山东省淄博市2010届高三二模（数学理）5月考试

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高中三年级模拟考试

理科数学试题

本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共5页，满分150分，考试时间120分钟. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

注意事项：

1. 答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、准考证号、县区和科类填写在答题卡和试卷规定的位置上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上指定位置.

2. 第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答案不能答在试卷上.

3. 第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔在答题卡各题的答题区域内作答；不能写在试题卷上； 如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸，修正带，不按以上要求作答的答案无效.

4. 填空题请直接填写答案，解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 参考公式：

锥体的体积公式：V=

1Sh，其中S是锥体的底面积，h是锥体的高. 3

如果事件A，B互斥，那么 P(A?B)?P(A)?P(B) 如果事件A，B相互独立，那么 P(A?B)?P(A)?P(B)

第Ⅰ卷(选择题 共60分)

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若复数z满足

z?2i, 则z对应的点位于 1?iB．第二象限

C．第三象限

D．第四象限

A．第一象限

2. 给出下列四个命题:

①若集合A、B满足A?B?A, 则A?B；

②给定命题p、q， 若“p?q”为真，则“p?q”为真； ③设a、b、m?R，若a?b,则am?bm；

④若直线l1:ax?y?1?0与直线l2:x?y?1?0垂直，则a?1.

22

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其中正确命题的个数是 A．1 B．2 C．3 D．4

??????3. 设平面向量a?(1,2),b?(?2,y),若a//b,则|3a?b|等于

A．5

B．6

C．17

D．26

4.(x2?)n的展开式中，常数项为15，则n=

A．3 C．5

B．4 D．6

1x开始 输入m，n i =1 a =m×i 5. 阅读如图的程序框图．若输入m?4,n?6， 则输出的a,i分别等于

A．12，2 B．12，3 C．24，2 D．24，3

6.根据气象资料记载：一年中下雨天数的比例：威海为20%，淄博为15%，两地同时下雨为6%，假设某一天威海下雨，则这一天淄博也下雨的概率为

A． 6% B．15% C．30% D．40%

7. 已知函数f(x)?(x?a)(x?b)（其中a?b）的图象如下面右图

i = i +1 否 n整除a ? 是 输出a，i 结束 （第5题图）

所示，则函数g(x)?ax?b的图象是

y 1 y 1 y 1 y 1 f(x) y o 1 o x o x o x o x x A B C D

（第7题图）

8. 一个体积为123的正三棱柱的三视图如图所示，则这个三棱柱的侧视图的面积为

A．63 B．8 C．83 D．12

正视图 俯视图

（第8题图）

23 侧视图

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9．不等式x?3?x?1?a?3a对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围为

A．(??,?1]?[4,??) B．??1,4? C．[1,2] D．(??,1]?[2,??)

10．已知函数f(x)?log2x (x?0)的反函数为g(x)，且有g(a)g(b)?8，若a?0，b?0，则的最小值为 A．9

B． 6

22214?ab

C．3

D．2

11．直线2ax?by?1与圆x?y?1相交于A、B两点（其中a,b是实数），且?AOB是直角三角形(O是坐标原点)，则点P(a,b)与点(0,1)之间距离的最小值为 A 0 B.

22 C. 2?1 D. 2?1

12.已知关于x的方程x?(1?a)x?1?a?b?0(a,b?R)的两根分别为x1、x2，且0?x1?1?x2，则

的取值范围是

A．??1,?? B．??1,?? C．??2,?? D．??2,??

2222ba??1????1????1????1??第Ⅱ卷(非选择题 共90分)

二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.（注意：在试题卷上作答无效） 13．

?20(2x?ex)dx? .

1???2a,0?a?n?n6214．数列{an}满足an?1??，若a1?，则a2010的值为

17 . ?2an?1,??an?1?2?f(x)?f(?x)15．设奇函数f(x)在（0，+∞）上为增函数，且f(1)?0，则不等式?0的解集

x是 ．

x2y216．过双曲线2?2?1的一个焦点F作一条渐近线的垂线，若垂足恰在线段OF（O为原点）的垂直平

ab分线上，则双曲线的离心率为 ．

三、解答题：本大题共6小题，共74分.（注意：在试题卷上作答无效）

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17.(本小题满分12分)

???已知m?sin?x?cos?x,3cos?x，n??cos?x?sin?x,2sin?x?，其中??0，

?????若函数f?x??m?n，且函数f?x?的图象与直线y?2相邻两公共点间的距离为?.

（Ⅰ）求?的值；

（Ⅱ）在?ABC中，a、b、c分别是角A、B、C、的对边，且a?3,b?c?3， f?A??1，求?ABC的面积.

18. (本小题满分12分)

为了让更多的人参与2010年在上海举办的“世博会”，上海某旅游公司面向国内外发行一定数量的旅游优惠卡，其中向境外人士发行的是世博金卡（简称金卡），向境内人士发行的是世博银卡（简称银卡）.现有一个由36名游客组成的旅游团到上海参观旅游，其中27名境外游客，其余是境内游客.在境外游客中有

12持金卡，在境内游客中有持银卡.. 33（Ⅰ）在该团中随机采访3名游客，求恰有1人持金卡，至多1人持银卡的概率； （Ⅱ）在该团的境内游客中随机采访3名游客，设其中持银卡人数为随机变量?， ．．求?的分布列及数学期望E?.

19. (本小题满分12分)

如图，在直三棱柱ABC?A1B1C1中，

C1

A1

B1

?ACB?90,AA1?BC?2AC?2.

（Ⅰ）若D为AA1中点，求证：平面B1CD?平面B1C1D； （Ⅱ）在AA1上是否存在一点D，使得二面角B1?CD?C1的大小

A D

C

B

o为

60°.

20.（本小题满分12分）

（第19题图）

已知二次函数f?x??x?ax?a?a?0,x?R?有且只有一个零点，数列?an?的前n项和

2

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Sn?f?n??n?N*?.

（Ⅰ）求数列?an?的通项公式； （Ⅱ）设cn?1?4n?N?，定义所有满足cm?cm?1?0的正整数m的个数，称为这个数列?cn?的an??变号数，求数列?cn?的变号数.

21. (本小题满分12分)

已知直线l与函数f(x)?lnx的图象相切于点(1,0)，且l与函数

g(x)?

127x?mx?(m?0)的图象也相切.22

（Ⅰ）求直线l的方程及m的值；

（Ⅱ）若h(x)?f(x?1)?g?(x)（其中g?(x)是g(x)的导函数），求函数h(x)的最大值； （Ⅲ）当0?a?1时，求证：f(1?a)?f(2)?

a?1. 222.(本小题满分14分)(理科)

x2y2如图，已知直线l:x?my?1过椭圆C:2?2?1的右焦点F，抛物线：x2?43y的焦点为椭

ab圆C的上顶点，且直线l交椭圆C于A、B两点，点A、F、B 在直线g:x?4上的射影依次为点D、

K、E.

（Ⅰ）求椭圆C的方程；

???????????????? （Ⅱ）若直线l交y轴于点M，且MA??1AF,MB??2BF，当m变化时，探求?1??2

的值是否为定值？若是，求出?1??2的值，否则，说明理由；

（Ⅲ）连接AE、BD，试探索当m变化时，直线AE与BD是否相交于定点？ 若是，请求出定点的坐标，并给予证明；否则，说明理由.

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保密★启用前

2010届山东省淄博高中三年级数学第二次理科模拟考试

理科数学参考答案及评分标准 第Ⅰ卷(选择题 共60分)

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若复数z满足

z?2i, 则z对应的点位于 1?iB．第二象限

C．第三象限

D．第四象限

A．第一象限

2. 给出下列四个命题:

①若集合A,B满足A?B?A, 则A?B；

②给定命题p,q, 若“p?q”为真，则“p?q”为真； ③设a,b,m?R, 若a?b,则am?bm；

④若直线l1:ax?y?1?0与直线l2:x?y?1?0垂直，则a?1.

其中正确命题的个数是 A．1 B．2 C．3 D．4

22??????3. 设平面向量a?(1,2),b?(?2,y),若a//b,则|3a?b|等于

A．5

2B．6 C．17 D．26 开始 输入m，n i =1 a =m×i 4. (x?)的展开式中，常数项为15，则n=

A．3 C．5

B．4 D．6

1xn5. 阅读如图的程序框图．若输入m?4,n?6， 则输出的a,i分别等于

A．12，2 B．12，3 C．24，2 D．24，3

6. 根据气象资料记载：一年中下雨天数的比例：威海为20%，为15%，两地同时下雨为6%，假设某一天威海下雨，则这一天也下雨的概率为

A． 6% B．15%

i = i +1 否 淄博淄博

n整除a ? 是 输出a，i 结束 （第5题图）

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C．30% D．40%

7. 已知函数f(x)?(x?a)(x?b)（其中a?b）的图象如下面右图所示，则函数g(x)?ax?b的图象是

8. 一个体积为

y 1 y 1 y 1 y 1 f(x) y o 1 o x o x o x o x x A 23 正视图 俯视图

（第8题图）

侧视图

的

正三棱柱的三视图如图所示，

则这个三棱柱的侧视图的面积为

A．63 B．8 C．83 D．12

9．不等式x?3?x?1?a?3a对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围为

A．(??,?1]?[4,??) B．??1,4?

C．[1,2] D．(??,1]?[2,??)

2B C D （第7题图） 12310．已知函数f(x)?log2x (x?0)的反函数为g(x)，且有g(a)g(b)?8，若a?0,b?0，则的最小值为 A．9

B． 6

2214?ab

C．3

D．2

11．直线2ax?by?1与圆x?y?1相交于A、B两点（其中a,b是实数），且?AOB是直角三角形(O是坐标原点)，则点P(a,b)与点(0,1)之间距离的最小值为 A 0 B.

22 C. 2?1 D. 2?1

12．已知关于x的方程x?(1?a)x?1?a?b?0(a,b?R)的两根分别为x1、x2，且0?x1?1?x2，则

b的取值范围是 aA．??1,?? B．??1,?? C．??2,?? D．??2,??

2222??1????1????1????1??第Ⅱ卷(非选择题 共90分)

二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.（注意：在试题卷上作答无效）

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13．

?20(2x?ex)dx?5?e2；

1???2a,0?a?n?n63214．数列{an}满足an?1??，若a1?，则a2010的值为

177?2an?1,??an?1?2?f(x)?f(?x)15．设奇函数f(x)在（0，+∞）上为增函数，且f(1)?0，则不等式?0的解集是

x(?1,0)?(0,1) ．

x2y216．过双曲线2?2?1的一个焦点F作一条渐近线的垂线，若垂足恰在线段OF（O为原点）的垂直平

ab分线上，则双曲线的离心率为2．

三、解答题：本大题共6小题，共74分.（注意：在试题卷上作答无效） 17.(本小题满分12分)

???已知m?sin?x?cos?x,3cos?x，n??cos?x?sin?x,2sin?x?，其中??0，

?????若函数f?x??m?n，且函数f?x?的图象与直线y?2相邻两公共点间的距离为?.

（Ⅰ）求?的值；

（Ⅱ）在?ABC中，a、b、c分别是角A、B、C、的对边，且a?3,b?c?3， f?A??1，求?ABC的面积.

???解：（Ⅰ）f?x??m?n?sin?x?cos?x,3cos?x???cos?x?sin?x,2sin?x?

?cos2?x?sin2?x?23sin?xcos?x?cos2?x?3sin2?x

????2sin?2?x???????????????????? 3分

6?????0 ?函数f?x?的周期T?2??? 2???函数f?x?的图象与直线y?2相邻两公共点间的距离为?.

???????1 ??????????????????????? 6分 ?（Ⅱ）由（Ⅰ）可知??1，f?x??2sin?2x?????? 6?????1???f?A??1 ?2sin?2A???1 ?sin?2A???

6?6?2??

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?0?A????2A??6?2A??6?13? 6?6?5???A????????????????????????8分 63b2?c2?a2由余弦定理知cosA?

2bc

?b2?c2?bc?3 又b?c?3

联立解得??b?2?b?1或??????????????????? 10分

?c?1?c?213?S?ABC?bccosA? ???????????????????? 12分

22

（或用配方法?b?c?bc??b?c??3bc?3，b?c?3

22213） ?bc?2?S?ABC?bccosA?2218. (本小题满分12分)

为了让更多的人参与2010年在上海举办的“世博会”，上海某旅游公司面向国内外发行一定数量的旅游优惠卡，其中向境外人士发行的是世博金卡（简称金卡），向境内人士发行的是世博银卡（简称银卡）.现有一个由36名游客组成的旅游团到上海参观旅游，其中27名境外游客，其余是境内游客.在境外游客中有

12持金卡，在境内游客中有持银卡.. 33（I）在该团中随机采访3名游客，求恰有1人持金卡，至多1人持银卡的概率； （Ⅱ）在该团的境内游客中随机采访3名游客，设其中持银卡人数为随机变量?， ．．求?的分布列及数学期望E?.

解：（I）由题意得，境外游客中有9人持金卡；境内游客共有9人，其中6人持银卡；旅游团中共有21人不持卡. ????????1分

设“所采访的3人中，恰有1人持金卡，至多1人持银卡”为事件A，“所采访的3人中，恰有1人持金卡，0人持银卡”为事件B1，“所采访的3人中，恰有1人持金卡，1人持银卡”为事件B2.

则P?A??P?B1??P?B2? ?12111C9C21C9C6C21?3??????????4分 3C36C36

92736 ??3417085

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∴ 在该团中随机采访3人，恰有1人持金卡，至多1人持银卡的概率是

36 85??????????????????????6分

（Ⅱ）?的可能取值为0，1，2，3

312C3C6C313? P(??0)?3?, P(??1)? . 3C984C91413C62C3C6155?P??3?? P(??2)?， （每个1分） ??????10分 ??33C928C921 ?的分布列为

? P 0 1 2 3 1 843 1415 285 21 ??????????????????????11分 ∴ E??0?13155?1??2??3??2 . ????????????12分 84142821C1

A1

B1

19. (本小题满分12分)

如图，在直三棱柱ABC?A1B1C1中，

?ACB?90o,AA1?BC?2AC?2.

（Ⅰ）若D为AA1中点，求证：平面B1CD?平面B1C1D； （Ⅱ）在AA1上是否存在一点D，使得二面角B1?CD?C1的大小为60°.

解法一：（Ⅰ）证明：∵?AC11B1??ACB?90 ∴B1C1?AC11

?D

C

A

B

（第19题图）

又由直三棱柱性质知B1C1?CC1 ??????1分∴B1C1?平面

ACC1A1.

∴B1C1?CD ??????2分 由AA1?BC?2AC?2，D为AA1中点，可知DC?DC1?2，

222 taoti.tl100.com 你的首选资源互助社区

∴DC?DC1?CC1?4即CD?DC1 ??????4分 又B1C1?CD ∴ CD?平面B1C1D 又CD?平面B1CD 故平面B1CD?平面B1C1D ???????????6分 （Ⅱ）解：当AD?2AA1时二面角B1?CD?C1的大小为60°. ?????7分 2C1 A1 E D

C A

（第19题图）

B 假设在AA1上存在一点D满足题意，

由（Ⅰ）可知B1C1?平面ACC1A1.如图，在平面ACC1A1内过C1作

B1

C1E?CD，交CD或延长线或于E，连EB1，则EB1?CD

所以?B1EC1为二面角B1?CD?C1的平面角 ??????8分 ∴?B1EC1?60 由B1C1?2知，C1E?设AD?x ，则DC??23 ?????????10分 3x2?1 ∵?DCC1的面积为1 ∴1223x?1??1 23解得x?2，即AD?2?2AA1 2z C1 A1 B1 ∴在AA1上存在一点D满足题意????????12分 解法二：

（Ⅰ）如图，以C为原点，CA、CB、CC1所在直线为x、y、z 轴空间直角坐标系.

则C(0,0,0),A(1,0,0),B1(0,2,2),C1(0,0,2),D(1,0,1).

x A D C B y

建立

即C1B1?(0,2,0),DC1?(?1,01),CD?(1,0,1) ??2分 由C1B1?CD?(0,2,0)?(1,0,1)?0?0?0?0得C1B1?CD

（第19题图）

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由DC1?CD?(?1,0,1)?(1,0,1)?0?0?0?0得DC1?CD ??????4分 又DC1?C1B?C1

∴CD?平面B1C1D 又CD?平面B1CD

∴平面B1CD?平面B1C1D ????????????6分 （Ⅱ）当AD?2AA1时二面角B1?CD?C1的大小为60°. ?????7分 2????????设AD?a，则D点坐标为(1,0,a)，CD?(1,0,a),CB1?(0,2,2) ??设平面B1CD的法向量为m?(x,y,z)

????????m?CB1?0?2y?2z?0 则由 ????????? 令z??1

?x?az?0??m?CD?0??得m?(a,1,?1) ????8分

????又∵CB?(0,2,0)为平面C1CD的法向量

??????m?CB11则由cos60???????????10分 ???2m?CBa?22

解得a?2，故AD?2?2AA1. 2∴在AA1上存在一点D满足题意????????????12分 20.（本小题满分12分）

已知二次函数f?x??x?ax?a?a?0,x?R?有且只有一个零点，数列?an?的前n项和

2*Sn?f?n?N??n?.

（Ⅰ）求数列?an?的通项公式； （Ⅱ）设cn?1?4n?N?，定义所有满足cm?cm?1?0的正整数m的个数，称为这个数列?cn?的an??变号数，求数列?cn?的变号数.

解：（Ⅰ）依题意，??a?4a?0?a?0或a?4

2

2 taoti.tl100.com 你的首选资源互助社区

又由a?0得a?4,f?x??x?4x?4

?Sn?n2?4n?4

当n?1时，a1?S1?1?4?4?1； 当n?2时，an?Sn?Sn?1?2n?5

??1?n?1? ?????????????6分 ?an????2n?5?n?2???3?n?1?? （Ⅱ）由题设cn?? 4*?n?2,n?N??1??2n?512n?9??0可知，当n?5时，恒有an?0?????8分

2n?52n?51又c1??3，c2?5，c3??3，c4??

3由1?即c1?c2?0，c2?c3?0，c4?c5?0

所以，数列?cn?共有三个变号数，即变号数为3. ??????????12分 21. (本小题满分12分)

已知直线l与函数f(x)?lnx的图象相切于点(1,0)，且l与函数

g(x)?

127x?mx?(m?0)的图象也相切.22

（Ⅰ）求直线l的方程及m的值；

（Ⅱ）若h(x)?f(x?1)?g?(x)（其中g?(x)是g(x)的导函数），求函数h(x)的最大值； （Ⅲ）当0?a?1时，求证：f(1?a)?f(2)?a?1. 2解：（Ⅰ）∵f?(x)?1，直线l是函数f(x)?lnx的图象在点(1,0)处的切线， x ∴其斜率为k?f?(1)?1

∴直线l的方程为y?x?1． ?????2分

又因为直线l与g(x)的图象相切

?y?x?1129??x?(m?1)x??0， ∴ ?12722y?x?mx??22?

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得??(m?1)2?9?0?m??2（m?4不合题意，舍去） ?????4分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，g(x)?127x?2x? 22∴h(x)?f(x?1)?g?(x)?ln(x?1)?x?2（x??1）， ∴h?(x)?1?x．（x??1） ?????6分 ?1?x?1x?1当?1?x?0时，h?(x)?0；当x?0时，h?(x)?0．

于是，h(x)在(?1,0)上单调递增，在(0,??)上单调递减． ?????8分 所以，当x?0时，h(x)取得最大值h(0)?2； ?????9分 （Ⅲ）由（Ⅱ）知：当?1?x?0时，h(x)?2，即ln(1?x)?x，????10分 当0?a?1时，?1?∴f(1?a)?f(2)?ln22.(本小题满分14分)

a?1?0 21?a?a?1?a?1． ?????12分，?ln?1???22?2?

x2y2如图，已知直线l:x?my?1过椭圆C:2?2?1的右焦点F，抛物线：x2?43y的焦点为椭圆

ab且直线l交椭圆C于A、B两点，点A、F、B 在直线g:x?4上的射影依次为点D、K、C的上顶点，

E.

（Ⅰ）求椭圆C的方程；

???????????????? （Ⅱ）若直线l交y轴于点M，且MA??1AF,MB??2BF，当m变化时，探求?1??2

的值是否为定值？若是，求出?1??2的值，否则，说明理由；

（Ⅲ）连接AE、BD，试探索当m变化时，直线AE与BD是否相交于定点？ 若是，请求出定点的坐标，并给予证明；否则，说明理由.

解：（Ⅰ）易知椭圆右焦点F(1,0),∴c?1，

2抛物线x?43y的焦点坐标0,3

???b?3?b2?3 ?a2?b2?c2?4

x2y2?1?????3分 ?椭圆C的方程?43

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（Ⅱ）易知m?0，且l与y轴交于M?0,?设直线l交椭圆于A?x1,y1?,B?x2,y2?

??1??m?，

?x?my?1?由?x2y2??3m2?4?y2?6my?9?0

?1??3?4∴???6m??363m2?4?144m2?1?0

2

????∴y1?y2??

6m9?????6分 ,y?y??12223m?43m?4??1????1?1?x1,?y1? m?又由MA??1AF??x1,y1???????????1??1?1 my1

同理?2??1?1 my2

∴?1??2??2?1?11???? ??m?y1y2?∵

?3m2?4?2my1?y2116m?????2?????3 y1y2y1y293m?4???1?11?12m8?????2?????????9分 ??m?y1y2?m33∴?1??2??2?8；?????10分 3（Ⅲ）先探索，当m?0时，直线l?OX轴，则ABED为矩形，由对称性知，AE与BD相交FK所以，当m变化时， ?1??2的值为定值?的中点N，且N?,0?，

?2?

猜想：当m变化时，AE与BD相交于定点N?,0??????11分 证明：由（Ⅱ）知A?x1,y1?,B?x2,y2?，∴D(4,y1),E(4,y2)

?5??5?2??

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