北京四中2014届中考数学专练总复习《圆》全章复习与巩固—知识讲
更新时间:2024-06-19 17:43:01 阅读量: 综合文库 文档下载
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《圆》全章复习与巩固—知识讲解(基础)
【学习目标】
1.理解圆及其有关概念,理解弧、弦、圆心角的关系,探索并了解点与圆、直线与圆、圆与圆的位置关系,探索并掌握圆周角与圆心角的关系、直径所对的圆周角的特征;
2.了解切线的概念,探索并掌握切线与过切点的半径之间的位置关系,能判定一条直线是否为圆的切线,会过圆上一点画圆的切线;
3.了解三角形的内心和外心,探索如何过一点、两点和不在同一直线上的三点作圆;
4.了解正多边形的概念,掌握用等分圆周画圆的内接正多边形的方法;会计算弧长及扇形的面积、圆锥的侧面积及全面积;
5.结合相关图形性质的探索和证明,进一步培养合情推理能力,发展逻辑思维能力和推理论证的表达能力;通过这一章的学习,进一步培养综合运用知识的能力,运用学过的知识解决问题的能力.
【知识网络】
【要点梳理】
要点一、圆的定义、性质及与圆有关的角 1.圆的定义
(1)线段OA绕着它的一个端点O旋转一周,另一个端点A所形成的封闭曲线,叫做圆. (2)圆是到定点的距离等于定长的点的集合. 要点诠释:
①圆心确定圆的位置,半径确定圆的大小;确定一个圆应先确定圆心,再确定半径,二者缺一不可; ②圆是一条封闭曲线. 2.圆的性质
(1)旋转不变性:圆是旋转对称图形,绕圆心旋转任一角度都和原来图形重合;圆是中心对称图形,对称中心是圆心.
在同圆或等圆中,两个圆心角,两条弧,两条弦,两条弦心距,这四组量中的任意一组相等,那么它所对应的其他各组分别相等.
1
(2)轴对称:圆是轴对称图形,经过圆心的任一直线都是它的对称轴. (3)垂径定理及推论:
①垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧.
②平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧. ③弦的垂直平分线过圆心,且平分弦对的两条弧.
④平分一条弦所对的两条弧的直线过圆心,且垂直平分此弦. ⑤平行弦夹的弧相等. 要点诠释:
在垂经定理及其推论中:过圆心、垂直于弦、平分弦、平分弦所对的优弧、平分弦所对的劣弧,在这五个条件中,知道任意两个,就能推出其他三个结论.(注意:“过圆心、平分弦”作为题设时,平分的弦不能是直径) 3.两圆的性质
(1)两个圆是一个轴对称图形,对称轴是两圆连心线.
(2)相交两圆的连心线垂直平分公共弦,相切两圆的连心线经过切点. 4.与圆有关的角
(1)圆心角:顶点在圆心的角叫圆心角.
圆心角的性质:圆心角的度数等于它所对的弧的度数. (2)圆周角:顶点在圆上,两边都和圆相交的角叫做圆周角. 圆周角的性质:
①圆周角等于它所对的弧所对的圆心角的一半.
②同弧或等弧所对的圆周角相等;在同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弧相等. ③90°的圆周角所对的弦为直径;半圆或直径所对的圆周角为直角.
④如果三角形一边上的中线等于这边的一半,那么这个三角形是直角三角形. ⑤圆内接四边形的对角互补;外角等于它的内对角. 要点诠释:
(1)圆周角必须满足两个条件:①顶点在圆上;②角的两边都和圆相交. (2)圆周角定理成立的前提条件是在同圆或等圆中.
要点二、与圆有关的位置关系 1.判定一个点P是否在⊙O上
设⊙O的半径为,OP=,则有 点P在⊙O 外; 点P在⊙O 上;点P在⊙O 内. 要点诠释:
点和圆的位置关系和点到圆心的距离的数量关系是相对应的,即知道位置关系就可以确定数量关系;知道数量关系也可以确定位置关系. 2.判定几个点A、A、?A在同一个圆上的方法
12n 当时,在⊙O 上. 3.直线和圆的位置关系
设⊙O 半径为R,点O到直线的距离为. (1)直线和⊙O没有公共点直线和圆相离. (2)直线和⊙O有唯一公共点直线和⊙O相切. (3)直线和⊙O有两个公共点直线和⊙O相交. 4.切线的判定、性质 (1)切线的判定:
①经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线. ②到圆心的距离等于圆的半径的直线是圆的切线. (2)切线的性质:
2
①圆的切线垂直于过切点的半径.
②经过圆心作圆的切线的垂线经过切点. ③经过切点作切线的垂线经过圆心.
(3)切线长:从圆外一点作圆的切线,这一点和切点之间的线段的长度叫做切线长.
(4)切线长定理:从圆外一点作圆的两条切线,它们的切线长相等,这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角.
5.圆和圆的位置关系 设 (1) (2) (3) (4) (5)
和和. 和. 和
有两个公共点
相交
.
有唯一公共点,除这个点外,
的每个点都在
内部
内切
和
的半径为
.
没有公共点,且
的每一个点都在
内部
内含
外切
有唯一公共点,除这个点外,每个圆上的点都在另一个圆外部
,圆心距
.
外离
没有公共点,且每一个圆上的所有点在另一个圆的外部
要点三、三角形的外接圆与内切圆、圆内接四边形与外切四边形 1.三角形的内心、外心、重心、垂心
(1)三角形的内心:是三角形三条角平分线的交点,它是三角形内切圆的圆心,在三角形内部,它到三角形三边的距离相等,通常用“I”表示.
(2)三角形的外心:是三角形三边中垂线的交点,它是三角形外接圆的圆心,锐角三角形外心在三角形内部,直角三角形的外心是斜边中点,钝角三角形外心在三角形外部,三角形外心到三角形三个顶点的距离相等,通常用O表示.
(3)三角形重心:是三角形三边中线的交点,在三角形内部;它到顶点的距离是到对边中点距离的2倍,通常用G表示.
(4)垂心:是三角形三边高线的交点. 要点诠释:
(1) 任何一个三角形都有且只有一个内切圆,但任意一个圆都有无数个外切三角形;
(2) 解决三角形内心的有关问题时,面积法是常用的,即三角形的面积等于周长与内切圆半径乘积的一半,即
(S为三角形的面积,P为三角形的周长,r为内切圆的半径).
(3) 三角形的外心与内心的区别: 名称 外心(三角形外接圆的圆心) 确定方法 三角形三边中垂线的交点 图形 性质 (1)OA=OB=OC;(2)外心不一定在三角形内部 3
内心(三角形内切圆的圆心) 三角形三条角平分线的交点 (1)到三角形三边距离相等;(2)OA、OB、OC分别平分∠BAC、∠ABC、∠ACB; (3)内 心在三角形内部.
2.圆内接四边形和外切四边形
(1)四个点都在圆上的四边形叫圆的内接四边形,圆内接四边形对角互补,外角等于内对角. (2)各边都和圆相切的四边形叫圆外切四边形,圆外切四边形对边之和相等.
要点四、圆中有关计算 1.圆中有关计算 圆的面积公式:,周长. 圆心角为 圆心角为
、半径为R的弧长
.
.
,半径为R,弧长为的扇形的面积
弓形的面积要转化为扇形和三角形的面积和、差来计算.
圆柱的侧面图是一个矩形,底面半径为R,母线长为的圆柱的体积为
,侧面积为,全
面积为.
圆锥的侧面展开图为扇形,底面半径为R,母线长为,高为的圆锥的侧面积为
,母线长、圆锥高、底面圆的半径之间有.
要点诠释:
(1)对于扇形面积公式,关键要理解圆心角是1°的扇形面积是圆面积的即
;
,
,全面积为
(2)在扇形面积公式中,涉及三个量:扇形面积S、扇形半径R、扇形的圆心角,知道其中的两个量就可以求出第三个量. (3)扇形面积公式类似,可类比记忆;
(4)扇形两个面积公式之间的联系:
【典型例题】 类型一、圆的基础知识
【高清ID号: 362179 高清课程名称:《圆》单元复习 关联的位置名称(播放点名称):经典例题1-2】
1.如图所示,△ABC的三个顶点的坐标分别为A(-1,3)、B (-2,-2)、C (4,-2),则△ABC外接圆半径的长度为 .
.
,可根据题目条件灵活选择使用,它与三角形面积公式
有点
4
【答案】13;
【解析】由已知得BC∥x轴,则BC中垂线为x?
?2?4?1 2那么,△ABC外接圆圆心在直线x=1上,
22
设外接圆圆心P(1,a),则由PA=PB=r得到:PA=PB
2222
即(1+1)+(a-3)=(1+2)+(a+2)
22
化简得 4+a-6a+9=9+a+4a+4 解得 a=0
即△ABC外接圆圆心为P(1,0) 则 r?PA?(1?1)2?(0?3)2?13
【总结升华】 三角形的外心是三边中垂线的交点,由B、C的坐标知:圆心P(设△ABC的外心为P)必
在直线x=1上;由图知:BC的垂直平分线正好经过(1,0),由此可得到P(1,0);连接PA、PB,由勾股定理即可求得⊙P的半径长.
类型二、弧、弦、圆心角、圆周角的关系及垂径定理
2.如图所示,⊙O的直径AB和弦CD相交于点E,已知AE=1cm,EB=5cm,∠DEB=60°, 求CD的长.
【答案与解析】
作OF⊥CD于F,连接OD.∵ AE=1,EB=5,∴ AB=6. ∵ OA?
AB?3,∴ OE=OA-AE=3-1=2. 21OE?1,∴ OF?OE2?EF2?3. 2在Rt△OEF中,∵ ∠DEB=60°,∴ ∠EOF=30°, ∴ EF?在Rt△DFO中,OF=3,OD=OA=3,
5
∴ DF?OD?OF?3?(3)?22226(cm).
∵ OF⊥CD,∴ DF=CF,∴ CD=2DF=26cm.
【总结升华】因为垂径定理涉及垂直关系,所以常常可以利用弦心距(圆心到弦的距离)、半径和半弦
组成一个直角三角形,用勾股定理来解决问题,因而,在圆中常作弦心距或连接半径作为辅助线,然后用垂弦定理来解题.作OF⊥CD于F,构造Rt△OEF,求半径和OF的长;连接OD,构造Rt△OFD,求CD的长.
举一反三: 【变式】如图,AB、AC都是圆O的弦,OM⊥AB,ON⊥AC,垂足分别为M、N,如果MN=3,那么BC= .
CNA
OMB
【答案】由OM⊥AB,ON⊥AC,得M、N分别为AB、AC的中点(垂径定理),则MN是△ABC的中位线,BC=2MN=6.
3.如图,以原点O为圆心的圆交x轴于点A、B两点,交y轴的正半轴于点C,D为第一象限内⊙O上的一点,若∠DAB = 20°,则∠OCD = .
y C D A O B x (第3题)
【答案】65°.
【解析】连结OD,则∠DOB = 40°,设圆交y轴负半轴于E,得∠DOE= 130°,∠OCD =65°. 【总结升华】根据同弧所对圆周角与圆心角的关系可求. 举一反三:
【变式】如图所示,△ABC内接于⊙O,点D是CA延长线上一点,若∠BOC=120°,∠BAD等于( )
6
A.30° B.60° C.75° D.90°
【答案】本题可先求出∠BAC的度数,∠BAC所对的弧是优弧
为360°-120°=240°,所以
故选B.
类型三、与圆有关的位置关系
【高清ID号: 362179 高清课程名称:《圆》单元复习 关联的位置名称(播放点名称):经典例题6】
4.如图,在矩形ABCD中,点O在对角线AC上,以OA的长为半径的圆O与AD、AC分别交于点E、F,且∠ACB=∠DCE.请判断直线CE与⊙O的位置关系,并证明你的结论.
,则该弧所对的圆心角度数 ,因此,
.
【答案与解析】
直线CE与⊙O相切 理由:连接OE ∵OE=OA
∴∠OEA=∠OAE
∵四边形ABCD是矩形
∴∠B=∠D=∠BAD=90°,BC∥AD,CD=AB ∴∠DCE+∠DEC=90°, ∠ACB=∠DAC 又∠DCE=∠ACB
∴∠DEC+∠DAC=90° ∵OE=OA
∴∠OEA=∠DAC
∴∠DEC+∠OEA=90° ∴∠OEC=90° ∴OE⊥EC
∴直线CE与⊙O相切.
7
【总结升华】本题考查了切线的判定:经过半径的外端点与半径垂直的直线是圆的切线. 举一反三:
【变式】如图,P为正比例函数
图象上的一个动点,
的半径为3,设点P的坐标为(x、y).
(1)求与直线相切时点P的坐标. (2)请直接写出与直线相交、相离时x的取值范围. 【答案】(1)过作直线的垂线,垂足为. 当点在直线右侧时,,得, (5,7.5). 当点在直线左侧时,,得, (,). 当与直线相切时,
点的坐标为(5,7.5)或(,).
(2)当时,与直线相交. 当或时,与直线相离.
类型四、圆中有关的计算
5.如图所示,已知正方形的边长为a,求阴影部分的面积.
【答案与解析】
(几何方法)∵ 正方形边长为a, ∴ S正方形?a,S半圆211?a?1??R2??????a2. 22?2?82∵ S正方形?2S半圆?S2个空白处,
∴ S2个空白处?a?2??a?a??a. ∴ S4个空白处?2S2个空白处?2a??a. ∴ S阴影?S正方形?S4个空白处?a??2a? ∴ 阴影部分的总面积为?a?a.
(代数解法)观察图形,可知2个“叶瓣”与1个空白组成1个半圆;4个“叶瓣”与4个空白组成
一个正方形.
2218221422122??212?12?a???a?a2. 2?21222 8
设每个“叶瓣”面积为x,每个空白面积为y,则
2??a??????2 ?2x?y???,2?2??4x?4y?a,① ② 由①×4-②,得4x?12?a?a2,即为阴影部分的总面积. 2【总结升华】比较以上两种方法,代数解法更加简捷,在运用此法时,不需把两个未知数求出来,只要
求出表示阴影部分面积的代数式的值即可.叶形的总面积可看做四个半圆面积减去正方形面积,
则S阴影?4S半圆?S正方形1?a?1?4?????a2??a2?a2.
2?2?22也可以用正方形面积减去四个空白处面积.以上均为几何方法,还可以设每个“叶瓣”面积为
x,每个空白面积为y,列方程组解答.
类型五、圆与其他知识的综合运用
6.如图(1)是某学校存放学生自行车的车棚示意图(尺寸如图(1)),车棚顶部是圆柱侧面的一部分,其展开图是矩形.图(2)是车棚顶部截面的示意图,?AB所在圆的圆心为O.车棚顶部用一种帆布覆盖,求覆盖棚顶的帆布的面积(不考虑接缝等因素,计算结果保留π).
【答案与解析】
AB于点F,如图(2). 连接OB,过点O作OE⊥AB,垂足为E,交?AB的中点, 由垂径定理,可知E是AB中点,F是? ∴ AE?1AB?23,EF=2. 2222 设半径为R米,则OE=(R-2)m.
在Rt△AOE中,由勾股定理,得R?(R?2)?(23). 解得R=4. ∴ OE=2,OE?1AO,∴ ∠AOE=60°,∴ ∠AOB=120°. 2 9
120?4?8??(m).
180382
∴ 帆布的面积为??60?160?(m).
3 ∴ ?AB的长为
【总结升华】本题以学生校园生活中的常见车棚为命题背景,使考生在考场上能有一种亲切的感觉,这
也体现了中考命题贴近学生生活实际的原则.求覆盖棚顶的帆布的面积,就是求以?AB为底面的圆柱的侧面积.根据题意,应先求出?才能求?AB所对的圆心角度数以及所在圆的半径,AB的长.
举一反三:
【变式】某居民小区的一处圆柱形的输水管道破裂,维修人员为更换管道,需要确定管道圆形截面的半
径,如图所示是水平放置的破裂管道有水部分的截面.
①请你补全这个输水管道的圆形截面图;
②若这个输水管道有水部分的水面宽AB=16cm,水最深的地方的高度为4cm,求这个圆形截面 的半径.
【答案】①作法略.如图所示.
②如图所示,过O作OC⊥AB于D,交 ∵ OC⊥AB,
于C,
∴
由题意可知,CD=4cm. 设半径为x cm,则
.
.
在Rt△BOD中,由勾股定理得: ∴
.
∴
.
即这个圆形截面的半径为10cm.
10
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