经济数学基础综合练习及参考答案(积分部分)

经济数学基础综合练习及参考答案

第二部分 积分学

一、单项选择题

1．在切线斜率为2x 的积分曲线族中，通过点（1, 4）的曲线为（ ）．

A ．y = x 2 + 3

B ．y = x 2 + 4

C ．y = 2x + 2

D ．y = 4x

2. 若?+1

0d )2(x k x = 2，则k =（ ）．

A ．1

B ．-1

C ．0

D ．21

3．下列等式不成立的是（ ）．

A ．)d(e d e x x x =

B ．)d(cos d sin x x x =-

C ．x x x d d 21

= D ．)1

d(d ln x x x =

4．若c x x f x

+-=-?2e d )(，则)(x f '=（ ）.

A . 2e x --

B . 2e 21

x - C . 2e 41x - D . 2e 41x

-

-

5. =-?)d(e x x （ ）．

A ．c x x +-e

B ．c x x x ++--e e

C ．c x x +--e

D ．c

x x x +---e e 6. 若c x x f x x +-=?1

1e d e )(，则f (x ) =（ ）．

A ．x 1

B ．-x 1

C ．21x

D ．-21

x

7. 若)(x F 是)(x f 的一个原函数，则下列等式成立的是( )．

A ．)(d )(x F x x f x

a =? B ．)()(d )(a F x F x x f x a -=?

C ．)()(d )(a f b f x x F b

a -=? D ．)()(d )(a F

b F x x f b a -='?

8．下列定积分中积分值为0的是（ ）．

A ．x x x d 2e e 11?---

B ．x x

x d 2e

e 11?--+

C ．x x x d )cos (3

?-+ππ D ．x x x d )sin (2?-+ππ

9．下列无穷积分中收敛的是（ ）．

A ．?∞+1d ln x x

B ．?∞+0d e x x

C ．?∞

+12d 1x x D ．?∞+13d 1x x

10．设R '(q )=100-4q ，若销售量由10单位减少到5单位，则收入R 的改变量是（

）． A ．-550 B ．-350 C ．350 D ．以上都不对

11．下列微分方程中，（ ）是线性微分方程．

A ．y y yx '=+ln 2

B ．x xy y y e 2=+'

C ．y y x y e ='+''

D ．x y y x y x ln e sin ='-''

12．微分方程0)()(432=+'''+'xy y y y 的阶是（ ）.

A . 4

B . 3

C . 2

D . 1

二、填空题

1．=?-x x d e

d 2 ． 2．函数x x f 2sin )(=的原函数是 ． 3．若c x x x f ++=?

2)1(d )(，则=)(x f . 4．若c x F x x f +=?)(d )(，则x f x x )d e

(e --?= .

5．=+?e 12

dx )1ln(d d x x . 6．=+?-1122d )1(x x x

． 7．无穷积分?∞++02d )1(1x x 是 ．（判别其敛散性）

8．设边际收入函数为R '(q ) = 2 + 3q ，且R (0) = 0，则平均收入函数为 ．

9. 0e )(23='+''-y y x 是 阶微分方程.

10．微分方程2x y ='的通解是

．

三、计算题 ⒈ ?x x x d 1sin

2

2．?x x x d 2 3．?x x x d sin 4．?+x x x d 1)ln (

5．

x x x d )e 1(e 3ln 02?+ 6．x x x d ln e 1? 7

．

2e 1x ? 8．x x x d 2cos 2π0? 9．x x d )1ln(1

e 0?-+

10．求微分方程12+=+

'x x y y 满足初始条件4

7)1(=y 的特解． 11．求微分方程0e 32=+'+y

y x

y 满足初始条件3)1(=-y 的特解． 12．求微分方程x x

y y ln =-'满足 11==x y 的特解. 13．求微分方程y y x y ln tan ='的通解．

14．求微分方程x

x y y x ln =-'的通解. 15．求微分方程y x y -='2的通解．

16．求微分方程x x y y x sin =+'的通解．

四、应用题

1．投产某产品的固定成本为36(万元)，且边际成本为)(x C '=2x + 40(万元/百台). 试求产量由4百台增至6百台时总成本的增量，及产量为多少时，可使平均成本达到最低.

2．已知某产品的边际成本C '(x )=2（元/件），固定成本为0，边际收益R '(x )=12-0.02x ，问产量为多少时利润最大？在最大利润产量的基础上再生产50件，利润将会发生什么变化？

3．生产某产品的边际成本为C '(x )=8x (万元/百台)，边际收入为R '(x )=100-2x （万元/百台），其中x 为产量，问产量为多少时，利润最大？从利润最大时的产量再生产2百台，利润有什么变化？

4．已知某产品的边际成本为34)(-='x x C (万元/百台)，x 为产量(百台)，固定成本为18(万元)，求最低平均成本.

5．设生产某产品的总成本函数为 x x C +=3)((万元)，其中x 为产量，单位：百吨．销售x 百吨时的边际收入为x x R 215)(-='（万元/百吨），求：

(1) 利润最大时的产量；

(2) 在利润最大时的产量的基础上再生产1百吨，利润会发生什么变化？

试题答案

一、 单项选择题

1. A 2．A 3. D 4. D 5. B 6. C 7. B 8. A 9. C 10. B

11. D 12. C

二、填空题

1. x x d e 2-

2. -

2

1cos2x + c (c 是任意常数) 3. )1(2+x 4. c F x +--)e ( 5. 0 6. 0 7. 收敛的 8. 2 + q 23 9. 2 10. c x y +=33 三、计算题

⒈ 解 c x x x x x

x +=-=??1cos )1(d 1sin d 1sin

2 2．解 c x x x x x x +==??22ln 2)(d 22d 2 3．解 c x x x x x x x x x x ++-=+-=??sin cos d cos cos d sin

4．解 ?+x x x d 1)ln (=?+-+x x

x x x d 1)(21ln 1)(2122 =c x x x x x +--+4

)ln 2(212

2 5．解 x x x d )e 1(e 3

ln 02?+=?++3ln 02)e d(1)e 1(x x = 3ln 03)e 1(31x +=356

6．解 )(ln d 2ln 2)2(d ln d ln e 1

e 1e 1e

1x x x x x x x x x ???-== e 1e 14e 2d 2e 2x x x -=-=? e 24d 2e 2e 1-=-=?

x x 7．解 x x x d ln 112e 1?+=)ln d(1ln 112e 1x x ++?=2e 1ln 12x

+=)13(2-

8．解 x x x d 2cos 20?π=

202sin 21πx x -x x d 2sin 2120?π=20

2cos 41πx =21- 9．解法一 x x x x x x x d 1)1ln(d )1ln(1e 01e 01e 0??---+-+=+ =x x d )1

11(1e 1e 0?-+--- =1e

0)]1ln([1e -+---x x ＝e ln =1 解法二 令1+=x u ，则

u u u u u u u x x d 1ln d ln d )1ln(e

1e

1e 11

e 0???-==+-=11e e e e 1=+-=-u 10．解 因为 x x P 1)(=

，1)(2+=x x Q 用公式 ]d 1)e ([e d 1

2d 1c x x y x x x x +?+?=?-]d 1)e ([e ln 2ln c x x x x ++=?-

x

c x x c x x x ++=++=24]24[1324 由 4

712141)1(3=++=c y ， 得 1=c 所以，特解为 x

x x y 1243++= 11．解 将方程分离变量：x y y x y d e d e

32-=- 等式两端积分得 c x y +-=-

-3e 31e 212 将初始条件3)1(=

-y 代入，得 c +-=---33e 31e 21，c =3e 61-- 所以，特解为：33e e 2e 32--+=x y

12．解：方程两端乘以x

1，得 x

x x y x y ln 2=-' 即

x

x x

y ln )(=' 两边求积分，得 c x x x x x x x y +===??2

ln )(ln d ln d ln 2 通解为： cx x x y +=2

ln 2 由11==x y ，得1=c 所以，满足初始条件的特解为：x x x y +=2

ln 2 13．解 将原方程分离变量 x x y y y d cot ln d = 两端积分得 lnln y = ln C sin x

通解为 y = e C sin x

14. 解 将原方程化为：x

y x y ln 11=-'，它是一阶线性微分方程， x x P 1)(-=，x

x Q ln 1)(= 用公式 ()d ()d e [()e d ]P x x P x x y Q x x c -??=+?]d e ln 1[e d 1d 1c x x

x x x x +??=?- ]d e ln 1[e ln ln c x x x x +=?- ]d ln 1[c x x

x x +=? )ln (ln c x x +=

15．解 在微分方程y x y -='2中，x x Q x P 2)(,1)(==

由通解公式)d e 2(e )d e 2(e d d c x x c x x y x x x x +=+??=?

?-- )e 2e 2(e )d e 2e 2(e c x c x x x x x x x x +-=+-=--? )e 22(x c x -+-=

16．解：因为x

x P 1)(=，x x Q sin )(=，由通解公式得 )d e sin (e d 1

d 1c x x y x x x x +??=?-

=)d e sin (e ln ln c x x x x

+?- =)d sin (1c x x x x

+? =)sin cos (1c x x x x ++-

四、应用题

1．解 当产量由4百台增至6百台时，总成本的增量为 ?+=?64d )402(x x C =642)40(x x += 100（万元）

又 x c x x C x C x ?+'=00

d )()(=x x x 36402++ =x

x 3640++ 令 036

1)(2=-='x x C ， 解得6=x .

x = 6是惟一的驻点，而该问题确实存在使平均成本达到最小的值. 所以产量为6百台时可使平均成本达到最小.

2．解 因为边际利润

)()()(x C x R x L '-'='=12-0.02x –2 = 10-0.02x

令)(x L '= 0，得x = 500

x = 500是惟一驻点，而该问题确实存在最大值. 所以，当产量为500件时，利润最大. 当产量由500件增加至550件时，利润改变量为

5505002550

500)01.010(d )02.010(x x x x L -=-=?? =500 - 525 = - 25 （元）

即利润将减少25元. 3. 解 L '(x ) =R '(x ) -C '(x ) = (100 – 2x ) – 8x =100 – 10x

令L '(x )=0, 得 x = 10（百台）

又x = 10是L (x )的唯一驻点，该问题确实存在最大值，故x = 10是L (x )的最大值点，即当产量为10（百台）时，利润最大.

又 x x x x L L d )10100(d )(121012

10??-='=20)5100(12102-=-=x x

即从利润最大时的产量再生产2百台，利润将减少20万元.

4．解：因为总成本函数为

?-=x x x C d )34()(=c x x +-322

当x = 0时，C (0) = 18，得 c =18

即 C (x )=18322+-x x

又平均成本函数为 x x x x C x A 1832)()(+-==

令 0182)(2=-='x

x A ， 解得x = 3 (百台) 该题确实存在使平均成本最低的产量. 所以当x = 3时，平均成本最低. 最底平均成本为

93

18332)3(=+

-?=A (万元/百台) 5．解：(1) 因为边际成本为 1)(='x C ，边际利润)()()(x C x R x L '-'=' = 14 – 2x 令0)(='x L ，得x = 7 由该题实际意义可知，x = 7为利润函数L (x )的极大值点，也是最大值点. 因此，当产量为7百吨时利润最大.

(2) 当产量由7百吨增加至8百吨时，利润改变量为

8

728

7)14(d )214(x x x x L -=-=?? =112 – 64 – 98 + 49 = - 1 （万元） 即利润将减少1万元.

经济数学基础综合练习及参考答案

第二部分 积分学

一、单项选择题

1．在切线斜率为2x 的积分曲线族中，通过点（1, 4）的曲线为（ ）．

A ．y = x 2 + 3

B ．y = x 2 + 4

C ．y = 2x + 2

D ．y = 4x

2. 若?+1

0d )2(x k x = 2，则k =（ ）．

A ．1

B ．-1

C ．0

D ．21

3．下列等式不成立的是（ ）．

A ．)d(e d e x x x =

B ．)d(cos d sin x x x =-

C ．x x x d d 21

= D ．)1

d(d ln x x x =

4．若c x x f x

+-=-?2e d )(，则)(x f '=（ ）.

A . 2e x --

B . 2e 21x -

C . 2e 41x

- D . 2e 41x

--

5. =-?)d(e x x （ ）．

A ．c x x +-e

B ．c x x x ++--e e

C ．c x x +--e

D ．c

x x x +---e e 6. 若c x x f x x +-=?1

1e d e )(，则f (x ) =（ ）．

A ．x 1

B ．-x 1

C ．21x

D ．-21

x

7. 若)(x F 是)(x f 的一个原函数，则下列等式成立的是( )．

A ．)(d )(x F x x f x a =?

B ．)()(d )(a F x F x x f x

a -=?

C ．)()(d )(a f b f x x F b a -=?

D ．)()(d )(a F b F x x f b

a -='?

8．下列定积分中积分值为0的是（ ）．

A ．x x

x d 2e e 11?--- B ．x x

x d 2e e 11?--+

C ．x x x d )cos (3?-+ππ

D ．x x x d )sin (2?-+π

π

9．下列无穷积分中收敛的是（ ）．

A ．?∞+1d ln x x

B ．?∞+0d e x x

C ．?∞+12d 1x x

D ．?∞+13d 1

x x

10．设R '(q )=100-4q ，若销售量由10单位减少到5单位，则收入R 的改变量是（

）． A ．-550 B ．-350 C ．350 D ．以上都不对

11．下列微分方程中，（ ）是线性微分方程．

A ．y y yx '=+ln 2

B ．x xy y y e 2=+'

C ．y y x y e ='+''

D ．x y y x y x ln e sin ='-''

12．微分方程0)()(432=+'''+'xy y y y 的阶是（ ）.

A . 4

B . 3

C . 2

D . 1

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