4.1不定积分的概念与基本积分公式

高等数学 不定积分 换元积分法 分部积分 不定积分在经济问题中的应用 不定积分习题

第4 章

不定积分

4.1 不定积分的概念与基本积分公式 4.2 换元积分法 4.3 分部积分法

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第4 章基本要求

不定积分

了解原函数提出的背景； 了解原函数提出的背景； 理解并掌握不定积分概念,了解不定积分的几何意义； 理解并掌握不定积分概念 了解不定积分的几何意义； 了解不定积分的几何意义 掌握不定积分的性质，熟记基本积分公式； 掌握不定积分的性质，熟记基本积分公式； 掌握不定积分的直接积分法,凑微分法 第二换元积分法 掌握不定积分的直接积分法 凑微分法,第二换元积分法 根号 凑微分法 第二换元积分法(根号 中为一次函数)、分部积分法，会求不定积分。 中为一次函数 、分部积分法，会求不定积分。 理解与掌握不定积分和简单应用， 理解与掌握不定积分和简单应用，会用不定积分解决简单的 实际问题。 实际问题。

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教学内容: 教学内容:不定积分的概念与基本积分公式 引入

前面我们研究了一元函数微分学的基本问题， 前面我们研究了一元函数微分学的基本问题，即已知 一个可导函数F(x),求它的导数 一个可导函数 求它的导数

′ ) F(x = f (x )但在实际问题中，常会遇到与此相反的另一类问题： 但在实际问题中，常会遇到与此相反的另一类问题：

′ ) 即已知某函数的导数 F(x = f (x ,求原函数 F ) , ) (x这就是我们要学习的原函数与不定积分问题。 这就是我们要学习的原函数与不定积分问题。

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例如 已知曲线上任意一点p(x,y)处的切线斜率为 处的切线斜率为k=2x, 已知曲线上任意一点 处的切线斜率为 求此曲线的方程y=f(x)。 求此曲线的方程 。 意为： 意为：什么样的曲线在 x 处的切线斜率为 2x,即 ， 由 f ′( x) = 2 x ,求 f (x )

。

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一.原函数与不定积分的概念

在R内，

(sin x)′ = cos x

称F ( x) = sin x为f ( x) = cos x在R上的一个原函数，不难看出: 不难看出:

sin x + 2,

sin x 5,

sin x + c

(c为任意常数)等 都是函数cos x在R上的原函数.

(1) cos x的任意两个原函数之间 相差一个常数 .

(2) cos x在R上有无穷多个原函数表示为 sin x + c

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′ 在( ∞,+∞ )内， 1 x 2 = x, 2

1 2 称函数F ( x ) = x 为函数 f ( x ) = x的一个原函数， 2

函数f ( x ) = x在 ( ∞,+∞)内有无穷多个原函数，

1 2 表示为 F ( x) = x + c. 2下面给出原函数与不定积分的概念

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1.定义: 上有定义. 1.定义:设函数 f (x) 在区间 I 上有定义. 定义 如果存在可导函数 F (x),使对于任意的 x ∈ I ,都有 F ′( x ) = f ( x ) 或 dF ( x ) = f ( x)dx 则 (1)称 (1)称 F (x)是函数 f (x )在 上的一个原函数. 一个原函数 I 上的一个原函数.

F (2) f ( x)的所有原函数表示为： ( x ) + c (c ∈ R )(3) f ( x)的

所有原函数称为f ( x)在区间I上的不定积分, 记作

∫ f ( x)dx

′ 即, 若F ( x) = f ( x), 则

∫ f ( x)dx = F ( x) + c

(c ∈ R )

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′ 若F ( x) = f ( x), 则∫ f ( x) dx = F ( x) + c (c ∈ R )

∫积 f ( x )dx被 = F积 ( x ) + C任 被积 分 函 号 数 达 量 式 表 变 数 积 分 常 意

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?

什么样的函数有原函数存在呢？ 什么样的函数有原函数存在呢？

2.结论：如果函数 f (x) 在某区间 I 上连续，则其原 结论： 上连续， 结论 函数必存在3. f ( x)的任意两个原函数之间相差一个常数.

即若F ′( x) = f ( x), G ′( x) = f ( x), 则G ( x) = F ( x) + c

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例.计算下列不定积分 计算下列不定积分

(1) ∫ ( 2 x 5) dx解(1) Q x 5 x = 2 x 5,22

(2) ∫ (e x sin x)dx.(2) Q e + cos x = e x sin x,x

(

)

′

(

)

′

∴ ∫ (e x sin x ) dx = e x + cos x + C ∴ ∫ (2 x 5)dx = x 5 x + C.

1 ∫ 1 x 2 + 2 dx = arcsin x + 2 x + c

+ 1 dx = cos x e x + x + c 1 1 ′ ∫ cos 2 xdx = ?2 sin 2 x + c Q 2 (sin 2 x ) = cos 2 x,x

∫ (sin x e

)

思考题

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思考题 求

∫

1 dx x

1 解 当 x > 0 时， (ln x )′ = (ln x ) = , x所以

′

∫

当 x < 0 时， (ln x )′ = [(ln( x )] =

1 dx = ln x + C ( x > 0 ) x ′ 1x

,

1 所以 ∫ x dx = ln( x ) + C ( x < 0 ) 1 dx = ln x + C 返回 合并为 ∫ x

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4.不定积分的几何意义 4.不定积分的几何意义

∫ f ( x)dx = F ( x) + Cf (x)表示 的一族(积分)曲线,由曲 一族(积分)曲线,

∫ 因此不定积分线

表示坐标平面上的一条确定曲线,称为一条积分曲 y = F (x) 表示坐标平面上的一条确定曲线,称为一条积分曲 线.

f ( x)dx

Y=F(x)沿 y 轴任意平移得到,这族积分曲线在相同点处切线平 轴任意平移得到, Y=F(x)沿 行。

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二.不定积分的性质 1.求不定积分与求微分(或求导数)运算互为逆运算， 1.求不定积分与求微分(或求导数)运算互为逆运算，即(1)[ ∫ f ( x) dx ]′ = f ( x)或 d ∫ f ( x ) dx = f ( x ) dx

例如

(2) ∫ F ′( x)dx = F ( x) + c或

∫ dF ( x) = F ( x) + c( k ≠ 0)

2.∫ kf ( x ) dx = k ∫ f ( x ) dx.

3.∫ [ f ( x) ± g ( x)]dx = ∫ f ( x )dx ± ∫ g ( x )dx

∫ [k f ( x) + k1 1

2 2

f ( x ) k3 f 3 ( x )]

= k1 ∫ f1 ( x )dx + k 2 ∫ f 2 ( x) k3 ∫ f 3 ( x )dx

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例如′ [ ∫ ( 1 x 2 + 3x )x] = 1 x 2 + 3x

1 1 3)dx d∫( 3)dx = ( 2 2 4+ x 4+ x

ln( x 2 3) + c ∫ (ln( x 3)) dx =2

′

∫ d sec x = sec x + c返回

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三.不定积分的基本公式

若F ′( x) = f ( x), 则

∫ f ( x)dx = F ( x) + c

启示 根据求导公式得出积分公式

′ µ x +1 µ 由于 x µ . =x x d = ∫ x µ+1+C µ+1 (µ≠ ) 1µ1 +

结论 根据不定积分运算和微分运算是互逆 的，可以根据导数基本公式可得到对 应的不定积分基本公式. 应的不定积分

基本公式

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若F ′( x) = f ( x), 则 ∫ f ( x)dx = F ( x) + c导数公式 基本积分表

Q ( kx )′ = k

∫ kdx = kx + c ∫ dx = x + c∫1 α +1 练习 x dx = x + C 练习1 α +1 1 1 1 dx = 2 x + c dx = x + c ∫ x2 x 1 dx = ln x + C x 1 x x a dx = a +C ln a

1 α +1 Q( x )′ = xα α +1

∫

α

1 ′ (n x) = l x x ′ x (a ) =a l a nx ′ x (e ) =e

∫ ∫

∫ e dx = ex

x

+c

练习2 练习

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( o x ′ =sn x cs ) i(s x ′ =c s x in ) o( n x ′ =s c x ta ) e 21 ( nx ′= 2 ta ) cs x o

∫ sin xdx = cos x + C cos xdx = sin x + C ∫ ∫ sec xdx = tan x + C2

1 或 2 dx = tan x + C ∫ cos x

( o x ′ = s 2 x ct ) cc1 ( o x ′ = 2 ct ) sn x i

∫

csc2 xdx = cot x + C

dx 或 2 = cot x + C ∫ sin x

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( e x ′ =s cx ta x sc ) e n

∫ sec x tan xdx = sec x + C ∫ csc x tan xdx = csc x + C

( s x ′ =c cx c t x cc ) s o

1 ( r snx ′ = ac i x n ) 1 x 2

∫∫

dx = arcsin x + C 2 1 x1 dx = arctan x + C 2 1+ x

1 ( r ta x ′ = ac n ) 1 x + 2

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基本积分公式

若F ′( x) = f ( x), 则

∫ f ( x)dx = F ( x) + c

∫ 1 ∫ x dx = α + 1 xkdx = kx + Cα

∫ dx = x + cα +1

+C

∫

1 dx = 2 x + c x

∫ sin xdx = cos x + C cos xdx = sin x + C ∫ ∫ sec xdx = tan x + C csc xdx = cot x + C ∫2 2

∫ ∫ e dx = ex

1 1 ∫ x 2 dx = x + c 1 x x a dx = a +C ln ax

∫ sec x tan xdx = sec x + C ∫ csc x tan xdx = csc x + C

+C

∫ ∫

dx = arcsin x + C 2 1 x 1 dx = arctan x + C 2 1+ x

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练习:求不定积分 练习 求不定积分

∫∫

2 2 x dx = x + c 31 dx = 2 x + c x

3

∫

1 α +1 x dx = x +C α +1α

1 1 ∫ x 2 dx = x + c

2 2 ∫ x x dx = ∫ x dx = 5 x + c

3 2

5

返回

∫x

1

dx = x dx = 2 x ∫ x

3 2

1 2

+c

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练习:求不定积分 练习 求不定积分

3 +c (1) ∫ 3 dx = ln 3x

x

∫ ∫ e dx = exx

1 x a dx = a +C ln ax

+C

(3e) x +c ( 2) ∫ 3 x e x dx = ∫ (3e) x dx = 1 + ln 3

(3) ∫ e 2 dx = e 22 + c ex

∫ kdx = kx + c

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