同济大学数学专业考研讲义 - 高等代数_wlkc-02

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第二讲带余除法与整除性; 带余除法与整除性; 最大公因子, 最大公因子, 辗转相除法

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GA02

§1- 2带余除法与整除性

定义 4:i)设f ( X ) = an X n + + a1 X + a0 , c ∈ F , 则f (c) = an c + + a1c + a0 , 称为f ( X )在c点的值。n

ii )若 f ( c ) = 0, 称 c 为 f ( X ) 在 F 中的根或零点， 也称 c 为 f ( X ) = 0的解或根。 2

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定理2:i )余数定理 f ( X ) = ( X c)q( X ) + f (c). ii )零点定理 f (c) = 0 ( X c) f ( X ).c为f ( X )的根 f ( X ) = ( X c ) q( X )。设 f ( X ) = ( X c ) g ( X ), ( g ( X ) ∈ F ( X ), c ∈ F , g ( c ) ≠ 0, m ≥ 1) 则称 c 为 f ( X )的 m 重根。当 m = 1时称 c 为单根。m

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定理3 定理 3:域F 上的n次多项式f ( X )在F中 最多有n个根 (重根按重数计入).Proof : 设 a1为 f ( X )的根 , 则由零点定理 f1 ( X ) 使 f ( X ) = ( X a1 ) f1 ( X ) 再若 a 2是根 a1 ≠ a 2 则 f ( X ) = ( X a1 )( X a 2 ) f 2 ( X ) 继续 f ( X ) = ( X a1 ) ( X a m ) f m ( X )

= ( X a1 ) ∵ 两边次数相等

n1

( X am )m i =1

nm

f

m

(X )4

,∴ ∑ n i ≤ n .

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推 论 ： 设 f ( X ) ∈ F [ X ], deg f ( X ) = n , 如 果 f ( X ) 在 F 中 有 > n个 不 同 的 根 , 则 f ( X ) = 0.定理4:设 f ( X ), g ( X ) ∈ F[ X ], deg f ,deg g < n. 若在 n 个不同的点 c1 , , cn 上, f (ci ) = g (ci ) 则 f ( X ) = g ( X ).

证 ： 令 h ( X ) = f ( X ) g ( X ). 则 c1 , , cn是 h ( X )的不同的零点,∴ h ( X ) = 0.5

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§1- 3 最大公因子与辗转相除法定义 1;设 f , g ∈ F [ X ] 1) 若 h ( X ) ∈ F [ X ] 满足 h f, h g 则称 h ( X ) 为 f ( X ) 与 g ( X )的公因式。

2 ) 若 d ( X ) ∈ F [ X ] 是 f 和 g 的公因式 , 且是 f 和 g 的任一公因式的倍， 则称 d ( X )为 f ( X ) 与 g ( X )的最大公因式

.

f 与 g 的首一最大公因式记为 ( f , g ).6

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引理 1:若 f = gq + r , 则( f , g ) = ( r , g ). proof : 由 ( f , g ) f , ( f , g )f gg ,知 ( F [, X ] r , , , r∈ f g)故 ( f , g ) ( r , g ); 同理 ( r , g ) ( f , g ).

rs 2 = rs 1q s + rs deg rs < deg rs 1 rs 1 = rs q s +1 ∴ ( f , g ) = ( g , r1 ) = = ( rs 1 , rs ) = crs

f = gq 1 g = r1 q 2 r1 = r 2 q 3

+ r1 , deg r1 < deg g + r2 , deg r 2 < deg r1 + r3 ,

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g(X) -3 q2(X) x3+ 2x2 x3 + x2 -2x =x+1 x2 +2x -3 x2 + x -2 r2(x)= x -1 所以 ( f, g ) = r2(x) = x -1

f(X) x4+ x3- x2- 2x+ 1 x4+2 x3 - 3x - x3 - x2 +x + 1 - x3 - 2x2 + 3 r1(x)= x2 +x -2 =(x-1)(x+2)

q1(X) = x-1

f = gq

1

+ r1 ,

g = r1 q 2 + r 2 .8

r2 = g r1 q 2 = g ( f gq 1 ) q 2 . = q 2 f + (1 + q 1 q 2 ) g .

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rs 2 = rs 1 q s + rs ,

deg rs < deg rs 1

∵ rs = rs 2 rs 1q s = ( rs 4 rs 3 q s 2 ) ( rs 3 rs 2 q s 1 ) q s = = f 与 g 的线性组合。定理 2:设 f , g ∈ F [ X ], 则 ( f , g ) = d ( X ) 存在 且

唯一 , 而且存在 u , v ∈ F [ X ], 使 uf + vg = d Bezout 等式 .9

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exp1

设

f ( x) = x + x ,1 4 1 4 3 4 1 4 1 4 2 2 1 2 1 2 1 2

g ( x) = x + x x ,则其首一最大公因式

( f ( x ), g ( x )) = ________ .且有 u ( x )

= _____ , v ( x ) = _____ 使得 _____, u ( x ) f ( x ) + v ( x ) g ( x ) = ( f ( x ), g ( x )).又 ( u ( x ), v ( x )) =

_______ .10

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g ( x)1 3 q2 = 4 3 1 1 1 4 4 4

f ( x)1 4 4 1 4 4

x+

x + x 1 x 1 2 2 x 1x 41 2 4 1 2 4 1 2 4

x 1 x 1 4 2 x 1 41 4 1 4

r2 = x

x + x 1 q1 = 2 1 3 1 2 1 x + 4 x 2 x 2 x x 1 1 3 3 2 1 1 4 x + 4 x + 2 x 2 1 3 1 2 1 1 4 x 4 x + 2 x + 21 4 2

= 1 ( x + 1) 4

r1 = x 12

= ( x 1)( x + 1)

∴ ( f , g ) = ( x + 1) = 4r2 ( x)11

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f = gq

1

+ r1 ,

g = r1 q 2 + r 2 .

r2 = g r1 q 2 = g ( f gq 1 ) q 2 . = q 2 f + (1 + q 1 q 2 ) g .∴ ( f , g ) = ( x + 1) = 4r2 ( x)

= 4q2 f 4(1 + q1q2 ) g

v( x) = 4(1 + q1q2 ) = (4 + x 1) = x 32 2

∴ u ( x) = 4q2 = x + 1;(u, v) = 1

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§1- 4

互素

定义：设 f , g ∈ F [ X ], 若 ( f , g ) = 1 则称 f ( X ) 与 g ( X ) 互素。 定理 3:( f , g ) = 1 存在 u , v ∈ F [ X ] 使 uf + vg = 1 .proof : 由 Bezout 等式 ∵ d ( X ) = 1得证。 设 ( f , g ) = d ( X ), 则 d ( X ) f , d (X ) g, ∴ d ( X ) 1 ∴ d ( X ) = 1.13

整除和互素有如下性质：

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定理 4: i ) 若 f gh , 且 ( f , g ) = 1, 则 f h . ii ) 若 f 1 g , f 2 g , 且 ( f 1 , f 2 ) = 1, 则 f 1 f 2 g . iii ) 若 ( f , g ) = 1, ( f , h ) = 1, 则 ( f , gh ) = 1 .proof : i ) 由 u f + v g = 1 , 两边同乘 u f h + v g h = h → f h. h

ii ) g = f 1 h1 , f 2 f 1 h1 , 且 ( f 1 , f 2 ) = 1, ∴ f 2 h1 ∴ h1 = f 2 h 2 ,∴ g = f 1 f 2 h 2 , f 1 f 2 g . iii ) 由 uf + vg = 1, sf + th = 1, 两边相乘得 uf ( sf + th ) + sfvg + vtgh = 1 ∴ ( f , gh ) = 1 . 14

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§2- 1 唯一析因定理定义 1:若域 F 上的非常数多项式形式 f 可表为 f = gh , ( g , h ∈ F [ X ]均非常数 ) 则称 f 在 F 上是可约，否则称 f 是不可约。

例： x 2 在 Q 上不可约，在2 2

R 上可约 ;

x + 1在 R 中不可约 , 在 C 中可约 .

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引理 1 :设 p ( X ) ∈ F [ X ]不可约 ( i ) 若 p 与 f 不互素 , 则 p f . ( ii ) 若 p f 1 f 2 , 则 p f 1 或 p f 2 . proof : ( i ) p 不可约，知 p 无真因子。 由 ( p , f ) p ,知 ( p , f ) = 1,或 p 。 而 p , f 不互素 ∴ ( p , f ) = p → p f 。

.

( ii ) 若 p 与 f 1不互素，则由 若 p 与 f 1互素，则 p f 2。

( i ) p f 1,16

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定义中的恒元和逆元都 是乘在左边的， 可以证明，乘在右边也 有相同的性质。 即 a a -1=e, a e=a.

a a

1

= e (a a ) = (a ) a (a a ) 1 1 1

1

1 1

1

1

= (a ) e a 1

= (a ) a 1

1 1

1

= e.

a e = a (a a ) = (a a ) a = e a = a.30 .设 F1 ,

F2为任两个数域，则 F1 ∪ F2不一定是数域 .

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1.设集合 A = {1,2,3,4}, A 中的二元运算 与 分别定义为： 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 1 3 4 1 3 4 1 2 2 4 2 3 1 2 4 3 2 1 3 1 3 2 4 3 1 2 3 4 4 3 4 1 2 4 2 1 4 3 则代数系统( A; )与( A; )中成为群 的是： ,且1 的逆元为 .2.令G是所有秩不大于 r的n阶复方阵的集合， 则在通常的矩阵乘法运 算下， G是否构成群 ? 18

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/yzji.html