2011学年第一学期高三文科数学期末试题及答案

肇庆市中小学教学质量评估

2011—2012学年第一学期统一检测题

高三数学（文科）

注意事项：1. 答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的班别、姓名、考号填写

在答题卡的密封线内.

2. 选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，答案不能写在试卷上. 3. 非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在另发的答题卷各题目指定区域内相应的位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.

参考公式：锥体的体积公式V?1Sh其中S为锥体的底面积，h为锥体的高 3一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．已知i是虚数单位，则z?(1?i)(2?i)的共轭复数是 A. 3?i

B. 3?i

C.1?i

D. 1?i

2. 已知集合M?{x|x2?2x?3?0},N?{x|?2?x?4}，则MN?

A. {x|?1?x?3} B. {x|?1?x?4} C. {?3,1} D. {?1,3} 3. 命题“若f(x)是正切函数，则f(x)是周期函数”的否命题是 A．若f(x)是正切函数，则f(x)不是周期函数. B．若f(x)是周期函数，则f(x)是正切函数. C．若f(x)不是正切函数，则f(x)不是周期函数. D．若f(x)不是周期函数，则f(x)不是正切函数.

4．若向量a，b满足a?b?2，a与b的夹角为60°，则|a?b|? A. 22?3 5. 函数f(x)?

B. 23 C．4

D．12

12?1x?ln(x?1)的定义域是( )

B. (1,??) C. (0,1) D. (0,1)A. (0,??) (1,??)

?x?y?1?0，?6. 若实数x，y满足?x?y?0，则z?2x?3y的最大值是

?x?0，?A. 0

B.

1 2 C. 2 D. 3

高三数学（文科）试题 第1页 共4页

7．函数f(x)?x?1的单调递减区间是 xA.(?1,1) B.(?1,0)(0,1) C.(?1,0),(0,1) D.(??,?1),(1,??)

边长为6cm，侧棱长为5cm，则它的正视图的面积等于（ ）.

8．如图1，正四棱锥 (底面是正方形，顶点在底面的射影是底面的中心) P?ABCD的底面 A. 37 B. 67 C.12 D.24

9. 在△ABC中，AB=3，BC=13，AC=4，则△ABC的面积是

33 C.33 D.63 210. 若函数y?f?x? ?x?R?满足f?x?2??f?x?且x???1,1?时，f?x??1?x2；函数

A.3

B.g(x)?lgx ，则函数h?x??f?x??g?x?在区间??5,5?内的零点的个数为

A．10

B．8 C．5 D．4

二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分. （一）必做题（11～13题）

11．龙舟赛是肇庆人民喜爱的运动之一。为了参加端午节龙舟赛，某龙舟队进行了6次测试，测得最大速度(m/s)的茎叶图如图2所示：则6次测试的最大速度的平均数等于 (m/s), 方差等于 (结果用分数表示).

12．直线y?x被圆(x?2)2?(y?4)2?10所截得的弦长等于 . 13．假设关于某种汽车的使用年限x和所支出的维修费用y(万元)有如表统计资料：

x y 2 2.2 3 3.8 4 5.5 5 6.5 6 7.0 ??1.23x?a?,据此模型估计使用年限为10年时，维修费用约 根据上表可得回归方程y为 万元。（结果保留两位小数） （二）选做题（14、15题，考生只能从中选做一题）

14. （几何证明选讲选做题）如图3,?ABC中,D、E分别在边AB、AC上,CD平分∠ACB,DE∥BC,

高三数学（文科）试题 第2页 共4页

如果AC=10，AE=4，那么BC=___________.

15.（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系(?,?)(0???2?)中，曲线

?(sin??cos?)?2?0与?(sin??cos?)?2?0的交点的极坐标为 .

三、解答题:本大题共6小题，满分80分. 解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.

16.（本小题满分12分）

设函数f?x??2sin??x?（Ⅰ）求f?

17.（本小题满分12分）

继“三鹿奶粉”，“瘦肉精”， “地沟油”等事件的发生之后，食品安全问题屡屡发生，引起了国务院的高度重视.为了加强食品的安全，某食品安检部门调查一个海水养殖场的养殖鱼的有关情况，安检人员从这个海水养殖场中不同位置共捕捞出100条鱼，称得每条鱼的重量（单位：kg），并将所得数据进行统计得下表.若规定超过正常生长的速度为1.0～1.2kg/年的比重超．．过15%，则认为所饲养的鱼有问题，否则认为所饲养的鱼没有问题。

鱼的质量 [1.00,1.05)[1.05,1.1)[1.10,1.15)[1.15,1.2)[1.20,1.25)[1.25,1.30) 鱼的条数

（Ⅰ）根据数据统计表，估计数据落在[1.20,1.30）中的概率约为多少，并判断此养殖场所饲养的鱼是否存在问题?

（Ⅱ）上面捕捞的100条鱼中间，从重量在[1.00,1.05)和[[1.25,1.30)的鱼中，任取2条鱼来检测，求恰好所取得鱼重量[1.00,1.05)和[[1.25,1.30)各有1条的概率.

18. （本题满分14分）

3 20 35 31 9 2 ?????(??0,x?R)，且以?为最小正周期．

3????）已知?的值； （Ⅱ

?2???????10????f????，????,0?，求sin????的值.

4??212?13?2?? 高三数学（文科）试题 第3页 共4页

已知等差数列?an?的前n项和为Sn，且满足：a3?7，a5?a7?26.(Ⅰ)求an 及Sn；

?1 (n?1)2an(Ⅱ)若m?n?2，数列?bn?的满足关系式bn??， 求数列?bn?的通项公式;

2?bn?1?m (n?1)

19.（本小题满分14分）

在如图4所示的几何体中，平行四边形ABCD的顶点都在以AC为直径的圆O上，AD?CD?DP?a，AP?CP?2a，

1DP，E,F分别为BP,CP的中点. 2(I)证明：EF//平面ADP; DP//AM，且AM?(II)求三棱锥M?ABP的体积.

20. （本小题满分14分）

一动圆与圆O1:(x?1)2?y2?1外切，与圆O2:(x?1)2?y2?9内切. (I)求动圆圆心M的轨迹L的方程．

(Ⅱ)设过圆心O1的直线l:x?my?1与轨迹L相交于A、B两点，请问?ABO2（O2为圆

O2的圆心）的内切圆N的面积是否存在最大值？若存在,求出这个最大值及直线l的方程，若

不存在,请说明理由. 21．（本小题满分14分）

已知函数f(x)?lnx,g(x)?12ax?(a?1)x，（a?R）. 2(Ⅰ)已知函数y?g(x)的零点至少有一个在原点右侧，求实数a的范围.

(Ⅱ)记函数y?F(x)的图象为曲线C.设点A(x1,y1),B(x2,y2)是曲线C上的不同两点.如果在曲线C上存在点M(x0,y0)，使得：①x0?x1?x2；②曲线C在点M处的切线平2行于直线AB，则称函数F(x)存在“中值相依切线”.

试问：函数G(x)?f(x)?g(x)（a?R且a?0）是否存在“中值相依切线”，请说明理由.

高三数学（文科）试题 第4页 共4页

2011—2012学年第一学期统一检测题 高三数学（文科）参考答案及评分标准

一、选择题：

1A解析：因为z?(1?i)(2?i)?3?i，所以z?3?i 2D解析：M?{x|x2?2x?3?0}?{?1,3}，所以MN?{?1,3}

3C解析：根据命题“若p，则q”的否命题是“若?p，则?q”可知C正确 4B解析：|a?b|2?|a|2?|b|2?2|a||b|cos600?4?4?2?2?2?1?12，|a?b|?23 2?x?1?0?x?15B解析:由?x???x?1.

x?0?2?1?0?6D解析：平面区域如下图，三个“角点”坐标分别为

11(0,0),(0,1),(?,)，所以zmax?3

22117C解析：函数f(x)?x?的定义域为x?0的实数，令f?(x)?1?2?0解得x??1，当

xx?1?x?0或0?x?1时f?(x)?0，所以函数f(x)的单调递减区间是

8A解析：正视图底边长为6cm，两腰分别是侧面PAB和PCD所在三角形的高（正四棱锥的斜高）组成的等腰三角形，腰长为l?52?32?4，高为h?42?32?7，面积为

S?1?6?7?37 29?16?131AB2?AC2?BC239C解：由余弦定理cosA= = =，∴sinA=. 2?3?422AB?AC2113 ∴S?ABC?AB?ACsinA??3?4??33 22210B解：如图所示，因为函数h?x??f?x??g?x?在区间??5,5?内的零点的个数为方程

h?x??f?x??g?x??0根的个数，即函数f?x?和g?x?图像交点个数，所以画出图像可知

有8个交点，故选C.

二、填空题： 11填：33（2分），

471（3分）. 解：x?(27?38?30?37?35?31)?33， 36高三数学（文科）试题 第5页 共4页

147222222??(27?33)?(38?33)?(30?33)?(37?33)?(35?33)?(31?33)??36?|2?4|12填：42. 解：由点到直线的距离公式得圆心到直线的距离d??2.于是，弦

221?1s2?长为2r?d?210?(2)?42. 22211(2?3?4?5?6)?4,y?(2.2?3.8?5.5?6.5?7)?5 55??0.08?1.23x a?y?bx?5?1.23?4?0.08, ∴回归直线方程为y??0.08?1.23? 当x?10时，y 即估计用10年时维修费约为12.38万元． 10?12.38 (万元)．

13填：12.38.解：(1)x?14填：15. 解：∵DE∥BC,∴∠1=∠2.又∵∠1=∠3,∴∠2=∠3. ∴DE=EC=AC－AE=10－4=6.∵DE∥BC,∴15填：?2,DEAE=.∴BC=15. BCAC??.解：转化为直角坐标系下x?y?2?0与y?x?2?0 ??3??的交点为(0,?2)，该点在极坐标系下表示为?2,?

?2?

三、解答题 16. 解（Ⅰ）∵T???3?22????,∴??2, (2分)

∴f(x)?2sin(2x? ∴f??3) (3分)

????????????2sin2???2sin????2sin??3 (5分) ?????22333???????????????10????? (Ⅱ) ∵f????2sin??2?????2sin?????2cos??

2122123213????????5∴cos??, (7分)

1312?5?∵??(?,0)，∴sin???1?cos???1?????

213?13?2?2 (9分)

12252172 (12分) ?????444132132269??0.09；17解:（Ⅰ）捕捞的100条鱼中间，数据落在[1.20,1.25)的概率约为P（1分） 11002??0.02； （2分） 数据落在[1.25,1.30)的概率约为P1100所以数据落在[1.20,1.30）中的概率约为P?P1?P2?0.11 （4分）

∴sin(???)?sin?cos??cos?sin???由于0.11?100％?11％?15％ （5分）

高三数学（文科）试题 第6页 共4页

故饲养的这批鱼没有问题. （6分）

（Ⅱ）重量在[1.00,1.05)的鱼有3条，把这3条鱼分别记作A1,A2,A3, 重量在[1.25,1.30)的鱼有2条，分别记作：B1,B2,那么所有的可能有：

{A1,A2},{A1,A3},{A2,A3},{A1,B1},{A1,B2},{A2,B1},{A2,B2},{A3,B1},

{A3,B2},{B1,B2}共10种， （9分）

而恰好所取得鱼重量在[1.00,1.05)和[1.25,1.30)各有1条有：

{A1,B1},{A1,B2},{A2,B1},{A2,B2},{A3,B1},{A3,B2}共6种， （11分）

所以恰好所取得鱼重量在[1.00,1.05)和[1.25,1.30)各有1条的概率为

p2?63?. （12分） 105

18解：（Ⅰ）设等差数列?an?的公差为d，因为a3?7，a5?a7?26，

所以有??a1?2d?7， 解得a1?3,d?2， （3分）

?2a1?10d?26所以an?3?2（n?1)?2n?1； （5分） （7分）

2an22n?1n?1(Ⅱ)∵m?n?2?n?2?2， （8分）

22?b2?b1?2?2?b3?b2?2?3∴当n?1时bn?bn?1?2n?1，即bn?bn?1?2n?1,所以,?b4?b3?2

???bn?bn?1?2n?1?以上n?1个等式相加得,bn?b1?2?22?23?23n?1?2n?1,即

1?2n?2n?1 （13分） bn?1?2?2?2??2所以bn?1?2当n?1时,b1?1也满足上式,所以数列?bn?的通项公式bn?2n?1. （14分）

19 (I) 证明：∵AC是圆O的直径，∴?ADC为直角，即CD?AD （1分） ∵AD?CD?a，∴平行四边形ABCD是正方形，∴BC//AD （2分） ∵E,F分别为BP,CP的中点，∴EF//BC， （3分） ∴EF//AD （4分）

∵EF??平面ADP，AD?平面ADP ∴EF//平面ADP （6分）

高三数学（文科）试题 第7页 共4页

222(II) ∵AD?DP?AP，∴?ADP是直角，∴DP?AD，（7分）

同理DP?CD

∴DP?平面ABCD （8分） ∵DP//AM,∴AM?平面ABCD, （9分） ∴AM?AD，又∴AB?AD

∴AD?平面ABM, （10分） ∴点D到平面ABM的距离AD，即为点P到平面ABM的距离，

11AB?AM?a2 （11分） 24111213a （13分） ∴VP?ABM?S?ABM?AD??a?a?3341213a （14分）∴VM?ABP?VP?ABM? 12在直角三角形ABM中，S?ABM?

20解：（1）设动圆圆心为M(x，y)，半径为R．

由题意，得MO1?R?1，MO2?3?R， ∴MO1?MO2?4． (3分) 由椭圆定义知M在以O1，O2为焦点的椭圆上，且a?2，c?1，

x2y2∴b?a?c?4?1?3．∴动圆圆心M的轨迹L的方程为??1． (6分)

43(2) 如图,设?ABO2内切圆N的半径为r,与直线l的切点为C，则三角形?ABO2的面积

11S△ABO2?(AB?AO2?BO2)r??(AO1?AO2)?(BO1?BO2)?r?2ar?4r ??22当S△ABO2最大时,r也最大, ?ABO2内切圆的面积也最大, (7分)

222设A(x1,y1)、B(x2,y2)(y1?0,y2?0),

11O1O2?y1?O1O2?y2?y1?y2, (8分) 22?x?my?1?22由?x2y2,得(3m?4)y?6my?9?0,

?1??3?4则S△ABO2??3m?6m2?1?3m?6m2?1解得y1?,y2?, (10分)

3m2?43m2?412m2?122∴S△ABO2?,令t?m2?1,则t?1,且m?t?1, 23m?41112t12t12?f(t)?3t?f(t)?3?有S△ABO2?,令,则, ??2221tt3(t?1)?43t?13t?t

高三数学（文科）试题 第8页 共4页

当t?1时,f?(t)?0,f(t)在[1,??)上单调递增,有f(t)?f(1)?4,S△ABO2?即当t?1,m?0时,4r有最大值3,得rmax?12?3, 439,这时所求内切圆的面积为?, 4169∴存在直线l:x?1,?ABO2的内切圆M的面积最大值为?. (14分)

16

21解：(Ⅰ) （1）当a?0时，g(x)?x，直线与x轴的交点为O(0,0)，即函数y?g(x)的零点为0，不在原点右侧，不满足条件. (1分) （2）当a?1时，g(x)?12x，抛物线的顶点为O(0,0)，即函数y?g(x)的零点为0，不在2原点右侧，不满足条件. (2分)

1a?12(a?1)2)?（3）当0?a?1时，g(x)?a(x?，抛物线开口向上且过原点，对称轴

2a2aa?1x??0，所以抛物线与x轴的另一交点在对称轴的左侧，故函数y?g(x)的零点不在

a原点右侧，不满足条件. (3分)

21a?12(a?1))?（4）当a?1时，g(x)?a(x?，抛物线开口向上且过原点，对称轴

2a2aa?1x??0，所以抛物线与x轴的另一交点在对称轴的右侧，故函数y?g(x)有一个零点

a在原点右侧，满足条件.

(4分)

21a?12(a?1))?（5）当a?0时，g(x)?a(x?，抛物线开口向下且过原点，对称轴

2a2aa?1x??0，所以抛物线与x轴的另一交点在对称轴的右侧，故函数y?g(x)有一个零点

a在原点右侧，满足条件. (5分) 综上可得，实数a的取值范围是(??,0) (Ⅱ)假设函数G(x)存在“中值相依切线”.

设A(x1,y1),B(x2,y2)是曲线y?G(x)上的不同两点，且0?x1?x2， 则y1?lnx1?(1,??). (6分)

kAB121ax1?(a?1)x1，y2?lnx2?ax22?(a?1)x2. 221(lnx2?lnx1)?a(x22?x12)?(a?1)(x2?x1)y?y2 ?21?x2?x1x2?x1高三数学（文科）试题 第9页 共4页

?lnx2?lnx11?a(x1?x2)?(a?1) （8分）

x2?x12曲线在点M(x0,y0)处的切线斜率

x1?x2x?x2)??a?12?(a?1)， （9分） 2x1?x22lnx2?lnx11x?x2依题意得：?a(x1?x2)?(a?1)??a?12?(a?1).

x2?x12x1?x22x2(2?1)x1lnx2?lnx1x2(x2?x1)2?化简可得： ， 即ln2=. （11分） ?xx2?x1x1?x2x1x2?x12?1x12(t?1)44x?2??2. （12分） 设2?t (t?1)，上式化为：lnt?,即lnt?t?1t?1t?1x1k?G?(x0)?G?(414(t?1)2令h(t)?lnt?,h'(t)??. ?22t?1t(t?1)t(t?1) 因为t?1,显然h'(t)?0，所以h(t)在(1,??)上递增,显然有h(t)?2恒成立. 所以在(1,??)内不存在t,使得lnt?4?2成立. t?1 综上所述，假设不成立.所以，函数G(x)不存在“中值相依切线”. （14分）

高三数学（文科）试题 第10页 共4页

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