专题8 应用平面向量解决几何问题-2018年天津高考理科数学分析及相似模拟题训练Word版含解析

专题8 应用平面向量解决几何问题

【母题原题1】【2018天津，理8】

如图，在平面四边形ABCD中，AB?BC，AD?CD，?BAD?120?，AB?AD?1．若点E为边CD上的动

uuuruur点，则AE?BE的最小值为 （ ） A．

21 16 B．

3 2 C．

25 16 D．3

【答案】A

点E在CD上，则DE??DC?0???1?，设E?x,y?，则：

?33x???,???33?3??22 ??x?2,y??????2,2??，即??????y?3?,??2?3?3?333?331?3?据此可得：E??2??2,2???，且AE???2??2,2??2??,BE???2??3,2???，

??????由数量积的坐标运算法则可得：E??333?， ??,???2?22???3?33??31??3AE?BE??????3??????????， ?2??2?2222??????34?2?2??2??0???1?， ?4121结合二次函数的性质可知，当??时，AE?BE取得最小值．故选A．xk/w

416整理可得：AE?BE?【名师点睛】求两个向量的数量积有三种方法：利用定义；利用向量的坐标运算；利用数量积的几何意义．具体应用时可根据已知条件的特征来选择，同时要注意数量积运算律的应用． 【母题原题2】【2017天津，理13】

在△ABC中，∠A?60?，AB?3，AC?2．若BD?2DC，AE??AC?AB(??R)，且AD?AE??4，则?的值为___________． 【答案】

3 11【考点】向量的数量积

【名师点睛】根据平面向量基本定理，利用表示平面向量的一组基地可以表示平面内的任一向量，利用向量的定比分点公式表示向量，则可获解．本题中AB,AC已知模和夹角，作为基底易于计算数量积． 【母题原题3】【2016天津，理7】

已知△ABC是边长为1的等边三角形，点D,E分别是边AB,BC的中点，连接DE并延长到点F，使得

DE?2EF，则AF?BC的值为（ ）

A．?5 8 B．

1 8C．

1 4 D．

118

【答案】B 【解析】

试题分析：设BA?a，BC?b，∴DE?1133AC?(b?a)，DF?DE?(b?a)，22241353532531AF?AD?DF??a?(b?a)??a?b，∴AF?BC??a?b?b????，故选B．

244444848考点：向量数量积

【名师点睛】研究向量数量积，一般有两个思路，一是建立直角坐标系，利用坐标研究向量数量积；二是利用一组基底表示所有向量，两种实质相同，坐标法更易理解和化简．平面向量的坐标运算的引入为向量提供了新的语言——“坐标语言”，实质是“形”化为“数”．向量的坐标运算，使得向量的线性运算都可用坐标来进行，实现了向量运算完全代数化，将数与形紧密结合起来． 【母题原题4】【2015天津，理14】

在等腰梯形ABCD 中，已知AB//DC,AB?2,BC?1,?ABC?60，动点E 和F分别在线段BC和DC 上，且，BE??BC,DF?【答案】

1DC, 则AE?AF的最小值为 ． 9?29 18

221?9???1?9??1?9??AE?AF?AB??BC??AB?BC??AB??BC??1????AB?BC

18???18??18???? ?当且仅当

21172117291?9?19?9??4????2?1?cos120??????2???? 18?189?2189?2181821229??即??时AE?AF的最小值为． 9?2318DFCEAB

【考点定位】向量的几何运算、向量的数量积与基本不等式．

【名师点睛】本题主要考查向量的几何运算、向量的数量积与基本不等式．运用向量的几何运算求AE,AF，体现了数形结合的基本思想，再运用向量数量积的定义计算AE?AF，体现了数学定义的运用，再利用基本不等式求最小值，体现了数学知识的综合应用能力．是思维能力与计算能力的综合体现．

【命题意图】 高考对本部分内容的考查以能力为主，重点考查平面向量的线性运算和坐标运算．

【命题规律】 高考试题对该部分内容考查的主要有两种：其一为平面向量的线性运算，其二为平面向量的坐标运算．

【答题模板】解答本类题目，以2018年试题为例，一般考虑如下三步：

第一步：选基底，选用的基底最好已知向量的模和夹角．本题选取AB,AC为基地，已知AB?3，AC?2，且两向量夹角为60．xk$w

第二步：借助向量的加法、减法及数乘运算表示出解题需要的有关向量．本题中由于BD?2DC，利用定比分点公式表示AD?012AB?AC，根据已知AE??AC?AB用AB、AC 表示AE． 32第三步：利用题目所提供的条件（如向量的夹角、模或数量积等）列出向量所满足的要求．本题需要满足条件

AC的模和数量积解题． AD?AE??4，借助AB、第四步：根据要求解方程，求出?． 【方法总结】

1. 求向量的模：（求模必先求模方，得出模方勿忘开方）

根据公式a?a?a?a，求出模的平方，然后开方得出向量的模，同样题目中有时给出某向量的模的大小时，也是利用向量的模的平方去解题的． 2. 求两个向量的夹角：（点积比模积） 利用向量夹角公式cos??22a?ba?b，使用本公式求夹角时，要注意利用数量积与模的关系．

3. 求数量积：a?b?abcos?a,b?

确定应使用的一组基地，要求已知基地的模和夹角，利用加、减、数乘运算表示向量，然后利用数量积运算进行计算．

4. 向量的坐标运算

建立适当的平面直角坐标系，写出相关点的坐标，利用向量的坐标运算公式进行计算． 有关向量的坐标运算公式： 设a?(x1,y1),b?(x2,y2)， （1）a?x12?y12

（2）a?b?(x1?x2,y1?y2) （3）?a?(?x1,?y1) （4）a?b?x1x2?y1y2

（5）设向量a,b的夹角为?，则cos??a?ba?b?x1x2?y1y2x?y2121x2?y222

（6）非零向量a?b?x1x2?y1y2?0 （7）a//b?x1y2?x2y1?0

CM?2MB，1．【2018天津市南开中学高三第四次月考】如图，在?ABC中，过点M的直线分别交射线AB,于不同的两点P,Q，若AP?mAB，AQ?nAC，则m?n?1?的最小值为（ ）．

CQ M A B PAC A．63 B．23 C．6 D．2 【答案】D

【解析】试题分析：因Q,M,P三点共线，故AM??AP?(1??)AQ??mAB?(1??)nAC，又

AM?AC?CM212?AC?CB?AC?AB333，

12?(1??)n,??m33，所以

12??3，nmm(n?1)?2n242(n?1)??((3n?1)??5)??(4?5)?2当且仅当n?1,m?1时取等号 3n?193n?19考点：向量与基本不等式

2．【四川南充高级中学2018届高三考前模拟】已知平面向量

，

，当

时，

的最小值是（ ）

A． B． C．【答案】C

D．

在OB上取点D，使得在AB上有动点C，使则

故选：C．xkw

点睛：本题考查平面向量的数量积运算，考查了数学转化思想方法，训练了灵活解决问题和处理问题的能力． 3．【宁夏回族自治区银川一中2018届高三考前适应性】已知，，是平面向量，其中的夹角为A．

，若 B．

C．

，则 D．

的最大值为

，

，且与

．

（

，

），

，

【答案】C

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