线性代数练习册

·线性代数练习册·[第一章] 行列式 班级： 姓名： 学号：

3. 利用行列式的定义计算下列行列式

§1.1二阶与三阶行列式 §1.2全排列与逆序数

§1.3 n阶行列式的定义 §1.4对换

1. 求i,k使

（1）a12a3ia2ka51a44是5阶行列式中带正号的项； （2）a21ai4a45ak2a33是5阶行列式中带负号的项；

2xx122. 利用行列式的定义计算1x1?132x1中x4,x3的系数，并说明理由.

111x

n0（1）00

0（2）

004

1

00020010001020300 0000000

0n?100·线性代数练习册·[第一章] 行列式 §1.5行列式的性质

1. 计算下列行列式的值 1a1a11班级： 姓名： 学号：

a20an0（1）34125352152809229092

1214（2）D?0?1211013 0131

?1?a1a2（3）

a1?2?a2a1a2

anan

?n?an（4）a2010 an001

a1a2a3a4?x2. 求方程

a1a2a3?xa4aa0的全部根.

12?xa3a?4a1?xa2a3a4

3. 一个n阶行列式Dn?aij的元素满足aij??aji,i,j?1,2,n则称Dn为反对称行

列式，证明奇数阶反对称行列式为零。

2

·线性代数练习册·[第一章] 行列式 §1.6行列式按行（列）展开

1．选择题

班级： 姓名： 学号：

3. 计算下列n阶行列式的值

a1（1）Dn?，其中对角线上都是a，未写出的元素都是0。

a100b1（1）四阶行列式

0a2b200b3a的值为（ ）

30b400a4（A）a1a2a3a4?b1b2b3b4． （B）．aa12aa34bb1234bb?

（C）(a1a2?bb12)(a3a4?b3b4)． （D）(a2a3?b2b3)(a1a4?bb14)

a122a110（2） 若

a11a12aa?6,则a222a210的值为（ ） 21220?2?1（A）12 （B）-12 （C）18 （D）0

?3042. 已知Aij是行列式503的元素aij?i,j?1,2,?3的代数余子式，计2?217A31?2A32.

算3

1x02）Dn?0yay0xy00000000

xy0x

（

·线性代数练习册·[第一章] 行列式

1?111班级： 姓名： 学号：

§1.7克拉默法则

4. Fn?，试写出关于Fn的递推式（Fn叫Fibonacci数列）

?x?x?x?01?11cos?112cos?15. 证明

1

?cosn?.

2cos?112cos?

?1231. 问?,?取何值时，齐次线性方程组??x1??x2?x3?0有非零解？

??x1?2?x2?x3?0

2. 设f(x)?a0?a1x??annx，证明：若f(x)有n?1个不同的零点，则f(x)?0.

4

·线性代数练习册·[第二章] 矩阵及其运算

§2.1 矩阵 §2.2矩阵的运算

?5?21???320?B?1.设矩阵A??，???，求A?B,A?B,2A?3B.

34?1?201????班级： 姓名： 学号：

?1?1??3.计算??11??n

2.计算下列矩阵的乘积

?1?11??11?(1)??201????01??

??31?2????10?? (2)?x1x???a11a12??x12?a12a???? 22??x2?

4.设A???a?b?T?ba?,?计算3AA.

5

·线性代数练习册·参考答案

§3.1, §3.2

??1005?1.?001?3? ?0000??????7263?3?2?2. ???1?12???

?101???22???10

2?3.???15?3? 4.略 ??

?124??

§3.3

1. (1)R?2 (2)R?1

2. ??1 §3.4

1. (1) C (2) A

?x1???2??1?2. (1) ??x??1??x?????2???c?1??c?0? (2)??y????2???0????0???x?12?c???c?1???1?312?x???0??0??z??0??1??0?4??0????1????w????0????0????0?? 3.??1且??10时有唯一解,??10时无解,??1时有无穷多解,解为?x1??? ??x??c?2????2????1??2?1?1??c2?0??x3????0?

???0????1????0??

·线性代数练习册·参考答案

§4.1

1.v1?v2?(1,0,?1)T,3v1?2v2?v3?(0,1,2)T. 3.??2?1?3?2??3.

§4.2

1.（1）×，（2）√，（3）×，（4）×，（5）×，（6）√，（7）√. 2.线性无关. 3.t?1. 4.略. §4.3 2..秩为3 3.a?2,b?5. §4.4

1. （1）D；（2）B

2.?1?(0,1,0,4)T,?2?(?4,0,1,?3)T.

??x1?????17?????9?????4??3.?x2??0?0???x?????k?1?1???k2?7?

?314?7?x?4?????0??????0?????2??1??4. a?b且a?(1?n)b时方程组仅有零解;当a?b,或a?(1?n)b时方程组有无穷多解若a?b,方程组的通解为

26

·线性代数练习册·参考答案

??1????1???1?1???0????0?X?k?????01?1???k2??k??0?n?1??

R???k1,kn?1,??

???????0??0?????0??????0????0???1???若a?(1?n)b.方程组的通解为

??1?X?k?1?????

?k?R?.

?1????1??4.5

1.V1是,V2不是. 2. 坐标.为：0，1，－1. 5.1

1. （1）不是；（2）是.

?3. β?1??1??1??1?α1，?2??0??，?2???1??3??2??

?1??5.2

（1）错误；（2）错误；（3）错误.

?1?2. ?1??2??3??1.特征向量为P?k??1? k?0 ????1??3. k?1或?2.

4. ?25

·线性代数练习册·参考答案

§5.3 §5.4

1. （D）

3. （2）a??3; b?0;???1； （2）不能 §5.5 §5.6 ?22

1???333?1. P??

1

2???2??333?, f?y2221?4y2?2y3 ??212????3

3

3??

2. (1) c=3;?1?0, ?2=4, ?3=9

(2) f?4y2?9y223,故f?1表示椭圆柱面 ????010??3. t=?2; P? ??10?1??22?

??1?201??2??

4. (1) f?2y221?2y2?y23

(2) f?2y2?2y212

§5.7

1.(1) f负定; (2) f不定 2. ?553?t?3

27

§§§ 1. ·线性代数练习册·参考答案

???1?11??263?4 P???1?11??3?，即有P?1?4 22??200??020? ?26????242??P????21???008???163????121??233?5. x?4；y?5；P??1?0?3?42??3? ??1212???2332???线性代数模拟试卷参考答案

一、选择题

1、A 2、B 3、B 4、A 5、D 二、填空题

1、1，1，-1 2、3 3、2 4、1 5、?4 三、解答题

n1. ???i?i

i?1??1?13??88??2. ?1?1??1??22? ?????138?18???·线性代数练习册·参考答案

3. 当k?0且k??3时?可由?1,?2,?3线性表出，并且表示法唯一

?4. 特征值??1,??c1??1?2??3?2对应于?1??1的特征值为：c1?1??0?,其中c?1?0；对

?c1??应于?2??3?2的特征值向量为：

??1(c2?c?3)c?c??4??c? 2?23?32?其中c2,c3不全0??c3????5. ?16?

四、⑴ 当a?1时，此时线性方程组有唯一解． ⑵ 当a?1，b??1时，此时线性方程组无解． ⑶ 当a?1，b??1时，此时线性方程组有无穷多组解．

??x1??1??1???????1?x?2??2??1?2??x??k?1???k2??0?????0?? 3?1??x???????3??0??1??0?五、（1）x?0.

????001?（2）??11??220?? ??11???220???28

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