实变函数论课后答案第二章4

实变函数论课后答案第二章4

第二章第四节习题

1. 证明全体有理数所构成的集合不是G δ集，即不能表成可数多个开集的交. 证明：设1R 上全体有理数为{}123,,,

,

n r r r r Q =.

则一个{}n r 作为单点集是闭集，所以{}1

i i Q r ∞==

是F δ集，但要证Q 不是G δ集，则不容易.

这里用到：Baire 定理，设n

E R ?是

F δ集，即1

k k E F ∞==.

k F ()1,2,k =是闭集，若每个k F 皆无内点，则E 也无内点

（最后再证之） 反证设{};1,2,i Q r i ==为G δ集，即1i i Q G ∞

==，

（i G 为开集，1,2,i

=

）

1R 上的单调函数的全体所组成的集合的势为c =?.

证明：任取1

R 上的单调函数f ，则其间断点至多可数个，设其无理数的间断点，为

12,,

,,

m x x x （可为有限）

设1

R 中的有理数为{}12,,

,

,,n Q r r r f =?∈

令

()()()()()()()()(){}2

1111,,,,

,,,,i

i

i

i

f x f x r f r x f x r f r R

?=?.

则()f ?为2

R 中可数集.

若,f g ∈，使()()f g ??=，则()()

(),i i x f x f ??∈存在()()(),j j x g x g ?∈

使()()

()(),,i i j j

x f x x g x =

所以()()

,i j i j x x f x g x ==， 从而()(),i i i x Q f r g r ?∈=.

f ?的无理数间断点i x ，i x 也是

g 的无理数间断点，且()()i i g x f x =.

反过来也是的，g ?的无理间断点，i x 也是f ，的无理数间断点，且()()i i g x f x =. 故()()f g ??=表明f 与g 在有理点重合，无理间断点相同，且在无理间断点的值. 所以f g =于1

R ，所以?是11-的.

利用下面结论：Claim ：任何其有连续势的集合的全体可数子集所构成的族的势为连续势. 知：c ≤.

另一方面()(){},0,1c c f x x

c c ==+∈≤

证毕. Lemma :设为,X Y 两集合，:X Y ?→是一个满射，则Y X ≤.即存在X 的一个子集,A A Y .

证明：因为?为满射，()(){}1,;,y Y y x x X x y ??-?∈=∈=≠?

且,,y z Y y z ∈≠时必有()()11y z ?

?--=?. 令(){}1;y y Y ?-Γ=∈，则由选择公理存在一个集合X ，它由Γ中每一个集合()1y ?-中

恰取一个元素而形成，显,X X a X ??∈，存在唯一一个y Y ∈，使()1a y ?-∈.

所以X 与Y 是对等的，故Y X ≤.

证毕.

选择公理：若Γ是由互不相交的一些非空集合所形成的集合族，则存在集合X ，它由该族的每一个集合中恰取一个元素而形成.

2. 证明[]0,1上全体无理数所作成的集合不是F δ集.

证明：设[]0,1上全体无理数所作成的集合是，则[]0,1Q =-，（Q 为1R 上全体有理数的集合）

若

为F δ集，则存在闭集,1,2,i F i =使1i i F ∞==. 所以[]10,1c c i i Q F ∞===为G δ集.

[][]{}{}110,10,1i k i k Q F r ∞∞

==??=

= ???，{}k r ，i F 为闭集，{}k r 无内点. 1i i F ∞

==

显为内点. 所以i F 无内点.

这说明[]0,1无内点（Baire 定理）得矛盾.

证毕.

3. 证明不可能有在[]0,1上定义的在有理点处都连续，在无理点处都不连续的实函数.

证明：若存在这样的[]0,1上的实函数，它在有理点都连续，在无理点都不连续.

()f x 的全体不连续点的集合为[]0,1上的全体无理数为

，由本章第二节习题10结论知

为F δ集，这于本节习题2的结论：

不是F δ集矛盾. 故不存在这样的[]0,1上的函数. 4. 证明1R 中全体开集构成一基数为c 的集合，从而1R 中全体闭集也构成一基数为c 的集

合.

证明：对任意的1R 上开集合，由开集的构造定理，存在{}{}1

,,,i i R αβαβ∞∞∈∞-∞ 使得()()()1,,,i i i G αββα∞

∞∞==-∞+∞.

下面建立1R 上的开集到全体实数列集成的集合的一个映射I .

若1G R =，令()()0,0,,0,I G =.

若1G R ≠，则()()()1,,,m

i i i G αββα∞∞==-∞+∞.

令()()1122,,,,,,I G k k αβαβ∞∞=.

这里k β∞∞=，若,0k β∞∞≠-∞=；若,k βα∞∞∞=-∞=；若,0k α∞∞≠+∞=；若α∞=+∞则这个映射I 是单射.

若112,G G R ?()

1212,G R G R ≠≠且()()12I G I G =. ()()()()()()11''''21,,,,,,i i i i i i G G αββααββα∞∞∞=∞∞∞==

-∞+∞=-∞+∞

则'''',,,i i i i ααββααββ∞∞∞∞====.

故12G G =.

又若()()0,0,0,

I G =则必有1G R =（否则()I G 至少有一个分量不等于零）. 故I 是单射，所以1R 上全体开集所作成的集合的势c ≤.

令一方面，()1

,,1a R a a ?∈+是一开集， 令11:I R R 上全体开集之集合，

则1c R ≤≤“1R 上全体开集之集的势” c ≤，

由Berstrein 定理，1R 上全体开集之集合的势为c . 证：记可数集(){}()()()(){}1

11,;,,,,,,m n m B x r x Q r Q B x r B x r υ=∈∈=.

显()(){}12:0,1,,,

;01m m u a a a a ?∞→==或 ()()()12,,,,

,m B x r V U B x r a a a ?= ()()()()

1,0,m m m m c m B x r U a B x r U ???=?≠??? ()()()()(),,,,n U V B x r U x r Q Q B x r V ??+=??∈??? 所以U V =.

?为单射.

所以{}(){}

()0,1,;0,c B x r r R c υ∞+=≥≥∈=∞=. 由Berstein 定理 c υ=

{}{}

n c n F F R F F R c υ=?=?==为闭集为闭集. 故I 是单射，所以1R 上全体开集所作成的集合的势c ≤. 另一方面，()1,,1a R a a ?∈+是一开集 令11:I R R 上全体开集的集合

则1c R ≤≤“1R 上全体开集的集合的势” c ≤，

由Berstein 定理，1

R 上全体开集的集合的势为c .

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