齿轮机构设计理论

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第 7 章 齿轮机构设计

本章以渐开线直齿圆柱齿轮传动为主线，阐述圆柱齿轮传动的运动设计和承载能力设计。 运动设计主要包括啮合原理及啮合特点、基本参数和几何尺寸计算等内容；承载能力设计主要 包括设计计算准则、齿轮失效、力分析和强度计算等内容。在此基础上，简明介绍直齿锥齿轮 传动设计及齿轮润滑设计。 基本要求: 基本要求: 1) 了解齿轮传动的特点、应用及类型； (2) 理解齿廓啮合基本定律,掌握渐开线齿廓的形成及其性质，并能在后续相关内容中运 用；熟练掌握渐开线圆柱齿轮的基本参数、标准齿轮的几何尺寸计算，能够正确计算；掌握范 成法切齿原理、标准齿轮和变位齿轮切制特点以及变位齿轮的尺寸变化。 (3) 深入理解直齿轮传动运动设计应满足的六个条件及重合度、不根切最少齿数、无侧隙 啮合方程等内容，并正确运用重合度等公式进行计算；掌握圆柱齿轮传动的几何尺寸计算及中 心距变动系数、齿顶高变动系数等概念；了解标准齿轮传动、高度变位齿轮传动及角度变位齿 轮传动的特点。 (4) 理解斜圆柱齿轮齿廓曲面的形成、基本参数与螺旋角的关系、当量齿轮及当量齿数的 概念；理解平行轴斜齿轮传动运动设计的条件，并正确运用其几何尺寸公式进行计算；了解交 错轴斜齿轮传动的特点。 (5) 了解齿轮精度选择的方法，五种失效形式的特点、生成机理及予防或减轻损伤的措 施；掌握齿轮材料选择要求、常用钢铁材料选用及其热处理特点。 (6) 熟练掌握齿轮传动的受力分析，特别是平行轴斜齿轮轴向力的大小和方向的确定，直 齿锥齿轮传动轴向力与径向力的关系；理解几个载荷修正系数的意义及其影响因素，减小其影 响的方法； (7) 熟练掌握直齿圆柱传动的齿面接触疲劳强度计算和齿根弯曲疲劳强度的计算基本理论 依据，推导公式的思路，公式中各个参数和系数的意义，掌握其确定方法；参考示范例题，掌 握齿轮传动设计的步骤，正确地进行直齿轮传动的强度设计计算；了解平行轴斜齿轮传动和直

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齿锥齿轮传动的当量齿轮的意义，掌握平行轴斜齿轮传动和直齿锥齿轮传动强度计算特点。 (8) 掌握齿轮四种结构形式的特点和选择，并能画出齿轮零件的工作图；掌握齿轮传动润 滑油种类、粘度及润滑方式的选择。

7.1 概述 7.1.1 优缺点及分类 齿轮传动机构的特点： 齿轮机构是现代机械中应用最广泛的传动机构，用于传递空间任意两轴或多轴之间的运动 和动力。 齿轮传动主要优点： 齿轮传动主要优点：传动效率高，结构紧凑，工作可靠、寿命长，传动比准确。 齿轮机构主要缺点： 齿轮机构主要缺

点：制造及安装精度要求高，价格较贵，不宜用于两轴间距离较大的场 合。 齿轮传动机构的分类： 齿轮传动机构的分类： 平行轴齿轮传动机构① 按轴的相对位置 相交轴齿轮传动机构、交错轴齿轮传动机构 按齿线相对齿轮体母线相对位 置 按齿廓曲线 按齿轮传动机构的工作条件 按齿面硬度 说明： 说明： 直齿、斜齿、人字齿、曲线齿 渐开线齿、摆线齿、圆弧齿 闭式传动、开式传动、半开式传动③< 软齿面(≤350HB)、硬齿面(>350HB)②

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① 平行轴齿轮传动机构又称为平面齿轮传动机构. ② 相交轴齿轮传动机构和交错轴齿轮传动机构统称为空间齿轮传动机构. ③ 闭式传动的齿轮封闭在箱体内，润滑良好；开式传动的齿轮是完全外露的，不能保证 良好润滑；半开式传动的齿轮浸在油池内，装有防护罩，不封闭。

平行轴齿轮传动机构(圆柱齿轮传动机构) 平行轴齿轮传动机构(圆柱齿轮传动机构)

直

齿

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斜

齿

曲

齿

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人字齿

齿轮齿条

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内齿轮

相交轴齿轮传动机构(圆锥齿轮传动机构) 相交轴齿轮传动机构(圆锥齿轮传动机构)

直

齿

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斜

齿

曲线齿

交错轴齿轮传动机构

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斜

齿

蜗杆蜗轮

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准双曲面齿轮 传动的基本要求： 7.1.2 传动的基本要求： 在齿轮传动机构的研究、设计和生产中，一般要满足以下两个基本要求： 传动平稳--在传动中保持瞬时传动比不变，冲击、振动及噪音尽量小。 1. 传动平稳 2.承载能力大 承载能力大--在尺寸小、重量轻的前提下，要求轮齿的强度高、耐磨性好及寿命长。 承载能力大

7.2 齿轮齿廓设计 7.2.1 齿廓啮合基本定律 图示为一对作平面啮合的齿轮，两轮的齿廓曲线分别为 G1 和 G2。设轮 1 绕轴 O1 以角速度ω1

转动，轮 2 绕轴 O2 以角速度ω2 转动，图中点 K 为两齿廓的接触点，过点 K 作两齿廓的公法线

nn,公法线 nn 与连心线 O1O2 交于点 C。由三心定理可知，点 C 是两轮的相对速度瞬心，故有：

由此可得：

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在齿轮啮合原理中，将点 C 称为啮合节点 啮合节点，简称节点 12 称为传动比 节点。i 传动比。 啮合节点 节点 传动比 由以上分析可知：一对齿廓在任一位置啮合时，过接触点作齿廓公法线，必通过节点 P, 一对齿廓在任一位置啮合时，过接触点作齿廓公法线， 一对齿廓在任一位置啮合时 所分成两个线段成反比。 它们的传动比与连心线 O1O2 被节点 C 所分成两个线段成反比。这一规律称为齿廓啮合基本定 律。

作固定传动比传动齿廓必须满足的条件 通常齿轮传动要求两轮作定传动比传动，则由式

可得节点 C 为固定点。由此得到两轮作定传动比传动时，其齿廓必须满足的条件：无论两 无论

两

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齿廓在何处接触，过接触点作两齿廓的公法线必须通过固定节点 齿廓在何处接触，过接触点作两齿廓的公法线必须通过固定节点 C。节点 C 在两轮运动平面上 的轨迹是两个圆，称为齿轮的节圆 节圆。因为两轮在节点 C 处的相对速度等于零，所以一对齿轮的 节圆 啮合传动可以视为其节圆的纯滚动。 设两轮节圆半径分别为 r1'和 r2',则

共轭齿廓: 共轭齿廓: 凡是满足齿廓啮合基本定律的一对齿廓称为共轭齿廓 共轭齿廓，共轭齿廓的齿廓曲线称为共轭曲 共轭齿廓 共轭曲 线。理论上可以作为共轭齿廓的曲线有很多种，但是考虑到设计、制造、测量、安装及使用等 问题，目前常用的齿廓曲线有渐开线、摆线和圆弧等。因渐开线齿廓能较全面地满足上述要 求，因此现代的齿轮绝大多数都是采用渐开线齿廓。

7.2.2 渐开线齿廓

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渐开线的形成 如图示，当直线 n-n 沿圆周作纯滚动时，直线上任意一点 K 的轨迹 AK 称为该圆的渐开 线。 这个圆称为基圆,其半径用 rb 表示； 直线 n-n 称为渐开线的发生线， θk(=∠AOK)称为渐开线 AK 段的展角。

渐开线的性质 由渐开线的形成可知，渐开线具有下列性质： 1) 发生线沿基圆滚过的长度，等于基圆上被滚过的弧长，即弦 KB=弧 AB。 (2)渐开线上任一点的法线必与基圆相切。 (3)发生线与基圆的切点 B 为渐开线上点 K 的曲率中心，而线段 BK 是相应的曲率半径。

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由图可知： 渐开线上各点的曲率半径是不同的，离基圆愈远的点其曲率半径愈大；反之，则曲率半径 愈小；渐开线在基圆上起始点 A 处的曲率半径为零。

⑷ 渐开线的形状决定于基圆的大小。 如图示，基圆愈大，渐开线愈平直；当基圆半径趋于无穷大时，渐开线将成为一条垂直于 N3K 的直线。后面介绍的齿条的齿廓就是这种直线齿廓。

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⑸ 基圆内无渐开线。

渐开线齿廓的压力角 如图所示，点 K 为渐开线上任意一点，其向径用 rk 表示。若用此渐开线为齿轮的齿廓，当 齿轮绕点 O 转动时，齿廓上点 K 速度的方向应垂直于直线 OK,即沿直线 mm。我们把法线 BK 与 点 K 速度方向线 mm 之间所夹的锐角称为渐开线齿廓在该点的压力角，用αk 表示,其大小等于 ∠KOB。 由△KOB 可得：

上式表明：渐开线上各点的压力角是不同的，离基圆愈远(矢径 rk 愈大),其压力角愈

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大；渐开线起始点 A 的压力角为零。 由图可知： 渐开线上各点的曲率半径是不同的，离基圆愈远的点其曲率半径愈大；反之，则曲率半 径愈小；渐开线在基圆上起始点 A 处的曲率半径为零。

渐开线函数 由图可得：

即: 上式表明：展角θk 是压力角αk 的函数，称为渐开线函数。 工程上用 invαk

表示θk,即有

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工程中已将不同压力角的渐开线函数计算出来制成表格以备查用，详见表 2 表 如图示，若以渐开线起始点 A 的矢径 OA 为极轴，则渐开线上任意一点 K 的位置可用极坐 标描述。联立(a)、(b)两式，可得渐开线的极坐标参数方程式为：

7.2.3 渐开线齿廓的啮合特征 1. 啮合线是一条定直线 图示为一对渐开线齿廓 g1、g2 在任意位置啮合，啮合接触点为点 K。过点 K 作这对齿廓的 公法线 N1N2,根据渐开线的性质可知，公法线 N1N2 必同时与两基圆相切，即公法线 N1N2 为两基 圆的一条内公切线。由于两基圆的大小和位置均固定不变，其内公切线只有一条。因此，不论 两齿廓在任何位置啮合，它们的接触点一定在这条内公切线上(如图中的点 K')。这条内公 切线是接触点 K 的轨迹，称为啮合线，亦即一对渐开线齿廓的啮合线是一条定直线。 2. 能满足定传动比要求 如上所述，无论两齿廓在任何位置啮合，接触点的公法线是一条定直线，而且该直线与连 心线 O1O2 的交点 C 是固定点。因此，一对渐开线齿廓能实现定传动比传动。因图中△O1N1C 和△ O2N2C 相似，则传动比为：

3. 啮合角恒定不变 两齿廓在任意位置啮合时，接触点的公法线与节圆公切线之间所夹的锐角称为啮合角。因 为两渐开线齿廓接触点的公法线始终是定直线，所以其啮合角始终不变，而且在数值上恒等于 节圆压力角，用α'表示。在齿轮传动中，两齿廓间正压力的方向是沿其接触点的公法线之 间，该方向随啮合角的改变而变化。渐开线齿廓啮合的啮合角不变，故齿廓间正压力的方向也

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始终不变，这对于齿轮传动的平稳性是十分有利的。 4.中心距具有可分性 4.中心距具有可分性

由上式可知：一对渐开线齿廓啮合的传动比决定于其基圆的大小，而齿轮一经设计加工好 后，它们的基圆也就固定不变，因此当两轮的实际中心距略有偏差时，仍能保持原传动比，此 特点称为渐开线齿廓啮合的可分性 可分性。这一特点对渐开线齿轮的制造、安装都是十分有利的。 可分性 7.3 渐开线标准直齿圆柱齿轮机构 图示为直齿外齿轮的一部分。齿轮上每个凸起的部分称为齿，相邻两齿之间的空间称为齿 齿 槽。齿轮各部分的名称及符号规定如下： (1) 齿顶圆 过齿轮各齿顶所作的圆，其直径和半径分别用 da 和 ra 表示。 (2) 齿根圆 过齿轮各齿槽底部的圆，其直径和半径分别用 df 和 rf 表示。 (3) 分度圆 齿顶圆和齿根圆之间的圆，是计算齿轮几何尺寸的基准圆其直径和半径分 别用 d 和 r 表示。 (4) 基圆 形成渐开线的圆，其直径和半径分别用 db 和 rb 表示。 (5) 齿顶高、齿根高及

齿全高 齿顶高为分度圆与齿顶圆之间的径向距离，用 ha 表示； 齿顶高、 齿根高为分度圆与齿根圆之间的径向距离，用 hf 表示；齿全高为齿顶圆与齿根圆之间的径向距 离，用 h 表示，显然 h=ha+hf。 (6) 齿厚、齿槽宽及齿距 在半径为 rk 的圆周上，一个轮齿两侧齿廓之间的弧长称为该 齿厚、 圆上的齿厚，用 sk 表示；在此圆周上，一个齿槽两侧齿廓之间的弧长称为该圆上的齿槽宽，用 ek 表示；此圆周上相邻两齿同侧齿廓之间的弧长称为该圆上的齿距，用 pk 表示，显然 pk=sk+ek。分度圆上的齿厚、齿槽宽及齿距依次用 s、e 及 p 表示，p=s+e。基圆上的齿距又称为

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基节，用 pb 表示。

标准齿轮：基本参数取标准值，具有标准的齿顶高和齿根高，分度圆齿厚等于齿槽宽的直 标准齿轮 齿圆柱齿轮称为标准齿轮，不能同时具备上述特征的直齿轮都是非标准齿轮。 标准齿轮及其几何尺寸计算公式 由齿轮各部分名称的定义可以得到标准齿轮的几何尺寸计算公式，如(外齿轮): 分度圆直径 基圆直径

d=mz db=dcosα

齿顶圆直径

齿根圆直径

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标准齿轮的几何尺寸计算公式详见付表 付表

基本参数

(1) 齿数 z (2) 模数 m

在齿轮整个圆周上轮齿的总数。 分度圆的周长=πd=zp,则有：

由于π是无理数，给齿轮的设计、制造及检测带来不便。为此，人为地将比值 p/π取为一 些简单的有理数，并称该比值为模数，用 m 表示，单位是 mm。我国已制定了模数的国家标 模数的国家标 准，因此，分度圆直径 d = mz,分度圆齿距 p = πm。 模数 m 是决定齿轮尺寸的一个基本参数。齿数相同的齿轮，模数愈大，其尺寸也愈大如上 图所示。

3) 分度圆压力角α

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