线性代数概念、性质、定理、公式整理

概念、性质、定理、公式必须清楚，解法必须熟练，计算必须准确

?A可逆 ??r(A)?n ?A的列（行）向量线性无关 ??A的特征值全不为0 ??Ax??只有零解 ? ?x??，Ax?? A?0?? n???R,Ax??总有唯一解 ??ATA是正定矩阵 ??A?E ?A?pp???p p是初等阵12si???存在n阶矩阵B,使得AB?E 或 AB?E注：全体n维实向量构成的集合R叫做n维向量空间. ○

n?A不可逆 ?r(A)?n ??A?0??A的列（行）向量线性相关

?0是A的特征值 ???Ax??有非零解,其基础解系即为A关于??0的特征向量?r(aE?bA)?n ?注 aE?bA????(aE?bA)x??有非零解 ○

??=-a b?向量组等价??矩阵等价(?)?具有?反身性、对称性、传递性 ????矩阵相似(?)?矩阵合同(?)??√ 关于e1,e2,???,en：

①称为?的标准基，?中的自然基，单位坐标向量p教材87； ②e1,e2,???,en线性无关； ③e1,e2,???,en?1； ④trE=n；

⑤任意一个n维向量都可以用e1,e2,???,en线性表示.

nn 7

a11行列式的定义 Dn?a12?a1na22?a2n??an2?ann?j1j2?jna21?an1?(?1)?(j1j2?jn)a1j1a2j2?anjn

√ 行列式的计算：

①行列式按行（列）展开定理：行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式的乘积之和. 推论：行列式某一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零.

AO②若A与B都是方阵（不必同阶）,则

OOBA==A??AOBBO?AO?B?AB（拉普拉斯展开式）

BO?(?1)mnAB③上三角、下三角、主对角行列式等于主对角线上元素的乘积.

?④关于副对角线：

a1na2n?1??OOa2n?1?an1a1n?(?1)On(n?1)2a1na2n?an1 （即：所有取自不同

an1行不同列的n个元素的乘积的代数和）

1x1⑤范德蒙德行列式：x121x22x2????12???xi?xj? xn1?j?i?n?xn?x1n?1n?1n?1x2?xn?a11?a21矩阵的定义 由m?n个数排成的m行n列的表A??????am1a12?a1n??a22?a2n?称为m?n矩阵.记作：A??aij?或

m?n????am2?amn?Am?n

?A11?A??12????A1nA21?A22?A2nAn1???An2?，Aij为A中各个元素的代数余子式. ????Ann?伴随矩阵 A?Aij*??T√ 逆矩阵的求法:

主?换位?ab?1?d?b?A?1注?① A? ○： ? ???

cd?caad?bcA副?变号??????1 8

初等行变换②(A?E)?????(E?A?1)

?a1?③???a2?11?a??1?????a3????mn1a2????? ???a1??3a3? (Am)n?(A)mn

a2?1?a1????????1?a??11a31a2??? ???√ 方阵的幂的性质：AA?Am?n√ 设Am?n,Bn?s,A的列向量为?1,?2,???,?n,B的列向量为?1,?2,???,?s，

则AB?Cm?s?b11b12?b1s???bb?b21222s???c1,c2,?,cs??A?i?ci ，(i?1,2,?,s)??i为???1,?2,???,?n?????????bb?bns??n1n2Ax?ci的解?A??1,?2,???,?s???A?1,A?2,???,A?,,c?c1,c2?s??s??c1,c2,?,cs可由?1,?2,???,?n线

性表示.即：C的列向量能由A的列向量线性表示，B为系数矩阵. 同理：C的行向量能由B的行向量线性表示，A为系数矩阵.

T?a11?a21即： ?????an1a12a22?an2?a1n???1??c1??a11?1?a12?2???a1n?2?c1??????a??a????a??c?a2n???2??c2??2112222n22? ?????????????????????amn???n??cm??am1?1?am2?2???amn?2?cm√ 用对角矩阵?左乘一个矩阵,相当于用?的对角线上的各元素依次乘此矩阵的行向量； 用对角矩阵?右乘一个矩阵,相当于用?的对角线上的各元素依次乘此矩阵的列向量. √ 两个同阶对角矩阵相乘只用把对角线上的对应元素相乘.

○○

○○

?AB??AT√ 分块矩阵的转置矩阵：????T?CD??B?A?1?A?分块矩阵的逆矩阵：????B????A?1?AC??????OB??O?1?1TCT? T?D??? ??B?1??BA?????1???A?1?1B?1?? ??A?1A?1CB?1?O??AO?? ???1?1? ??B?B??CB???BCA?A11分块对角阵相乘：A?????B11?,B??A22??*??A11B11??AB??B22???? ??AB*??B9

*n?n?A11?,A??A22B22??? n?A22??A??BA*分块对角阵的伴随矩阵：????B???

A?????mn????(?1)BA(?1)mnAB???? ?√ 矩阵方程的解法(A?0)：设法化成(I)AX?B 或 (II)XA?B (I)的解法：构造(A?B)?????(E?X)

初等行变换(II)的解法：将等式两边转置化为ATXT?BT， 用(I)的方法求出X，再转置得XT

① 零向量是任何向量的线性组合,零向量与任何同维实向量正交. ② 单个零向量线性相关；单个非零向量线性无关.

③ 部分相关,整体必相关；整体无关,部分必无关. （向量个数变动）

④ 原向量组无关,接长向量组无关；接长向量组相关,原向量组相关. （向量维数变动） ⑤ 两个向量线性相关?对应元素成比例；两两正交的非零向量组线性无关p教材114. ⑥ 向量组?1,?2,???,?n中任一向量?i(1≤i≤n)都是此向量组的线性组合.

⑦ 向量组?1,?2,???,?n线性相关?向量组中至少有一个向量可由其余n?1个向量线性表示. 向量组?1,?2,???,?n线性无关?向量组中每一个向量?i都不能由其余n?1个向量线性表示. ⑧ m维列向量组?1,?2,???,?n线性相关?r(A)?n； m维列向量组?1,?2,???,?n线性无关?r(A)?n.

⑨ 若?1,?2,???,?n线性无关，而?1,?2,???,?n,?线性相关,则?可由?1,?2,???,?n线性表示,且表示法唯一. ⑩ 矩阵的行向量组的秩?列向量组的秩?矩阵的秩. 行阶梯形矩阵的秩等于它的非零行的个数.

行阶梯形矩阵 可画出一条阶梯线，线的下方全为0；每个台阶只有一行，台阶数即是非零行的行数，阶梯线的竖线后面的第一个元素非零.当非零行的第一个非零元为1，且这些非零元所在列的其他元素都是0时，称为行最简形矩阵 ? 矩阵的行初等变换不改变矩阵的秩,且不改变列向量间的线性关系； 矩阵的列初等变换不改变矩阵的秩,且不改变行向量间的线性关系. 即：矩阵的初等变换不改变矩阵的秩. √ 矩阵的初等变换和初等矩阵的关系：

对A施行一次初等行变换得到的矩阵,等于用相应的初等矩阵左乘A；

10

○○

对A施行一次初等列变换得到的矩阵,等于用相应的初等矩阵右乘A.

矩阵的秩 如果矩阵A存在不为零的r阶子式，且任意r?1阶子式均为零，则称矩阵A的秩为r.记作r(A)?r 向量组的秩 向量组?1,?2,?,?n的极大无关组所含向量的个数，称为这个向量组的秩.记作r(?1,?2,?,?n) 矩阵等价 A经过有限次初等变换化为B. 记作：A??B

向量组等价 ?1,?2,???,?n和?1,?2,???,?n可以相互线性表示. 记作：??1,?2,???,?n?????1,?2,???,?n?

? 矩阵A与B等价?PAQ?B，P,Q可逆?r(A)?r(B),A,B为同型矩阵??A,B作为向量组等价,即：秩

相等的向量组不一定等价.

矩阵A与B作为向量组等价?r(?1,?2,???,?n)?r(?1,?2,???,?n)?r(?1,?2,????n,?1,?2,???,?n)? 矩阵A与B等价.

? 向量组?1,?2,???,?s可由向量组?1,?2,???,?n线性表示?AX?B有解

○○

?r(?1,?2,???,?n)=r(?1,?2,????n,?1,?2,???,?s)?r(?1,?2,???,?s)≤r(?1,?2,???,?n).

? 向量组?1,?2,???,?s可由向量组?1,?2,???,?n线性表示,且s?n，则?1,?2,???,?s线性相关.

向量组?1,?2,???,?s线性无关,且可由?1,?2,???,?n线性表示,则s≤n.

? 向量组?1,?2,???,?s可由向量组?1,?2,???,?n线性表示,且r(?1,?2,???,?s)?r(?1,?2,???,?n),则两向量组等

价；p教材94,例10

? 任一向量组和它的极大无关组等价.向量组的任意两个极大无关组等价. ? 向量组的极大无关组不唯一，但极大无关组所含向量个数唯一确定. ? 若两个线性无关的向量组等价,则它们包含的向量个数相等. ? 设A是m?n矩阵,若r(A)?m，A的行向量线性无关；

若r(A)?n，A的列向量线性无关,即：?1,?2,???,?n线性无关. √ 矩阵的秩的性质：

①若A?O?r(A)≥1 若A?O?r(A)?0 0≤r(Am?n)≤min(m,n)

②r(A)?r(A)?r(AA) p教材101,例15

③r(kA)?r(A) 若k?0

11

TT

A的特征矩阵 ?E?A.

A的特征多项式 ?E?A??(?).

√ ?(?)是矩阵A的特征多项式??(A)?O

A的特征方程 ?E?A?0. Ax??x (x为非零列向量) ? Ax与x线性相关

√ A??1?2??n

??1ni?trA，trA称为矩阵A的迹. √ 上三角阵、下三角阵、对角阵的特征值就是主对角线上的n各元素.

√ 若A?0,则??0为A的特征值,且Ax??的基础解系即为属于??0的线性无关的特征向量.

?a1???a2√ r(A)?1?A一定可分解为A=???b1,b2,?,bn?、A2?(a1b1?a2b2???anbn)A,从而A的特征值为：

??????an??1?trA?a1b1?a2b2???anbn, ?2??3????n?0 p指南358.

注?a,a,?,a?为A各行的公比，?b,b,?,b?为A各列的公比. ○12n12nT√ 若A的全部特征值?1,?2,?,?n，f(A)是多项式,则:

① 若A满足f(A)?O?A的任何一个特征值必满足f(?i)?0

②f(A)的全部特征值为f(?1),f(?2),?,f(?n)；f(A)?f(?1)f(?2)?f(?n).

√ 初等矩阵的性质：

E(i,j)??1 E(i,j)T?E(i,j) E(i,j)?1?E(i,j) E(i,j)*??E(i,j)

√ 设f(x)?amx?am?1xmm?1E[i(k)]?k E[i(k)]T?E[i(k)] E[i(k)]?1?E[i(1k)] E[i(k)]*?kE[i(1k)]E[i,j(k)]?1 E[i,j(k)]T?E[j,i(k)] E[i,j(k)]?1?E[i,j(?k)] E[i,j(k)]*?E[i,j(?k)] ???a1x?a0，对n阶矩阵A规定：f(A)?amAm?am?1Am?1???a1A?a0E为A的

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一个多项式.

k? ?kA?a??b ?aA?bE?AT? ?1√ ?是A的特征值,则:?A?1分别有特征值. ??A?1?2??3?A? ????A2?2 ?mA?m ?

k? ?kA?a??b ?aA?bE1?1?? ?A√ x是A关于?的特征向量,则x也是?关于的特征向量. ?A?1?2??3A????2?A?2 ?mmA? ??√ A2,Am的特征向量不一定是A的特征向量. √ A与A有相同的特征值，但特征向量不一定相同.

TA与B相似 P?1AP?B （P为可逆矩阵） 记为：A?B A与B正交相似 P?1AP?B （P为正交矩阵）

A可以相似对角化 A与对角阵?相似. 记为：A?? （称?是A的相似标准形）

√ A可相似对角化?n?r(?iE?A)?ki ki为?i的重数?A恰有n个线性无关的特征向量. 这时,P为A的特征向量拼成的矩阵，PAP为对角阵,主对角线上的元素为A的特征值.设?i为对应于?i的线性无关的特征向量,则有：

?1??1????2?. A(?1,?2,?,?n)?(A?1,A?2,?,A?n)?(?1?1,?2?2,?,?n?n)?(?1,?2,?,?n)?????????????????????n??PP?????????? 18

注：当??0为A的重的特征值时，A可相似对角化??的重数?n?r(A)? Ax??基础解系的个数. ○ii√ 若n阶矩阵A有n个互异的特征值?A可相似对角化.

√ 若A可相似对角化,则其非零特征值的个数（重根重复计算）?r(A).

?g(?1)???g(?)2?1kk?1?P?1 √ 若A???A=P?P，g(A)?Pg(?)P?P??????g(?)n??√ 相似矩阵的性质：

①

?E?A??E?B,从而A,B有相同的特征值,但特征向量不一定相同.

注x是A关于?的特征向量,Px是B关于?的特征向量. ○00?1②trA?trB

③A?B 从而A,B同时可逆或不可逆 ④r(A)?r(B)

⑤A?B；A?B （若A,B均可逆）；A?B ⑥A?B （k为整数）；f(A)?f(B)，f(A)?f(B) ⑦A?B,C?D??kkTT?1?1**?A???B????? C??D?注前四个都是必要条件. ○

√ 数量矩阵只与自己相似. √ 实对称矩阵的性质：

① 特征值全是实数,特征向量是实向量； ② 不同特征值对应的特征向量必定正交；

注：对于普通方阵，不同特征值对应的特征向量线性无关； ○

③一定有n个线性无关的特征向量.

若A有重的特征值,该特征值?i的重数=n?r(?iE?A)；

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④必可用正交矩阵相似对角化，即：任一实二次型可经正交变换化为标准形； ⑤与对角矩阵合同，即：任一实二次型可经可逆线性变换化为标准形； ⑥两个实对称矩阵相似?有相同的特征值.

正交矩阵 AA?E

n√ A为正交矩阵?A的n个行（列）向量构成?的一组标准正交基.

T√ 正交矩阵的性质：① A?A；

② AA?AA?E；

③ 正交阵的行列式等于1或-1；

④ A是正交阵,则A，A也是正交阵； ⑤ 两个正交阵之积仍是正交阵；

⑥ A的行（列）向量都是单位正交向量组.

二次型 f(x1,x2,?,xn)?xAx?TT?1TTT?1??axxijii?1j?1nnj aij?aji，即A为对称矩阵，x?(x1,x2,?,xn)T

A与B合同 CTAC?B. 记作：A?B （A,B为实对称矩阵,C为可逆矩阵）

正惯性指数 二次型的规范形中正项项数p 负惯性指数二次型的规范形中负项项数r?p 符号差 2p?r (r为二次型的秩)

√ 两个矩阵合同?它们有相同的正负惯性指数?他们的秩与正惯性指数分别相等. √ 两个矩阵合同的充分条件是：A?B √ 两个矩阵合同的必要条件是：r(A)?r(B)

正交变换 √ f(x1,x2,?,xn)?xAx经过合同变换Tx?Cy化为f??diyi2标准形. 1n可逆线性变换√ 二次型的标准形不是唯一的,与所作的正交变换有关,但非零系数的个数是由√ 当标准形中的系数di为-1或0或1时,称为二次型的规范形 . √ 实对称矩阵的正（负）惯性指数等于它的正（负）特征值的个数.

20

r(A)?正惯性指数?负惯性指数 唯一确定的.

?1????????1???1???合同. √ 惯性定理：任一实对称矩阵A与唯一对角阵?????1????0??????0???√ 用正交变换化二次型为标准形:

① 求出A的特征值、特征向量； ② 对n个特征向量正交规范化； ③ 构

造

C（正交矩阵

T）,作变换

x?C,

则

?y1???y2?TTT?1T?(Cy)A(Cy)?yCACY?yCACY???????yn?的主对角上的元素di即为A的特征值.

施密特正交规范化 ?1,?2,?3线性无关,

?d1?????d2??y1????n??y2?新的二次型为f?dy2,??ii?????1???dn??yn???1??1???(?,?) 正交化??2??2?21?1

(?,?)11??(?3,?1)(?3,?2)???????2?331(?,?)(?,?)?1122 单位化：?1???1? ?2?2 ?3?3 ?1?2?3 技巧：取正交的基础解系，跳过施密特正交化。让第二个解向量先与第一个解向量正交，再把第二个解向量代入方

??1??1?????程，确定其自由变量. 例如：x1?x2?x3?0取?1?? 1?，?2??1?.

? 0??2?????正定二次型 x1,x2,?,xn不全为零，f(x1,x2,?,xn)?0.

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正定矩阵 正定二次型对应的矩阵.

√ f(x)?xTAx为正定二次型?（之一成立）：

① ?x?? ，xTAx?0；

② A的特征值全大于0； ③ f的正惯性指数为n； ④ A的所有顺序主子式全大于0；

⑤ A与E合同，即存在可逆矩阵C使得CTAC?E；

⑥ 存在可逆矩阵P，使得A?PTP；

???1??⑦ 存在正交矩阵C，使得CTAC?C?1AC???2????????n?√ 合同变换不改变二次型的正定性. √ A为正定矩阵?aii?0 ； A?0. √ A为正定矩阵?AT,A?1,A?也是正定矩阵. √ A与B合同，若A为正定矩阵?B为正定矩阵

√ A,B为正定矩阵?A?B为正定矩阵，但AB,BA不一定为正定矩阵.

22

?i大于0）. （

正定矩阵 正定二次型对应的矩阵.

√ f(x)?xTAx为正定二次型?（之一成立）：

① ?x?? ，xTAx?0；

② A的特征值全大于0； ③ f的正惯性指数为n； ④ A的所有顺序主子式全大于0；

⑤ A与E合同，即存在可逆矩阵C使得CTAC?E；

⑥ 存在可逆矩阵P，使得A?PTP；

???1??⑦ 存在正交矩阵C，使得CTAC?C?1AC???2????????n?√ 合同变换不改变二次型的正定性. √ A为正定矩阵?aii?0 ； A?0. √ A为正定矩阵?AT,A?1,A?也是正定矩阵. √ A与B合同，若A为正定矩阵?B为正定矩阵

√ A,B为正定矩阵?A?B为正定矩阵，但AB,BA不一定为正定矩阵.

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?i大于0）. （

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