专题22填空题的解法技巧

填空题的解法技巧

题型概述

填空题是一种只要求写出结论，不要求解答过程的客观性试题，有小巧灵活、覆盖面广、跨度大等特点，突出考查准确、严谨、灵活运用知识的能力．

由于填空题不像选择题那样有备选提示，不像解答题那样有步骤得分，所填结果必须准确、规范，因此得分率较低，解答填空题的第一要求是“准”，然后才是“快”、“巧”，要合理灵活地运用恰当的方法，不可“小题大做”．

方法一 直接法

直接法就是直接从题设出发，利用有关性质或结论，通过巧妙地变形，直接得到结果的方法．要善于透过现象抓本质，有意识地采取灵活、简捷的方法解决问题．直接法是求解填空题的基本方法．

例1 (1)(在一次马拉松比赛中，35名运动员的成绩(单位：分钟)的茎叶图如图所示

若将运动员按成绩由好到差编为1～35号，再用系统抽样方法从中抽取7人，则其中成绩在区间[139,151]上的运动员人数是________． (2)(2015·北京)在△ABC中，a＝4，b＝5，c＝6，则

sin 2A＝________. sin C思维升华 利用直接法求解填空题要根据题目的要求灵活处理，多角度思考问题，注意一些解题规律和解题技巧的灵活应用，将计算过程简化从而得到结果，这是快速准确地求解填空题的关键．

跟踪演练1 (1)(2015·韶关联考)已知椭圆＋y＝1的左、右焦点分别为F1、F2，点P在椭

8圆上，则|PF1|·|PF2|的最大值是________．

ππ2

(2)已知方程x＋3ax＋3a＋1＝0(a>2)的两根tan α，tan β，且α，β∈(－，)，则

22α＋β＝________.

x2

2

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方法二 特例法

当填空题已知条件中含有某些不确定的量，但填空题的结论唯一或题设条件中提供的信息暗示答案是一个定值时，可以将题中变化的不定量选取一些符合条件的恰当特殊值(特殊函数，特殊角，特殊数列，图形特殊位置，特殊点，特殊方程，特殊模型等)进行处理，从而得出待求的结论．这样可大大地简化推理、论证的过程．

例2 (1)如图所示，在平行四边形ABCD中，AP⊥BD，垂足为P，且AP→→

＝3，则AP·AC＝_____________________________________.

(2)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x－4)＝－f(x)，且在区间[0,2]上是增函数，若方程f(x)＝m(m>0)在区间[－8,8]上有四个不同的根x1，x2，x3，x4，则x1＋x2＋x3＋x4＝________.

思维升华 求值或比较大小等问题的求解均可利用特殊值代入法，但要注意此种方法仅限于求解结论只有一种的填空题，对于开放性的问题或者有多种答案的填空题，则不能使用该种方法求解．

跟踪演练2 (2015·课标全国Ⅰ)若函数f(x)＝xln(x＋a＋x)为偶函数，则a＝________.

方法三 数形结合法

对于一些含有几何背景的填空题，若能根据题目中的条件，作出符合题意的图形，并通过对图形的直观分析、判断，即可快速得出正确结果．这类问题的几何意义一般较为明显，如一次函数的斜率和截距、向量的夹角、解析几何中两点间距离等，求解的关键是明确几何含义，准确规范地作出相应的图形．

??x－2y＋1≥0，例3 (1)已知点P(x，y)的坐标x，y满足?

?|x|－y－1≤0，?

2

则x＋y－6x＋9的取值范围

22

是________________________________________________________________________． (2)已知函数f(x)＝x|x－2|，则不等式f(2－x)≤f(1)的解集为________．

思维升华 数形结合法可直观快捷得到问题的结论，充分应用了图形的直观性，数中思形，以形助数．数形结合法是高考的热点，应用时要准确把握各种数式和几何图形中变量之间的

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关系．

跟踪演练3(1)若方程x－3x＝k有3个不等的实根，则常数k的取值范围是_________________________________________________________．

??x＋bx＋c，x≤0，

(2)设函数f(x)＝?

??2，x>0.

2

3

若f(－4)＝f(0)，f(－2)＝－2，则函数y＝g(x)

＝f(x)－x的零点个数为________．

方法四 构造法

构造型填空题的求解，需要利用已知条件和结论的特殊性构造出新的数学模型，从而简化推理与计算过程，使较复杂的数学问题得到简捷的解决，它来源于对基础知识和基本方法的积累，需要从一般的方法原理中进行提炼概括，积极联想，横向类比，从曾经遇到过的类似问题中寻找灵感，构造出相应的函数、概率、几何等具体的数学模型，使问题快速解决． 例4 (1)如图，已知球O的球面上有四点A，B，C，D，DA⊥平面ABC，

AB⊥BC，DA＝AB＝BC＝2，则球O的体积等于________．

eee

(2)，，(其中e为自然对数的底数)的大小关系是

162536________________．

思维升华 构造法解题的关键是由条件和结论的特征构造数学模型．在立体几何中，补形构造是常用的解题技巧，构造法实质上是转化与化归思想在解题中的应用．

跟踪演练4 已知三个互不重合的平面α、β、γ，α∩β＝m，n?γ，且直线m、n不重合，由下列三个条件：①m∥γ，n?β；②m∥γ，n∥β；③m?γ，n∥β. 能推得m∥n的条件是________． 方法五 归纳推理法

做关于归纳推理的填空题的时候，一般是由题目的已知可以得出几个结论(或直接给出了几个结论)，然后根据这几个结论可以归纳出一个更一般性的结论，再利用这个一般性的结论来解决问题．归纳推理是从个别或特殊认识到一般性认识的推演过程，这里可以大胆地猜想． 例5 (1)观察分析下表中的数据：

多面体 三棱柱 五棱锥 面数(F) 5 6 顶点数(V) 6 6 棱数(E) 9 10 4

5

6

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立方体 6 8 12 猜想一般凸多面体中F，V，E所满足的等式是_____________________________． (2)用火柴棒摆“金鱼”，如图所示：

按照上面的规律，第n个“金鱼”图需要火柴棒的根数为________．

思维升华 归纳推理法主要用于与自然数有关的结论，这类问题是近几年高考的热点，解题的关键在于找准归纳对象及其规律，如数列中项与项数之间的对应关系． 跟踪演练5 观察下列各个等式： 1＝1； 2＝3＋5； 3＝7＋9＋11； 4＝13＋15＋17＋19； ?

若某数m按上述规律展开后，发现等式右边含有“2 016”这个数，则m＝________.

方法六 正反互推法

多选型问题给出多个命题或结论，要求从中选出所有满足条件的命题或结论．这类问题要求较高，涉及图形、符号和文字语言，要准确阅读题目，读懂题意，通过推理证明，命题或结论之间互反互推，相互印证，也可举反例判断错误的命题或结论．

例6 已知f(x)为定义在R上的偶函数，当x≥0时，有f(x＋1)＝－f(x)，且当x∈[0,1)时，f(x)＝log2(x＋1)，给出下列命题：①f(2 013)＋f(－2 014)的值为0；②函数f(x)在定义域上为周期是2的周期函数；③直线y＝x与函数f(x)的图象有1个交点；④函数f(x)的值域为(－1,1)．其中正确的命题序号有________．

思维升华 正反互推法适用于多选型问题，这类问题一般有两种形式，一是给出总的已知条件，判断多种结论的真假；二是多种知识点的汇总考查，主要覆盖考点功能．两种多选题在

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3

3333

处理上不同，前者需要扣住已知条件进行分析，后者需要独立利用知识逐项进行判断．利用正反互推结合可以快速解决这类问题． 跟踪演练6 给出以下命题：

①双曲线－x＝1的渐近线方程为y＝±2x；

2②命题p：“?x∈R＋，sin x＋

^

y2

2

1

≥2”是真命题； sin x③已知线性回归方程为y ＝3＋2x，当变量x增加2个单位，其预报值平均增加4个单位； ④设随机变量ξ服从正态分布N(0,1)，若P(ξ>1)＝0.2，则P(－1<ξ<0)＝0.6； 26537110－2

⑤已知＋＝2，＋＝2，＋＝2，＋＝2，依照以上各式

2－46－45－43－47－41－410－4－2－4的规律，得到一般性的等式为

8－n＋＝2(n≠4)． n－4?8－n?－4

n则正确命题的序号为________(写出所有正确命题的序号)． 知识方法总结 六招拿下填空题：

(一)直接法 (二)特例法 (三)数形结合法 (四)构造法(五)归纳推理法 (六)正反互推法

A组 专题通关

1．已知集合A＝{x，xy，lg(xy)}，B＝{0，|x|，y}，若A＝B，则x＝________，y＝________.

?2，x≤1，?2．已知函数f(x)＝?2

??x－2x＋2，x>1，

x

若关于x的函数g(x)＝f(x)－m有两个零点，则实

数m的取值范围是________．

ππ

3．已知函数f(x)＝sin(x＋)(x>0)的图象与x轴的交点从左到右依次为(x1,0)，(x2,0)，

33(x3,0)，?，则数列{xn}的前4项和为________．

4．(2015·杭州外国语学校期中)设a＞0，在二项式(a－x)的展开式中，含x的项的系数与含x的项的系数相等，则a的值为________．

5．已知P为抛物线y＝4x上一个动点，Q为圆x＋(y－4)＝1上一个动点，那么点P到点Q的距离与点P到抛物线的准线距离之和的最小值是________．

111111

6．已知a＝ln－，b＝ln－，c＝ln－，则a，b，c的大小

2 0132 0132 0142 0142 0152 015关系为________． 7．观察下列不等式： 13

1＋2＜ 22

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2

2

2

4

10

1151＋2＋2＜ 23311171＋2＋2＋2＜ 2344??

照此规律，第五个不等式为_____________________________________________． 8．若函数f(x)的定义域是R，f(0)＝2，对任意的x∈R，f(x)＋f′(x)>1，则不等式e·f(x)>e＋1的解集是________．

1x9．已知函数f(x)＝()－sin x，则f(x)在[0,2π]上的零点个数为________．

2

10．整数数列{an}满足an＋2＝an＋1－an(n∈N)，若此数列的前800项的和是2 013，前813项的和是2 000，则其前2 014项的和为________．

2x－12

11．设命题p：≤0，命题q：x－(2a＋1)x＋a(a＋1)<0，若p是q的充分不必要条件，

x－1则实数a的取值范围是________．

12．执行下边的程序框图，输出的T的值为________.

*

xx

B组 能力提高

13．已知函数f(x)是定义在实数集R上的不恒为零的偶函数，且对任意实数x都有xf(x＋5

1)＝(1＋x)f(x)，则f()＝________.

2

x＋y≤2，??1

14．已知O是坐标原点，点M的坐标为(2,1)，若点N(x，y)为平面区域?x≥，2??y≥x→→

的一个动点，则OM·ON的最大值是________．

??log2x，x>0，

15．设函数f(x)＝?x?4，x≤0，?

上

则f[f(－1)]＝________.若函数g(x)＝f(x)－k存在两

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个零点，则实数k的取值范围是________．

16．已知a、b为不垂直的异面直线，α是一个平面，则a、b在α上的投影有可能是：①两条平行直线；②两条互相垂直的直线；③同一条直线；④一条直线及其外一点． 在上面的结论中，正确结论的序号是________．(写出所有正确结论的序号)

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