里现在定义所需的新基

(16)

它在S0,S1,S2上分别取0，0，lj(s)-1(对偶数j)或0，0，lj(s)-s(对奇数j). 于是系数b00,b10,b11能由顶点值uj=u(zj) (j=1,2,3)确定，并得到基本分解式 这里

u=L(s,t;u)+Ln(b,)+Hn(b,p),

(17)

于是n次多项式u∈Pn在S0,S1，S2上分别变为

类似可作出共轭单元E′上的展开.

5 超收敛分析：奇数m?3

对双偶函数n=m+1=2l(即u(-s,-t)=u(s,t))，考虑它的m次逼

近ue及误差R=u-ue=L(s,t;R)+Ln(b,)+Hn(b,p)，这里bnj(j=0,1,?,n)由u的最高次系数给定，其他系数bji待定. 首先要求在E上R⊥｛l0，l1,l3，?，lm｝，即bji=0(j=3,5,?,m,i=0,1,2)，R1=R2=R3=B0=B1=B2，显然其中

这里有一个

条件是相容的，实际上只确定了3l+2个系数. 用等式b2i=Bi-∑j=4,6,?,nbji,i=0,1,2，此误差可表为

(18)

这里Φ=20+21+22-1,Φj=｛Φj0,Φj1,Φj2｝,Φji=ji-2i,i=0,1,2,j=2,4,?,n. 在S0,S1,S2上分别有Φ=l2(t),l2(s),l2(s)及Φj=｛lj(t)-l2(t),0,0｝,｛0,lj(s)-l2(s),0｝,｛0,0,lj(s)-l2(s)｝. 进一步要求

即总共有3(l-2)+1+Nm-2个约束. 注意对任意P2,在中线积分消失，且

中用Green公式可知其

是常数. 因此，实际上此条件等价于一个约束：在L2(e)中

Fn⊥1. 因基｛P2,Φj,pji｝是线性无关的,这些约束导致一个唯一可解的线性方程组，且b22,bj(j=4,6,?,m-1), bji(3?i?j?m)能用u的最高次系数表出，它们将依赖于A的系数aij. 于是得到误差展开R=u-ue=Fn(s,t)=其中Fnj在E上是l2,l4,?，ln的线性组合，它们没有公共根，但它们的平均梯度有公共根s(或

t)=0,±1. 此外，这些Fnj(或DFnj)在E中也没有与aij无关的公共根. 注意在共轭单元E′上，R′=(s,t)=Fn(-s,-t)也是双偶函数.

对任意u∈Wn+1,∞(Ω)，可构造ue及修正ω=O(hn+1)(现在的情形，在每个单元的新顶点上也必须规定节点值B0(er)=O(hn))，使得uI=ue+ω∈C(Ω)仍有余项

R=u-uI=Fn(s,t)+Rn, Rn=O(hn+1), (s,t)∈E,

在E上Rn⊥1.

现在转向(5)式的证明. 写出m次试探函数差的另一个基本表示

(20) 将证明误

(19)

由引理2，A(R，gh)=O(hm+2lnh),剩下估计A(Fn,v). 由正交性,

在E上Fn⊥P1及在E中Fn⊥1,有线积分表示

显然它们在所有单元上的和变为(20)式.

在变系数情形，利用Fn的正交性和Bramble-Hilbert引理，容易估计差

估计低阶项是直接的. 最后对(19)式可推出(5)式.

(20)式中的线积分消失. 从(20)和

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