江苏省苏州市2016年中考数学模拟试卷(四)含答案

2016年苏州市中考数学模拟试卷(四)

一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分，每小题只有一个选项符合题意）

1．（3分）﹣6的绝对值是（ ）

A． 6 B．﹣6 C．±6 D．1 6

2．（3分）新亚欧大陆桥东起太平洋西岸中国连云港，西达大西洋东岸荷兰鹿特丹等港口，横贯亚欧两大洲中部地带，总长约为10900公里，10900用科学记数法表示为（ ）

A． 0.109×105

A． 35° B． 1.09×104 C． 1.09×103 D． 70°

D． 109×102 3．（3分）如图，OA⊥OB，∠1=35°，则∠2的度数是（ ） B． 45° C． 55°

（3题图）

4．（3分）下列运算不正确的是（ ）

A． a2 a=a3 B． （a3）2=a6 （7题图）C． （2a2）2=4a4 D． a2÷a2=a （8题图）

5．（3分）若代数式4x﹣5与 的值相等，则x的值是（ ）

A．1 B． C． D．2

6．（3分）太仓港城中学足球队的18名队员的年龄如表所示：

A． 13岁，14岁 B． 14岁，14岁 C． 14岁，13岁 D． 14岁，15岁

7．（3分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点都在方格纸的格点上，如果将△ABC先向右平移4个单位长度，在向下平移1个单位长度，得到△A1B1C1，那么点A的对应点A1的坐标为（ ）

A． （4，3） B． （2，4） C． （3，1） D． （2，5） 8．（3分）如图，一次函数y1=x+b与一次函数y2=kx+4的图象交于点P（1，3），则关于x的不等式x+b＞kx+4的解集是（ ）

A． x＞﹣2 B． x＞0 C． x＞1 D． x＜1

9．（3分）如图，正方形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，∠ACB的角平分线分别交AB、CD于M、N两点．若AM=2，则线段ON的长为（ ）

10．（3分）如图，抛物线y=﹣2x2+8x﹣6与x轴交于点A、B，把抛物线在x轴及其上方的部分记作C1，将C1向右平移得C2，C2与x轴交于点B，D．若直线y=x+m与C1、C2共有3个不同的交点，则m的取值范围是（ ） A． B． C．1 D．

A． ﹣2＜m＜ B． ﹣3＜m＜﹣ C． ﹣3＜m＜﹣2 D． ﹣3＜m＜﹣

（9题图）（10题图）

二、填空题（共6小题，每小题3分，满分18分）

11．（3分）分解因式：xy+x= ．

12．（3分）如图，PA是⊙O的切线，A是切点，PA=4，OP=5，则⊙O的周长为果保留π）． （12题图）（13题图）（14题图）

13．（3分）小球在如图所示的地板上自由滚动，并随机地停留在某块方砖上，每一块方砖的除颜色外完全相同，它最终停留在黑色方砖上的概率是 ．

14．（3分）如图，等边三角形AOB的顶点A的坐标为（﹣4，0），顶点B在反比例函数y= （x＜0）的图象上，则k= ．

x15．（3分）函数y＝x的取值范围是 ． 1－x

16. （3分）已知关于x的方程x2－3x+1＝0的两个根为x1、x2，则x1+ x2－x1x2＝ ．

17. （3分）如图，在边长为6的正方形ABCD中，E是AB的中点，以E为圆心，ED为半径作半圆，交A、B所在的直线于M、N两点，分别以直径MD、ND为直径作半圆，则阴影部分面积为 ．

（第17题）（第18题）

18.（3分）如图，在菱形ABCD中，AB=6，∠DAB=60°，AE分别交BC、BD于点E、F，CE=2，连接CF，以下结论：①△ABF≌△CBF；②点E到AB的距离是2 ；③tan∠

DCF= ；④△ABF的面积为

．其中一定成立的是 （把所有正确结论的序号都填在横线上）．

三、解答题（共7小题，满分57分）

1－19．（5分）计算：(π－1)0＋|2－2|－(1＋8. 20. （5分）解不等式组：

3

．

a－3521. （6分）先化简，再求值：(a＋2－)，其中a2＋3a－1＝0. 3a－6aa－2

22. （6分）太仓和温州两地相距480km，乘坐高铁列车比乘坐普通快车能提前4h到达，已知高铁列车的平均行驶速度是普通快车的3倍，求高铁列车的平均行驶速度．

23．（8分）八年级一班开展了“读一本好书”的活动，班委会对学生阅读书籍的情况进行了问卷调查，问卷设置了“小说”、“戏剧”、“散文”、“其他”

四个类别，每位同学仅选一项，根据调查结果绘制了不完整的频数分布表和扇形统计图．根

（1）计算m= （2）在扇形统计图中，“其他”类所占的百分比为 ；

（3）在调查问卷中，甲、乙、丙、丁四位同学选择了“戏剧”类，现从中任意选出2名同学参加学校的戏剧社团，请用画树状图或列表的方法，求选取的2人恰好是乙和丙的概率．

24.（8分）（1）如图，在矩形ABCD中，BF=CE，求证：AE=DF；

（2）如图，在圆内接四边形ABCD中，O为圆心，∠BOD=160°，求∠BCD的度数．

25．（8分）如图1，点A（8，1）、B（n，8）都在反比例函数y=错误！未找到引用源。 （x＞0）的图象上，过点A作AC⊥x轴于C，过点B作BD⊥y轴于D．

（1）求m的值和直线AB的函数关系式；

（2）动点P从O点出发，以每秒2个单位长度的速度沿折线OD﹣DB向B点运动，同时动点Q从O点出发，以每秒1个单位长度的速度沿折线OC向C点运动，当动点P运动到

D时，点Q也停止运动，设运动的时间为t秒．

①设△OPQ的面积为S，写出S与t的函数关系式；

②如图2，当的P在线段OD上运动时，如果作△OPQ关于直线PQ的对称图形△O′PQ，是否存在某时刻t，使得点Q′恰好落在反比例函数的图象上？若存在，求Q′的坐标和t的值；若不存在，请说明理由．

26．（10分）如图，AB是⊙O的直径，弦DE垂直平分半径OB，垂足为M，DE=4，连接AD，过E作AD平行线交AB延长线于点C．

（1）求⊙O的半径；

（2）求证：CE是⊙O的切线；

（3）若弦DF与直径AB交于点N，当∠DNB=30°时，求图中阴影部分的面积．

27．（10分）抛物线y=ax2+bx+4（a≠0）过点A（1，﹣1），B（5，﹣1），与y轴交于点C．

（1）求抛物线的函数表达式；

（2）如图1，连接CB，以CB为边作 CBPQ，若点P在直线BC上方的抛物线上，Q为坐标平面内的一点，且 CBPQ的面积为30，求点P的坐标；

（3）如图2，⊙O1过点A、B、C三点，AE为直径，点M为 上的一动点（不与点A，E重合），∠MBN为直角，边BN与ME的延长线交于N，求线段BN长度的最大值．

28.（10分）如图①，已知：在矩形ABCD的边AD上有一点O，OA=，以O为圆心，OA长为半径作圆，交AD于M，恰好与BD相切于H，过H作弦HP∥AB，弦HP=3．若点E是CD边上一动点（点E与C，D不重合），过E作直线EF∥BD交BC于F，再把△CEF沿着动直线EF对折，点C的对应点为G．设CE=x，△EFG与矩形ABCD重叠部分的面积为S．

（1）求证：四边形ABHP是菱形；

（2）问△EFG的直角顶点G能落在⊙O上吗？若能，求出此时x的值；若不能，请说明理由；

（3）求S与x之间的函数关系式，并直接写出FG与⊙O相切时，S的值．

参考答案

1. A；

2. 分析：科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．故选：B．

点评：考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．

3. 考点：余角和补角；垂线．

分析：根据两个角的和为90°，可得两角互余，可得答案．

解：∵OA⊥OB，∴∠AOB=90°，即∠2+∠1=90°，∴∠2=55°，故选：C． 点评：此题考查了余角的知识，掌握互余两角之和等于90°是解答本题的关键．

4. 考点：同底数幂的除法；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方．

分析：根据同底数幂相乘，底数不变指数相加；幂的乘方，底数不变指数相乘；积的乘方，先把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘；同底数幂相除，底数不变指数相减；对各选项分析判断即可得解．

×解：A、a2 a=a2+1=a3，故本选项错误；B、（a3）2=a32=a6，故本选项错误；

﹣C、（2a2）2=22（ a2）2=4a4，故本选项错误；D、应为a2÷a2=a22=a0=1，故本选项正确．故

选D．

点评： 本题考查了同底数幂的乘法，积的乘方的性质，幂的乘方的性质，同底数幂的除法，熟练掌握运算性质和法则是解题的关键．

5. 考点：解一元一次方程．

专题：计算题．

分析：根据题意列出方程，求出方程的解即可得到x的值．

解：根据题意得：4x﹣5= ，去分母得：8x﹣10=2x﹣1，解得：x= ，故选B．

点评：此题考查了解一元一次方程，其步骤为：去分母，去括号，移项合并，把未知数系数化为1，求出解．

6. 考点：众数；中位数．

分析：首先找出这组数据中出现次数最多的数，则它就是这18名队员年龄的众数；然后根据这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数，判断出这18名队员年龄的中位数是多少即可．

解答：解：∵济南某中学足球队的18名队员中，14岁的最多，有6人，

∴这18名队员年龄的众数是14岁；∵18÷2=9，第9名和第10名的成绩是中间两个数， ∵这组数据的中间两个数分别是14岁、14岁，∴这18名队员年龄的中位数是：

（14+14）÷2=28÷2=14（岁）综上，可得：这18名队员年龄的众数是14岁，中位数是14岁．

故选：B．

点评：（1）此题主要考查了众数的含义和求法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①一组数据中出现次数最多的数据叫做众数．②求一组数据的众数的方法：找出频数最多的那个数据，若几个数据频数都是最多且相同，此时众数就是这多个数据．

（2）此题还考查了中位数的含义和求法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，①如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．②如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．

7. 考点：坐标与图形变化-平移．

分析：根据平移规律横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减进行计算即可． 解答：解：由坐标系可得A（﹣2，6），将△ABC先向右平移4个单位长度，在向下平移1个单位长度，点A的对应点A1的坐标为（﹣2+4，6﹣1），即（2，5），故选：D． 点评：此题主要考查了坐标与图形的变化﹣﹣平移，关键是掌握点的坐标的变化规律．

8. 考点：一次函数与一元一次不等式．

分析：观察函数图象得到当x＞1时，函数y=x+b的图象都在y=kx+4的图象上方，所以关于x的不等式x+b＞kx+4的解集为x＞1．

解：当x＞1时，x+b＞kx+4，即不等式x+b＞kx+4的解集为x＞1．故选：C．

点评： 本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y=ax+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y=kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．

9. 考点：相似三角形的判定与性质；角平分线的性质；正方形的性质．

点评：本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形．也考查了角平分线的性质和正方形的性质．

10. 考点：抛物线与x轴的交点；二次函数图象与几何变换．

分析：首先求出点A和点B的坐标，然后求出C2解析式，分别求出直线y=x+m与抛物线C2相切时m的值以及直线y=x+m过点B时m的值，结合图形即可得到答案．

解答：解：令y=﹣2x2+8x﹣6=0，即x2﹣4x+3=0，解得x=1或3，则点A（1，0），B（3，0）， 由于将C1向右平移2个长度单位得C2，则C2解析式为y=﹣2（x﹣4）2+2（3≤x≤5）， 当y=x+m1与C2相切时，令y=x+m1=y=﹣2（x﹣4）2+2，即2x2﹣15x+30+m1=0，

△=﹣8m1﹣15=0，解得m1=﹣

当﹣3＜m＜﹣ ，当y=x+m2过点B时，即0=3+m2，m2=﹣3， 时直线y=x+m与C1、C2共有3个不同的交点，故选D．

点评：本题主要考查抛物线与x轴交点以及二次函数图象与几何变换的知识，解答本题的关键是正确地画出图形，利用数形结合进行解题，此题有一定的难度．

11. 考点：因式分解-提公因式法．分析：直接提取公因式x，进而分解因式得出即可． 解答：解：xy+x=x（y+1）．故答案为：x（y+1）．

点评：此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键．

12. 考点：切线的性质；勾股定理．

分析：连接OA，根据切线的性质求出∠OAP=90°，根据勾股定理求出OA即可． 解： 连接OA，∵PA是⊙O的切线，A是切点，∴∠OAP=90°，

在Rt△OAP中，∠OAP=90°，PA=4，OP=5，由勾股定理得：OA=3，

则⊙O的周长为2π×3=6π，故答案为：6π．

点评：本题考查了切线的性质，勾股定理的应用，解此题的关键是能正确作出辅助线，并求出∠OAP=90°，注意：圆的切线垂直于过切点的半径．

13. 考点：几何概率．分析：根据几何概率的求法：最终停留在黑色的方砖上的概率就是黑色区域的面积与总面积的比值．

解：观察这个图可知：黑色区域（4块）的面积占总面积（9块）的 ，则它最终停留在黑色方砖上的概率是

；故答案为： ．

点评：本题考查几何概率的求法：首先根据题意将代数关系用面积表示出来，一般用阴影区域表示所求事件（A）；然后计算阴影区域的面积在总面积中占的比例，这个比例即事件（A）发生的概率．

14. 考点：反比例函数图象上点的坐标特征；等边三角形的性质．

分析：过点B作BD⊥x轴于点D，因为△AOB是等边三角形，点A的坐标为（﹣4，0）所∠AOB=60°，根据锐角三角函数的定义求出BD及OD的长，可得出B点坐标，进而得出反比例函数的解析式；

解：过点B作BD⊥x轴于点D，∵△AOB是等边三角形，点A的坐标为（﹣4，0）， ∴∠AOB=60°，OB=OA=AB=4，∴OD= OB=2，BD=OB sin60°=4×

=2 ， ∴B（﹣2，2 ），∴k=﹣2×2 =﹣4 ；故答案为﹣4 ．

点评：本题考查了反比例函数图象上点的坐标特点、等边三角形的性质、解直角三角函数等知识，难度适中．

15. x≠1；

16. 2；

17. 解：根据图形可知阴影部分的面积=两个小的半圆的面积+△DMN的面积﹣大半圆的面积．

222∵MN的半圆的直径，∴∠MDN=90°．在Rt△MDN中，MN=MD+DN，

∴两个小半圆的面积=大半圆的面积．∴阴影部分的面积=△DMN的面积．

在Rt△AED中，DE==

==． =3，∴阴影部分的面积=△DMN的面积18. 考点：四边形综合题．

分析：利用SAS证明△ABF与△CBF全等，得出①正确，根据含30°角的直角三角形的性质得出点E到AB的距离是2

④错误，得出tan∠

DCF= ，得出②正确，同时得出；△ABF的面积为

，得出③正确． 得出

解：∵菱形ABCD，∴AB=BC=6，∵∠DAB=60°，∴AB=AD=DB，∠ABD=∠DBC=60°， 在△ABF与△CBF中，∴△ABF≌△CBF（SAS），∴①正确；

过点E作EG⊥AB，过点F作MH⊥CD，MH⊥AB，如图：

∵CE=2，BC=6，∠ABC=120°，∴BE=6﹣2=4，∵EG⊥AB，∴EG= 2

∴点E到AB的距离是2 ，故②正确；

∵BE=4，EC=2，∴S△BFE：S△FEC=4：2=2：1，∴S△ABF：S△FBE=3：2，

∴△ABF的面积为

=

∵∵，∴，故④错误； =， ， ∵

， ，∴FM=，∴DM=，∴CM=DC﹣DM=6

﹣

∴tan∠

DCF=，故③正确；

故答案为：①②③点评：此题考查了四边形综合题，关键是根据菱形的性质、等边三角形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质分析．此题难度较大，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．

19. 原式＝1＋22－3＋22＝2

20. 考点：整式的混合运算；解一元一次不等式组．

分析：分别解不等式，进而得出其解集即可．

解①得：x≥2，解②得：x≥﹣1，故不等式组的解为：x≥2．

点评：此题主要考查了整式的混合运算以及解一元一次不等式组，正确掌握运算法则得出不等式组的解集是解题关键．

a－3a2－4－5a－3a－2121. 解：原式＝ 3a（a－2）a－23a（a－2）（a＋3）（a－3）3a＋9a

1当a2＋3a－1＝0，即a2＋3a＝1 3

22. 考点：分式方程的应用．分析：首先设普通快车的速度为xkm/时，则高铁列车的平均行驶速度是3xkm/时，根据题意可得等量关系：乘坐普通快车所用时间﹣乘坐高铁列车所用时间=4h，根据等量关系列出方程，再解即可．

解：设普通快车的速度为xkm/时，由题意得： ﹣ =4，解得：x=80，

经检验：x=80是原分式方程的解，3x=3×80=240，

答：高铁列车的平均行驶速度是240km/时．

点评：此题主要考查了分式方程的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程，注意分式方程不能忘记检验．

23.考点：列表法与树状图法；频数（率）分布表；扇形统计图．

分析：（1）用散文的频数除以其频率即可求得样本总数；

（2）根据其他类的频数和总人数求得其百分比即可；

（3）画树状图得出所有等可能的情况数，找出恰好是丙与乙的情况，即可确定出所求概率． 解答： 解：（1）∵喜欢散文的有10人，频率为0.25，∴m=10÷0.25=40；

（2）在扇形统计图中，“其他”类所占的百分比为 ×100%=15%，故答案为：15%；

（3）画树状图，如图所示：

所有等可能的情况有12种，其中恰好是丙与乙的情况有2种，∴P（丙和乙）==． 点评：此题考查了列表法与树状图法，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．

24. 考点：矩形的性质；全等三角形的判定与性质；圆周角定理；圆内接四边形的性质． 分析：（1）根据矩形的性质得出AB=CD，∠B=∠C=90°，求出BE=CF，根据SAS推出△ABE≌△DCF即可；

（2）根据圆周角定理求出∠BAD，根据圆内接四边形性质得出∠BCD+∠BAD=180°，即可求出答案．

解答：（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AB=CD，∠B=∠C=90°，

∵BF=CE，∴BE=CF，在△ABE和△DCF中，

∴△ABE≌△DCF，∴AE=DF；

，

（2）解：∵∠BOD=160°，∴∠

BAD= ∠BOD=80°，∵A、B、C、D四点共圆， ∴∠BCD+∠BAD=180°，∴∠BCD=100°．

点评：本题考查了全等三角形的性质和判定，矩形的性质，圆周角定理，圆内接四边形性质的应用，解（1）小题的关键是求出△ABE≌△DCF，解（2）小题的关键是求出∠BAD的度数和得出∠BCD+∠BAD=180°．

25. 考点：反比例函数综合题．

分析：（1）由于点A（8，1）、B（n，8）都在反比例函数y=错误！未找到引用源。 的图象上，根据反比例函数的意义求出m，n，再由待定系数法求出直线AB的解析式；

（2）①由题意知：OP=2t，OQ=t，由三角形的面积公式可求出解析式；

②通过三角形相似，用t的代数式表示出O′的坐标，根据反比例函数的意义可求出t值． 解：（1）∵点A（8，1）、B（n，8）都在反比例函数y=错误！未找到引用源。 的图象上，∴m=8×1=8，

∴

y= ，∴8= ，即n=1，设AB的解析式为y=kx+b，

（25题答图）（26题答图）

26. 【考点】切线的判定；扇形面积的计算。

【分析】（1）首先连接OE，由弦DE垂直平分半径OB，根据垂径定理可求得OM与OE的关系，求得ME的长，然后根据直角三角形的性质，求得∠OEM=30°，根据三角函数的性质，则可求得⊙O的半径；（2）由垂径定理，可得，根据在等圆或同圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于所对圆心角的一半，即可求得∠B的度数，即可求得∠EDA的度数，又由EC∥BD，可求得∠CED的度数，继而求得∠CEO=90°，即可证得EC是⊙O的切线；

（3）由∠BND=30°，根据在等圆或同圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于所对圆心角的一半，即可求得∠EOF的度数，然后根据S阴影=S扇形EOF﹣S△EOF，即可求得答案．

【解答】（1）解：连接OE．∵DE垂直平分半径OB，∴OM=OB

∵OB=OE，∴OM=OE，ME=DE=2，∴∠OEM=30°，∴OE=（2）证明：由（1）知：∠BOE=60°，=； ，∴∠A=∠BOE=30°，∴∠ADE=60° ∵AD∥CE，∴∠CED=∠ADE=60°，∴∠CEO=∠CED+∠OEM=60°+30°=90°，

∴OE⊥EC，∴EC是⊙O的切线；

（3）解：连接OF．∵∠DNB=30°，∵∠DMA=90°，∴∠MDN=60°，∴∠EOF=2∠EDF=120°， ∴S阴影=S扇形EOF﹣S△EOF=﹣=π﹣．

【点评】此题考查了垂径定理，圆周角的性质，切线的判定，直角三角形的性质，以及平行线的性质等知识，此题综合性很强，难度适中，解题的关键是注意数形结合思想的应用，注意辅助线的作法．

27. 考点：二次函数综合题．

分析：（1）将点A、B的坐标代入抛物线的解析式，得到关于a、b的方程，从而可求得a、b的值；（2）设点P的坐标为P（m，m﹣6m+4），由平行四边形的面积为30可知S△CBP=15，由S△CBP=S梯形CEDP﹣S△CEB﹣S△PBD，得到关于m的方程求得m的值，从而可求得点P的坐标；（3）首先证明△EAB∽△NMB，从而可得到NB=

大值．

解：（1）将点A、B的坐标代入抛物线的解析式得：∴抛物线得解析式为y=x﹣6x+4．

（2）如图所示： 22，当MB为圆的直径时，NB有最，解得：．

2 设点P的坐标为P（m，m﹣6m+4）

∵平行四边形的面积为30，∴S△CBP=15，即：S△CBP=S梯形CEDP﹣S△CEB﹣S△PBD． ∴m（5+m﹣6m+4+1）﹣×5×5﹣（m﹣5）（m﹣6m+5）=15．

化简得：m﹣5m﹣6=0，解得：m=6，或m=﹣1．∵m＞0，∴点P的坐标为（6，4）．

（3）连接AB、EB．∵AE是圆的直径，∴∠ABE=90°．∴∠ABE=∠MBN．

又∵∠EAB=∠EMB，∴△EAB∽△NMB．

∵A（1，﹣1），B（5，﹣1），∴点O1的横坐标为3，

将x=0代入抛物线的解析式得：y=4，∴点C的坐标为（0，4）．

设点O1的坐标为（3，m），∵O1C=O1A，∴

解得：m=2，∴点O1的坐标为（3，2），∴O1A=

在Rt△ABE中，由勾股定理得：BE==， =6，

．∴

， ． ， 222∴点E的坐标为（5，5）．∴AB=4，BE=6．∵△EAB∽△NMB，∴∴NB=

∴NB=．∴当MB为直径时，MB最大，此时NB最大．∴MB=AE=2=3．

点评：主要考查的是二次函数的综合应用，利用两点间的距离公式求得圆的半径是解题的关键．

28. 考点：圆的综合题；含30度角的直角三角形；菱形的判定；矩形的性质；垂径定理；切线的性质；切线长定理；轴对称的性质；特殊角的三角函数值所有

专题：压轴题．

分析：（1）连接OH，可以求出∠HOD=60°，∠HDO=30°，从而可以求出AB=3，由HP∥AB，HP=3可证到四边形ABHP是平行四边形，再根据切线长定理可得BA=BH，即可证到四边形ABHP是菱形．

（2）当点G落到AD上时，可以证到点G与点M重合，可求出x=2．

（3）当0≤x≤2时，如图①，S=S△EGF，只需求出FG，就可得到S与x之间的函数关系式；当2＜x≤3时，如图④，S=S△GEF﹣S△SGR，只需求出SG、RG，就可得到S与x之间的函数关系式．当FG与⊙O相切时，如图⑤，易得FK=AB=3，KQ=AQ﹣AK=2﹣2+x．再由FK=KQ即可求出x，从而求出S．

解答： 解：（1）证明：连接OH，如图①所示．

∵四边形ABCD是矩形，∴∠ADC=∠BAD=90°，BC=AD，AB=CD．

∵HP∥AB，∴∠ANH+∠BAD=180°．∴∠ANH=90°．∴HN=PN=HP=． ∵OH=OA=，∴sin∠HON==．∴∠HON=60°∵BD与⊙O相切于点H，∴OH⊥BD． ．∴BC=3

=． =．∴AB=3． ∴∠HDO=30°．∴OD=2．∴AD=3∵∠BAD=90°，∠BDA=30°．∴tan∠BDA=∵HP=3，∴AB=HP．∵AB∥HP，∴四边形ABHP是平行四边形．

∵∠BAD=90°，AM是⊙O的直径，∴BA与⊙O相切于点A．

∵BD与⊙O相切于点H，∴BA=BH．∴平行四边形ABHP是菱形．

（2）△EFG的直角顶点G能落在⊙O上．

如图②所示，点G落到AD上．∵EF∥BD，∴∠FEC=∠CDB．∵∠CDB=90°﹣30°=60°， ∴∠CEF=60°．由折叠可得：∠GEF=∠CEF=60°．∴∠GED=60°．∵CE=x，

∴GE=CE=x．ED=DC﹣CE=3﹣x．∴cos∠GED===．∴x=2．∴GE=2，ED=1．∴GD=． ∴OG=AD﹣AO﹣GD=3﹣﹣=．∴OG=OM．∴点G与点M重合．此时△EFG的直角顶点G落在⊙O上，对应的x的值为2．∴当△EFG的直角顶点G落在⊙O上时，对应的x的值为2．

（3）①如图①，在Rt△EGF中，tan∠FEG===．∴FG=x．∴S=GE FG=x x=x． 2②如图③，ED=3﹣x，RE=2ED=6﹣2x，GR=GE﹣ER=x﹣（6﹣2x）=3x﹣

6．∵tan∠SRG=∴SG===， （x﹣2） （3x﹣6）．=（x﹣2）． 2（x﹣2）．∴S△SGR=SG RG=

∵S△GEF=x，∴S=S△GEF﹣S△SGR=2x﹣

22（x﹣2）．=﹣2x+6x+622x﹣6x﹣6． ． 综上所述：当0≤x≤2时，S=x；当2＜x≤3时，S=﹣

当FG与⊙O相切于点T时，延长FG交AD于点Q，过点F作FK⊥AD，垂足为K，如图④所示．

∵四边形ABCD是矩形，∴BC∥AD，∠ABC=∠BAD=90°∴∠AQF=∠CFG=60°． ∵OT=，∴OQ=2．∴AQ=+2．

∵∠FKA=∠ABC=∠BAD=90°，∴四边形ABFK是矩形．∴FK=AB=3，AK=BF=3﹣

∴KQ=AQ﹣AK=（+2）﹣（3﹣x）=2﹣2+x．

在Rt△FKQ中，tan∠FQK=解得：x=3﹣．∵0≤3﹣=．∴FK=≤2，∴S=

﹣6． QK．∴3=x=2x． （2﹣2+）=2x）． ﹣6． ×（3﹣∴FG与⊙O相切时，S的值为

点评：本题考查了矩形的性质、菱形的性质、切线的性质、切线长定理、垂径定理、轴对称性质、特殊角的三角函数值、30°角所对的直角边等于斜边的一半、等腰三角形的性质等知识，综合性非常强．

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/z0oj.html