高一数学教案：球的体积和表面积

球的体积和表面积

一. 教学目标

１． 知识与技能

⑴通过对球的体积和面积公式的推导，了解推导过程中所用的基本数学思想方法：“分

割——求和——化为准确和”，有利于同学们进一步学习微积分和近代数学知识。 ⑵能运用球的面积和体积公式灵活解决实际问题。 ⑶培养学生的空间思维能力和空间想象能力。 ２． 过程与方法

通过球的体积和面积公式的推导，从而得到一种推导球体积公式Ｖ＝

4πR3和面积公式Ｓ＝４3πR2的方法，即“分割求近似值，再由近似和转化为球的体积和面积”的方法，体现了极限思想。 ３． 情感与价值观

通过学习，使我们对球的体积和面积公式的推导方法有了一定的了解，提高了空间思维能力和空间想象能力，增强了我们探索问题和解决问题的信心。 二. 教学重点、难点

重点：引导学生了解推导球的体积和面积公式所运用的基本思想方法。 难点：推导体积和面积公式中空间想象能力的形成。 三. 学法和教学用具

１． 学法：学生通过阅读教材，发挥空间想象能力，了解并初步掌握“分割、求近似值 的、再由近似值的和转化为球的体积和面积”的解题方法和步骤。 ２． 教学用具：投影仪 四. 教学设计

（一） 创设情景

⑴教师提出问题：球既没有底面，也无法像在柱体、锥体和台体那样展开成平面图形，那么怎样来求球的表面积与体积呢？引导学生进行思考。

⑵教师设疑：球的大小是与球的半径有关，如何用球半径来表示球的体积和面积？激发学生推导球的体积和面积公式。 （二） 探究新知 1．球的体积：

如果用一组等距离的平面去切割球，当距离很小之时得到很多“小圆片”，“小圆片”的体积的体积之和正好是球的体积，由于“小圆片”近似于圆柱形状，所以它的体积也近似于圆柱形状，所以它的体积有也近似于相应的圆柱和体积，因此求球的体积可以按“分割——求和——化为准确和”的方法来进行。 步骤： 第一步：分割

如图：把半球的垂直于底面的半径ＯＡ作n等分，过这一组平行于底面的平面把半球切割成n个“小圆片”，“小圆为

些等分点，用片”厚度近似

R，底面是“小圆片”的底面。 n如图：

R?R3i?12[1?()]　　(i?1、２??n) 得Vi???ri??nnn2

第二步：求和

1(1?1n)(2?n)Ｖ半球＝v1?v2?v3???vn??R[1?]

63第三步：化为准确的和

当n→∞时， n→0 （同学们讨论得出） 所以 Ｖ半球＝?R31(1?1?22)??R3 63Ｖ球?得到定理：半径是Ｒ的球的体积

4?R3 33

练习：一种空心钢球的质量是142g,外径是5cm,求它的内径(钢的密度是7.9g/cm) 2．球的表面积：

球的表面积是球的表面大小的度量,它也是球半径R的函数,由于球面是不可展的曲面,所以不能像推导圆柱、圆锥的表面积公式那样推导球的表面积公式,所以仍然用“分割、求近似和，再由近似和转化为准确和”方法推导。

思考：推导过程是以什么量作为等量变换的？ 半径为R的球的表面积为 Ｓ＝４πR 练习：长方体的一个顶点上三条棱长分别为3、4、5，是它的八个顶点都在同一球面上，则这个球的表面积是 。 （答案50元） （三） 典例分析 课本P47 例4和P29例5 （四） 巩固深化、反馈矫正

⑴正方形的内切球和外接球的体积的比为 ，表面积比为 。 （答案：33:1 ； 3 ：1）

⑵在球心同侧有相距9cm的两个平行截面，它们的面积分别为49πcm和400πcm，求球的表面积。 （答案：2500πcm）

分析：可画出球的轴截面，利用球的截面性质求球的半径

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2（五） 课堂小结

本节课主要学习了球的体积和球的表面积公式的推导，以及利用公式解决相关的球的问题，了解了推导中的“分割、求近似和，再由近似和转化为准确和”的解题方法。 （六） 评价设计

作业 P30 练习1、3 ，B（1）

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