2014届高三数学（理）大一轮复习练习1.2命题及充要条件

1.2 命题及充要条件

一、填空题

1．命题：“若x2＜2，则|x|＜2”的逆否命题是________________． 解析 “若p则q”的逆否命题是“若非q则非p”． 答案 若|x|≥2，则x2≥2

2.若集合A={1,sin},B={},则””是”{}”的_______条件． 解析 {},但{}不能推出. 答案 充分不必要

3． “|x－1|＜2成立”是“x(x－3)＜0成立”的________条件． 解析 设A＝{x||x－1|＜2}＝{x|－1＜x＜3}，

B＝{x|x(x－3)＜0}＝{x|0＜x＜3}，因为BA，所以应填必要不充分条件． 答案 必要不充分

4．设x，y∈R那么“x＞y＞0”是“＞1”的________条件． 解析 由＞1?

xyxyx－y＞0?x＞y＞0或x＜y＜0. yxy因此“x＞y＞0”能推断“＞1”，反之不成立． 答案 充分不必要 5.设

a,b

是向量,命题”若

a=-b,则|a|=|b|”的逆命题是

____________________.

解析 ∵逆命题是以原命题的结论为条件,条件为结论的命题, ∴这个命题的逆命题为:若|a|=|b|,则a=-b. 答案 若|a|=|b|,则a=-b

?1?a?1?b6．已知a，b∈R，则“log3a＞log3b”是“??＜??”的________条件．

?2??2??1?a?1?b解析 log3a＞log3b?a＞b＞0???＜??，

?2??2??1?a?1?b但??＜???a＞b，不一定有a＞b＞0. ?2??2?答案 充分不必要

7．在锐角△ABC中，“A＝

π3

”是“sin A＝”成立的________条件． 32

π3

解析 因为△ABC是锐角三角形，所以A＝?sin A＝.

32答案 充要

8．a，b是非零向量，“函数f(x)＝(ax＋b)2为偶函数“是a⊥b”的________条件．

解析 因为a，b是非零向量，所以f(x)＝a2·x2＋2a·bx＋b2是偶函数的充要条件是a·b＝0，即a⊥b. 答案 充要条件

1－x2

9．设p：x－x－20＞0，q：＜0，则p是q的________条件．

|x|－2

2

解析 p：x2－x－20＞0?x＜－4或x＞5.

2

?1－x＜0，1－x2

q：＜0??|x|－2?|x|－2＞0

2

?1－x＞0，或?

?|x|－2＜0

?x＜－2或－1＜x＜1或x＞2，

则p?q，q/?p，p是q的充分不必要的条件． 答案 充分不必要条件

1

10．已知p：≤x≤1，q：(x－a)(x－a－1)>0，若p是非q的充分不必要条件，

2

则实数a的取值范围是________．

解析 q：x>a＋1或x

?a＋1≥1，件，故?1

?a≤2，

1

即0≤a≤. 21??0，?? 答案

2??

11．设{an}是等比数列，则“a1

解析 {an}为等比数列，an＝a1·qn－1，由a10，q>1或a1<0,0

12. 在整数集Z中，被5除所得余数为k的所有整数组成一个“类”，记为[k]，即[k]＝{5n＋k|n∈Z}，k＝0,1,2,3,4.给出如下四个结论： ①2011∈[1]； ②－3∈[3]；

③Z＝[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4]；

④“整数a，b属于同一‘类’”的充要条件是“a－b∈[0]”． 其中，正确结论的个数是________．

解析 因为2011＝5×402＋1，则2011∈[1]，结论①正确； 因为－3＝5×(－1)＋2，则－3∈[2]，结论②不正确；

因为所有的整数被5除的余数为0,1,2,3,4五类，则Z＝[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4]，结论③正确；

若整数a，b属于同一“类”[k]，可设a＝5n1＋k，b＝5n2＋k(n1，n2∈Z)，则 a－b＝5(n1－n2)∈[0]；

反之，若a－b∈[0]，可设a＝5n1＋k1，b＝5n2＋k2(n1，n2∈Z)，则a－b＝5(n1－n2)＋(k1－k2)∈[0]；

∴k1＝k2，则整数a，b属于同一“类”，结论④正确． 答案 3

13．记实数x1，x2，…，xn中的最大数为max{x1，x2，…，xn}，最小数为min{x1，

x2，…，xn}．已知△ABC的三边长为a，b，c(a≤b≤c)，定义它的倾斜度为l＝

?abc???abc????

???max，，·min，，?，则“l＝1”是“△ABC为等边三角形”的________?bca???bca????

条件．

解析 若△ABC为等边三角形，则令a＝b＝4，c＝5， 则

???abc??5?abc??4max?，，?＝，min?，，?＝， ???bca??4?bca??5

???abc???abc??

max?，，?＝1，min?，，?＝1，∴l＝1. ???bca???bca??

所以l＝1.

答案 必要而不充分 二、解答题

14.已知函数f(x)在上是增函数,a、R,对命题:”若则f(-b)”.写出逆命题、逆

否命题,判断真假,并证明你的结论.

解析 先证原命题:”若则f(-a)+f(-b)”为真.

故其逆否命题:”若f(a)+f(b)

f(b)

故其逆命题:”若则a+”也为真.

x－1

15．已知p：|x－8|≤2，q：＞0，r：x2－3ax＋2a2＜0(a＞0)．若r是px＋1的必要不充分条件，且r是q的充分不必要条件，试求a的取值范围． 解析 命题p：{x|6≤x≤10}；命题q：{x|x>1}；命题r：{x|a

充分条件，r是q的充分不必要条件，所以有A?C?B，结合数轴应有?

?2a>10，解得5

16．已知函数f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，a，b∈R. 若a＋b≥0，则f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)． 问：这个命题的逆命题是否成立，并给出证明．

解析 逆命题为“已知函数f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，a，b∈R， 若f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)，则a＋b≥0”． 该命题是真命题，证明如下：

法一 (利用原命题的逆命题与否命题等价证明)： 若a＋b＜0，则a＜－b，b＜－a， 因为f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数， 所以f(a)＜f(－b)，f(b)＜f(－a)， 因此f(a)＋f(b)＜f(－a)＋f(－b)，

因为原命题的逆命题与它的否命题等价，所以该命题正确． 法二 (用反证法给出证明)： 假设a＋b＜0，则a＜－b，b＜－a， 因为f(x)在(－∞，＋∞)上的增函数，

所以f(a)＜f(－b)，f(b)＜f(－a)， 因此f(a)＋f(b)＜f(－a)＋f(－b)，

这与条件f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)矛盾，该命题正确．

17．已知a＞0，设p：不等式x2＋2ax＋a＜0的解集为?，q：不等式x＋|x－2a|＞1的解集为R，如果p和q有且仅有一个正确，求a的取值范围．

解析 “x2＋2ax＋a＜0的解集为?”等价于“x2＋2ax＋a≥0的解集为R”，所以当p成立，Δ＝4a2－4a≤0，解得0≤a≤1. 又a＞0，∴0＜a≤1

“不等式x＋|x－2a|＞1的解集为R”等价于： 法一 函数y＝x＋|x－2a|在R上的最小值为1. ?2x－2a，x≥2a，

∵x＋|x－2a|＝?

?2a，x＜2a，

∴函数y＝x＋|x－2a|在R上的最小值为2a， 1

于是由2a＞1，得a＞.

2

法二 |x－2a|＞1－x恒成立，即y＝|x－2a|的 图象恒在y＝1－x图象的上方，如图所示， 1

得2a＞1，所以a＞.

2

1

如果p正确q不正确，则0＜a≤；如果p不正确q正确，则a＞1.

21??

∴a的取值范围是?0，?∪(1，＋∞)．

2??

18．在等比数列{an}中，前n项和为Sn，若Sm，Sm＋2，Sm＋1成等差数列，则am，am＋2

，am＋1成等差数列．

(1)写出这个命题的逆命题；

(2)判断逆命题是否为真？并给出证明．

解析 (1)逆命题：在等比数列{an}中，前n项和为Sn，若am，am＋2，am＋1成等差数列，则Sm，Sm＋2，Sm＋1成等差数列． (2)设数列{an}的首项为a1，公比为q. 由题意知，2am＋2＝am＋am＋1，

即2·a1·qm＋1＝a1·qm－1＋a1·qm.

1

因为a1≠0，q≠0，所以2q2－q－1＝0，解得q＝1或q＝－. 2当q＝1时，有Sm＝ma1，

Sm＋2＝(m＋2)a1，Sm＋1＝(m＋1)a1.

显然：2Sm＋2≠Sm＋Sm＋1，此时逆命题为假． 1

当q＝－时，有

2

??1??2a1?1－?－?m＋2?

?1????2??4?

2Sm＋2＝＝a1?1－?－?m＋2?，

13??2??1＋2??1?m???1?m＋1?

－?????a11－a11－?－??2??????2??

Sm＋Sm＋1＝＋ 111＋1＋224??1?m＋2?

＝a1?1－?－??， 3??2??

故2Sm＋2＝Sm＋Sm＋1，此时逆命题为真．

1

综上所述，当a＝1时，逆命题为假；当q＝－时，逆命题为假．

2

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