2013备考各地名校试题解析分类汇编（一）文科数学：7立体几何

各地解析分类汇编:立体几何

1.【云南省玉溪一中2013届高三上学期期中考试文】设a,b是平面?内两条不同的直线，l是平面?外的一条直线，则“l?a，l?b”是“l??”的( ) A.充要条件 B.充分而不必要的条件 C.必要而不充分的条件 D.既不充分也不必要的条件 【答案】C

【解析】若直线a,b相交，则能推出l??，若直线a,b不相交，则不能推出l??，所以“l?a，l?b”是“l??”的必要不充分条件，选C.

2 【云南省玉溪一中2013届高三第四次月考文】已知某几何体的俯视图是如图所示的边长为2的正方形，主视图与左视图是边长为2的正三角形，则其全面积是 （ ）

2

A． 8 B．12 C．4(1?3) D． 43 【答案】B

【解析】由题意可知，该几何体为正四棱锥，底面边长为2，侧面斜高为2，所以底面积为

12?2?4，侧面积为4??2?2?8，所以表面积为4?8?12，选B.

23 【云南省玉溪一中2013届高三第四次月考文】四面体A?BCD中，

AB?CD?4,BC?AC?AD?BD?5,则四面体外接球的表面积为（ ）

A． 33? B． 43? C． 36? D． 18? 【答案】A

【解析】分别取AB,CD的中点E,F，连结相应的线段，由条件可知，球心G在EF上，可

以证明G为EF中点，

DE?25?4?21，DF?2,EF?21?4?17,所以GF?EF17，球半径?22DG?17?4?433?433332?33?，选A. ，所以外接球的表面积为4?DG?4??424 【山东省聊城市东阿一中2013届高三上学期期初考试 】设直线m、n和平面?、?,下列四个命题中，正确的是 （ ）

A. 若m//?,n//?,则m//n B. 若m??,n??,m//?,n//?,则?//? C. 若???,m??,则m?? D. 若???,m??,m??,则m//? 【答案】D

【解析】因为选项A中，两条直线同时平行与同一个平面，则两直线的位置关系有三种，选项B中，只有Mm,n相交时成立，选项C中，只有m垂直于交线时成立，故选D

5 【山东省烟台市莱州一中20l3届高三第二次质量检测 （文）】一个简单几何体的主视图，

左视图如图所示，则其俯视图不可能为

①长方形；②直角三角形；③圆；④椭圆.其中正确的是 A.①

B.②

C.③

D.④

【答案】C

【解析】当俯视图为圆时，由三视图可知为圆柱，此时主视图和左视图应该相同，所以俯视图不可能是圆，选C.

6 【云南省玉溪一中2013届高三第三次月考文】 已知三棱锥的三视图如图所示，则它的外接球表面积为（ ）

A．16?

B．4?

C．8?

D．2?

【答案】B

【解析】由三视图可知该几何体是三棱锥，且三棱锥的高为1，底面为一个直角三角形，由于底面斜边上的中线长为1，则底面的外接圆半径为1，顶点在底面上的投影落在底面外接圆的圆心上，由于顶点到底面的距离，与底面外接圆的半径相等则三棱锥的外接球半径R为1，则三棱锥的外接球表面积S?4?R?4?，选B.

7 【山东省兖州市2013届高三9月入学诊断检测 文】设l是直线，a，β是两个不同的平面

A. 若l∥a，l∥β，则a∥β B. 若l∥a，l⊥β，则a⊥β C. 若a⊥β，l⊥a，则l⊥β D. 若a⊥β, l∥a，则l⊥β 【答案】B

【解析】根据线面垂直的判定和性质定理可知，选项B正确。

8 【山东省兖州市2013届高三9月入学诊断检测 文】某几何体的三视图如下图所示，它的体积为( )

2

A. 72? B. 48? C. 30? D. 24? 【答案】C

【解析】由三视图可知该组合体是半个球体和一个倒立圆锥体的组合体，球的半径为3，圆

锥的底面半径为3，高为4，那么根据体积公式可得组合体的体积为30?，选C. 9 【云南省昆明一中2013届高三新课程第一次摸底测试文】某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为

A．20?122 B．20?123 C．20?125 D．32

【答案】B

【解析】根据三视图可知，这是一个四棱台

S上=4，S下=16，，

（2+4）?3S侧=4?=123，所以表面积为4+16+123=20+123，选B.

210 【云南省昆明一中2013届高三新课程第一次摸底测试文】如图， 在长方体ABCD—A1B1C1D1中，对角线B1D与平面

A1BC1相交于点E，则点E为△A1BC1的

A．垂心

B．内心

C．外心

D．重心

【答案】D

【解析】如图

，?EB1F?DBE,所以BE:EF?2:1,且F

为A1C1的中点，选D.

11 【山东省烟台市莱州一中20l3届高三第二次质量检测 （文）】对于直线m，n和平面?,?,?，有如下四个命题：

（1）若m//?,m?n,则n?? （3）若???,???,则?//? 其中真命题的个数是

（2）若m??,m?n,则n//? （4）若m??,m//n,n??,则???

A.1 B.2 C.3 D.4

【答案】A

【解析】（1）错误。（2）当n??时，则不成立。（3）不正确。当m??,m//n,有n??，又n??,所以有???，所以只有（4）正确。选A.

12 【云南师大附中2013届高三高考适应性月考卷（三）文】一个几何体的三视图如图1所示，其中正视图是一个正三角形，则该几何体的体积为

1 1

正视图 1 侧视图

俯视图

B．A．1 【答案】B

3 3C．3

D．23 3【解析】由三视图可知，此几何体为三棱锥，如图 ，其中正视图为△PAC，是边长为2的正三角形，且PD?3，底面△ABC为等腰直角三角形，AB?BC?2，PD?平面ABC，

113所以体积为V??3??2?2?，故选B．

323

13 【天津市新华中学2012届高三上学期第二次月考文】如图，是一个几何体的正视图、侧视图、俯视图，则该几何体的体积是

A. 24 B. 12 C. 8 D. 4

【答案】B

【解析】由三视图可知，该几何体是有两个相同的直三棱柱构成，三棱柱的高为4，三棱柱的底面三角形为直角三角形，两直角边分别为2,所以三棱柱的体积为

3133，所以三角形的底面积为?2??，22223?4?6，所以该几何体的体积为2?6?12，选B. 214 【山东省临沂市2013届高三上学期期中考试 数学文】某几何体的正视图和侧视图均如

右图，则该几何体的俯视图不可能有是

【答案】D

【解析】因为该几何体的正视图和侧视图是相同的，而选项D的正视图和和侧视图不同。 15 【北京四中2013届高三上学期期中测验数学（文）】设线，且 ①若

，有如下两个命题： ；②若

. 那么（ ）

为两个平面，

为两条直

A．①是真命题，②是假命题 B．①是假命题，②是真命题

C．①、②都是真命题 D．①、②都是假命题 【答案】D

【解析】若?//?，则l//m或l,m异面，所以①错误。同理②也错误，所以选D. 16 【云南师大附中2013届高三高考适应性月考卷（三）文】．正三棱锥A?BCD内接于球

O，且底面边长为3，侧棱长为2，则球O的表面积为 ．

【答案】

16? 3【解析】如图，设三棱锥A?BCD的外接球球心为O，半径为r，

BC=CD=BD=3，AB=AC=AD=2，AM?平面BCD，M为正△BCD的中心，则DM=1，AM=3，OA=OD=r，所以(3?r)2?1?r2，解得r?23，所以S?4πr2?16π． 317 【山东省烟台市莱州一中20l3届高三第二次质量检测 （文）】在正三棱锥S-ABC中，侧面SAB、侧面SAC、侧面SBC两两垂直，且侧棱SA?23，则正三棱锥S?ABC外接球的表面积为____________. 【答案】36?

【解析】因为侧面SAB、侧面SAC、侧面SBC两两垂直，所以把正三棱锥补成一个正方体，则正方体的体对角线等于外接球的直径，正方体的体对角线长23?3=6，设外接球的半径为R，则2R?6，R?3，所以外接球的表面积为4?R2?4??9?36?.

18 【云南省玉溪一中2013届高三上学期期中考试文】某四面体的三视图如上图所示，该四

面体四个面的面积中最大的是

【答案】10

【解析】由三视图还原几何体如下图，8,6,62，10显然面积的最大值为10．该四面体四

P44253BC个面的面积中最大的是?PAC，面积为10。

A4

19 【山东省临沂市2013届高三上学期期中考试 数学文】如图，正方体ABCD—A1B1C1D1的棱

长为1，线段B1D1上有两个动点E、F，且EF=1，则四面体A—EFB的体积V等于 。

【答案】

2 12【解析】连结BD交AC与O,则OA为四面体A—EFB的高且

OA?2112211?,S?EFB??1?1?,所以VA?EFB???。

2322122220 【北京四中2013届高三上学期期中测验数学（文）】湖面上漂着一个小球，湖水结冰后将球取出，冰面上留下了一个直径为12 cm，深2 cm的空穴，则该球的半径是______cm，表面积是______cm2. 【答案】10，400π

【解析】设球的半径为r，画出球与水面的位置关系图，如图：

由勾股定理可知，，解得r =10.所以表

面积为4?r2?4??100?400?。

21 【北京四中2013届高三上学期期中测验数学（文）】某几何体的三视图如图所示，该几何体的体积是______.

【答案】

【解析】由三视图可知，该几何体为直三棱柱，所以体积为

11?a?a?a?a3。 2222 【北京四中2013届高三上学期期中测验数学（文）】（本小题满分13分） 如图，正三棱柱

中，D是BC的中点，

（Ⅰ）求证： （Ⅱ）求证： （Ⅲ）求三棱锥

；

； 的体积.

【答案】 （Ⅰ）证明：∵ABC—A1B1C1是正三棱柱， ∴BB1⊥平面ABC，

∴BD是B1D在平面ABC上的射影 在正△ABC中，∵D是BC的中点， ∴AD⊥BD，

根据三垂线定理得，AD⊥B1D

（Ⅱ）解：连接A1B，设A1B∩AB1 = E，连接DE. ∵AA1=AB ∴四边形A1ABB1是正方形， ∴E是A1B的中点， 又D是BC的中点，

∴DE∥A1C. ………………………… 7分 ∵DE

平面AB1D，A1C

平面AB1D，

∴A1C∥平面AB1D. ……………………9分

（Ⅲ） ……13分

23 【山东省济南外国语学校2013届高三上学期期中考试 文科】（本小题满分12分） 如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，点E在线段AD上，且CE∥AB。

（1） 求证：CE⊥平面PAD；

（11）若PA=AB=1，AD=3，CD=2，∠CDA=45°，求四棱锥P-ABCD的体积. 【答案】(1)证明:因为PA⊥平面ABCD,CE?平面ABCD,所以PA⊥CE,

因为AB⊥AD,CE∥AB,所以CE⊥AD,又PA?AD=A,所以CE⊥平面PAD…………5分 (2)解:由(1)可知CE⊥AD,在直角三角形ECD中,DE=CD?cos45?1,CE=CD?sin45?1. 又因为AB=CE=1,AB∥CE,所以四边形ABCE为矩形,所以

115SABCD?SABCE?S?BCD=AB?AE?CE?DE=1?2??1?1?,又PA⊥平面

2221155ABCD,PA=1,所以四棱锥P-ABCD的体积等于SABCD?PA???1?………….12分

332624 【山东省聊城市东阿一中2013届高三上学期期初考试 】（本小题满分14分） 如图，正三棱柱ABC?ABC111中，AB?2,AA1?3,D为C1B 的中点，P为AB边上的动点.

（Ⅰ）当点P为AB的中点时，证明DP//平面ACC1A1； （Ⅱ）若AP?3PB，求三棱锥B?CDP的体积.

C1

A1

D ·

C

B1

A

【答案】

B

P

25 【云南省玉溪一中2013届高三第三次月考文】（本小题满分12分）如图，在长方体ABCD?A1B1C1D1，中，AD?AA1?1,AB?2，点E在棱AB上移动.

（1）证明：D1E?A1D；

（2）当E为AB的中点时，求点E到面ACD1的距离.

【答案】解：以D为坐标原点，直线DA,DC,DD1分别为x,y,z轴，建立空间直角坐标系，设AE?x，则A1(1,0,1),D1(0,0,1),E(1,x,0),A(1,0,0),C(0,2,0)…………2分

（1）因为DA1,D1E?(1,0,1),(1,x,?1)?0,所以DA1?D1E.………………6分 （2）因为E为AB的中点，则E(1,1,0)，从而D1E?(1,1,?1),AC?(?1,2,0)，

??n?AC?0,AD1?(?1,0,1)，设平面ACD1的法向量为n?(a,b,c)，则?

??n?AD1?0,也即???a?2b?0?a?2b，得?，从而n?(2,1,2)，所以点E到平面ACD1的距离为

??a?c?0?a?ch?|D1E?n||n|?2?1?21?.………………………………………………12分 3326 【山东省聊城市东阿一中2013届高三上学期期初考试 】本小题满分12分）如图，直角梯形ABCD与等腰直角三角形ABE所在的平面互相垂直．AB∥CD，AB?BC，

AB?2CD?2BC，EA?EB．

EBCDA （1）求证：AB?DE；

（2）求直线EC与平面ABE所成角的正弦值；

（3）线段EA上是否存在点F，使EC// 平面FBD？若存在，求出明理由．

【答案】解：（1）证明：取AB中点O，连结EO，DO． 因为EB?EA，所以EO?AB． 因为四边形ABCD为直角梯形，AB?2CD?2BC，AB?BC， 所以四边形OBCD为正方形，所以AB?OD．

EF；若不存在，说EA所以AB?平面EOD． 所以 AB?ED． ………………4分 （2）解法1：因为平面ABE?平面ABCD，且AB?BC 所以BC⊥平面ABE

则?CEB即为直线EC与平面ABE所成的角 设BC=a，则AB=2a，BE?2a，所以CE?3a

则直角三角形CBE中，sin?CEB?CB13 ??CE333． ………………8分 3即直线EC与平面ABE所成角的正弦值为解法2：因为平面ABE?平面ABCD，且 EO?AB， 所以EO?平面ABCD，所以EO?OD．

由OB,OD,OE两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系O?xyz． 因为三角形EAB为等腰直角三角形，所以OA?OB?OD?OE，设OB?1， 则O(0,0,0),A(?1,0,0),B(1,0,0),C(1,1,0),D(0,1,0),E(0,0,1)． 所以 EC?(1,1,?1)，平面ABE的一个法向量为OD?(0,1,0)． 设直线EC与平面ABE所成的角为?， 所以 sin??|cos?EC,OD?|?|EC?OD|3， ?|EC||OD|33． ………8分 3即直线EC与平面ABE所成角的正弦值为

EF1?时，有EC// 平面FBD． EA31111242证明如下：由 EF?EA?(?,0,?)，F(?,0,)，所以FB?(,0,?)．

3333333（3）解：存在点F，且

??v?BD?0,设平面FBD的法向量为v?(a,b,c)，则有?

??v?FB?0.??a?b?0,?所以 ?4 取a?1，得v?(1,1,2)． 2a?z?0.?33?因为 EC?v?(1,1,?1)?(1,1,2)?0，且EC?平面FBD，所以 EC// 平面FBD． 即点F满足

EF1?时，有EC// 平面FBD． ………………12分 EA327 【山东省兖州市2013届高三9月入学诊断检测 文】(本小题满分12分)如图，几何体

E?ABCD是四棱锥，△ABD为正三角形，CB?CD,EC?BD.

(1)求证：BE?DE；

(2)若∠BCD?120?，M为线段AE的中点，求证：DM∥平面BEC.

【答案】(I)设BD中点为O，连接OC，OE，则由BC?CD知，CO?BD，…………2分

又已知CE?BD，所以BD?平面OCE. …………４分 所以BD?OE，即OE是BD的垂直平分线， 所以BE?DE.…………６分

(II)取AB中点N，连接MN,DN，

∵M是AE的中点，∴MN∥BE，…………８分

∵△ABD是等边三角形，∴DN?AB.

由∠BCD＝120°知，∠CBD＝30°，所以∠ABC＝60°+30°＝90°，即BC?AB，

所以ND∥BC，…………1０分

所以平面MND∥平面BEC，故DM∥平面BEC. …………12分

28 【云南省玉溪一中2013届高三上学期期中考试文】（本题满分12分） 如图所示，四边形ABCD为正方形，QA⊥平面ABCD，PD∥QA， 1QA＝AB＝PD. 2

(1)证明：PQ⊥平面DCQ；

(2)求棱锥Q－ABCD的体积与棱锥P－DCQ的体积的比值．

【答案】(1)证明：由条件知PDAQ为直角梯形． 因为QA⊥平面ABCD，所以平面PDAQ⊥平面ABCD，交线为AD. 又四边形ABCD为正方形，DC⊥AD， 所以DC⊥平面PDAQ，可得PQ⊥DC. 在直角梯形PDAQ中可得DQ＝PQ＝所以PQ⊥平面DCQ. (2)解：设AB＝a.

13

由题设知AQ为棱锥Q－ABCD的高，所以棱锥Q－ABCD的体积V1＝a.

3由(1)知PQ为棱锥P－DCQ的高，而PQ＝2a，△DCQ的面积为13

所以棱锥P－DCQ的体积V2＝a.

3

故棱锥Q－ABCD的体积与棱锥P－DCQ的体积的比值为1:1.

22

a， 2

2

PD，则PQ⊥QD. 2

29 【山东省烟台市莱州一中20l3届高三第二次质量检测 （文）】（本小题满分12分） 如图所示，在四棱锥P—ABCD中，平面PAD?平面ABCD，AB//DC，△PAD是等边三角形，已知BD=2AD=8，AB?2DC?45. （1）设M是PC上的一点，求证：平面MBD⊥平面PAD；

（2）求四棱锥P—ABCD的体积. 【答案】

30 【云南师大附中2013届高三高考适应性月考卷（三）文】（本小题满分12分）如图5，已知三棱锥A?BPC中，AP⊥BC，M为AB的中点，D为PB的中点，且△PMB为

A M P D B C 正三角形．

（1）求证：BC⊥平面APC；

（2）若BC?3，AB?10，求点B到平面DCM的距离．

【答案】（Ⅰ）证明：如图4，∵△PMB为正三角形，

且D为PB的中点，∴MD⊥PB．又∵M为AB的中点，D为PB的中点， ∴MD//AP，∴AP⊥PB．

又已知AP⊥PC，∴AP⊥平面PBC， ∴AP⊥BC，又∵AC⊥BC，AC

图4

AP?A，

∴BC⊥平面APC， …………………………………………………………………（6分）

（Ⅱ）解：记点B到平面MDC的距离为h，则有VM?BCD?VB?MDC. ∵AB=10，∴MB=PB=5，又BC=3，BC?PC，?PC?4， ∴S△BDC?又MD?11S△PBC?PC?BC?3． 2453153，?VM?BCD?MD?S△BDC?． 23215在△PBC中，CD?PB?，

22又MD?DC，?S△MDC?125MD?DC?3， 2811255312?VB?MDC?h?S△MDC??h?3?,?h?，

3382512即点B到平面MDC的距离为． ……………………………………………（12

5分）

31 【山东省烟台市莱州一中20l3届高三第二次质量检测 （文）】（本小题满分12分） 如图，在多面体ABC—A1B1C1中，四边形ABB1A1是正方形，AC=AB=1，A1C=A1B，B1C1//BC，

B1C1?1BC.2

（I）求证：面A1AC?面ABC； （II）求证：AB1//面A1C1C. 【答案】

32 【天津市新华中学2012届高三上学期第二次月考文】如图，?PAD为等边三角形，

ABCD为矩形，平面PAD?平面ABCD，AB?2，E、F、G分别为PA、BC、PD中点，AD?22。

（1）求PB与平面ABCD所成角； （2）求证：AG?EF； （3）求多面体P?AGF的体积。

【答案】解：（1）取AD中点M，连PM、FM

∵平面PAD?平面ABCD，交线为AD ∵正?PAD ∵PM?AD

?PM?平面ABCD

??PBM即为所求。 PM?3?22?6 MB?6 2??PBM?45?

（2）∵正?PAD ∵G是PD中点

?GA?PD ?EM//PD ?AG?ME

∵平面PAD?平面ABCD，交线为AD

?MF?AD

?MF?平面PAD ?AG?平面PAD

?MF?AG ?EM?MF?M

?AG?平面EMF ?AG?EF

（3）VP?AGF?VF?AGP?

123112?6? MF?S?AGP??2?2333AG?6 GC?6 AC?23

?AG?AC AC//EF

33 【云南省玉溪一中2013届高三第四次月考文】（本小题满分12分）

如图所示，在棱长为2的正方体ABCD?A1B1C1D1中，E、F分别为DD1、DB的

D1A1EB1C1DFABC中点．

（Ⅰ）求证：EF?B1C；（Ⅱ）求三棱锥B1?EFC的体积．

【答案】解: （Ⅰ）以D为原点建立如图空间直角坐标系，则

E(0,0,1),F(1,1,0),B1(2,2,2),C(0,2,0)

从而EF?(1,1,?1),B1C?(?2,0,?2)

因为EF?B1C?1?(?2)?1?0?(?1)?(?2)?0

所以EF?B1C

D1A1EB1C1DFABC

（Ⅱ）VB1?EFC?VC?B1EF?

1132S?B1EF?CF?2?1 332

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