4大学物理习题及综合练习答案详解

大学物理练习册—刚体定轴转动

转动惯量

4-1 有一直棒长为L，其中一半的质量为m1（均匀分布），另一半的质量为m2（均匀分布），如图4-1所示，

求此棒对过端点O，并垂直于纸面的轴的转动惯量。 解：J?xdm?m?2?L/202m12xdx?l?2m22L2xdx?(m1?7m2)

L/2l12LL/2 O m1

图4-1

L/2 m2 4-2求半径为R，质量为m的均匀球体相对于直径轴的转动惯量。如以与球体

相切的线为轴，其转动惯量又为多少？ 解：将球看成由许多薄圆盘组成，圆盘半径 r?Rcos?，厚度 dh?Rd?cos?

对应的质量 dm???r2dh???R3cos3?d?

121rdm???R5cos5?d? 22?/21?/288m22J?2rdm???R5cos5d????R5??R5?mR2

00215154?R35327由平行轴定理，J??J?mR2?mR2?mR2?mR2

55薄圆盘对过球心轴的转动惯量为 dJ???4-3两个质量为m、半径为R的匀质圆薄板和一根长为l=8R的细杆相连，如图4-3所示，求以下两种情况

时，此系统对于过细杆中心并与杆垂直的轴AA’的转动惯量。（1）忽略细杆质量；（2）细杆质量为M。 解：(1) 由平行轴定理 J?2?mR2?m(?R)2??51mR2

2?2??1l?A l R A’ 图4-3 R 1642 (2) J??J?Ml2?51mR2?mR?61.67mR2

126力矩和转动定律

4-4如图4-4所示，一长为l，质量为m匀质细杆竖直放置，因受到扰动而倒下（设下端不滑动）。试求当

细杆转到与竖直线成 ? 角时的角加速度和角速度。

lmgsin?3gM2解：????sin? 12J2lml3l ? ??d?d?，??dtd???0?d????d?，??0?3g(1?cos?) l图4-4

另解：机械能守恒，mg(1?cos?)?l23g12(1?cos?) J?，??l24-5如图4-5所示，有一质量为m，长为l的均匀细杆，可绕水平轴O无摩擦地转动，杆的一端固定一质量

为3 m的小球A，OA＝l/4。开始时杆在水平位置，试求细杆由静止释放后绕O轴转动的角加速度。（不计小球大小）

A l lll212l212解：M?(3m?m)gcos??mgcos?，J?3m()?ml?m()?ml

O 4241243l/4 图4-5

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大学物理练习册—刚体定轴转动

ls3gM2mgco? ????co?s

12J2lml34-6一均匀圆盘，质量为m，半径为R，可绕通过盘中心的光滑竖直轴在水平桌面上转动，如图4-6所示。

圆盘与桌面间的动摩擦因数为? ，若用外力推动使其角速度达到 ?0 时，撤去外力，求（1）转动过程中，圆盘受到的摩擦力矩；（2）撤去外力后，圆盘还能转动多少时间？ 解：(1) 在距中心r处取一宽度为dr的圆环，该圆环所受的摩擦力大小为 df??g?2?rdr

该摩擦力对中心轴的力矩为 dM??rdf???g?2?r2dr 所以 M???R0?g?2?r2dr????g23m32 R???mgR?R23图4-6 2?mgR???03R?0M4(2) ?? ???3???g，t?1?4?gJ3RmR22角动量和角动量守恒定律

4-7水平桌面上放有一根长l=1.0m，质量m=3.0kg的匀质细杆，可绕通过端点O的垂直轴OO’转动，开始

时杆静止。现有100N的力，以与杆成? =30o的角打击杆的一端，打击时间 ?t=0.02s，如图4-7所示。求（1）杆的角动量的变化；（2）杆转动时的角速度。 解：(1) 冲量矩为

?0.020Moo?dt??0..020lFsin30?dt?1?100?0.5?0.02?1kg?m2/s

由刚体定轴转动定律 ?L?J??J?0?J??(2) ???M0too?dt?1kg?m/s

2O'O?L1??3rad/s J1ml23lm?F图4-7

?4-8上题中细杆被一颗质量m’=20g的子弹以??30?的角射中中点，如图4-8所示。已知杆与桌面的动摩

擦因数 ?=0.20，子弹射入速度v=400m/s，并以v/2的速度射出。求：(1) 细杆开始转动的角速度；（2）细杆转动时受到的摩擦力矩和角加速度各为多少？（3）细杆转过多大角度后停下来。 解：(1) 子弹射入前后系统对O点角动量守恒

O'11vlmlm?vsin30??lm?sin30??J?

O222?m'11lm?vlm?vsin30?3m?v3?0.02?400图4-8 ??4?8???3rad/s

128mlJ8?1?1ml3mm(2) dm?dr，df??gdm，dM??rdf??r?gdm???grdr

ll1?mgll3?gm1M3?0.2?9.82 M???grdr???mg，??????2.94rad/s2 l????012J2l2?1l2ml3?v? 14

大学物理练习册—刚体定轴转动 d?d?(3) ??，??dtd??232?0?d?????d?，???2??2?2.94?1.53rad

?04-9在半径为R1、质量为m的静止水平圆盘上，站一质量为m的人。圆盘可无摩擦地绕通过圆盘中心的竖

直轴转动。当这人开始沿着与圆盘同心、半径为R2（R2＜R1）的圆周，以相对于圆盘的速度为v匀速走动时，则圆盘将以多大的角速度旋转？ 解：设圆盘以角速度?旋转，则人相对于地面的角速度为 ?????系统对圆盘中心轴的角动量守恒 J??J????0，

v R2R2v2Rv1v2?222 mR12??mR2(??)?0，??122R2R1?R22R1?2R22功和能

4-10如图4-10所示。滑轮的转动惯量J＝0. 5kg · m2，半径r＝30 cm，弹簧的劲度系数k＝2.0 N／m，重物

的质量m=2.0 kg，开始时弹簧没有伸长。当此系统从静止开始启动，物体沿斜面滑下1.0m时，求：（1）物体的速率多大？（2）物体滑下1.0m过程中，作用在滑轮上的力矩所作的功。（不计斜面和转轴的摩擦）

J r 解：(1) 系统机械能守恒

m 121212vkx?J??mv?mgxsin30?，?? 222rk 300 图4-10

2mgxsin30??kx22?2?1?9.8?0.5?2.0?12??1.53m/s v? 2J2?0.5?0.3m?2r12121211.532(2) A?J??J?0?J???0.5??6.5J

22220.324-11长l＝0. 40 m的均匀木棒，质量M＝1. 0kg，可绕水平轴O在竖直平面内转动，开始时棒自然地竖直

悬垂。现有质量m＝8g的子弹，以v＝200m／s的速率从A点射入棒中，假定A点与O点的距离为如图4-11所示。求：（1）棒开始运动时的角速度；（2）棒的最大偏转角。 解：(1) 子弹射入前后系统对O点的角动量守恒

3l，431319?0.42?0.054kg?m2

43431633mvl?0.008?200?0.4O ?4?8.89rad/s ??4J0.0543l 12l3(2) 设棒最大偏转角为?，由机械能守恒，J??Mg(1?cos?)?mgl(1?cos?)， 4l 22412J?A 0.054?8.8922(1?cos?)???1.0758 l33Mg?mgl1?9.8?0.4?0.008?9.8??0.4图4-11 242cos???0.0758 ??94.4? 最大偏转角超过90?

mv?l?J?，J?Ml2?m?(l)2??1?0.42?0.008?

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