共点力作用下物体的平衡（答案）

共点力作用下物体的平衡

一、学习目标

1．准确且恰当的选取研究对象，进行正确的受力分析且能画出利于解题的受力图。 2．熟练掌握常规力学平衡问题的解题思路。

3．会运用相应数学方法处理力的合成与分解，掌握动态平衡问题的分析方法。 二、知识概要

1. 共点力——几个力作用于物体的一点，或它们的作用线（或其反向延长线）交于一点，这几个力叫共点力。

2、共点力作用下物体的平衡状态：静止或匀速运动

3、共点力作用下物体的平衡条件：合外力为零或加速度为零 F合＝0 或 a=0

在正交分解法时表达式为： Fx合＝0，Fy合＝0 4、平衡条件的推论

（1）物体受两个力作用处于平衡，则这两个力是一对平衡力。 （2）物体受三个力处于平衡，则:

a、任意两个力的合力与第三个力大小相等，方向相反； b、平移三力一定构成一个封闭的三角形; c、三力平衡不平行必共点。 （3）物体受多个力而平衡，则: a、正交分解法求解

选择x、y轴方向时，要使尽可能多的力落在坐标轴上，尽可能少分解力，被分解的力尽可能是已知力，不宜分解待求力

b、任一个力与其余的力的合力大小相等，方向相反。 5、求解平衡问题的基本思路 (1) 明确平衡状态(加速度为零)； (2) 巧选研究对象(整体法和隔离法)；

若不涉及物体间内部相互作用，一般用整体法，即以整体为对象；反之，若研究物体间内部的相互作用，则要用隔离法，选对象的原则是受力较少的隔离体。

(3) 准确分析受力 (规范画出受力示意图)； 一般受力分析的顺序是：场力（重力、电场力、磁场力）、弹力（接触面的弹力、绳弹力、杆弹力）、摩擦力、已知外力、未知外力。

(4) 据物体的受力和已知条件，采用力的合成（一般适用于三力平衡）、力的分解（正交分解、效果分解）、力汇交原理、矢量三角形法、相似三角形、正弦定理、余弦定理等，确定解题方法；

(5) 求解或讨论(解的结果及物理意义)。

F 三、典型例题

A 例1．如图所示，轻绳的A端固定在天花板上，B端系一个重力为G的小球，小球静止在固定的光滑的大球球面上。已知AB绳长为l，大球半径为R，FN C0 天花板到大球顶点的竖直距离AC = d，∠ABO > 90。求绳对小球的拉力和大B球对小球的支持力的大小（小球可视为质点）。

O 解：小球为研究对象，其受力如图所示。绳的拉力F、重力G、支持力FN

三个力构成封闭三解形，它与几何三角形AOB相似，则根据相似比的关系得到：

FFGlR==N，于是解得 F = G，FN = G。

Rld?Rd?Rd?RA

例2．如图所示，质量为m的物体用一轻绳挂在水平轻杆BC的C端，B端用铰链连接，C点由轻绳AC系住，已知AC、BC夹角为θ，则轻绳AC上的张力B θ C 和轻杆BC上的压力大小分别为多少？

1

m

解：选C点为研究对象，受力情况如图所示，由平衡条件和正弦定理可得：

FNFTmg ??00sin?sin(90??)sin90mg即得FT?和FN=mgcotθ

sin?所以由牛顿第三定律知，轻绳AC上的张力大小为FT?FT Fθ N mg，轻杆BC上的压力大mg sin?小为FN=mgcotθ

本题还可以用合成法、分解法，正交分解法等。

例3．半径为R的半球形光滑碗固定在水平地面上，一根粗细均匀长度为2L的杆斜靠在碗边（如图所示）。求当杆处于平衡状态时，杆与水平面之间的倾角?。试讨论要使杆处于平衡状态，杆长与碗的半径应有怎样的关系。

分析：杆受到重力G（重心在均匀直杆的中点），碗对杆的一端的弹力N（方向指向碗的球心），碗边缘对杆的弹力T（垂直杆向上）。

2RD2L?如图，DB=2Rcosa-L，

BC=DB×cota，BC=ABtana，AB=2Rcosa

(2Rcosa- L)cota=2Rcosatana 得L=2Rcos2a/cosa

四、检测题

1．如图所示，在光滑绝缘水平面上放置3个电荷量均为的（q＞0）相同小球，小球之间用劲度系数均为k0的轻质弹簧绝缘连接。当3个小球处在静止状态时，每根弹簧长度为l已知静电力常量为k，若不考虑弹簧的静电感应，则每根弹簧的原长为（ ）

5kq2kq2A．l? B．l?

2k0l2k0l25kq25kq2C．l? D．l? 224k0l2k0l2．如图所示，倾角为θ的斜面体C置于水平面上，B置于斜面上，通过细

绳跨过光滑的定滑轮与A相连接，连接B的一段细绳与斜面平行，A、B、C都处于静止状态。则 ( )

A．B受到C的摩擦力一定不为零 B．C受到水平面的摩擦力一定为零

C．不论B、C间摩擦力大小、方向如何，水平面对C的摩擦力方向一定向左 D．水平面对C的支持力与B、C的总重力大小相等

3．S1和S2表示劲度系数分别为k1、k2的两根弹簧，k1＞k2；a和b表示质量分别为ma和mb

的两个小物块，ma＞mb，将弹簧与物块按图所示方式悬挂起来，现要求两根弹簧的总长度最大，则应使（ ）

A．S1在上，a在上 B．S1在上，b在上

2

上 下

C．S2在上，a在上 D．S2在上，b在上

4．有一个直角支架AOB，AO水平放置，表面粗糙， OB竖直向下，表面光滑。AO上套有小环P，OB上套有小环Q，两环质量均为m，两环由一根质量可忽略、不可伸长的细绳相

O A P 连，并在某一位置平衡（如图所示）。现将P环向左移一小段距离，两环再次达到

平衡，那么将移动后的平衡状态和原来的平衡状态比较，AO杆对P环的支持力FN和摩擦力f的变化情况是（ ） Q A．FN不变，f变大 B．FN不变，f变小 B C．FN变大，f变大 D．FN变大，f变小

5．用轻质细线把两个质量未知的小球悬挂起来，如图所示，今对小球a持续施加一个向左偏下30°的恒力，并对小球b持续施加一个向右偏上30°的同样大小的恒力，最后达到平衡，表示平衡状态的图可能是（ ）

aaQ aa a

右左P b

bbbC b

A B C D

G B

6．如图所示，A、B是两根竖直立在地上的木桩，轻绳系在两木桩不等

A 高的P、Q两点，C为光滑的质量不计的滑轮，当P点的位置变化时，轻绳的张力的大小变化情况是

A、P点上下移动时，张力不变 B、P点上下移动时，张力变大 C、P点上下移动时，张力变小 D、条件不足，无法判断

7．如图所示，一个半球形的碗放在桌面上，碗口水平，O点为其球心，碗的内表面及碗口是光滑的，一根细线跨在碗口上，线的两端分别系有质量为m1和m2的小球。当它们处于平衡状态时，质量为m1的小球与O点的连线与水平线的夹角为α=60°两小球的质量比m2/m1为（ ） A．3 B．2 C．3 D．2

22338．如图所示，三根长度均为l的轻绳分别连接于C、D两点，A、B两端被悬挂在水平天花板上，相距2l。现在C点上悬挂一个质量为m的重物，为使CD绳保持水平，在D点上可施加力的最小值为（ ）

A. mg B.

3mg C. 1mg D. 1 mg

243O ? m1 m2

P 9．一光滑半圆形圆环固定在竖直平面内，环上套着一个质量

为m的小球P，用细绳相连系于A点，处于平衡状态，如图所示。

若细绳与水平面夹角为30?，则细绳对小球的拉力FT为_______，A 300O B 环对小球的弹力FN为________。

10．如图所示，重为G的小球，用一细线悬挂在点O处。现用一大小恒定的外力F(F

O

θ

3

11．重G的光滑小球静止在固定斜面和竖直挡板之间。若挡板逆时针缓慢转到水平位置，在该过程中，斜面和挡板对小球的弹力的大小F1、F2各如何变化？ F1

F2 12．重力为G的均质杆一端放在粗糙的水平面上，另一端系在一条水平绳上，杆与水平面成α角，如图所示，已知水平绳中的张力大小为F1，求地面对杆下端的作用力大小和方向？

13．如图所示，水平放置的两根固定的光滑硬杆OA、OB之间的夹角为θ，在两杆上各套轻环P、Q，两环用轻绳相连，现用恒力F沿OB杆方向向右拉环Q，当两环稳定时，绳的拉力是多大？ P A F θ

O

B Q

14．如图所示，物体的质量为2kg，两根轻绳AB和AC的一端连接于竖直墙上，另一端系于物体上，且AC绳水平时，两绳所成角为θ=600。在物体上另施加一个方向与水平线成θ=600的拉力F，若要使两绳都能伸直，求拉力F的大小范围。

B

F

θ θ C A

15．如图所示，一个重为G小圆环套在竖直的半径为R的大圆环上，轻弹簧原长为L(L＜2R)，其劲度系数为k，接触光滑，求小圆环静止时弹簧与竖直方向的夹角。

?4

答 案

1．C 解析：第三个小球受三个力的作用它们的关系是

q2q25Kq25Kq2，得x? l0?l?x?l?k0x?k2?kl(2l)24k0l2 4k0l22．C 解：隔离B可知当mA g＝mBgsinθ时，B与C之间无摩擦，A错误；将B、C作为一个整体时，

由A对B的拉力在水平与竖直两方向上的分力知C正确。B错误，而水平面对C的支持力应比B、C的总重力小，D错误。

F 3. D

α 4．B解：以两环和细绳整体为对象求FN，可知竖直方向上始终二力平衡，FN=2mg不变；以Q环为对象，在重力、细绳拉力F和OB压力N作用下平衡，设细

N 绳和竖直方向的夹角为α，则P环向左移的过程中α将减小，N=mgtanα也将减小。再

以整体为对象，水平方向只有OB对Q的压力N和OA 对P环的摩擦力f作用，因此f=N也减小。 mg 5．A 解法Ⅰ：将a、b两球及两球间的绳看做一个物体系统，以这个系统为研究对象，因为作用在a、b上的恒力等大反向，其合外力平衡。而a、b受的重力竖直向下，要保持平衡，故a到悬点的细绳的力必然沿竖直方向向上，故选A。

解法Ⅱ：也可以分别将a、b隔离进行受力分析，分别对a、b两球列出水平分力的平衡方程即可。以c图为例，受力如图所示。

对a：水平方向有

s?T2cos? F1cos30?T1co? 对b:水平方向有

?? F2cos30?T2cos 因为F1 = F2

所以T1cos??0,由于T1≠0

故??90 6．A

7．A解：本题有多种解法，正弦定理、相似三角形、正交正弦定理。受力分析如图，等腰三角OAB中，α=60°故∠OAB=∠OBA=60°则由几何关系得：三角形DCA中，∠DCA=120°由正弦定理有：

??O D B T C m2

分解等，此处用∠CDA=30°，

N m1 ?A m1g m2gm1g?

sin30?sin120?8．C

9． mg，3mg 10.（θ=arcsinm3所以：2?

m13F1 F2 F1

F2

F） G11． F1逐渐变小，F2先变小后变大。

12．解析：地面对杆的作用力是地面对杆的弹力和摩擦力的两个力的合力，这样杆共受三个彼此不平行的作用力，根据三力汇交原理知三力必为共点力，如图所示，设F与水平方向夹角为β，根据平衡条件

5

有：

Fsinβ=G，Fcosβ=F1，

G解得F=G?F1，β=arctan

F122F1 F ??G 13．解： P、Q稳定后，P、Q环所弹力分别为FP、FQ，与杆垂直。 P受绳弹力T与弹力FP作用平衡，所以绳必须与杆垂直。 Q受绳的拉力T/、弹力FQ和拉力F三力作用而平衡。如图

/环由正交分解法有：T/sinθ=F，所以T?T?FP P O θ Q y

FAB θ FAC

θ A 所示。对Q

F sin?T T/ F B FQ 14．解析：作出A受力图如图所示，并建立直角坐标，由有：

在x方向: Fcosθ-FAC-FABcosθ=0 在y方向: Fsinθ+FABsinθ-mg=0 由以上两式得

FACmgmg F??FBC F??sin?2cos?2sin?要使两绳都能绷直，则有：FAB?0,FAC?0

平衡条件

F

x

G

203403N?F?N 3315．分析：如图所示，环静止时受F、G、N三个力作用， F’为G与N的合力。注意大环对小环的弹力N的方向沿半径方向，从图中的几何关系可知△AOB与△F’NB相似。根据比例关系可求出夹角θ。

解：根据胡克定律弹簧弹力F为：F＝k(2Rcosθ－L)

由以上各式可解得F的取值范围为：因△AOB∽△F’NB则有：

A θ F R O θ B N G AOAB? ??FNFBR2Rco?s2Rco?s??即 GF?F将F＝k(2Rcosθ－L)代入上式得 ??arccoskL

2(kR?G)F，

6

有：

Fsinβ=G，Fcosβ=F1，

G解得F=G?F1，β=arctan

F122F1 F ??G 13．解： P、Q稳定后，P、Q环所弹力分别为FP、FQ，与杆垂直。 P受绳弹力T与弹力FP作用平衡，所以绳必须与杆垂直。 Q受绳的拉力T/、弹力FQ和拉力F三力作用而平衡。如图

/环由正交分解法有：T/sinθ=F，所以T?T?FP P O θ Q y

FAB θ FAC

θ A 所示。对Q

F sin?T T/ F B FQ 14．解析：作出A受力图如图所示，并建立直角坐标，由有：

在x方向: Fcosθ-FAC-FABcosθ=0 在y方向: Fsinθ+FABsinθ-mg=0 由以上两式得

FACmgmg F??FBC F??sin?2cos?2sin?要使两绳都能绷直，则有：FAB?0,FAC?0

平衡条件

F

x

G

203403N?F?N 3315．分析：如图所示，环静止时受F、G、N三个力作用， F’为G与N的合力。注意大环对小环的弹力N的方向沿半径方向，从图中的几何关系可知△AOB与△F’NB相似。根据比例关系可求出夹角θ。

解：根据胡克定律弹簧弹力F为：F＝k(2Rcosθ－L)

由以上各式可解得F的取值范围为：因△AOB∽△F’NB则有：

A θ F R O θ B N G AOAB? ??FNFBR2Rco?s2Rco?s??即 GF?F将F＝k(2Rcosθ－L)代入上式得 ??arccoskL

2(kR?G)F，

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