北京东城区2018-2019高三第一学期期末数学（理科）试卷及答案

东城区2018-2019学年度第一学期期末教学统一检测

高三数学 （理科）

本试卷共4页，共150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将答题卡一并交回。

第一部分（选择题共40分）

一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的

一项。

(1)已知集合A?{x?2?x?0},B?{?2,?1,0,1,2}，则AB?

(A){?2,?1} (B){?2,0} (C){?1,0}

(D){?2,?1,0}

(2)下列复数为纯虚数的是

(A)1?i (B) i?i (C) 1? (D)(1?i)2 (3)下列函数中，是奇函数且存在零点的是 (A)y?x?x (C) y?2x?3

(4)执行如图所示的程序框图，若输入的n?5,m?3，则输出的p值为 (A)360 (C) 36 (5)“m? (B) 60 (D)12

23221i (B) y?log2x (D)y?

2 x

5??”是“函数f(x)?cos(2x?)的图象关于直线x?m对称”的 126 (A) 充分而不必要条件 (B) 必要而不充分条件

(C) 充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件

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(6) 某三棱锥的三视图如图所示，在此三棱锥的六条棱中，最长棱的 长度为

(A) 2 (C) 22

(7)在极坐标系中，下列方程为圆?=2sin?的切线方程的是 (A) ?cos??2 (B) ??2cos? (C) ?cos???1 （D）?sin???1

(B)5 (D) 3

22正（主）视图1侧（左）视图俯视图

(8)地震里氏震级是地震强度大小的一种度量.地震释放的能量E(单位：焦耳)与地震里氏震级M之间的关系为lgE?4.8?1.5M.已知两次地震的里氏震级分别为8.0级和7.5级，若它们释放的能量分别为E1和E2，则

E1的值所在的区间为 E2(A)(1,2) (B) (5,6) (C) (7,8) (D)(15,16)

第二部分（非选择题 共110分）

二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。

（9）若x,?x≤2,y满足??y≤2x,则x?2y的最小值为 .

?x?y≥3，?

x2y2(10)已知双曲线??1的一个焦点为(23,0)，则m?______.m3m

(11)若等差数列{an}和等比数列{bn}满足a1??1,b1?2，a3?b2??1，试写出一组满足条件的

数列{an}和{bn}的通项公式：an? ，bn? . (12)在菱形ABCD中，若BD?3，则CB?DB的值为 . 2 / 12

(13)函数f(x)?sin(x?)?cos(x?)在区间[??6?3?2,?]上的最大值为 . 63(14)已知函数f(x)定义域为R，设Ff(x)??x2①若f(x)?，则Ff(1)?_______； 21?x?f(x)，f(x)?1,???1，f(x)?1.

②若f(x)?ea?x?1，且对任意x?R，Ff(x)?f(x)，则实数a的取值范围为________ .

三、解答题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。 (15)（本小题13分）

在△ABC中，2csinAcosB?asinC. （Ⅰ）求?B的大小；

(Ⅱ)若△ABC的面积为a2，求cosA的值.

(16)（本小题13分）

某中学有学生500人，学校为了解学生的课外阅读时间，从中随机抽取了50名学生，获得[10,12)，[12,14)，[14,16)，了他们某一个月课外阅读时间的数据（单位：小时），将数据分为5组：[16,18)，[18,20]，整理得到如图所示的频率分布直方图.

（Ⅰ）求频率分布直方图中的x的值；

（Ⅱ）试估计该校所有学生中，课外阅读时间不小于16小时的学生人数；

（Ⅲ）已知课外阅读时间在[10,12)的样本学生中有3名女生，现从阅读时间在[10,12)的样本学生中随机抽取3人，记X为抽到女生的人数，求X的分布列与数学期望E(X).

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(17)（本小题14分）

如图1，在四边形ABCD中，ADBC，BC?2AD,E,F分别为AD,BC的中点，

AE?EF，AF?2AE.将四边形ABFE沿EF折起，使平面ABFE?平面EFCD(如图2)，

G是BF的中点.

(Ⅰ)证明：AC?EG；

(Ⅱ)在线段BC上是否存在一点H，使得DH说明理由；

(Ⅲ)求二面角D?AC?F的大小.

求平面ABFE？若存在，

BH的值；若不存在，BC

(18)（本小题13分）

已知函数f(x)?axex?x2?2x．

(Ⅰ) 当a?1时，求曲线y?f(x)在点(0,f(0))处的切线方程；

(Ⅱ) 当x?0时，若曲线y?f(x)在直线y??x的上方，求实数a的取值范围．

(19)（本小题13分）

x2y2?1过点P(2,1). 已知椭圆C:2?a2（Ⅰ）求椭圆C的方程，并求其离心率；

（Ⅱ）过点P作x轴的垂线l，设点A为第四象限内一点且在椭圆C上（点A不在直线l上），点

A关于l的对称点为A?，直线A?P与C交于另一点B.设O为原点，判断直线AB与直线OP的位置关系，并说明理由.

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(20)（本小题14分）

?对给定的d?N?，记由数列构成的集合Ω(d)?{{an}a1?1,an?1?an?d,n?N}.

（Ⅰ）若数列{an}?Ω(2)，写出a3的所有可能取值；

（Ⅱ）对于集合Ω(d)，若d≥2. 求证：存在整数k，使得对Ω(d)中的任意数列{an}，整数k不是

数列{an}中的项；

（Ⅲ）已知数列{an}，求证：{bn}??(d)，记{an}，{bn}的前n项和分别为An,Bn.若an?1?bn?1，An≤Bn.

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