2007年全国高考理科数学试卷及答案-湖南卷

绝密★启用前

2007年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）

数学（理工农医类）

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择）题两部分，满分150分.考试用时120分钟. 参考公式: 如果事件A、B互斥，那么P(A?B)?P(A)?P(B)

如果事件A、B相互独立，那么P(AB)?P(A)?P(B)

如果事件A在一次试验中发生的概率是P，那么n次独立重复试验中恰好发生k次的

kkn?k概率是P (k)?CP(1?P)nn 球的体积公式 V?4?R3,球的表面积公式S?4?R2，其中R表示球的半径 3一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

?2i?1．复数??等于（ ）

?1+i?A．4i B．?4i C．2i D．?2i

x?2?0的解集是（ ） 2．不等式

x?1?1)?(?1，2] ，2] C．(??，?1)?[2，??) D．(?1，A．(??，B．[?12]

3．设M，N是两个集合，则“M?N??”是“M?N??”的（ ）

A．充分不必要条件 C．充分必要条件

2??????4．设a,b是非零向量，若函数f(x)?(xa?b)?(a?xb)的图象是一条直线，则必有（ ）

????????A．a?b B．a//b C．|a|?|b| D．|a|?|b|

1)，已知?(?1.96)?0.025，则P(|?|?1.96)=5．设随机变量?服从标准正态分布N(0，（ ）

A．0.025

B．0.050

C．0.950

D．0.975

B．必要不充分条件

D．既不充分又不必要条件

?4x?4， x?1，6．函数f(x)??2的图象和函数g(x)?log2x的图象的交点个数是（ ）

?x?4x?3，x?1A．4 B．3 C．2 D．1 7．下列四个命题中，不正确的是（ ） ．．．

A．若函数f(x)在x?x0处连续，则lim?f(x)?lim?f(x)

x→x0x→x0x?2的不连续点是x?2和x??2 2x?4C．若函数f(x)，g(x)满足lim[f(x)?g(x)]?0，则limf(x)?limg(x)

B．函数f(x)?x→?x→?x→?D．limx→1x?11? x?128．棱长为1的正方体ABCD?A1BC11D1的8个顶点都在球O的表面上，E，F分别是棱

AA1，DD1的中点，则直线EF被球O截得的线段长为（ ）

A．2 2B．1

C．1?2 2D．2

x2y29．设F1，F2分别是椭圆2?2?1（a?b?0）的左、右焦点，若在其右准线上存在P,ab使线段PF1的中垂线过点F2，则椭圆离心率的取值范围是（ ）

A．?0，?10．设集合M?{1，2，3，4，5，6}， S1，S2，?，Sk都是M的含两个元素的子集，且满足：对任意的Si?{ai，bi}，Sj?{aj，bj}（i?j，i、j?{1，2，3，?，k}），都有??aibi??ajbj??min?，??min?，?（min{x，y}表示两个数x，y中的较小者），则k的最大值

?bjaj???biai??是（ ）

A．10 B．11 C．12 D．13

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在横线上．

，且与直线x?y?4相切的圆的方程是 ． 11．圆心为(11)12．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a?1，b=7，c?3，???2?? 2?B．?0，?

??3?3?C．??2?，1? ??2?D．??3?，1? ??3?π，则B? ． 33]上的最小值是 ． 13．函数f(x)?12x?x3在区间[?3，114．设集合A?{(x，y)|y?|x?2|}，B?{(x，y)|y??x?b}，A?B??，

2（1）b的取值范围是 ；

（2）若(x，y)?A?B，且x?2y的最大值为9，则b的值是 ． C?15．将杨辉三角中的奇数换成1，偶数换成0，得到如图1所示的0-1三角数表．从上往下数，第1次全行的数都为1的是第1行，第2次全行的数都为1的是第3行，?，第n次全行的数都为1的是第 行；第61行中1的个数是 ． 第1行 1 1 第2行 1 0 1 第3行 1 1 1 1 第4行 1 0 0 0 1 第5行 1 1 0 0 1 1

?? ??????????????? 图1

三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．（本小题满分12分）

1π??g(x)?1?sin2x． ，?212??（I）设x?x0是函数y?f(x)图象的一条对称轴，求g(x0)的值． （II）求函数h(x)?f(x)?g(x)的单调递增区间．

已知函数f(x)?cos?x?217．（本小题满分12分）

某地区为下岗人员免费提供财会和计算机培训，以提高下岗人员的再就业能力，每名下岗人员可以选择参加一项培训、参加两项培训或不参加培训，已知参加过财会培训的有60%，参加过计算机培训的有75%，假设每个人对培训项目的选择是相互独立的，且各人的选择相互之间没有影响．

（I）任选1名下岗人员，求该人参加过培训的概率；

（II）任选3名下岗人员，记?为3人中参加过培训的人数，求?的分布列和期望．

18．（本小题满分12分）

如图2，E，F分别是矩形ABCD的边AB，CD的中点，G是EF上的一点，将△GAB，△GCD分别沿AB，CD翻折成△G1AB，△G2CD，并连结G1G2，使得平面G1AB⊥平面ABCD，G1G2//AD，且G1G2?AD．连结BG2，如图3． A E G D F G1

A G2

D F C

E B C B 图2 图3

（I）证明：平面G1AB⊥平面G1ADG2；

（II）当AB?12，BC?25，EG?8时，求直线BG2和平面G1ADG2所成的角． 19．（本小题满分12分）

如图4，某地为了开发旅游资源，欲修建一条连接风景点P和居民区O的公路，点P所在

2，点P到平5面?的距离PH?0.4（km）．沿山脚原有一段笔直的公路AB可供利用．从点O到山脚修

a路的造价为a万元/km，原有公路改建费用为万元/km．当山坡上公路长度为lkm

2（1?l?2）时，其造价为(l2?1)a万元．已知OA⊥AB，PB⊥AB，AB?1.5(km)，

??的山坡面与山脚所在水平面?所成的二面角为?（0???90），且sin??OA?3(km)．

（I）在AB上求一点D，使沿折线PDAO修建公路的总造价最小；

（II） 对于（I）中得到的点D，在DA上求一点E，使沿折线PDEO修建公路的总造价最小．

（III）在AB上是否存在两个不同的点D?，E?，使沿折线PD?E?O修建公路的总造价小于（II）中得到的最小总造价，证明你的结论． 20．（本小题满分12分） 已知双曲线x?y?2的左、右焦点分别为F1，F2，过点F2的动直线与双曲线相交于

22A，B两点．

?????????????????O为坐标原点）（I）若动点M满足FM，求点M的轨迹方程； ?F1A?F1B?FO11（其中

????????（II）在x轴上是否存在定点C，使CA·CB为常数？若存在，求出点C的坐标；若不存

在，请说明理由． 21．（本小题满分13分）

已知An(an，bn)（n?N*）是曲线y?ex上的点，a1?a，Sn是数列{an}的前n项和，

22n?2，3，4，且满足Sn?． ?3n2an?Sn?1，an?0，

?bn?2??（n?2）是常数数列； b?n?（II）确定a的取值集合M，使a?M时，数列{an}是单调递增数列； （III）证明：当a?M时，弦AnAn?1（n?N*）的斜率随n单调递增．

（I）证明：数列?

2007年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）

数学（理工农医类）参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．C 2．D 3．B 4．A 5．C 6．B 7．C 8．D 9．D 10．B 二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在横线上． 11．(x?1)2?(y?1)2?2

5π 613．?16

12．

??)（2）14．（1）[1，n9 215．2?1，32

三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．解：（I）由题设知f(x)?1π[1?cos(2x?)]． 26π?kπ， 6因为x?x0是函数y?f(x)图象的一条对称轴，所以2x0?即2x0?kπ? π（k?Z）． 611π所以g(x0)?1?sin2x0?1?sin(kπ?)．

2261?π?13当k为偶数时，g(x0)?1?sin????1??，

2?6?441π15当k为奇数时，g(x0)?1?sin?1??．

26441?π??1?（II）h(x)?f(x)?g(x)??1?cos?2x????1?sin2x

2?6??2?

??31??π??31?31cos2x??sin2x??cos2x?sin2x? ????????2??6?2?22?2?21?π?3?sin?2x???． 2?3?2πππ5ππ?x?kπ?（k?Z）时， 当2kπ??2x??2kπ?，即kπ?23212121?π?3函数h(x)?sin?2x???是增函数，

2?3?25ππ??故函数h(x)的单调递增区间是?kπ?，kπ??（k?Z）．

1212??17．解：任选1名下岗人员，记“该人参加过财会培训”为事件A，“该人参加过计算机培训”为事件B，由题设知，事件A与B相互独立，且P(A)?0.6，P(B)?0.75．

（I）解法一：任选1名下岗人员，该人没有参加过培训的概率是

P1?P(A?B)?P(A)?P(B)?0.4?0.25?0.1 所以该人参加过培训的概率是P2?1?P1?1?0.1?0.9．

解法二：任选1名下岗人员，该人只参加过一项培训的概率是

P3?P(A?B)?P(A?B)?0.6?0.25?0.4?0.75?0.45 该人参加过两项培训的概率是P4?P(A?B)?0.6?0.75?0.45． 所以该人参加过培训的概率是P5?P3?P4?0.45?0.45?0.9．

（II）因为每个人的选择是相互独立的，所以3人中参加过培训的人数?服从二项分布

k1，2，3，即?的分布列是 B(3，0.9)，P(??k)?C3?0.9k?0.13?k，k?0，? 0 1 2 3 0.001 0.027 0. 243 0.729 P ?的期望是E??1?0.027?2?0.243?3?0.729?2.7． （或?的期望是E??3?0.9?2.7） 18．解：解法一：（Ｉ）因为平面G1AB⊥平面ABCD，平面G1AB?平面ABCD?AB，AD⊥AB，AD?平面ABCD，所以AD⊥平面G1AB，又AD?平面G1ADG2，所以

平面G1AB⊥平面G1ADG2．

（II）过点B作BH⊥AG1于点H，连结G2H． 由（I）的结论可知，BH⊥平面G1ADG2， 所以?BG2H是BG2和平面G1ADG2所成的角． 因为平面G1AB⊥平面ABCD，平面G1AB?平面

G1 H B E G2

D

A ABCD?AB，G1E⊥AB，

G1E?平面G1AB，所以G1E⊥平面ABCD，故

． G1E⊥EF因为G1G2?AD，AD?EF，所以可在EF上取一点O，使EO?G1G2，又因为G1G2∥AD∥EO，所以四边形G1EOG2是矩形．

由题设AB?12，BC?25，EG?8，则GF?17．所以G2O?G1E?8，G2F?17，

O

F C

OF?172?82?15，G1G2?EO?10．

因为AD⊥平面G1AB，G1G2∥AD，所以G1G2⊥平面G1AB，从而G1G2⊥G1B．

22222故BG2?BE2?EG12?GG12?6?8?10?200，BG2?102．

又AG1?62?82?10，由BH?AG1?G1E?AB得BH?8?1248?． 105故sin?BG2H?BH481122． ???BG2510225122． 25解法二：（I）因为平面G1AB⊥平面ABCD，平面G1AB?平面ABCD?AB， G1E⊥AB，

B⊥AD，所以G1E⊥平面ABCD，从而G1E⊥AD．又A所以AD⊥G1E?平面G1AB，

即直线BG2与平面G1ADG2所成的角是arcsin平面G1AB．因为AD?平面G1ADG2，所以平面G1AB⊥平面G1ADG2．

（II）由（I）可知，G1E⊥平面ABCD．故可以E为原点，分别以直线EB，EF，EG1为， x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系（如图）由题设AB?12，BC?25，EG?8，则EB?6，

EF?25，EG1?8，相关各点的坐标分别是

z G2 G1 A(?6，0，0)，

A D(?6，25，0)，G1(0，0，0)． 0，8)，B(6，D ?????????y

所以AD?(0，0，8)． 25，0)，AG1?(6，F B E C ?O 设n?(x，y，z)是平面G1ADG2的一个法向量，

x ????????n?AD?0，?25y?0，由??????得?故可取n?(4，0，?3)． ?6x?8z?0??n?AG1?0.?过点G2作G2O⊥平面ABCD于点O，因为G2C?G2D，所以OC?OD，于是点O在y轴上．

因为G1G2∥AD，所以G1G2∥EF，G2O?G1E?8．

设G2(0，m，，由17?8?(25?m)，解得m?10， 8)（0?m?25）

222?????所以BG2?(010，，8)?(6，0，0)?(?610，，8)． 设BG2和平面G1ADG2所成的角是?，则

??????BG2?n|?24?24|122． sin??????????2222225BG2?n6?10?8?4?3故直线BG2与平面G1ADG2所成的角是arcsin122． 2519．解：（I）如图，PH⊥?，HB??，PB⊥AB， 由三垂线定理逆定理知，AB⊥HB，所以?PBH是 山坡与?所成二面角的平面角，则?PBH??，

PHPB??1．

O sin?设BD?x(km)，0?x?1.5．则 2]． PD?x2?PB2?x2?1?[1，记总造价为f1(x)万元，

A ? P

ED H

B

据题设有f1(x)?(PD?1?221111AD?AO)a?(x2?x??3)a 2241???43???x??a???3?a

4???16?11当x?，即BD?(km)时，总造价f1(x)最小．

445（II）设AE?y(km)，0?y?，总造价为f2(y)万元，根据题设有

4y?43?1?31???f2(y)??PD2?1?y2?3????y??a??y2?3??a?a．

2?162?24?????y1??则f2?y?????a，由f2?(y)?0，得y?1．

?y2?32???当y?(0，1)时，f2?(y)?0，f2(y)在(0，1)内是减函数；

当y??1，?时，f2?(y)?0，f2(y)在?1，?内是增函数． 故当y?1，即AE?1（km）时总造价f2(y)最小，且最小总造价为

?5??4??5??4?67a万元． 163，总2（III）解法一：不存在这样的点D?，E?．

事实上，在AB上任取不同的两点D?，E?．为使总造价最小，E显然不能位于D? 与B之间．故可设E?位于D?与A之间，且BD?=x1(km)，AE??y1(km)，0?x1?y2?2造价为S万元，则S??x1?x1y11?、（II）讨论知，?y12?3?1??a．类似于（I）

224?xy311x12?1??，y12?3?1?，当且仅当x1?，y1?1同时成立时，上述两个不等

216224167a，点D?，E?分式等号同时成立，此时BD??(km)，AE?1(km)，S取得最小值

416别与点D，E重合，所以不存在这样的点 D?，E?，使沿折线PD?E?O修建公路的总造价

??小于（II）中得到的最小总造价． 解法二：同解法一得

xy11??S??x12?1?y12?3?1??a

224??1?143???x1??a??3y12?3?y1?y12?3?y1?a?a

???4?4?16?143??23(y12?3?y1)(y12?3?y1)?a?a 41667?a． 161122当且仅当x1?且3(y1?3?y1)(y1?3?y1)，即x1?，y1?1同时成立时，S取得

4467a，以上同解法一． 最小值16

2????

20．解：由条件知F1(?2，0)，F2(2，0)，设A(x1，y1)，B(x2，y2)．

?????????解法一：（I）设M(x，y)，则则FM?(x?2，y)，F1A?(x1?2，y1)， 1?????????????????????????F1B?(x2?2，y2)，FO?(2，0)，由FM?F1A?F1B?FO111得 ?x?2?x1?x2?6，?x1?x2?x?4，即? ?y?y?yy?y?y?12?12?x?4y?于是AB的中点坐标为?，?．

?22?yyy?y2y2(x1?x2)． 当AB不与x轴垂直时，1，即y1?y2???x?8x1?x2x?4?2x?82222又因为A，B两点在双曲线上，所以x1?y12?2，x2?y2?2，两式相减得 (x1?x2)(x1?x2)?(y1?y2)(y1?y2)，即(x1?x2)(x?4)?(y1?y2)y．

y(x1?x2)代入上式，化简得(x?6)2?y2?4． 将y1?y2?x?80)，也满足上述方程． 当AB与x轴垂直时，x1?x2?2，求得M(8，所以点M的轨迹方程是(x?6)2?y2?4．

????????0)，使CA?（II）假设在x轴上存在定点C(m，CB为常数．

当AB不与x轴垂直时，设直线AB的方程是y?k(x?2)(k??1)．

代入x2?y2?2有(1?k2)x2?4k2x?(4k2?2)?0．

4k24k2?2则x1，x2是上述方程的两个实根，所以x1?x2?2，x1x2?2，

k?1k?1????????于是CA?CB?(x1?m)(x2?m)?k2(x1?2)(x2?2)

?(k2?1)x1x2?(2k2?m)(x1?x2)?4k2?m2

(k2?1)(4k2?2)4k2(2k2?m)???4k2?m2 22k?1k?12(1?2m)k2?24?4m2??m?2(1?2m)??m2． 22??1k?1????k???????????因为CA?CB是与k无关的常数，所以4?4m?0，即m?1，此时CA?CB=?1． 当AB与x轴垂直时，点A，B的坐标可分别设为(2，2)，(2，?2)，

????????此时CA?CB?(1，2)?(1，?2)??1．

????????，0)，使CA?CB为常数． 故在x轴上存在定点C(1?x1?x2?x?4，解法二：（I）同解法一的（I）有?

?y1?y2?y当AB不与x轴垂直时，设直线AB的方程是y?k(x?2)(k??1)．

代入x?y?2有(1?k)x?4kx?(4k?2)?0．

2222224k2则x1，x2是上述方程的两个实根，所以x1?x2?2．

k?1

?4k2?4k． y1?y2?k(x1?x2?4)?k??4??2k?1k?1??4k2由①②③得x?4?2．???????????????????④

k?14ky?2．??????????????????????????⑤

k?1x?4当k?0时，y?0，由④⑤得，?k，将其代入⑤有

yx?44?4y(x?4)y22y??．整理得(x?6)?y?4． 222(x?4)(x?4)?y?1y20)，满足上述方程． 当k?0时，点M的坐标为(4，0)，也满足上述方程． 当AB与x轴垂直时，x1?x2?2，求得M(8，故点M的轨迹方程是(x?6)2?y2?4．

????????0)，使CA?（II）假设在x轴上存在定点点C(m，CB为常数，

4k24k2?2当AB不与x轴垂直时，由（I）有x1?x2?2?1，x1x2?2．

kk?1以上同解法一的（II）．

22221．解：（I）当n≥2时，由已知得Sn?Sn?1?3nan．

因为an?Sn?Sn?1?0，所以Sn?Sn?1?3n2． ??????? ① 于是Sn?1?Sn?3(n?1)2． ????????② 由②－①得an?1?an?6n?3． ????????③ 于是an?2?an?1?6n?9． ????????④ 由④－③得an?2?an?6， ????????⑤

?b?bn?2ean?2所以?an?ean?2?an?e6，即数列?n?2?(n≥2)是常数数列．

bne?bn?（II）由①有S2?S1?12，所以a2?12?2a．由③有a3?a2?15，a4?a3?21，所以

a3?3?2a，a4?18?2a．

而 ⑤表明：数列{a2k}和{a2k?1}分别是以a2，a3为首项，6为公差的等差数列， 所以a2k?a2?6(k?1)，a2k?1?a3?6(k?1)，a2k?2?a4?6(k?1)(k?N*)， 数列{an}是单调递增数列?a1?a2且a2k?a2k?1?a2k?2对任意的k?N*成立． ?a1?a2且a2?6(k?1)?a3?6(k?1)?a4?6(k?1)

915?a1?a2?a3?a4?a?12?2a?3?2a?18?2a??a?．

44?915?即所求a的取值集合是M??a?a??．

4??4bn?1?bnean?1?ean（III）解法一：弦AnAn?1的斜率为kn? ?an?1?anan?1?an

ex(x?x0)?(ex?ex0)ex?ex0任取x0，设函数f(x)?，则f(x)? 2x?x0(x?x0)x记g(x)?ex(x?x0)?(ex?e0)，则g?(x)?ex(x?x0)?ex?ex?ex(x?x0)， 当x?x0时，g?(x)?0，g(x)在(x0，??)上为增函数， 当x?x0时，g?(x)?0，g(x)在(??，x0)上为减函数，

所以x?x0时，g(x)?g(x0)?0，从而f?`(x)?0，所以f(x)在(??，x0)和(x0，??)上

都是增函数．

由（II）知，a?M时，数列{an}单调递增，

ean?1?eanean?2?ean取x0?an，因为an?an?1?an?2，所以kn?． ?an?1?anan?2?anean?1?ean?2ean?ean?2取x0?an?2，因为an?an?1?an?2，所以kn?1?． ?an?1?an?2an?an?2所以kn?kn?1，即弦AnAn?1(n?N*)的斜率随n单调递增．

ex?ean?1解法二：设函数f(x)?，同解法一得，f(x)在(??，an?1)和(an?1，??)上都是

x?an?1增函数，

ean?ean?1ex?ean?1ean?2?ean?1ex?ean?1an?1an?1所以kn?，． ?lim?ek??lim?en?1??n→an→aan?an?1an?2?an?1n?1x?an?1x?an?1n?1故kn?kn?1，即弦AnAn?1(n?N*)的斜率随n单调递增．

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