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体系通关三 考前专项押题练

[小题押题练 A组] （建议用时：40分钟）

1．设复数z＝2＋bi(b∈R)且|z|＝22，则复数z的虚部为 A．2

B．±2i

C．±2

D．±22

( )．

解析 |z|＝4＋b2＝22，解得b＝±2. 答案 C

2．已知集合A＝{x|x2>1}，B＝{x|log2x>0}，则A∩B＝ A．{x|x>－1} C．{x|x>1}

B．{x|x>0}

D．{x|x<－1，或x>1}

( )．

解析 A＝{x|x>1，或x<－1}，B＝{x|x>1}，∴A∩B＝{x|x>1}． 答案 C

3．正四棱锥S－ABCD的侧棱长为2，底面边长为3，E为SA的中点，则异面直线BE和SC所成的角为 A．30°

( )．

B．45° C．60° D．90°

解析 设AC中点为O，则OE∥SC，连结BO，则∠BEO(或其补角)即为异面121

直线BE和SC所成的角，EO＝2SC＝2，BO＝2BD13AB2266

＝2，在△SAB中，cos A＝SA＝＝4＝

2AB2＋AE2－BE21

，∴BE＝2.△BEO中，cos∠BEO＝2，

2AB·AE∴∠BEO＝60°. 答案 C

4．下列命题是真命题的是

( )．

A．a>b是ac2>bc2的充要条件 B．a>1，b>1是ab>1的充分条件

C．?x∈R，2x>x2 D．?x0∈R，ex0<0

解析 A中，当c＝0时，a>b?/ ac2>bc2，错误；C中，当x＝2时，2x＝x2，错误；D中，对于?x∈R，ex>0，错误；B正确． 答案 B

5．阅读如图的程序框图，若运行相应的程序，则输出的S的值是 A．102 C．81

( )．

B．39 D．21

解析 第一次循环：S＝0＋1331＝3，n＝1＋1＝2，满足n<4；

第二次循环：S＝3＋2·32＝21，n＝2＋1＝3，满足n<4；

第三次循环：S＝21＋3·33＝102，n＝3＋1＝4，不满足n<4；循环结束，此时S＝102. 答案 A

?x－y＋5≥0，6．已知x，y满足?x≤3，则z＝2x＋4y的最小值为

?x＋y≥0，

A．5

B．－5

C．6

D．－6

解析 画出线性约束条件下的平面区域． ?x＝3，由?得点P(3，－3)． x＋y＝0?

此时z＝2x＋4y达到最小值，最小值为－6. 答案 D

?π?1?π?

7．若cos ?＋x?＝3，则cos ?－2x?＝

?4??2?7

A．－9

1

B．－9

8

C.9

7D.9

( )．

( )．

?π?1

解析 ∵cos ?＋x?＝3，

?4?

7?π??π?

∴cos ?＋2x?＝2cos 2?＋x?－1＝－9，

?2??4?77?π?

??即sin 2x＝9，∴cos －2x＝sin 2x＝9. ?2?答案 D

x2y22

8．已知双曲线C1：b>0)的离心率为2，若抛物线Cx＝2py(p>0)2－2＝1(a>0，2：ab的焦点到双曲线C1的渐近线的距离为2，则抛物线C2的方程为 ( )． 83

A．x2＝3y C．x2＝8y

163

B．x2＝3y D．x2＝16y

p?c?

解析 依题意知，e＝a＝2，抛物线C2的焦点?0，2?，双曲线C1的一条渐近

??b

线方程为y＝ax，即bx－ay＝0，则16y. 答案 D

9．若函数f(x)＝x3－3x在(a，6－a2)上有最小值，则实数a的取值范围是( )． A．(－5，1) C．[－2，1)

B．[－5，1) D．(－2，1)

p

|a32|a2＋b

ap|2|p12

＝＝3＝2，∴p＝8，∴x＝2c22

解析 f′(x)＝3x2－3＝3(x＋1)(x－1)，令f′(x)＝0，得x＝1或－1，所以f(x)的大致图象如图所示，

f(1)＝－2，f(－2)＝－2，若函数f(x)在(a，6－a2)上有最?－2≤a<1，

小值，则?解得－2≤a<1. 2

6－a>1，?答案 C

10．已知两条不重合的直线m，n和两个不重合的平面α，β，有下列命题： ①若m⊥n，m⊥α，则n∥α；②若m⊥α，n⊥β，m∥n，则α∥β；③若m，n是两条异面直线，m?α，n?β，m∥β，n∥α，则α∥β；④若α⊥β，α∩β＝m，n?β，n⊥m，则n⊥α；其中正确命题的个数是 A．1 B．2 C．3 D．4

解析 ①错误；②正确；③正确；④正确；

( )．

答案 C

π

11．f(x)＝3sin(ωx＋φ)＋cos(ωx＋φ)(ω>0，|φ|<2)的最小正周期为π.且f(－x)＝f(x)，则下列关于g(x)＝sin(ωx＋φ)的图象说法正确的是 ?ππ?

A．函数在x∈?－，?上单调递增

3??47π

B．关于直线x＝12对称

π??

C．在x∈?0，?上，函数值域为[0，1]

6???π?

D．关于点?，0?对称

?6?

解析 f(x)＝3sin(ωx＋φ)＋cos(ωx＋φ) π??

＝2sin ?ωx＋φ＋?，

6??∴

2π

＝π，即ω＝2，

( )．

ωπ??

∴f(x)＝2sin ?2x＋φ＋?.

6??

πππ

又f(－x)＝f(x)，∴φ＋6＝2，即φ＝3， π??

∴g(x)＝sin ?2x＋?，

3??

7ππ7ππ3π

∴当x＝12时，2x＋3＝2312＋3＝2， 7π

故g(x)关于直线x＝12对称． 答案 B

1

12．设函数f(x)的零点为x1，函数g(x)＝4x＋2x－2的零点为x2，若|x1－x2|>4，则f(x)可以是( )．

11

A．f(x)＝2x－2 B．f(x)＝－x2＋x－4 C．f(x)＝1－10x D．f(x)＝ln(8x－2)

1?1??1??11?解析 由g?4?＝2＋2－2<0，g?2?＝2＋1－2＝1>0，∴x2∈?4，2?.A中，x1

??????1111

＝4，不满足|x1－x2|>4；B中，x1＝2，不满足|x1－x2|>4；C中，x1＝0，满足|x11

－x2|>4，故选C. 答案 C

13．已知向量a＝(2，－1)，b＝(－1，m)，c＝(－1，2)，若(a＋b)∥c，则m＝________． 解析 ∵a＝(2，－1)，b＝(－1，m)，∴a＋b＝(1，m－1)，∵(a＋b)∥c，c＝(－1，2)，∴132－(－1)(m－1)＝0，∴m＝－1. 答案 －1

21

14．已知x＋y＝1(x>0，y>0)，则x＋y的最小值为________．

x2y?21?解析 (x＋y)?x＋y?＝3＋y＋x≥3＋22，当且仅当x＝2y时，等号成立．

??答案 3＋22

15．如图，在△ABC中，AB＝AC＝2，BC＝23，点D在BC边上，∠ADC＝75°，则AD的长为________． 解析 在△ABC中，因为AB＝AC＝2，BC＝23，所以

∠C＝30°，又∠ADC＝75°，所以∠DAC＝75°，所以CD＝CA＝2，由余弦定理得：AD2＝CD2＋AC2－2CD3AC3cos C＝8－43.所以AD＝6－2. 答案

6－2

16．给出下列命题：

1

①抛物线x＝－4y2的准线方程是x＝1； x2＋3

②若x∈R，则2的最小值是2；

x＋2③a>1，b>1是ab>1的充分条件． 其中正确的是(填序号)________．

解析 ①抛物线的标准方程为y2＝－4x，所以其准线方程是x＝1正确；②若x2＋3x2＋2＋11122x∈R，则2＝＝x＋2＋≥2，当且仅当x＋2＝，

x＋2x2＋2x2＋2x2＋2即x2＝－1时取等号，显然错误；③当a>1，b>1时，必有ab>1；但ab>1?/ a>1，b>1(如a＝－1，b＝－2)．所以“a>1，b>1”是“ab>1”的充分条件，③正确．

答案 ①③

[小题押题练 B组] (建议用时：40分钟)

a＋i

1．设i是虚数单位，复数是纯虚数，则实数a＝

2－iA．－2 1C．－2 解析

B．2 1D.2

( )．

a＋i（a＋i）（2＋i）2a－1a＋22a－1a＋2

＝＝5＋5i，依题意知5＝0，且5≠2－i（2－i）（2＋i）

1

0，即a＝2. 答案 D

2．设全集U＝R，A＝{x|2x(x－2)<1}，B＝{x|y＝ln(1－x)}，则图中阴影部分表示的集合为 A．{x|x≥1} C．{x|0

( )．

B．{x|1≤x<2} D．{x|x≤1}

解析 由图中阴影部分表示集合A∩?UB.A＝{x|x(x－2)<0}＝{x|00}＝{x|x<1}，∴?UB＝{x|x≥1}， ∴A∩?UB＝{x|1≤x<2}． 答案 B

3．下列命题中，真命题是

( )．

A．命题“若p，则q”的否命题是“若p，则綈q”

B．命题p：?x∈R，使得x2＋1<0，则綈p，?x∈R，使得x2＋1≥0 C．已知命题p，q，若“p∨q”为假命题，则命题p与q一真一假 a

D．a＋b＝0的充要条件是b＝－1

解析 A中，命题“若p，则q”的否命题是“若綈p，则綈q”，错误；B正确；C中，若“p∨q”为假，则命题p与q均假，错误；D中，a＝b＝0时

a

?/ b＝－1错误． 答案 B

4．某校200名学生期中考试语文成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是：[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]．则成绩在[90，100]内的人数为

( )．

D．5

A．20 B．15 C．10

1

解析 由直方图知[90，100]内的频率为：2[1－(0.02＋0.03＋0.04)310]＝0.05，所以成绩在[90，100]内的人数为：0.053200＝10(人)． 答案 C

5．函数f(x)＝|log2(x＋1)|的图象大致是

( )．

解析 因为g(x)＝|log2x|的图象如图．把g(x)的图象向左平移一个单位得到f(x)的图象，故选A. 答案 A

6．已知四棱锥P－ABCD的三视图如右图所示，则四棱锥P－ABCD的四个侧面中的最大面积是

( )．

A．6

B．8 D．3

C．25

解析 四棱锥如图所示：

1

PM＝3，S△PDC＝23435＝25，

11

S△PBC＝S△PAD＝23233＝3，S△PAB＝23433＝6，所以四棱锥P－ABCD的四个侧面中的最大面积是6. 答案 A

7．若直线y＝kx与圆(x－2)2＋y2＝1的两个交点关于直线2x＋y＋b＝0对称，则k，b的值分别为

( )．

1

A．k＝2，b＝－4 1

C．k＝2，b＝4

1

B．k＝－2，b＝4 1

D．k＝－2，b＝－4

解析 依题意知直线y＝kx与直线2x＋y＋b＝0垂直，且直线2x＋y＋b＝0过1??k＝，圆心，所以?2

??232＋0＋b＝0，1

即k＝2，b＝－4. 答案 A

8．已知等比数列{an}满足an>0，n＝1，2，?，且a52a2n－5＝22n(n≥3)，则当n≥1时，log2a1＋log2a3＋?＋log2a2n－1＝ A．n(2n－1)

B．(n＋1)2

( )．

C．n2 D．(n－1)2

n

解析 log2a1＋log2a3＋?＋log2a2n－1＝log2(a1a3?a2n－1)＝log2(a5·a2n－5)2＝n2. 答案 C

1

9．已知△ABC内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若cos B＝4，b＝2，sin C＝2sin A，则△ABC的面积为 15A.6

15B.4

( )．

15

C.2

D.15

ac

解析 由正弦定理sin A＝sin C，得c＝2a 由余弦定理b2＝a2＋c2－2accos B， 1

得4＝a2＋c2－2ac34

①

②

15

由①②得：a＝1，c＝2，又sin B＝1－cos2 B＝4. 111515

所以S△ABC＝2acsin B＝2313234＝4. 答案 B

10．已知函数f(x)＝x3－12x＋a，其中a≥16，则下列说法正确的是 ( )． A．f(x)有且只有一个零点 B．f(x)至少有两个零点 C．f(x)最多有两个零点 D．f(x)一定有三个零点

解析 f′(x)＝3x2－12，令f′(x)>0得x>2或x<－2，令f′(x)<0得－2

－－

x2y2

11．椭圆36＋9＝1上有两个动点P，Q，E(3，0)，EP⊥EQ，则EP2QP的最小

值为

( )．

A．6 B．3－3 C．9 D．12－63

m2n2

解析 设P点坐标为(m，n)，则36＋9＝1， 所以|PE|＝（m－3）2＋（n－0）2＝32

4m－6m＋18＝－

－

－

32（m－4）＋6，4

－

－

－

因为－6≤m≤6，所以|PE|的最小值为6，所以EP·QP＝EP·(EP－EQ)＝EP

2

－

－

－

－EP·EQ＝|EP|，故EP·QP的最小值为6.

2

－－

答案 A

12．若曲线f(x，y)＝0上两个不同点处的切线重合，则称这条切线为曲线f(x，y)

＝0的“自公切线”．下列方程：①x2－y2＝1；②y＝x2－|x|，③y＝3sin x＋4cos x；④|x|＋1＝4－y2对应的曲线中存在“自公切线”的有 A．①②

B．②③

C．①④

D．③④

( )．

解析 函数y＝x2－|x|的图象如图(1)，由图可知满足要求，函数y＝3sin x＋4cos x的一条自公切线为y＝5；

图(1)

图(2)

x2－y2＝1为等轴双曲线，不存在自公切线．

而对于方程|x|＋1＝4－y2，其表示的图形为图(2)中实线部分，不满足要求． 答案 B

13．某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如下表：

广告费用x(万元) 销售额y(万元) 3 25 4 30 5 40 6 45 ^x＋a^中的b^为7.据此模型预报广告费用为10万元

根据上表可得回归方程^y＝b时销售额为________(万元)．

－

3＋4＋5＋625＋30＋40＋45^＝7，把点(4.5，

解析 x＝＝4.5，y＝＝35，因为b

44

－

^x＋a^，得a^＝3.5，所以^

35)代入回归方程^y＝by＝7x＋3.5，当x＝10时，^y＝73.5. 答案 73.5

14．由正整数组成的一组数据x1，x2，x3，x4，其平均数和中位数都是2，且标准差等于1，则这组数据为________．

解析 不妨设x1≤x2≤x3≤x4，由中位数及平均数均为2，得x1＋x4＝x2＋x3＝4，故这四个数只可能为1，1，3，3或1，2，2，3或2，2，2，2，由标准差为1可得这四个数只能为1，1，3，3. 答案 1，1，3，3

15．运行如图所示的程序框图，输出的S值为________． 解析 S＝0，n＝1； 3

S＝2，n＝2； S＝3，n＝3； S＝3，n＝4； 3

S＝2，n＝5； S＝0，n＝6；

3

S＝2，n＝7；?，所以2 013÷5＝40235＋3，∴S＝3. 答案

3

y≤x，

?x＋2y≤4，16．已知实数x，y满足?

y≥－2，

?（x＋1）＋（y－1）＝r（r>0），

2

2

2

则r的最小值为________．

解析

?y≤x，

作出约束条件?x＋2y≤4，表示的可行域，如

?y≥－2，

图中的三角形，三角形内(包括边)到圆心的最短距离即为r的值，所以r的最小值为圆心到直线y＝x的距离，所以r的最小值为2. 答案

2

[小题押题练 C组] (建议用时：40分钟)

1．复数

2－i

在复平面上的对应点在 1＋i

( )．

A．第一象限 C．第三象限 解析

B．第二象限 D．第四象限

2－i（2－i）（1－i）1－3i13i3??1

＝＝2＝2－2，对应点为?2，－2?，位于第四

??1＋i（1＋i）（1－i）

象限． 答案 D

2．若集合M＝{y|y＝2－x}，P＝{y|y＝x－1}，则M∩P＝ A．{y|y>1}

( )．

B．{y|y≥1} C．{y|y>0} D．{y|y≥0}

解析 ∵M＝{y|y>0}，P＝{y|y≥0}， ∴M∩P＝{y|y>0}． 答案 C

3．某程序框图如图所示，则输出的S的值是 A．51 C．71

B．57 D．95

( )．

解析 i＝0，S＝1；i＝1，S＝1＋331＝4；i＝2，S＝4＋532＝14；i＝3，S＝14＋733＝35；i＝4，S＝35＋934＝71，则满足S>50所以输出值S是71. 答案 C

4．已知向量a＝(2，1)，b＝(－2，k)，且a⊥(2a－b)，则实数k＝

( )．

A．－14 B．－6 C．6 D．14

解析 2a－b＝(6，2－k)，∴a⊥(2a－b)?a·(2a－b)＝(2，1)·(6，2－k)＝12＋2－k＝0，∴k＝14. 答案 D

1－cos 2x

5．函数f(x)＝cos x

( )．

?ππ?

A．在?－，?上递增

2??2

π??π??

???B．在－，0上递增，在0，?上递减

2??2???ππ?C．在?－，?上递减

2??2

π??π??

D．在?－，0?上递减，在?0，?上递增

2??2??

|sin x||sin x|

解析 因为f(x)＝cos x，当sin x>0时，f(x)＝cos x＝tan x；当sin x≤0时，f(x)π?|sin x|??π?

＝cos x＝－tan x，即当x∈?0，?上时函数递增；当x∈?－，0?上时，函

2???2?数递减． 答案 D

6．一个几何体的三视图如图所示，且其侧视图是一个等边三角形，则这个几何体的体积为

( )．

3π

A．12＋2 9π

C．18＋4

9π

B．36＋2 3π

D．6＋4

解析 该几何体左边是一个半圆锥，右边是一个四棱锥． 3π111

V＝33233π33＋332332333＝2＋12. 答案 A

7．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝－15，a3＋a5＝－18，则当Sn取最小值时n等于

( )．

A．9 B．8 C．7 D．6

解析 由a3＋a5＝－18得a4＝－9，又a1＝－15，所以d＝2，所以an＝－15＋2(n－1)＝2n－17，由2n－17≤0得n≤8.5，故当Sn取最小值时n等于8. 答案 B

2x

8．已知抛物线y2＝8x的焦点与双曲线a2－y2＝1(a>0)的一个焦点重合，则该双曲

线的离心率为( )． 25A.5

415

B.15

23C.3

D.3

解析 依题意知c＝2，a2＋1＝4，a＝3， c223∴e＝a＝＝3.

3答案 C

?y≤1，

9．如果实数x，y满足?x＋y＋1≥0，那么z＝2x＋y的范围是

?x－2y－2≤0，

A．(－3，9) C．[－1，9]

B．[－3，9] D．[－3，9)

( )．

解析 作出约束条件的可行域，由可行域知：目标函数z＝2x＋y过点A(4，1)时，取最大值9，过点B(－2，1)时，取最小值－3，故z∈[－3，9]．

答案 B

10．现有四个函数：①y＝xsin x；②y＝xcos x；③y＝x|cos x|；④y＝x·2x的图象(部分)如下，但顺序被打乱，则按照从左到右将图象对应的函数序号安排正确的一组是

( )．

A．④①②③ C．①④②③

B．①④③② D．③④②①

解析 ①为偶函数；②为奇函数；③为奇函数，且当x>0时y>0；④为非奇非

偶函数，所以对应的顺序为①④②③. 答案 C

11．直线x＋(a2＋1)y＋1＝0的倾斜角的取值范围是 π??

A.?0，?

4??

?3π?

? B.?，π

?4?

?ππ??3π?

? D.?，?∪?，π

2??4?4?1

， a＋1

2 ( )．

π??π??

C.?0，?∪?，π?

4??2??

解析 依题意知直线斜率为k＝－

3π1

即tan α＝－2，故－1≤tan α<0，即4≤α<π.

a＋1答案 B

12．设奇函数f(x)在[－1，1]上是增函数，且f(－1)＝－1，若函数f(x)≤t2－2at＋1对所有的x∈[－1，1]都成立，则当a∈[－1，1]时t的取值范围是( )． A．－2≤t≤2

11

B．－2≤t≤2 11

D．t≤－2或t＝0或t≥2

C．t≤－2或t＝0或t≥2

解析 依题意f(x)的最大值为f(1)＝1，要使f(x)≤t2－2at＋1对所有的x∈[－1，1]都成立，则1≤t2－2at＋1，即t2－2at≥0，亦即t(t－2a)≥0，当t＝0时，不等式成立，当0≤a≤1时，不等式的解为t≥2a≥2；当－1≤a≤0时，不等式的解为t≤2a≤－2. 答案 C

11513．在△ABC中，若b＝4，cos B＝－4，sin A＝8，则a＝________，c＝________． 15

438

15bsin A

解析 sin B＝1－cos 2B＝4，由正弦定理，得a＝sin B＝＝2，再

154?1?由余弦定理，得42＝4＋c2－2323c3?－4?，即c2＋c－12＝0，解得c＝3.

??答案 2 3

14．在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝1，E，F分别是BC，→＋AF→)·→等于________．

CD的中点，则(AEAC

1??

解析 将矩形ABCD放入直角坐标系中，E?2，2?，

??

1?→?→→2，??C(2，1)，F(1，1)，所以AE＝，AC＝(2，1)，AF2??3?3?→＋AF→＝?→＝?→＋AF→·AC?3，2?，所以AE?3，2?·(2，1)＝6＝(1，1)，所以AE

????

315＋2＝2.

15答案 2 15．在线段AB上任取一点P，以P为顶点，B为焦点作抛物线，则该抛物线的

()

准线与线段AB有交点的概率是________．

解析 如图，C为AB中点，当P在BC部分时，符合1

题意，∴概率为2. 1答案 2 16．对大于或等于2的正整数m的n次方幂有如下分解方式： 22＝1＋3，32＝1＋3＋5，42＝1＋3＋5＋7，?. 23＝3＋5，33＝7＋9＋11，43＝13＋15＋17＋19，?.

根据上述分解规律，若m3(m∈N*)的分解中最小的数是91，则m的值为________．

解析 m3的分解中，最小的数依次为3，7，13，?，m2－m＋1，?，由m2－m＋1＝91，得m＝10. 答案 10

[小题押题练 D组]

(建议用时：40分钟)

1．设集合A＝{x|2x≤4}，集合B为函数y＝lg(x－1)的定义域，则A∩B＝( )． A．(1，2)

B．[1，2]

C．[1，2)

D．(1，2]

解析 A＝{x|x≤2}，B＝{x|x>1}，∴A∩B＝{x|1

?3＋i?2

?的共轭复数是 2．复数?

?1－i?A．－3－4i

( )．

B．－3＋4i C．3－4i D．3＋4i

?3＋i?28＋6i（8＋6i）i

?＝解析 ?＝＝－3＋4i，故其共轭复数为－3－4i.

－2i－2i2?1－i?答案 A

－

3．已知点A(－1，5)和向量a＝(2，3)，若AB＝3a，则点B的坐标为 ( )． A．(7，4) C．(5，4)

－

B．(7，14) D．(5，14)

?x＋1＝6，?x＝5，

解析 设B(x，y)，由AB＝3a，得?解得?

y－5＝9，y＝14.??答案 D

4．已知某8个数的平均数为5，方差为2，现又加入一个新数据5，此时这9个数的平均数为x，方差为s2，则

－

－

－

( )．

A.x＝5，s<2

－

2

B.x＝5，s2>2 D.x>5，s2>2

－

C.x>5，s<2

－

2

2

835＋5832＋（5－5）162

解析 x＝＝5，s＝＝999<2.

答案 A

?1?5．函数f(x)＝ln?x－x?的图象是

??

( )．

3?3?

解析 当x＝2时，f(2)＝ln2>0，排除A；当x＝－2时，f(－2)＝ln ?－2?无意

??1?15?

义，排除D；当x＝4时，f(4)＝ln ?4－4?＝ln4>0，排除C.

??答案 B

6．若a，b∈R，且ab>0，则下列不等式中，恒成立的是 A．a＋b≥2ab ba

C.a＋b≥2

112B.a＋b≥

abD．a2＋b2>2ab

ba

a·b＝2.

( )．

baba

解析 因为ab>0，所以a>0，b>0，所以a＋b≥2答案 C

a157．在等比数列{an}中，a52a11＝3，a3＋a13＝4，则a＝

5

( )．

A．3

1

B.3 1

D．－3或－3

1

C．3或3

?a3＝1，?a3＝3，

解析 由a5·a11＝3，得a3·a13＝3，又a3＋a13＝4，解得?或?

?a13＝3?a13＝1.

a15a13q21所以a＝aq2＝3或3.

53答案 C

8．如果右边程序框图的输出结果是6，那么在判断框中①表示的“条件”应该是 A．i≥3 C．i≥5

( )．

B．i≥4 D．i≥6

解析 第一次循环，m＝－2＋6＝4，S＝6＋4＝10，i＝2；

第二次循环，m＝－232＋6＝2，S＝10＋2＝12，i＝3； 第三次循环，m＝－233＋6＝0，S＝12＋0＝12，i＝4； 第四次循环，m＝－234＋6＝－2， S＝12－2＝10，i＝5；

第五次循环，m＝－235＋6＝－4，

S＝10－4＝6，i＝6，此时满足条件输出S＝6，故i≥6. 答案 D

9．为了普及环保知识，增强环保意识，某大学从理工类专业的A班和文史类专业的B班各抽取20名同学参加环保知识测试．统计得到成绩与专业的列联表：

A班 B班 总计 附：参考公式及数据： (1)卡方统计量

n（ad－bc）2

利用随机变量K＝(其中n＝a＋b＋c＋d

（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d）

2

优秀 14 7 21 非优秀 6 13 19 总计 20 20 40 为样本容量)

(2)独立性检验的临界值表：

P(K2≥k0) k0 则下列说法正确的是 0.050 3.841 0.010 6.635

( )．

A．有99%的把握认为环保知识测试成绩与专业有关 B．有99%的把握认为环保知识测试成绩与专业无关 C．有95%的把握认为环保知识测试成绩与专业有关 D．有95%的把握认为环保知识测试成绩与专业无关

40（14313－637）2

解析 K＝≈4.912 3，根据临界值表可知有95%的把握

2032032139

2

认为环保知识测试成绩与专业有关． 答案 C

π

10．函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(其中A>0，|φ|<2)的图象如图所示，为了得到g(x)＝sin 3x的图象，只需将f(x)的图象

( )．

π

A．向右平移4个单位长度 π

B．向左平移4个单位长度 π

C．向右平移12个单位长度 π

D．向左平移12个单位长度

2π2πT5πππ

解析 由图象可知A＝1，4＝12－4＝6，即T＝3＝，所以ω＝3，所

ω5π5π?5π????5π?

以f(x)＝sin(3x＋φ)，又f??＝sin ?33所以＋φ?＝sin ?＋φ?＝－1，412?12????4?3πππ＋φ＝2＋2kπ，k∈Z，即φ＝4＋2kπ，k∈Z，又|φ|<2 ππ?ππ???

所以φ＝4，即f(x)＝sin ?3x＋?，又g(x)＝sin 3x＝sin ?3x－＋?＝

4?44???π??π?π?

sin ?3?x－?＋?，所以只需将f(x)的图象向右平移12个单位长度，即可得到

??12?4?g(x)＝sin 3x的图象．

答案 C

x2y2

11．在区间[1，5]和[2，4]分别取一个数，记为a，b，则方程a2＋b2＝1表示焦点3

在x轴上且离心率小于2的椭圆的概率为 1A.2

15B.32

17C.32

( )．

31

D.32

c

解析 依题意知，a>b，e＝a＝如图所示

b23a1－a2<2，即b>2.

1113132223（3＋1）32

故所求概率为P＝1－－

2342341115

＝1－32－2＝32. 答案 B

1??log（x＋1），x∈[0，1），

12．定义在R上的奇函数f(x)，当x≥0时，f(x)＝?2

??1－|x－3|，x∈[1，＋∞），则关于x的函数F(x)＝f(x)－a(0

B．2a－1 D．2－a－1

( )．

解析 当0≤x<1时，f(x)≤0，当x≥1时，函数f(x)＝1－|x－3|，关于x＝3对称，当x≤－1时，函数关于x＝－3对称，由F(x)＝f(x)－a＝0(0

所以f(－x)＝log2(－x＋1)＝－log2(1－x)，即f(x)

＝log2(1－x)，－1≤x<0，由f(x)＝log2(1－x)＝a，解得x＝1－2a，如图，因为函数f(x)为奇函数，所以函数F(x)＝f(x)－a(0

13．若直线y＝kx＋1被圆C：x2＋y2－2x－3＝0截得的弦最短，则k＝________． 解析 直线y＝kx＋1恒过定点A(0，1)，要使截得的弦最短，需圆心(1，0)0－1

和A点的连线与直线y＝kx＋1垂直，所以k·＝－1，即k＝1.

1－0答案 1

x＋y≥1，??x－y≥－1，

14．若x，y满足约束条件?目标函数z＝x＋2y最大值记为a，最小

??2x－y≤2，值记为b，则a－b的值为________．

1z

解析 由z＝x＋2y，得y＝－2x＋2，作出约束条件的可行域，平移直线y＝1z1z

－2x＋2，当直线y＝－2x＋2经过D时，直线的截距最小，此时z最小，经过?x＋y＝1，?x＝1，

点B时，直线的截距最大，此时z最大．由?得?

?2x－y＝2，?y＝0，

即D(1，0)代入z＝x＋2y得b＝1，

?x－y＝－1，?x＝3，由?解得?即B(3，4)，代入z＝x＋2y得a＝11，所以a－b2x－y＝2，y＝4，??＝11－1＝10. 答案 10

15．如图，将边长为1 cm的正方形ABCD的四边沿BC所在直线l向右滚动(无滑动)，当正方形滚动一周时，正方形的顶点A所经过的路线的长度为________cm.

解析 AB＝1 cm，AC＝2cm，滚动一周的路程是： 112

432π2＋432π32＝2π＋π. ?2?答案 ?＋1?π

?2?16．给出下列四个命题：

①命题“?x∈R，cos x>0”的否定是：“?x∈R，cos x≤0”； ②若lg a＋lg b＝lg(a＋b)，则a＋b的最大值为4；

③定义在R上的奇函数f(x)满足f(x＋2)＝－f(x)，则f(6)的值为0； 其中真命题的序号是________．

解析 ①正确；②由lg a＋lg b＝lg(a＋b)得a＋b＝ab，a>0，b>0，所以ab＝?a＋b?2

?，即(a＋b)2≥4(a＋b)，解得a＋b≥4，则a＋b的最小值为4，a＋b≤?

?2?②错误；③f(x)的周期为4，且f(0)＝0，所以f(6)＝f(2)＝－f(0)＝0，③正确． 答案 ①③

[小题押题练 E组]

(建议用时：40分钟)

1．复数

2i

的实部为 1＋i

( )．

A．2 C．1 解析

B．－2 D．－1

2i（1－i）2i＋22i

＝＝2＝1＋i，所以实部是1. 1＋i（1＋i）（1－i）

答案 C

2．设全集U＝R，集合M＝{x|y＝lg(x2－1)}，N＝{x|0

B．{x|0

解析 M＝{x|y＝lg(x2－1)}＝{x|x2－1>0}＝{x|x>1，或x<－1}，?UM＝{x|－1≤x≤1}，所以N∩(?UM)＝{x|0

π?3?π??

3．已知α∈?－，0?，cos α＝5，则tan ?α＋?等于

4??2??A．7 C．－7

1

B.7 1D．－7

( )．

34?π?

解析 ∵α∈?－，0?，cos α＝5，∴sin α＝－5，

?2?∴tan α＝

sin α4

＝－3， cos α4－3＋1

π?1＋tan α1?

∴tan ?α＋?＝＝＝－

47. 4?1－tan α?

1＋3答案 D

4．直线l，m与平面α，β，γ，满足l＝β∩γ，l∥α，m?α，m⊥γ，则必有

( )．

A．α⊥γ且m∥β C．m∥β且l⊥m

B．α⊥γ且l⊥m D．α∥β且α⊥γ

解析 放入正方体中可得B正确． 答案 B

5．已知命题p：函数y＝2－ax＋1恒过(－1，1)点；命题q：若函数f(x－1)为偶函数，则f(x)的图象关于直线x＝1对称，下列命题为真命题的是 ( )． A．p∧q C．綈p∧q

B．綈p∧綈q D．p∧綈q

解析 当x＝－1时，y＝1，命题p正确；若函数f(x－1)为偶函数，则f(x)的图象关于直线x＝－1对称，命题q错误，故选D. 答案 D

6．如图是一个算法的流程图，若输出的结果是31，则判断框中整数M的值是

( )．

A．3 C．5

B．4 D．6

A＋11－2

解析 本程序计算的是S＝1＋2＋22＋?＋2A，即S＝＝2A＋1－1，由

1－2

2A＋1－1＝31，得A＝4，则A＋1＝5时，条件不成立，所以M＝4. 答案 B

?x≥1，

7．不等式组?x＋y－4≤0，所表示的平面区域是面积为1的直角三角形，则z＝

?kx－y≤0，

x－2y的最大值是 A．－5

( )．

B．－2

C．－1

D．1

解析 如图，由题意知，直线x＋y－4＝0与直线y＝kx垂直，所以k＝1，满足平面区域的面积为1，所以当直线x－2y＝0平行移动经过点A(1，1)时，z达到最大值－1. 答案 C

8．已知非零向量a，b满足|b|＝1，且b与b－a的夹角为30°，则|a|的取值范围是

( )．

1??

A.?0，2? ??C.[1，＋∞)

?1?

B.?2，1? ???1?D.?2，＋∞? ??

解析 设|b－a|＝t(t>0)，由余弦定理知：|a|2＝|b|2＋t2－2|b|tcos 30°＝t2－3t?3?211

＋1＝?t－?＋4≥4，

2??1

∵|a|>0，∴|a|≥2. 答案 D

9．在等差数列{an}中，给出以下结论： ①恒有：a2＋a8≠a10；

②数列{an}的前n项和公式不可能是Sn＝n；

③若m，n，l，k∈N*，则“m＋n＝l＋k”是“am＋an＝al＋ak”成立的充要条件；

④若a1＝12，S6＝S11，则必有a9＝0，其中正确的是 A．①②③

B．②③

C．②④

D．④

( )．

解析 ①②③错误，如数列1，1，1，?；④正确，由S6＝S11知，a7＋a8＋a9＋a10＋a11＝0，即a9＝0. 答案 D

x2y2

10．已知双曲线a2－b2＝1(a>0，b>0)的右焦点为F(2，0)，设A，B为双曲线上关于原点对称的两点，AF的中点为M，BF的中点为N，若原点O在以线段37

MN为直径的圆上，若直线AB斜率为7，则双曲线离心率为 ( )． A.3

B．2

C.5

D．4

解析 设点A(x，y)在第一象限，因为原点O在线段MN为直径的圆上， ∴OM⊥ON，又∵M，N分别为AF，BF的中点，∴AF⊥BF，即在Rt△ABF3773x2中，OA＝OF＝2，又直线AB的斜率为7，∴xA＝2，yA＝2，代入双曲线a2y279

－b2＝1得4a2－4b2＝1，又a2＋b2＝4，得a2＝1，b2＝3.故双曲线离心率为2. 答案 B

11．已知f(x)是以2为周期的偶函数，当x∈[0，1]时，f(x)＝x，那么在区间 (－1，3)内，关于x的方程f(x)＝kx＋k(k∈R)有4个根，则k的取值范围 是( )．

13

A．0

C．0

1

B．0

D．0

(－1，3)的图象有4个交点，显然当0

?y＝x－2，33

因为联立?得ky2－y＋3k＝0，令Δ＝0得k＝6或k＝－6(舍去)，

?y＝kx＋k，31

当k＝6时，解得x＝5?(2，3)，所以0

12．A是圆上固定的一定点，在圆上其他位置任取一点B，连接A、B两点，它是一条弦，它的长度大于等于半径的概率为________．

解析 由已知得，满足条件的点在弦长大于等于半径的圆周上，其弦所对的圆心角大于60°，根据圆的对称性，满足条件的点所在的弧的圆心角为240°，2

322

即占圆周长的3，所以满足条件的概率为P＝1＝3. 2答案 3 14

13．若直线ax＋by＋1＝0(a>0，b>0)平分圆x2＋y2＋8x＋2y＋1＝0，则a＋b的最小值为________．

解析 ∵直线平分圆，∴直线过圆心，又圆心坐标为(－4，－1)，∴－4a－b1416ab?14?＋1＝0，∴4a＋b＝1，∴a＋b＝(4a＋b)?a＋b?＝4＋b＋a＋4≥16，当且仅

??1114

当b＝4a，即a＝8，b＝2时等号成立，∴a＋b的最小值为16. 答案 16

x2y2

14．以双曲线4－16＝1的右焦点为圆心，且被其中一条渐近线截得的弦长为6的圆的标准方程为________．

x2y2

解析 双曲线－＝1的右焦点为(25，0)，渐近线方程为：y＝2x，则

416?45?2??＋32＝r2，解得r2＝25，故所求圆的标准方程为(x－25)2＋y2＝25. ?5?

答案 (x－25)2＋y2＝25

15．设数列{an}的各项均为正数，前n项和为Sn，对于任意的n∈N*，an，Sn，

(ln x)

a2成等差数列，设数列{b}的前n项和为T，且b＝，若对任意的实数nnnn

a2n

n

x∈(1，e](e是自然对数的底)和任意正整数n，总有Tn

2

解析 根据题意，对于任意n∈N*，总有an，Sn，an成等差数列，则对于n∈N*，

总有2Sn＝an＋a2n①

所以2Sn－1＝an－1＋a2n－1(n≥2)②

2①－②得2an＝an＋a2n－an－1－an－1，即an＋an－1＝(an＋an－1)(an－an－1)因为an，

an－1均为正数，所以an－an－1＝1(n≥2)，

2所以数列{an}是公差为1的等差数列，又n＝1时，2S1＝a1＋a1，解得a1＝1，

所以an＝n，对于任意的实数x∈(1，e]，有0

＝1＋1－2＋2－3＋?＋－n＝2－n<2，又对任意的实数

（n－1）3nn－1x∈(1，e]和任意正整数n，总有Tn

?3??x?

16．设函数f(x)＝x2－1，对任意x∈?2，＋∞?，f?m?－4m2f(x)≤f(x－1)＋4f(m)恒

????成立，则实数m的取值范围是________．

x2?3?2222

解析 依据题意得m2－1－4m(x－1)≤(x－1)－1＋4(m－1)在x∈?2，＋∞?

??132?3?2

上恒成立，即m2－4m≤－x2－x＋1在x∈?2，＋∞?上恒成立．

??

332515

当x＝2时，函数y＝－x2－x＋1取得最小值－3，所以m2－4m2≤－3，即(3m233

＋1)(4m2－3)≥0，解得m≤－2或m≥2. ??3??3

答案 ?－∞，－?∪?，＋∞?

2??2??

[小题押题练 F组]

(建议用时：40分钟)

1．集合A＝{－1，0，1}，B＝{y|y＝ex，x∈A}，则A∩B＝

( )．

A．{0}

?

B．{1} D．{－1，0，1}

C．{0，1}

?

?1?

解析 B＝?1，e，e?，∴A∩B＝{1}．

答案 B

2．若(1＋2ai)i＝1－bi，其中a，b∈R，则|a＋bi|＝ 1

A.2＋i

B.5

5C.2

5D.4

( )．

解析 (1＋2ai)i＝i－2a＝1－bi， 1??－2a＝1，a＝－，?2∴?解得?

?1＝－b，??b＝－1，∴|a＋bi|＝答案 C

3．在等差数列{an}中，Sn为其前n项和，若a1＝－3，S5＝S10，则当Sn取最小值时n的值为 A．5

( )．

5?1?2

?－2?＋（－1）2＝.

2??

B．7 C．8 D．7或8

解析 由S5＝S10，得a6＋a7＋a8＋a9＋a10＝0，即a8＝0，又a1＝－3，所以当Sn取最小值时n的值为7或8. 答案 D

4．执行如图的程序框图，输出的S和n的值分别是

( )．

A．9，3 B．9，4 C．11，3 D．11，4

解析 执行第一次循环后，S＝3，T＝1，n＝2；执行第二次循环后，S＝6，T＝4，n＝3；执行第三次循环后，S＝9，T＝11，n＝4，T>S，此时输出S＝9，n＝4，选B. 答案 B 5．已知函数f(x)＝

1

，则y＝f(x)的图象大致为

x－ln（x＋1）

( )．

解析 令g(x)＝x－ln(x＋1)，则g′(x)＝1－

1x＝，由g′(x)>0，得x>0，x＋1x＋1

即函数g(x)在(0，＋∞)上单调递增，由g′(x)<0，得－1

6．在一个盒子中有编号为1，2的红色球2个，编号为1，2的白色球2个，现从盒子中摸出2个球，每个球被摸到的概率相同．则摸出的2个球中既含有2种不同颜色又含有2个不同编号的概率是 1A.6

1

B.4

1

C.3

1D.2

( )．

解析 记红色球为H1，H2，白色球为B1，B2，则从盒中摸出2个球的基本事件为H1H2，H1B1，H1B2，H2B1，H2B2，B1B2，共6个，其中既有2种不同颜1

色又含有2个不同编号的基本事件是H1B2，H2B1，共2个，故所求的概率为3. 答案 C

7．已知一个几何体的三视图如下图，则该几何体的体积为

( )．

2πA．8－3

4π

B．8－3

4π

C．4－3

2π

D．4－3 解析 由三视图知，该几何体为一个长方体里面挖去一个半球，长方体的体2π1414

积为：23231＝4，半球的体积为233πr3＝2333π313＝3，故该几何2π

体的体积为4－3. 答案 D

π??

8．设函数f(x)＝sin ?2x＋?，则下列结论正确的是

3??

( )．

π?π?

①f(x)的图象关于直线x＝3对称；②f(x)的图象关于点?，0?对称；③f(x)的

?4?π

图象向左平移12个单位，得到一个偶函数的图象；④f(x)的最小正周期为π，π??

且在?0，?上为增函数

6??A．①③

B．②④

C．①③④

D．③

ππππ5π

解析 ①当x＝3时，2x＋3＝π，①错误；②当x＝4时，2x＋3＝6， 5ππ

sin 6≠0，②错误；③f(x)的图象向左平移12个单位，得到g(x)＝ ππ???π?π??

sin ?2?x＋?＋?＝sin ?2x＋?＝cos 2x是偶函数，③正确；④由－2＋

2????12?3?ππ5πππ??

2kπ≤2x＋3≤2＋2kπ，得－12＋kπ≤x≤12＋kπ，k∈Z，即f(x)在?0，?

12???ππ?

上递增，在?，?上递减，④错误．

?126?答案 D

?x＋y－11≥0，

9．设不等式组?3x－y＋3≥0，表示的平面区域为D.若指数函数y＝ax的图象上

?5x－3y＋9≤0，

存在区域D上的点，则a的取值范围是 A．(1，3] C．(1，2]

( )．

B．[2，3] D．[3，＋∞)

解析 画出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示(包括边界)．当a>1时才能够使函数y＝ax的图象上存在区域D上的点，由图可知当函数y＝ax的图象经过点A时a取得最大值，由?x＋y－11＝0，

方程组?解得x＝2，y＝9，即点

3x－y＋3＝0，?A(2，9)，代入函数解析式得9＝a2，即a＝3，故1

x2y2

10．已知椭圆16＋12＝1的左、右焦点分别为F1，F2，M是椭圆上一点，N是MF1的中点，若|ON|＝1，则|MF1|等于 A．2

B．4

( )．

C．6 D．5

解析 由椭圆方程知a＝4，∴|MF1|＋|MF2|＝8， ∴|MF1|＝8－|MF2|＝8－2|ON|＝8－2＝6. 答案 C

－

－

－

－

11．样本(x1，x2，?，xm)的平均数为x，样本(y1，y2，?，yn)的平均数为y (x≠y)．若1

样本(x1，x2，?，xm，y1，y2，?，yn)的平均数z＝αx＋(1－α)y，其中0<α≤2，

－

－

－

则m，n的大小关系为 A．mn

－

( )．

B．m≤n D．m≥n

x1＋x2＋?＋xm－y1＋y2＋?＋yn

解析 由题意可得x＝，y＝，

mn

－

－

－

x1＋x2＋?＋xm＋y1＋y2＋?＋ynmx＋nym－n－

z＝＝＝x＋y，则0<α＝

m＋nm＋nm＋nm＋n

m1

≤2，∴m≤n.故选B. m＋n答案 B

?2（x≤0），

12．f(x)＝?则下列关于y＝f[f(x)]－2的零点个数判断正确的是

?－ln x（x>0），

( )．

A．当k＝0时，有无数个零点 B．当k<0时，有3个零点 C．当k>0时，有3个零点 D．无论k取何值，都有4个零点

?2（x≤0），

解析 当k＝0时，f(x)＝?当x>1时，－ln x<0，所以f[f(x)]＝

?－ln x（x>0），f(－ln x)＝2，所以此时y＝f[f(x)]－2有无数个零点；当k<0时，y＝f[f(x)]－2的零点即方程f[f(x)]＝2的根，所以f(x)＝0或f(x)＝e－2，由图可知方程只有两根：

当k>0时，由图可知：f(x)＝2有两根，所以由f[f(x)]＝2得：f(x)＝0或f(x)＝e

－2

，又f(x)＝0有两根，f(x)＝e－2有两根，所以f[f(x)]＝2有四根．

答案 A

13．若圆C1：x2＋y2＋2ax＋a2－4＝0(a∈R)与圆C2：x2＋y2－2by＋b2－1＝0(b∈R)外切，则a＋b的最大值为________．

解析 依题意知C1：(x＋a)2＋y2＝4，C2：x2＋(y－b)2＝1，则|C1C2|＝a2＋b2＝2＋1＝3，∴a2＋b2＝9， ?a＝3 cos θ，∴?(θ为参数)， ?b＝3 sin θπ??

∴a＋b＝3(sin θ＋cos θ)＝32sin ?θ＋?≤32.

4??答案 32

－s－tt－r

14．在等比数列{an}中，若r，s，t是互不相等的正整数，则有等式arasast2r2

＝1成立．类比上述性质，相应地，在等差数列{bn}中，若r，s，t是互不相等的正整数，则有等式________成立． 答案 (r－s)bt＋(s－t)br＋(t－r)·bs＝0

15．某医疗研究所为了了解某种血清预防感冒的作用，把500名使用过该血清的人与另外500名未使用该血清的人一年中的感冒记录作比较，提出假设H0：“这种血清不能起到预防感冒的作用”．已知利用232列联表计算得K2≈3.918，经查临界值表知P(K2≥3.841)≈0.05.则下列结论中，正确结论的序号是________．

①有95%的把握认为“这种血清能起到预防感冒的作用”；②若某人未使用该血清，那么他在一年中有95%的可能性得感冒；③这种血清预防感冒的有效率为95%；④这种血清预防感冒的有效率为5%.

解析 因为K2≈3.918≥3.841，而P(K2≥3.841)≈0.05，所以有95%的把握认为“这种血清能起到预防感冒的作用”，故①正确；②显然错误；因为我们检验的是假设是否成立，和该血清预防感冒的有效率是没有关系的，故③④错误． 答案 ①

16．如右图放置的正方形ABCD，AB＝1，A，D分别在x轴、y轴的正半轴(含原点)上滑动，则→2OC→的最大值是________． OB

解析 令∠OAD＝θ，∵AD＝1，∴OA＝cos θ，π

OD＝sin θ，∠BAx＝2－θ，故xB＝cos θ＋

?π??π?cos ?－θ?＝cos θ＋sin θ，yB＝sin ?－θ?

?2??2?

→＝(cos θ＋sin θ，cos θ)，同理可求得C(sin θ，cos θ＝cos θ，∴OB

→＝(sin θ，cos θ＋sin θ)，∴OB→·OC→＝(cos θ＋sin θ，＋sin θ)，∴OC

cos θ)·(sin θ，cos θ＋sin θ)＝1＋sin 2θ≤2. 答案 2

[大题押题练 A组]

(建议用时：80分钟)

π????

1．已知x∈R，ω>0，u＝?1，sin ?ωx＋??，v＝(cos2ωx，3sin ωx)，函数

2????

1

f(x)＝u·v－2的最小正周期为π. (1)求ω的值；

π??

(2)求函数f(x)在区间?0，?上的值域．

2??

π?111＋cos 2ωx?

解 (1)f(x)＝u·v－2＝cos2ωx＋3sin ?ωx＋?sin ωx－2＝＋

22??π?131?

3sin ωxcos ωx－2＝2sin 2ωx＋2cos 2ωx＝sin ?2ωx＋?，∵f(x)的最小

6??正周期为π， ∴

2π

＝π，∴ω＝1. 2ω

π??

(2)由(1)知f(x)＝sin ?2x＋?，

6??π??

∵x∈?0，?，

2??

π?π7π?π??1??

∴2x＋6∈?，?，∴sin ?2x－?∈?－2，1?，

6?6????6?π???1?

即f(x)在区间?0，?上的值域为?－2，1?.

2????

2．为了解某社区家庭的月均用水量(单位：吨)，现从该社区随机抽查100户，获得每户某年的月均用水量，并制作了频率分布表和频率分布直方图(如图)． (1)分别求出频率分布表中a、b的值，并估计该社区家庭月均用水量不超过3吨的频率；

(2)设A1、A2、A3是户月均用水量为[0，2)的居民代表，B1、B2是户月均用水量为[2，4]的居民代表．现从这五位居民代表中任选两人参加水价论证会，请列举出所有不同的选法，并求居民代表B1、B2至少有一人被选中的概率．

分组 [0，0.5) [0.5，1) [1，1.5) [1.5，2) 频数 5 8 22 频率 0.05 0.08 0.22 a

[2，2.5) [2.5，3) [3，3.5) [3.5，4] 20 12 b 0.20 0.12

解 (1)由频率分布直方图可得a＝0.530.5＝0.25， ∴月均用水量为[1.5，2)的频数为25. 故2b＝100－92＝8，得b＝4.

由频率分布表可知，户月均用水量不超过3吨的频率为0.92，

根据样本估计总体的思想，估计该社区家庭月均用水量不超过3吨的频率为0.92.

(2)从A1、A2、A3、B1、B2五位代表中任选两人共有10种不同选法，分别为(A1，A2)，(A1，A3)，(A1，B1)、(A1，B2)，(A2，A3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A3，B1)，(A3，B2)，(B1，B2)

记“B1、B2至少有一人被选中”的事件为A，则事件A包含的基本事件为(A1，B1)，(A1，B2)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A3，B1)，(A3，B2)，(B1，B2)，共7个． 7所以P(A)＝10.

7

即居民代表B1、B2至少有一人被选中的概率为10.

3．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，E、F分别在线段BC和AD上，EF∥AB，将矩形ABEF沿EF折起，记折起后的矩形为MNEF，且平面MNEF⊥平面ECDF.

(1)求证：NC∥平面MFD； (2)若EC＝3，求证：ND⊥FC； (3)求四面体N－FEC体积的最大值．

(1)证明 因为四边形MNEF、EFDC都是矩形， 所以MN∥EF∥CD，MN＝EF＝CD.

所以四边形MNCD是平行四边形．所以NC∥MD. 因为NC?平面MFD，MD?平面MFD， 所以NC∥平面MFD. (2)证明 如图，连接ED，

设ED∩FC＝O.

因为平面MNEF⊥平面ECDF，且NE⊥EF， 由面面垂直的性质定理，得NE⊥平面ECDF. 因为FC?平面ECDF，所以FC⊥NE.

因为EC＝CD，所以四边形ECDF为正方形，所以FC⊥ED. 又因为ED∩NE＝E，所以FC⊥平面NED. 因为ND?平面NED，所以ND⊥FC. (3)解 设NE＝x，则EC＝4－x，其中0

所以四面体N－FEC的体积为 11

VN－FEC＝3S△EFC2NE＝2x(4－x)． 1?x＋（4－x）?2

?＝2. 所以VN－FEC≤2?2??

当且仅当x＝4－x，即x＝2时，四面体N－FEC的体积最大．最大值为2.

3332

4．设数列{an}的各项都是正数，且对任意n∈N*，都有a31＋a2＋a3＋?＋an＝Sn，

记Sn为数列{an}的前n项和． (1)求数列{an}的通项公式；

(2)若bn＝3n＋(－1)n－1λ22an(λ为非零常数，n∈N*)，问是否存在整数λ，使得对任意n∈N*，都有bn＋1>bn.

2

解 (1)在已知式中，当n＝1时，a31＝a1，∵a1>0，∴a1＝1，当n≥2时， 3332a1＋a32＋a3＋?＋an＝Sn，

① ②

3332a1＋a32＋a3＋?＋an－1＝Sn－1，

32①－②得，an＝S2n－Sn－1＝(Sn－Sn－1)(Sn＋Sn－1)，

∵an>0，∴a2n＝Sn＋Sn－1＝2Sn－an，③ ∵a1＝1适合上式

2当n≥2时，an－1＝2Sn－1－an－1，

④

2③－④得an－a2n－1＝2(Sn－Sn－1)－an＋an－1＝2an－an＋an－1＝an＋an－1.

∵an＋an－1>0，∴an－an－1＝1，∴数列{an}是等差数列，首项为1，公差为1，可得an＝n.

(2)由(1)知：bn＝3n＋(－1)n－1λ22n

∴bn＋1－bn＝[3n＋1＋(－1)nλ22n＋1]－[3n＋(－1)n－1λ22n] ＝2·3n－3λ(－1)n－122n>0 ∴(－1)

n－1

?3?n－1

2λ

??

⑤ ⑥

?3?2k－2

当n＝2k－1，k＝1，2，3，?时，⑤式即为λ

??依题意，⑥式对k＝1，2，3，?都成立，∴λ<1， ?3?2k－1

当n＝2k，k＝1，2，3，?时，⑤式即为λ>－?2?，

??

⑦

依题意，⑦式对k＝1，2，3，?都成立，

33

∴λ>－2，∴－2<λ<1，又λ≠0，∴存在整数λ＝－1，使得对任意n∈N*，都有bn＋1>bn.

x2y2

5．已知椭圆C：a2＋b2＝1(a>b>0)的两个焦点F1，F2和上下两个顶点B1，B2是一个边长为2且∠F1B1F2为60°的菱形的四个顶点． (1)求椭圆C的方程；

(2)过右焦点F2的斜率为k(k≠0)的直线l与椭圆C相交于E、F两点，A为椭圆的右顶点，直线AE，AF分别交直线x＝3于点M，N，线段MN的中点为P，记直线PF2的斜率为k′，求证： k·k′为定值．

x2y2

(1)解 由条件知a＝2，b＝3，故所求椭圆方程为4＋3＝1.

(2)证明 设过点F2(1，0)的直线l方程为：y＝k(x－1)，设点E(x1，y1)，点F(x2，x2y2y2)，将直线l方程y＝k(x－1)代入椭圆C的方程4＋3＝1，整理得：(4k2＋3)x2－8k2x＋4k2－12＝0，因为点F2在椭圆内，所以直线l和椭圆相交，Δ>0恒4k2－128k2

成立，且x1＋x2＝2，x1x2＝2.

4k＋34k＋3直线AE的方程为：y＝

y1y2(x－2)，直线AF的方程为：y＝(x－2)， x1－2x2－2

y1??3，令x＝3得点M ?x－2?， ?1?

y2?y2??1?y1??

N ?3，x－2?，∴点P坐标为?3，2?x－2＋x－2??， ?2???12??y2?1?y1

?x－2＋x－2?－02?11y1y22?

直线PF2的斜率为k′＝＝(＋)

4x1－2x2－23－11y2x1＋x2y1－2（y1＋y2）12kx1x2－3k（x1＋x2）＋4k

＝42＝42. x1x2－2（x1＋x2）＋4x1x2－2（x1＋x2）＋44k2－128k2

将x1＋x2＝2，x1x2＝2代入上式得：

4k＋34k＋3

4k2－128k22k22－3k·2＋4k

4k＋34k＋313

k′＝4＝－4k.

4k2－128k2－222＋4

4k2＋34k＋33

所以k·k′为定值－4. 6．设函数f(x)＝(x＋1)ln x－2x. (1)求函数的单调区间；

1

(2)设h(x)＝f′(x)＋ex，若h(x)>k(k∈Z)恒成立，求k的最大值． 解 (1)函数的定义域为(0，＋∞)．

1111x－1

f′(x)＝ln x＋x－1，不妨令g(x)＝ln x＋x－1，g′(x)＝x－x2＝x2， 当x>1，g′(x)>0，函数g(x)＝f′(x)单调递增，又因为f′(x)>f′(1)＝0，所以x>1，f′(x)>0，函数f(x)单调递增； 当0f′(1)＝0，所以00. 函数f(x)单调递增．

所以函数y＝f(x)在(0，＋∞)上单调递增．

11111xe－e－xxx

(2)h(x)＝ln x＋x－1＋ex，h′(x)＝x－x2－ex＝，设φ(x)＝xe－e－2xxex2，φ′(x)＝xex－2x＝x(ex－2)，当x∈(0，ln 2)，φ′(x)<0，函数φ(x)单调递减，

又因为φ(x)<φ(0)＝－1<0，所以00，函数φ(x)单调递增，又因为φ(x)>φ(ln 2)＝2ln 2－2－(ln 2)2，又φ(1)＝－1<0，φ(2)＝e2－4>0，故存在x0∈(1，2)，使得φ(x)＝0，即x0ex0－ex0－x20＝0，在(0，x0)上，φ(x)<0，在(x0，＋∞)上，φ(x)>0. 即h(x)在(0，x0)上递减，在(x0，＋∞)上递增．

11111

所以有h(x)≥h(x0)＝ln x0＋x－1＋ex，又ex＝x－x2，所以h(x)≥h(x0)＝ln x0

00000112121

＋x－1＋ex＝ln x0＋x－x2－1，不妨令M(x)＝ln x＋x－x2－1，当x∈(1，2)0000时，

x

x

2

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