一元二次方程导学案教案

2010-2011学年度

第一学期初三数学电子备课

第

四

章

导

学

案

（总计13教时）

备课人：

一元二次方程（1）

一 、学习目标

1 正确理解一元二次方程意义，并能判断一个方程是否是一元二次方程；

2 知道一元二次方程的一般形式是c b a c bx ax 、、(02

=++是常数，0a ≠） ，能说出二次项及其系数，一次项及其系数和常数项；

3 理解并会用一元二次方程一般形式中a ≠0这一条件

4 通过问题情境，进一步体会学习和探究一元二次方程的必要性，体会数学知识来源于生活，又能为生活服务，从而激发学习热情，提高学习兴趣。

二 、知识准备：

1、只含有____________ 个未知数，且未知数的最高次数是___________的整式方程叫一元一次方程

2、方程2（x+1）=3的解是________________

3、方程3x+2x=含有_______ 个未知数，含有未知数项的最高次数是_______________ ，它____________ （填“是”或“不是”）一元一次方程。

三 、学习内容

1、 根据题意列方程：

⑴正方形桌面的面积是2㎡，求它的边长。

设正方形桌面的边长是xm ，根据题意,得方程_______________，这个方程含有_____个未知数，未知数的最高次数是_____。

⑵如图4-1，矩形花园一面靠墙，另外三面所围的栅栏的总长度是19m ，如果花园的面积是24㎡，求花园的长和宽。

设花园的宽是xm,则花园的长是（19－2x ）m,根据题意，得：x(19－2x)=24，去括号，

得:______________这个方程含有____________个未知数，含有未知数项的最高次数是________。

⑶如图，长5m 距离与梯子顶端向下滑动的距离相等，求梯子滑动的距离。（3＋x ）＋设梯子滑动的距离是xm ，根据勾股定理，滑动的梯子的顶端离地面4m ，则滑动后梯子的顶端离地面（4－x ）m ，梯子的底端与墙的距离是（3＋x ）m 。 根据题意，得：

25x 3422=++-）（）（x 去括号，得：_____________________ 移项，合并同类项，得：-_________________此方程含有_____________个未知数，含有未知数项的最高次数是______。

2、概括归纳与知识提升：

⑴像0241922=+-x x ，02=-x x ，22=x 这样的方程，只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的方程叫一元二次方程。

〖思考感悟〗判断下列方程是否是一元二次方程？并说明理由。

322=+y x ，043

132=--x x ，2232x x x =--， 12=x . (2)任何一个关于x 的一元二次方程都可以化成下面的形式：

c b a c bx ax 、、(02

=++是常数，0a ≠） 这种形式叫做一元二次方程的一般形式，其中c bx ax 、、2分别叫做二次项、一次项和常数项，a 、b 分别叫做二次项系数和一次项系数。 练习：把下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项：

（1）x （11－x ）=30 （2）（20＋2x ）（40－x ）=1200

（3）)2(2)2(3-=-x x x （4） 32-=+-x x

四、 知识梳理

含有_____________个未知数，并且含有未知数的最高次数是_____________的整式方程叫一元二次方程，它的一般形式是_______________________，二次项是_________，一次项是_________，常数项是_________。

五 、达标检测

1、方程x （4x+3）=3x+1化为一般形式为_____________，它的二次项系数是______________，一次项系数是_______________，常数项是____________________

2、(1)方程n nx x +=-72

中，有一个根为2，则n 的值.

(2)一元二次方程()01122=-+++m x x m 有一个解为0，试求12-m 的解

3、根据题意列方程

（1）一个矩形纸盒的一个面中长比宽多2㎝，这个面的面积是15㎝2，求这个矩形的长与宽；

(2)两个连续正整数的平方和是313，求这两个正整数；

(3)两个数的和为6，积为7，求这两个数；

(4)一个长方形的周长是30㎝，面积是54㎝2，求这个长方形的长与宽。

教后反思：

一元二次方程（2）

学习目标

1、了解形如())0(2≥=+k k h x 的一元二次方程的解法 —— 直接开平方法。

2、会用直接开平方法解一元二次方程。

3、理解直接开平方法与平方根的定义的关系。

4、使学生了解转化的思想在解方程中的应用，渗透换元思想。

二、知识准备

1、把下列方程化为一般形式，并说出各项及其系数。

（1）245x x -=

（2）2

35x =

（3）()()()22122-+=+-y y y y 2、要求学生复述平方根的意义。

（3）4 的平方根是 ，81的平方根是 ，

100的算术平方根是 。

三、学习内容

1、如何解方程042=-x 呢？

由平方根的定义可知42=x 即此一元二次方程两个根为2,221-==x x 。我们把这种解一元

二次方程的方法叫直接开平方法。

形如方程02=-k x )0(≥k 可变形为

)0(2≥=k k x 的形式，用直接开平方法求解。 2、形如())0(2≥=+k k h x 的方程的解法。

说明：（1）解形如

())0(2≥=+k k h x 的方程时，可把()h x +看成整体，然后直开平方程。 （2）注意对方程进行变形，方程左边变为一次式的平方，右边是非负常数，

（3）如果变形后形如

()k h x =+2中的K 是负数，不能直接开平方，说明方程无实数根。 （4）如果变形后形如()k h x =+2中的k=0这时可得方程两根21,x x 相等。

3、试一试

解方程（1）042=-x （2）0142=-x

（3）（x ＋1）2－4＝0； （4）12（2－x ）2－9＝0.

四、知识梳理

1、用直接开平方法解一元二次方程的一般步骤；

2、对于形如b k x a =-2

)(（a ≠0,a b ≥0）的方程，只要把)(k x -看作一个整体，就可转化为n x =2（n ≥0）的形式用直接开平方法解。

3、任意一个一元二次方程都可以用直接开平方法解吗？

五、达标检测

1、解下列方程：

（1）x 2＝169； （2）45－x 2＝0；

（3）12y 2－25＝0； （4）4x 2+16＝0

2、解下列方程：

（1）（x ＋2）2－16＝0 （2）(x －1)2－18＝0；

（3）(1－3x)2＝1； （4）(2x ＋3)2－25＝0

教后反思：

一元二次方程（3）

学习目标

1、经历探究将一元二次方程的一般（n ≥0）形式的过程，进一步理解配方法的意义

2、使学生掌握配方法的推导过程，熟练地用配方法解一元二次方程。

3、会用配方法解二次项系数为1的一元二次方程，体会转化的思想方法

二、知识准备

1、请写出完全平方公式。

（a ＋b ）2 = （a -b ）2 =

2、用直接开平方法解下例方程：

（1）5)3(2=+x （2）134)5(2=+-x

3、思考：如何解下例方程

（1）16442=+-x x （2）925102

=+-x x

三、学习内容

问题1、请你思考方程5)3(2=+x 与0462=++x x 有什么关系，如何解方程0462=++x x 呢？

问题2、能否将方程0462=++x x 转化为（n m x =+2

)的形式呢？ 0462=++x x

先将常数项移到方程的右边，得

x 2＋6x = －4

即 x 2＋2·x ·3 = －4

在方程的两边加上一次项系数6的一半的平方，即32后，得

x 2＋2·x ·3 ＋32 = －4＋3

2 （x ＋3）2 = 5

解这个方程，得

x ＋3 = ±5

所以 x 1 = ―3＋5 x 2 = ―5

由此可见，只要先把一个一元二次方程变形为（x ＋m ）2= n 的形式（其中m 、n 都是常数），如果n ≥0，再通过直接开平方法求出方程的解，这种解一元二次方程的方法叫做配方法。

四、典型例题

例1、解下例方程

（1）2x －4x ＋3＝0. （2）x 2＋3x －1 = 0

例2、解下列方程

（1）2x －6x －7＝0； （2）2x ＋3x ＋1＝0.

四、知识梳理

用配方法解一元二次方程的一般步骤：

1、把常数项移到方程右边；

2、在方程的两边各加上一次项系数的一半的平方，使左边成为完全平方；

3、利用直接开平方法解之。

思考：为什么在配方过程中，方程的两边总是加上一次项系数一半的平方？

五、达标检测

1、将下列各式进行配方：

⑴2x ＋8x ＋_____＝ （ x + ____ ）2 ⑵2x －5x ＋_____＝（ x- ____

）2 （3）2x －62x ＋_____＝ （ x - _____ ）2

2、.填空：

（1）++x x 62（ ）＝（ ）2（2）2x －8x ＋（ ）＝（ ）2

（3）2x ＋x ＋（ ）＝（ ）2 （4）42x －6x ＋（ ）＝4（ ）2

3、用配方法解方程：

（1）2x ＋2x ＝5； （2）2x －4x ＋3＝0.

（3）2x ＋8x －2＝0 （4）2x －5 x －6＝0.

（5）276x x +=-

4、试用配方法证明：代数式x 2+3x-23的值不小于-4

15。

教后反思：

一元二次方程（4）

一、 知识目标

1、会用配方法二次项系数不为1的一元二次方程

2、经历探究将一般一元二次方程化成（)0()2≥=+n n m x 形式的过程，进一步理解配方法的意义

3、在用配方法解方程的过程中，体会转化的思想。

重点：使学生掌握用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程

难点：把一元二次方程转化为的（x ＋m ）2= n （n ≥0）形式

二、知识准备

1、用配方法解下列方程：

(1)x 2-6x-16=0； (2)x 2+3x-2=0；

2、请你思考方程x 2-2

5x+1=0与方程2x 2-5x+2=0有什么关系？

三、学习内容

如何解方程2x 2-5x+2=0？

点拨：

对于二次项系数不为1的一元二次议程，我们可以先将两边同时除以二次项系数，再利用配方法求解

四、典型例题

例1、解方程：01832=++x x

例2、-01432=++x x

五、知识梳理

1、对于二次项系数不为1的一元二次方程，用配方法求解时要注意什么？

2、用配方法解一元二次方程的步骤是什么？

系数化一，移项，配方，开方，解一元二次方程

六、达标检测

1、填空：

(1)x 2-

31x+ =(x- )2, (2)2x 2-3x+ =2(x- )2. （3）a 2+b 2+2a-4b+5=(a+ )2+(b- )2

2、用配方法解一元二次方程2x 2-5x-8=0的步骤中第一步是 。

3、方程2(x+4)2-10=0的根是 .

4、用配方法解方程2x 2-4x+3=0，配方正确的是（ ）

+4=3+4 B. 2x 2-4x+4=-3+4 +1=23+1 D. x 2-2x+1=-2

3+1 5、用配方法解下列方程： （1）04722=--t t ； （2）x x 6132=-

（3）x x 10152

=+ （4） 3y 2-y-2=0

6、已知(a+b)2=17，ab=3.求(a-b)2的值.

教后反思：

一元二次方程（5）

一、知识目标

1、会用公式法解一元二次方程

2、体验用配方法推导一元二次方程求根公式的过程，明确运用公式求根的前提条件是b 2－4ac ≥0

3、在公式的推导过程中培养学生的符号感

重点：掌握一元二次方程的求根公式，并应用它熟练地解一元二次方程

难点：求根公式的结构比较复杂，不易记忆；系数和常数为负数时，代入求根公式常出符号错误

二、知识准备

1、用配方法解一元二次方程的步骤是什么？

2、用配方法解下例方程

（1）02722=--x x （2）05422

=+-x x

三、学习内容

如何解一般形式的一元二次方程ax 2＋bx ＋c = 0（a ≠0）？

1、阅读下列解方程的过程： 因为0a ≠，方程两边都除以a ，得 2

0b c x x a a

++= 移项，得 2b c x x a a

+=- 配方，得 222)2()2(22a b a c a b x a b x +-=+??+ 即 222

4()24b b ac x a a -+= 当2

40b ac -≥，时，

22b x a a +=±，即2b x a

-=。 2、思考：

（1）为什么要求240b ac -≥？

(2)这个公式说明了什么？

（这个公式说明方程的根是由方程的系数a 、b 、c 所确定的，利用这个公式，我们可以由一元二次方程中系数a 、b 、c 的值，直接求得方程的解，这种解方程的方法叫做公式法。）

（3）若b 2 – 4ac ＜ 0，方程还有根吗？

3、请你利用求根公式解下列方程：

⑴ x 2＋3x ＋2 = 0 ⑵ 2 x 2－7x = 4

四、知识梳理

1、用公式法解一元二次方程时要注意什么？

2、任何一个一元二次方程都能用公式法求解吗？举例说明。

3、若解一个一元二次方程时，b 2－4ac ＜0，请说明这个方程解的情况。

五、达标检测

1、把方程4-x 2=3x 化为ax 2+bx+c=0(a ≠0)形式为 ，b 2-4ac= .

2、用公式法解下列方程：

（1）x 2-2x-8=0； （2）x 2+2x-4=0； （3）2x 2-3x-2=0；

（4）3x(3x-2)+1=0. （5）2260x x +-= （6）2

42x x +=

3、已知等腰三角形的底边长为9，腰是方程210240x x -+=的一个根，求这个三角形的周长。

教后反思：

一元二次方程（6）

一、学习目标

1、用公式法解一元二次方程的过程中，进一步理解代数式b 2－4ac 对根的情况的判断作用

2、能用b 2－4ac 的值判别一元二次方程根的情况

3、在理解根的判别式的过程中，体会严密的思维过程

重点：一元二次方程根与系数的关系

难点：由一元二次方程的根的情况求方程中字母系数的值

二、知识准备

1、一元二次方程ax 2＋bx ＋c = 0（a ≠0）当2

40b ac -≥时，X 1,2 =

2、运用公式法解下例方程：

（1）x 2 -4x+4=0 （2）2x 2 -3x -4=0 (3) x 2+3x+5=0

三、学习内容

1、情境创设

1、引导学生思考：不解方程，你能判断下列方程根的情况吗？

⑴ x 2＋2x －8 = 0 ⑵ x 2 = 4x －4 ⑶ x 2－3x = －3

2、探索活动

1、一元二次方程根的情况与一元二次方程中二次项系数、一次项系数及常数项有关吗？能否根据这个关系不解方程得出方程的解的情况呢？

3、解下列方程：

⑴ x 2＋x －1 = 0 ⑵ x 2－23x ＋3 = 0 ⑶ 2x 2－2x ＋1 = 0

4、通过解上述方程你能得出什么结论？

探索一元二次方程的根的情况与b 2－4ac 的符号有什么关系？

四、知识梳理

1、一元二次方程ax 2＋bx ＋c = 0（a ≠0）

有两个不相等的实数根时 ， b 2－4ac

有两个相等的实数根时， b 2－4ac

没有实数根时， b 2－4ac

2、反过来呢？

3、方程的根与系数又有怎样的关系？

五、达标检测

1、不解方程，判断下列方程根的情况：

（1）2260x x +-=； （2）242x x +=； （3）x x 3142-=+

（4） 3x 2－x ＋1 = 3x

（5）5（x 2＋1）= 7x （6）3x 2－43x =－4 2、方程3x 2+2=4x 的判别式b 2-4ac= ，所以方程的根的情况是 .

3、一元二次方程x 2-4x+4=0的根的情况是（ ）

A.有两个不等的实数根

B.有两个相等的实数根

C.没有实数根

D.不能确定

4、下列方程中，没有实数根的方程式（ ）

=9 =3(4x-1)

(x+1)=1 +6y+7=0

5、方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)有实数根，那么总成立的式子是（ ）

-4ac ＞0 B. b 2-4ac ＜0

C. b 2-4ac ≤0

D. b 2-4ac ≥0

6、如果方程9x 2-(k+6)x+k+1=0有两个相等的实数根，那么k= .

7、关于x 的方程x 2+2k x+1=0有两个不相等的实数根，则k = .

8、已知方程x 2-mx+n=0有两个相等的实数根，那么符合条件的一组m ，n 的值可以是m= ,n= .

9、若关于x 的一元二次方程2

210mx x -+=有两个相等的实数根，则m 满足___________。

10、当k 为何值时，关于x 的方程k x 2－（2k ＋1）x ＋k ＋3 = 0有两个不相等的实数根？

教后反思：

一元二次方程（7）

一、学习目标：

1、了解因式分解法的解题步骤；

2、能用因式分解法解一元二次方程。

3、能根据具体的一元二次方程的特征，灵活选择方程的解法，体会解决问题方法的多样性； 学习重点：应用因式分解法解一元二次方程。

学习难点：因式分解的方法。

二、知识准备：

1、什么叫因式分解？因式分解的目的是什么？你已经学习了哪些因式分解的方法？

2、你能用因式分解的方法来解方程 吗？

三、学习内容：

1、把下列各式因式分解

（1）x x -22 （2）2

216y x - （3）2

216249b ab a +-

2、解下列一元二次方程：

（1）0162=-x （2）16)2(2=-x （3）5442=++t t （4）9122=+-x x

四、知识梳理：

因式分解法解一元二次方程的一般步骤：

１、将方程的右边化为０

２、将方程左边因式分解．

３、根据“至少有一个因式为零”,得到两个一元一次方程

４、分别解两个一元一次方程，它们的根就是原方程的根.

五、典型例题

例1、 解方程：

例2、解方程： 09)1(2=-+x

六、达标测试 03x x 2=-).2x (4)2(2+=+x

1、解下列一元二次方程

（1）0)3)(12(=++y y （2）032

=-x x

（3）0)1()1(2=-+-x x x （4）)12(3)12(4-=-x x x

2、用因式分解法解下列一元二次方程

（1）042=+x x （2）016)1(2=--x

3、用因式分解法解一元二次方程

（1）3x 2=x （2）x ＋3－x （x+3）=0

（3）)2(4)2(2+=+x x （4） 0)1(92

2=--t t

教后反思：

一元二次方程（8）

一、学习目标：

1、进一步理解方程是刻画客观世界的有效模型，

2、经历用一元二次方程解会用一元二次方程解决有关几何图形面积、体积问题

3、通过对实际问题的决实际问题的过程，知道解应用题的一般步骤和关键所在。

学习重点：学会用列方程的方法解决有关形积问题．

学习难点：如何找出形积问题中的等量关系

二、知识准备：

情境创设：

动手折一折：（1）如何把一张长方形硬纸片折成一个无盖的长方体纸盒？（2）无盖长方体的高与裁去的四个小正方形的边长有什么关系？

问题1：如图，一块长方形铁皮的长是宽的2倍，四角各截去一个相等的小正方形，制成高是5cm，容积是500cm3的长方体容器，求这块铁皮的长和宽．

引申：如上图，一块长和宽分别为60厘米和40厘米的长方形铁皮，要在它的四角截去四个相等的小正方形，折成一个无盖的长方体水槽，使它的底面积为800平方厘米.求截去正方形的边长。

三、学习内容：

如图1，一张长40cm，宽25cm的长方形纸片，裁去角上四个小正方形之后。折成如图2的无盖纸盒，若纸盒的底面积是450cm2，那么纸盒的高是多少？

例2在宽为20米、长为32米的矩形地面上，修筑同样宽的两条互相垂直的道路，余下部分作为耕地，要使耕地面积为540米2，道路的宽应为多少？

图 1

25cm

40cm

四、知识梳理：

1、通常用一元二次方程解决实际问题要经历怎样的过程？

2、用一元二次方程解决实际问题的关键是什么？

五、达标检测：

1、围绕长方形公园的栅栏长280m.已知该公园的面积为4800m2.求这个公园的长与宽.

2、用22cm长的铁丝，折成一个面积为30cm2的矩形。求这个矩形的长与宽.

3、建造一个池底为正方形、深度为2米的长方体无盖水池，池壁的造价为100元/平方米，池底的造价为200元/平方米，总造价为6400元，求正方形池底的长。

4、在长为40米、宽为22米的矩形地面内，修筑两条同样宽且互相垂直的道路，余下的铺上草坪，要使草坪的面积达到760平方米，道路的宽应为多少？

教后反思：

一元二次方程（9）

学习目标

1、进一步体会通过建立方程解决实际问题的意义和方法

2、进一步体会运用方程解决问题的关键是寻找等量关系，提高分析问题、解决问题的能力

知识准备

无盖的长方体是如何制作的？增长率你是如何理解的？

学习内容：

一、情境创设

一块长方形铁皮的长是宽的2倍，四角各截去一个正方形，制成高是5㎝，容积是500㎝3的无盖长方体容器。求这块铁皮的长和宽。

二、探索活动

如何设未知数？如何找出表达实际问题的相等关系？这个问题中的相等关系是什么？

一般情况下，应设要求的未知量为未知数；应从题中寻找未知数所表示的未知量与已知量之间的等量关系；这个问题的等量关系是“长×宽×高=容积”与“长=宽×2”。

三、典型例题

例1、某商店6月份的利润是2500元，要使8月份的利润达到3600元，这两个月利润的月平均增长的百分率是多少？

分析：如果设这两个月的利润平均月增长的百分率是x，那么7月份的利润是2500（1＋x）元，8月份的利润是2500（1＋x）2元。

例2、一块起码方形铁皮的四个角各剪去一个边长为4㎝的小正方形，做成一个无盖的盒子。已知盒子的容积是400㎝，求原铁皮的边长。

四．知识梳理

谈谈用一元二次方程解决例1、例2实际问题的方法？

五．达标检测

1、某服装店花2000元进了批服装，按50%的利润定价，无人购买。决定打折出售，但仍无人购买，结果又一次打折后才售完。经结算，这批服装共盈利430元。如果两次打折相同，每次打了几折？

2、某乡产粮大户,2007年粮食产量为50吨,由于加强了经营和种田,2009年粮食产量上升到吨.求平均每年增长的百分率.

3、某种手表,原来每只售价96元,经过连续2次降价后,现在每只售价54元,平均每次降价的百分率是多少?

4、某钢铁厂今年一月份的某种钢产量是5000吨,此后每月比上个月产量提高的百分数相同,且三月份比二月份的产量多1200吨,求这个相同的百分数.

5、邳州市某工厂2008年捐款1万元给希望工程,以后每年都捐款,到2010年共捐款万元,问该厂捐款的平均增长率是多少?

教后反思：

P Q

B C A D 一元二次方程（10）

一、学习目标：

１、掌握列出一元二次方程解应用题；并能根据具体问题的实际意义，检验结果的合理性； ２、理解将一些实际问题抽象为方程模型的过程，形成良好的思维习惯，学会从数学的角度提出问题、理解问题，并能运用所学的知识解决问题。

二、知识准备：

情境创设：

问题1、一根长22cm 的铁丝。

（1）能否围成面积是30cm2的矩形？

（2）能否围成面积是32 cm2的矩形？并说明理由。

分析：如果设这根铁丝围成的矩形的长是xcm ，那么矩形的宽是__________。

根据相等关系：

三、学习内容：

例题1、如图所示（1）小明家要建面积为150m2的养鸡场，鸡场一边靠墙，另一边用竹篱笆围成，竹篱笆总长为35m 。若墙的长度为18m ，鸡场的长、分别是多少？（2）如果墙的长为15m ，鸡场一边靠墙，竹篱笆总长为45m ，可围成的鸡场最大面积是多少平方米？(3) 如果墙的长为15m ，鸡场一边靠墙，竹篱笆总长为45m ，可围成的鸡场的面积能达到250m2吗？通过计算说明理由。

（4）如果墙的长为15m ，鸡场一边靠墙，竹篱笆总长为45m ，可围成的鸡场的面积能达到100m2吗？通过计算并画草图说明。

例题2、如图，在矩形ABCD 中，AB=6cm ，BC=3cm 。点P 沿边AB 从点A 开始向点B 以2cm/s 的速度移动，点Q 沿边DA 从点D 开始向点A 以1cm/s 的速度移动。如果P 、Q 同时出发，用t （s ）表示移动的时间（0≤t ≤3）。那么，当t 为何值时，△QAP 的面积等于2cm2?

练习：

1、用长为100 cm 的金属丝制作一个矩形框子。框子各边多长时，框子的面积是600 cm2？能制成面积是800 cm2的矩形框子吗？

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