函数回归课本

知识点与课本知识结合

集合、函数、导数（一）

一．集合：

1．明确集合中元素的意义,它是什么类型的对象(如数、点、形等)。 （1）已知集合A yy x 1 ,B

x,y y x ,则A B中元素的个数是 .

2

(2)设集合M xy M N ___.

x 4x 3

2

，集合N yy sixn

3cox,sx ,

63

2. A B {x|x A且x B}；A B {x|x A或x B}；CUA xx U,x A ;

A B x A,X B

； 真子集怎定义？

含n个元素的集合的子集个数为2n,真子集个数为2n－1. 如满足{1,2} M {1,2,3,4,5}集合M有______个. 3. 韦恩图

期中考试,某班数学优秀率为70％,语文优秀率为75％.问:上述两门学科都优秀的百分率至少为 .

4. CU A B CUA CUB , CU A B CUA CUB

A∩B=A A∪B=B A B CUB CUA A∩CUB=

CUA∪B=U

如已知集合A xx2 3x 10 0,B xm 1 x 2m 1 ,A B A,则实数m的取值范围为 （解题时要注意对空集的讨论）

5. 补集思想常运用于解决否定型或正面较复杂的有关问题.

如已知函数f(x) 4x 2(p 2)x 2p p 1在区间[ 1,1]上至少存在一个实数c，使f(c) 0，求实数p的取值范围. 二．函数： 1.指数式、对数式：

a

m

n

2

2

a

mn

a,a 0 |a| n

n

. m，当 a；当 a,a 0 an

1

知识点与课本知识结合

a 1(a 0)log(am)(b)

logab

1logba

，

nm

a N logaN b(a 0,a 1,N 0)

b

，a

logaN

N,

n

logab,loga(MN) logaM logaN; loga

MN

logaM logaN;

如()

2

1

的值为________(lg2)3 3lg2 lg5 (lg5)3=

b2a

(a 0),顶点?);顶点式f(x) a(x h) k

2

2.二次函数(1)三种形式:一般式f(x) ax2 bx c(轴 ;零

点式f(x) a(x x1)(x x2)(轴?);b=0时f(x)为偶函数;

(2)区间最值:配方后一看开口方向,二讨论对称轴与区间的相对位置关系.

如：已知函数f x 4x2 4ax a2 2a 2在区间 0,2 上有最小值3，求a的值. 3. 反比例函数: y 4. 勾函数y

x

ax

cx

(x 0)

平移

y a

cx b

(中心为 b,a )

是奇函数,

a 0时,在区间( ，0),(0， )上为增函数

a 0时,在(0a],[ a,0)递减

在( ，

a],[a, )递增

5. 幂、指数、对数函数的图象和性质： （1）若a 20.5，b logπ3，c log2sin

1

2π5

,则a,b,c的大小关系为 a

（2）设a 1，1，3 ，则使函数y x的定义域为R且为奇函数的所有a值为 .

2

（3）不等式lg(x 1) 1的解集是 方程9 6 3 7 0的解是 . 4x 4， x 1，（4）函数f(x) 2的图象和函数g(x) log2x的图象的交点个数是x 4x 3，x 1

xx

（5）研究方程lg(x 1) lg(3 x) lg(a x)(a R)的实数解的个数. 6. 单调性：①定义法;②导数法.

如：已知函数f(x) x ax在区间[1, )上是增函数，则a的取值范围是____ ； 注意：

① f(x)为增函数能推出f (x) 0，但反之不一定.如函数f(x) x在( , )上单调递增，但

2

3

3

知识点与课本知识结合

f (x) 0，∴f (x) 0是f(x)为增函数的充分不必要条件.

②如:已知奇函数f(x)是定义在( 2,2)上的减函数,若f(m 1) f(2m 1) 0，求实数m的取值范围. ③复合函数由同增异减判定.如:函数y log1 x 2x 的单调递增区间是________.

2

2

如：已知函数f(x) log2(x2 ax 3a)在 2, 上是增函数，则实数a的取值范围是 7．奇偶性：f(x)是偶函数 f( x) f(x) f(|x|);f(x)是奇函数 f( x) f(x);定义域含零的奇函数过原点(f(0)=0);定义域关于原点对称是函数为奇函数或偶函数的必要而不充分的条件. 8.周期性。（1）类比“三角函数图像”得周期.

如:已知定义在R上的函数f(x)是以2为周期的奇函数，则方程f(x) 0在[ 2,2]上至少有__________个实数根

（2）由周期函数的定义“函数f(x)满足f x f a x (a 0)，则f(x)是周期为a的周期函数”得：①函数f(x)满足 f x f a x ，则f(x)是周期为2a的周期函数；

1f(x)1f(x)

②若f(x a) (a 0)恒成立，则T 2a；

③若f(x a) (a 0)恒成立，则T 2a.

如(1) 设f(x)是( , )上的奇函数，f(x 2) f(x)，当0 x 1时，f(x) x，则f(47.5)

等于_____；

(2)定义在R上的偶函数f(x)满足f(x 2) f(x)，且在[ 3, 2]上是减函数，若 , 是锐角三角形的两个内角，则f(sin ),f(cos )的大小关系为_________； （3）若函数f(x)是定义在R上的奇函数，且当x (0, )时，f(x) x(1

时，f(x)=________.

9.常见的图象变换

①函数y f x a 的图象是把函数y f x 的图象沿x轴向左(a 0)或向右(a 0)平移a个单位得

x)，那么当x ( ,0)

3

知识点与课本知识结合

到的。如: （1）要得到y lg(3 x)的图像，只需作y lgx关于_____轴对称的图像，再向____平移3个单位而得到；（2）函数f(x) x lg(x 2) 1的图象与x轴的交点个数有____个

②函数y f x +a的图象是把函数y f x 助图象沿y轴向上(a 0)或向下(a 0)平移a个单位得到的； 如:将函数y

bx a

a的图象向右平移2个单位后又向下平移2个单位,所得图象如果与原图象关于直线

y x对称,那么(A)a 1,b 0 (B)a 1,b R (C)a 1,b 0 (D)a 0,b R 正确的

有 .

③函数y f ax (a 0)的图象是把函数y f x 的图象沿x轴伸缩为原来的

1

1a

得到的.

如（1）将函数y f(x)的图像上所有点的横坐标变为原来的（纵坐标不变），再将此图像沿x轴方向向

3

左平移2个单位，所得图像对应的函数为_____；（2）如若函数y f(2x 1)是偶函数，则函数y f(2x)的对称轴方程是_______．

④函数y af x (a 0)的图象是把函数y f x 的图象沿y轴伸缩为原来的a倍得到的. 10.函数的对称性：

①满足条件f x a f b x 的函数的图象关于直线x

a b2

对称.

如已知二次函数f(x) ax2 bx(a 0)满足条件f(5 x) f(x 3)且方程f(x) x有等根，则f(x)＝_____；

②点(x,y)关于y轴的对称点为 ；函数y f x 关于y轴的对称曲线方程为 ； ③点(x,y)关于x轴的对称点为 ；函数y f x 关于x轴的对称曲线方程为 ； ④点(x,y)关于原点的对称点为 ；函数y f x 关于原点的对称曲线方程为 ；

⑤点(x,y)关于直线y x a的对称点为 ；曲线f(x,y) 0关于直线y x a的对称曲线的方程为 .

若f(a x) f(b x),则f(x)图像关于直线x

a b2

对称;两函数y f(a x)与y f(b x)图像关于

4

知识点与课本知识结合

直线x

b a2

对称.

提醒：证明函数图像的对称性，即证明图像上任一点关于对称中心（对称轴）的对称点仍在图像上；如已知函数f(x)

x 1 aa x

(a R)。求证：函数f(x)的图像关于点M(a, 1)成中心对称图形。

⑥曲线f(x,y) 0关于点(a,b)的对称曲线的方程为f(2a x,2b y) 0。 如若函数y x2 x与y g(x)的图象关于点（-2，3）对称，则g(x)＝______

⑦如（1）作出函数y |log2(x 1)|及y log2|x 1|的图象；（2）若函数f(x)是定义在R上的奇函数，则函数F(x) f(x) f(x)的图象关于____对称

11.几类常见的抽象函数 ：

①正比例函数型：f(x) kx(k 0) ---------------f(x y) f(x) f(y)； xf(x)②幂函数型：f(x) x2 --------------f(xy) f(x)f(y)，f() ；

yf(y)

f(x)f(y)

③指数函数型：f(x) ax ----------f(x y) f(x)f(y)，f(x y)

；

x

④对数函数型：f(x) logax ---f(xy) f(x) f(y)，f() f(x) f(y)；

y

f(x) f(y)1 f(x)f(y)

⑤三角函数型：f(x) tanx ----- f(x y)

.

如：设f(x)的定义域为 0, ,对任意x,y 0, ,都有f(

xy

，且x 1时，) f(x) f(y)

1

f(x) 0，又f() 1，①求证f(x)为减函数；②解不等式f(x) f(5 x) 2.

2

12. 题型方法总结

Ⅰ.判定相同函数:定义域相同且对应法则相同 Ⅱ.求函数解析式的常用方法：

（1）待定系数法――已知所求函数的类型（二次函数的表达形式有三种：一般式：

5

知识点与课本知识结合

22

f(x) ax bx c；顶点式：f(x) a(x m) n；零点式：f(x) a(x x1)(x x2)）.

如:已知f(x)为二次函数，且 f(x 2) f( x 2)，且f(0)=1,图象在x轴上截得的线段长为22,求f(x)的解析式 .

（2）代换（配凑）法――已知形如f(g(x))的表达式，求f(x)的表达式. 如（1）已知f(1 cosx) sin（2）若f(x

1x) x

2

2

x,求fx

的解析式；

2

1x

2

，则函数f(x 1)=_____；

这里需值得注意的是所求解析式的定义域的等价性，即f(x)的定义域应是g(x)的值域.

（3）方程的思想――对已知等式进行赋值，从而得到关于f(x)及另外一个函数的方程组。如（1）已知f(x) 2f( x) 3x 2，求f(x)的解析式；（2）已知f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，且

f(x)+g(x)=

1x 1

,则f(x)

Ⅲ. 求定义域:使函数解析式有意义(如:分母?;偶次根式被开方数?;对数真数?，底数?;零指数幂的底数?);实际问题有意义;复合函数如：

1

若函数y f(x)的定义域为 ,2 ，则f(log

2

2

2

x)的定义域为__________；

若函数f(x 1)的定义域为[ 2,1)，则函数f(x)的定义域为________． Ⅳ.求值域:配方法：如：求函数y x 2x 5,x [ 1,2]的值域；

3

xx

2

逆求法（反求法）：如：y

1 3

通过反解，用y来表示3，再由3的取值范围，通过解不等

xx

式，得出y的取值范围（答：（0,1））；

换元法：如（1）y 2sinx 3cosx 1的值域为_____；（2

）y 2x 1 ④三角有界法：转化为只含正弦、余弦的函数，运用三角函数有界性来求值域； 如：y

2

的值域为_____

2sin 11 cos

的值域 ；

6

知识点与课本知识结合

⑤不等式法

――利用基本不等式a b a,b R )求函数的最值。如设x,a1,a2,y 成等差数列，x,b1,b2,y成等比数列，则

(a1 a2)b1b2

2

的取值范围是____________.

⑥单调性法：函数为单调函数，可根据函数的单调性求值域. 如求y x

1x

(1 x 9)，y sinx

2

91

sinx

2

，y log3 5 x 的值域为______；

⑦数形结合：根据函数的几何图形，利用数形结合的方法来求值域.如（1）已知点P(x,y)在圆x2 y2 1上，求

⑧导数法;分离参数法;如求函数f(x) 2x3 4x2 40x，x [ 3,3]的最小值。

3 2x3 2x

yx 2

及y 2x的取值范围；（2）

求函数y ；

用2种方法求下列函数的值域：①y (x [ 1,1])②y

x x 3

x

2

,x ( ,0)；

③y

x x 3x 1

2

,x ( ,0)

13.任意定义在R上函数f(x)都可以唯一地表示成一个奇函数与一个偶函数的和.即f(x) g(x) h(x) 其中g(x)

f(x) f( x)

2

是偶函数，h(x)

f(x) f( x)

2

是奇函数.

利用一些方法（如赋值法（令x＝0或1，求出f(0)或f(1)、令y x或y x等）、递推法、反证法等）进行逻辑探究。如（1）若x R，f(x)满足f(x y) f(x)

f(y)，则f(x)的奇偶性是______；

（2）若x R，f(x)满足f(xy) f(x) f(y)，则f(x)的奇偶性是______；

（3）已知f(x)是定义在( 3,3)上的奇函数，当0 x 3时，f(x)的图像如右图所示，那么不等式f(x) cosx 0_____________； 三．导数：．

1．导数几何意义:k=f/(x0)表示曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))处切线的斜率。 V＝s/(t)表示t时刻即时速度,a=v′(t)表示t时刻加速度。

7

知识点与课本知识结合

如(1)一物体的运动方程是s 1 t t2，其中s的单位是米，t的单位是秒，那么物体在t 3时的瞬时速度为_____.

(2) 质点P在半径为10cm的圆上逆时针作匀速圆周运动，角速度为2rad/s.

设A(10,0)为起始点，求时刻t时，点P在y轴上的射影点M的速度为 2. 导数的几何意义及它的简单应用

⑴过某点的切线不一定只有一条; 如：已知函数f(x) x3 3x过点P(2, 6)作曲线y f(x)的切线，求此切线的方程.

⑵ 研究单调性步骤:分析y f(x)定义域;求导数;解不等式f'(x) 0得增区间;解不等式f'(x) 0得减区间;注意f'(x) 0的点; 如：设a 0函数f(x) x3 ax在[1, )上单调函数，则实数a的取值范围______；

⑶ 求极值、最值步骤:求导数;求

f (x) 0

的根;列表检验

f (x)

在根左右两侧符号,得极值;把极值与区

间端点函数值比较,最大的为最大值,最小的是最小值.

如：（1）函数y 2x3 3x2 12x 5在[0，3]上的最大值、最小值分别是______；

（2）已知函数f(x) x3 bx2 cx d在区间[－1,2 ]上是减函数，那么b＋c有最_ _值_ _ （3）方程x3 6x2 9x 10 0的实根的个数为

特别提醒：（1）x0是极值点的充要条件是x0点两侧导数异号，而不仅是f x0 0，f x0 0是x0为极值点的必要而不充分条件。

（2）给出函数极大(小)值的条件，一定要既考虑f (x0) 0，又要考虑检验“左正右负”(“左负右正”)的转化，否则条件没有用完，这一点一定要切记！如：函数f x x ax bx a在x 1处有极小值

3

2

2

10，则a+b的值为____ 又如:已知函数f(x)

2ax a 1

x 1

2

2

(x R)，其中a R.

（1）当a 1时，求曲线y f(x)在点(2,f(2))处的切线方程； （2）当a 0时，求函数f(x)的单调区间与极值. 3. 恒成立问题：

8

知识点与课本知识结合

设函数f(x) ex e x．

（1）证明：f(x)的导数f (x) 2；（2）若对所有x 0都有f(x) ax，求a的取值范围． 4. 存在性问题:

已知a是实数，函数f(x) 2ax2 2x 3 a，如果函数y f(x)在区间[-1，1]上有零点，则实数a的取值范围为 .

5.易错题：（1）方程x2 2ax a 6 0的两实根为x1,x2，则f(a) (x1 1)2 (x2 1)2的值域为_____. （2）设函数f(x)

lg|x 2|,x 2 1

,x 2

，若关于x的方程f2(x) bf(x) c 0恰有5个不同的实数

解x1、x2、x3、x4、x5,则f(x1 x2 x3 x4 x5) _____________.

（3）若对任意x A,y B(A R,B R)有唯一确定的f(x,y)与之对应，则称f(x,y)为关于x,y的二元函数． 现定义满足下列性质的f(x,y)为关于实数x,y的广义“距离”：

① ② ③

非负性：f(x,y) 0，当且仅当x y时取等号； 对称性：f(x,y) f(y,x)；

三角形不等式：f(x,y) f(x,z) f(z,y)对任意的实数z均成立．

今给出下列三个二元函数，所有能够成为关于x,y的广义“距离”的序号是_______.

2

①f(x,y) x y；②f(x,y) (x y)；

③f(x,y)

（4）已知5cos 4cos 4cos ，则cos cos 的取值范围是_______________.

（5）已知函数f(x) 2mx 2(4 m)x 1,g(x) mx,若对于任一实数x,f(x)与g(x)至少有一个为正数,则实数m的取值范围是___________. （6）设函数f(x) ln(x a) x

（I）若当x 1时，f(x)取得极值，求a的值，并讨论f(x)的单调性； （II）若f(x)存在极值，求a的取值范围，并证明所有极值之和大于ln

e2

2

2

2222

．

集合、函数、导数（二）

9

知识点与课本知识结合

1.

已知全集U {1，2，3，4，5}，集合A {x|x 3x 2 0}，B {x|x 2a，a A}，则集合CU(A B)中元素的个数为 .

2

2.

函数y lncosx,

2

<x<

的图象是

.

2

3.

定义在R上的函数f(x)满足f(x y) f(x) f(y) 2xy（x，y R），f1)(2 于 . 4.

若a 2

0.5

，则f( 3)等

，b logπ3，c log2sin

2π5

，则a、b、c

的大小顺序为 .

5. 6. 7. 8.

设奇函数f(x)在(0， )上为增函数，且f(1) 0，则不等式设f

f(x) f( x)

x

0的解集为

x sin x ，(

x

0)，则f

'

0 0是f x 是偶函数 条件.

设函数fx 1 x a的图象关于直线x 1对称，则a的值为 .

设定义在R上的函数f

x 满足f x f x 2 13，若f 1 2，则f 99 .

ππ 22

上的任意x1，x2，有如下条件：①x1 x2； ②x1 x2；22

9. 已知函数f(x) x cosx，对于

2

③x1 x2．其中能使f(x1) f(x2)恒成立的条件序号是 ． 10. 已知t为常数，函数y x

2

2x t在区间[0，3]上的最大值为2，则t=___. 1

11.解关于x的不等式:ax

1x

2

12.已知x1,x2是函数f(x) ax bx 1(a,b

R,a 0的)两个零点,函数f(x)的最小值为 a,记

P {x|f(x) 0,x R}.

10

知识点与课本知识结合

(1) 试探求x1,x2之间的等量关系(不含a,b);

(2) 当且仅当a在什么范围时,函数g(x) f(x) 2x(x P)有最小值? (3) 若x1 ( 2,2),试确定b的取值范围.

13. 已知函数f(x)满足下列条件：①函数f(x)的定义域为[0，1]；

②对于任意

x [0,1],f(x) 0,且f(0) 0,f(1) 1；,③对于满足条件x1 0,x2 0,x1 x2 1的任意两个数

x1,x2,有f x1 x2 f x1 f x2 ,

①证明：对于任意的0 x y 1,有f(x) f(y)；②证明：于任意的0 x 1,有f(x) 2x； ③不等式f

x 1.9x对于一切x 0,1 都成立吗？试说明理由.

集合、函数、导数（三）

1.定义集合运算:A B zz xy,x A,y B .设A 1,2 ,B 0,2 ,则集合A B的所有元素之和为 . 2.

函数f(x) 3.设曲线y

log2(x 1)

的定义域为 ．

x 1x 1

在点(3，2)处的切线与直线ax y 1 0垂直，则a .

3

4.若x (e 1，，1)a lnx，b 2lnx，c lnx，则a、b、c 的大小顺序为 .

2

5.设a 1，若对于任意的x [a,2a]，都有y [a,a]满足方程logax logay 3，这时a的取值集合

为 .

2

6. a 0是方程ax 2x 1 0至少有一个负数根的条件.

7. 若函数f(x),g(x)分别是R上的奇函数、偶函数，且满足f(x) g(x) e，则f(2),f(3),g(0)的大

小顺序为 . 8. 已知函数

M,最小值为m,则

mM

x

的值为 .

22

9. 已知函数f(x) x 2x a,f(bx) 9x 6x 2,其中x R,a,b为常数，则方程f(ax b) 0的

11

知识点与课本知识结合

解集为 .

10.函数y tanx sinx tanx sinx在区间

3

内的图象是 .

22

,

A

BCD

11.已知函数f(x) 2mx2 2(4 m)x 1，g(x) mx，若对于任一实数x，f(x)与g(x)至少有一个为

正数，则实数m的取值范围是 . 12. [x]表示不超过x的最大整数（如［2］=2, ［

n(n 1) (n x 1)x(x 1) (x x 1)

54

］=1）,对于给定的n N ,定义

3 x

时，函数C8的值域是,3 2

Cn

x

,x 1, ,则当x

13.已知定义在R上的偶函数f(x)满足条件：f(x 1) f(x)，且在[ 1,0]上是增函数，给出下面关于

f(x)的命题：①f(x)是周期函数；②f(x)的图象关于直线x 1对称；

③f(x)在[0,1]上是增函数；④f(x)在[1,2]上是减函数；⑤f(2) f(0)其中正确的命题序号是 ．（注：把你认为正确的命题序号都填上） 14．已知f(x) xlnx,g(x) x2 ax 3．

⑴ 求函数f(x)的最小值；⑵ 对一切x (0, )，2f(x)≥g(x)恒成立，求实数a的取值范围； ⑶ 证明: 对一切x (0, )，都有lnx

1e

x

2ex

成立．

x

13. 已知函数f(x) e kx，x R①若k 0，且对于任意x R，f(x) 0恒成立，试确定实数k的

n

取值范围；②设函数F(x) f(x) f( x)，求证：F(1)F(2) F(n) (e

n 1

2)2(n N)．

14.若存在实常数k和b，使得函数f(x)和g(x)对其定义域上的任意实数x分别满足：f(x) kx b和

12

知识点与课本知识结合

． g(x) kx b，则称直线l:y kx b为f(x)和g(x)的“隔离直线”已知h(x) x2， (x) 2elnx(e为自然对数的底数)．

（1）求F(x) h(x) (x)的极值； （2）函数h(x)和 (x)是否存在隔离直线？若存在，求出此隔离直线方程；若不存在，请说明理由．

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