数学分析(3)试卷及答案

成绩

数学分析(3)期末试卷

2005年1月13日

班级_______ 学号_________ 姓名__________

考试注意事项：

1. 考试时间：120分钟。 2. 试卷含三大题，共100分。

3. 试卷空白页为草稿纸，请勿撕下！散卷作废！ 4. 遵守考试纪律。

一、填空题(每空3分，共24分)

1、 设u?xytanz，则全微分du?__________________________。

2、 设u?xy2z3，其中z?f(x,y)是由x3?y3?z3?3xyz所确定的隐函数，则

ux?_________________________。

3、 椭球面x2?y2?4z2?1在点M(2,1,1)处的法线方程是__________________。 sinx4、 设F(x)??则F?(x)?__________________。 f(x2,y)dy,f(x,y)有连续偏导数，

x5、 设L是从点(0,0)到点(1,1)的直线段，则第一型曲线积分?xyds?_____________。

L6、 在xy面上，若圆D?(x,y)|x2?y2?1的密度函数为?(x,y)?1，则该圆关

于原点的转动惯量的二重积分表达式为_______________，其值为_____________。

27、 设S是球面x2?y2?z2?1的外侧，则第二型曲面积分??zdxdy?_______。

S??

二、计算题(每题8分，共56分) 1、 讨论f(x,y)?(x?y)sin

11sin在原点的累次极限、重极限及在R2上的连续性。 xy

2、 设u?f(xy,)具有连续的二阶偏导数，求二阶偏导数uxx和uxy。

2yx

3、 求f(x,y)?x3?3x2?3y2在D?{(x,y)|x2?y2?16}上的最大值和最小值。

??e4、 求?0?xeax?e?2xax提示：?esinbxdx?2 (asinbx?bcosbx)?C。sinxdx。2xa?b

5、 利用坐标变换求??secD2x?yx?ydxdy，其中D由x?y?1，x?0及y?0围成。

6、 求曲面x2?y2?z2?2与z?

x2?y2所围成的立体体积。

7、 计算??x3dydz?y3dzdx?z3dxdy，其中S是球面x2?y2?z2?R2(R?0)S的上半部分(z?0)的外侧。

三、证明题（每题10分，共20分）

?xy2,x2?y2?0,?21、 试证：函数f(x,y)??x?y2在原点(0,0)连续且偏导数存在，但

?0, x2?y2?0,? 在原点不可微，并且fx(x,y)和fy(x,y)在原点不连续。

2、 试证x2?y2?z2?3和x?y?z?1的交线在点P0(1,?1,1)的邻域内能用一对

方程y?f(x)和z?g(x)表示，并求

dydz和，以及交线在点P0的法平面方程。 dxdx数学分析3期末考试题

一.选择题（每题4分，共16分）

1.如果是偶函数且可导，则 （ ） A. f?(0)?0 B. f(0)?0 C.f?(0)?1 D.f(0)?1 2.下列广义积分收敛的是 （ ） A.

???0??cos4xxdxdx1?x2 B. ???1?x2

C.

???1??11dx,(p?1)dx,(p?1)?2x(lnx)ppx D.

3.下列说法错误的是 （ ） A.设E?R为任一有界无穷点集，则E在R中至少有一个聚点.

2??P?RB.设k为一个有界点列，则它必存在收敛子列.

22

C.E?R为有界闭集,则E的任一无穷子集必有聚点. D.E?R为有界闭集，则E不一定为一列紧集. 4.下

）

列

说

法

正

确

的

是（

22A.若级数?un是发散的，则c?un也是发散的. B.若级数?un是收敛的，?vn是发散的，则?un?敛的.

C.若级数?un和?vn是发散的，则?un??vn可以是收

?vn可以是收敛的.

D. 若级数?un和?vn是发散的，则?unvn也是发散的. 二.填空题（每空3分，共15分）

(x?1)n1．级数?n的收敛半径为 ，收敛区间

2n为 .

y2．若z?arctan在(1,1)处可微，则zx(1,1)? ，

xzy(1,1)? . 3. 函数z?ysin(x?y)的全微分为 . 三.计算题（共40分）

1．计算下列定积分（每题4分，共8分）

e11?x22dx（1）? （2）(lnx)dx 1?ex01?x21

2．求级数?

???,???x?0,??43．把函数f(x)????,0?x??,??41的和函数（8分）

n?1n(n?1)(n?2)?展成傅立叶级数.(8分)

4.求极限

5．求曲面3x2?y2?z2?27在点(3,1,1)处的切平面方程和法线方程.(8分)

(x，y)?(0,0)lim(x?y)sin1.（8分） 22x?y

四.讨论题和证明题（共29分）

xn1．设fn(x)?x?,讨论函数列?fn?与?fn??在x?[0,1]的一致收敛性.（9分）

n

2.设f在[?a,a]上可积，证明：（5分） （1）若f为奇函数，则?f(x)dx?0

?aa（2）若f为偶函数，则?f(x)dx?2?f(x)dx

?a0aa

3.证明不等式1??exdx?e.（5分）

012

?x2y22,x?y?0,?4．证明函数f?x,y???x2?y2在点(0,0)连续且偏导数存

?0,x2?y2?0,?在，但在此点不可微.（10分）

2008-2009（一）《数学分析》(3-3)期末考试试卷B

题号 得分 一 二 三 四 总分

得分 阅卷人

一. 选择题(每题3分,共27分)

1．下列说法错误的是 （ ）

A R2是开集但不是闭集 B ?(x,y)x2?y2?r2?是闭集

C ?(x,y)x2?y2?1?是开集 D ?是既开又闭的点集。

2. 设点P是平面点集E的边界点,CE是E关于全平面的余集，则（ ）

A P是E的聚点 B P是E的孤立点 C P是E的内点 D P是CE的边界点 3. L( )

A 4 B 3 C 2 D 1

4. 设L是沿抛物线y?2x2从原点到点B（1，2）的曲线，?xdy?ydx

L为单位圆周

x2?y2?1，

?Lyds的值为

的值为 ( )

A 0 B 2 C 1 D －2

5

．

1xsinylim(1?)(x,y)?(??,??)xy的值等于

( )

A 1 B 2 C 3 D 0

6. 若S为柱面x2?y2?R2被平面z?0和z?H(H?0)所截取的部分，则??S1dS值等于 22x?y（ ）

4?H?H3?HA 2?H B C D

RR4R7.累次积分( )

A ?dy?f(x,y)dx B ?dy?f(x,y)dx

000y1y?dx?01x20f(x,y)dy交换积分顺序后，正确的是

11

C

?dy?01y1f(x,y)dx D ?dy?f(x,y)dx

0y108. 曲面( )

z=arctany?在点(1,1,)处的切平面方程是 x4 A x?y?2z??2 B x?y?2z??2

?4?z

C 2(1?x)?2(y?1)?

9. 设

?4?z D 2(1?x)?2(y?1)?u?xe2y, l由起点P(1,0)到终点Q(3,-1),则

?u|?lP等于

( )

A 0 B 1 C 2 D 3

二 计算题(每题8分, 共40分)

y?2z1. 设z=f(,xy),求.

x?x?y

2. 设u?x?y?z,其中z?f(x,y)是由方程

222得分 阅卷人 x3?y3?z3?3xyz所确定的隐函数,求ux

3．设L为任一包含原点的闭曲线，方向取正向,计算?

xdy?ydx

Lx2?y24. 计算

2z???dxdydz的值，其中V是由x2?y2?z2?R2与Vx2?y2?z2?2Rz所围成的空间区域

222xdydz?ydzdx?zdxdy，其中S是锥面 5. 计算曲面积分 ??Sx2?y2?z2与平面z?h所围空间区域(0?z?h)的表面，方向取

外侧.

得分 阅卷人 三 证明题 (共24分)

?xy,x2?y2?0;?21设f(x,y)??x?y2

?0,x2?y2?0?讨论f(x,y)在（0，0）处是否连续，是否可微（10分）

2. 讨论积分I??e?xydy在[a,b](a?0)上的一致收敛性（8分）

??2得分 阅卷人 0

3. 设f(x,y)为连续函数，且f(x,y)?f(y,x)，证明：

?1x0dx?0f(x,y)dy??1dx?x00f(1?x,1?y)dy

四． 应用题（9分）

求体积一定而表面积最小的长方体.

6分）

（

成绩

数学分析(3)期末试卷

2005年1月13日

班级_______ 学号_________ 姓名__________

考试注意事项：

5. 考试时间：120分钟。 6. 试卷含三大题，共100分。

7. 试卷空白页为草稿纸，请勿撕下！散卷作废！ 8. 遵守考试纪律。

一、填空题(每空3分，共24分)

8、 设u?xytanz，则全微分du?__________________________。

9、 设u?xy2z3，其中z?f(x,y)是由x3?y3?z3?3xyz所确定的隐函数，则

ux?_________________________。

10、 椭球面x2?y2?4z2?1在点M(2,1,1)处的法线方程是

__________________。 11、 设

F(x)?? sinxf(x2,y)dy, xf(x,y)有连续偏导数，则

F?(x)?__________________。

12、 设L是从点(0,0)到点(1,1)的直线段，则第一型曲线积分

?Lxyds?_____________。

13、 在xy面上，若圆D?(x,y)|x2?y2?1的密度函数为?(x,y)?1，则该圆

关于原点的转动惯量的二重积分表达式为_______________，其值为_____________。

14、 设S是球面x2?y2?z2?1的外侧，则第二型曲面积分

????Sz

2dxdy?_______。

二、计算题(每题8分，共56分)

8、 讨论f(x,y)?(x?y)sin

11重极限及在R2上的连续性。 sin在原点的累次极限、

xy9、 设u?f(xy,)具有连续的二阶偏导数，求二阶偏导数uxx和uxy。

2yx

10、 求f(x,y)?x3?3x2?3y2在D?{(x,y)|x2?y2?16}上的最大值和最小

值。

?xx11、 求

???e?e?20xsinxdx。axeax?esinbxdx?a2?b2(asinbx?bcosbx)?C。提示：

12、 利用坐标变换求??secD2x?yx?ydxdy，其中D由x?y?1，x?0及y?0围

成。

13、 求曲面x2?y2?z2?2与z?

x2?y2所围成的立体体积。

14、 计

算

??Sx3dydz?y3dzdx?z3dxdy，其中

S是球面

x2?y2?z2?R2(R?0)的上半部分(z?0)的外侧。

三、证明题（每题10分，共20分）

?xy2,x2?y2?0,?23、 试证：函数f(x,y)??x?y2在原点(0,0)连续且偏导数存在，但

?0, x2?y2?0,? 在原点不可微，并且fx(x,y)和fy(x,y)在原点不连续。

4、 试证x2?y2?z2?3和x?y?z?1的交线在点P0(1,?1,1)的邻域内能用一对

方程y?f(x)和z?g(x)表示，并求

dydz和，以及交线在点P0的法平面方程。 dxdx

数学分析(3)期末试题 2004.1.13

班级_______ 学号_______ 姓名_______ 成绩_________

一、 判断题(每空2分，共10分)

1、 无穷点集E?R是有界的，等价于：E的任一无穷子集在R中必有聚点。答：

___。

2、 若函数f(x,y)在点(x0,y0)可微，则f(x,y)在点(x0,y0)的偏导数连续。答：

___。

3、 设F(x,y)和Fy(x,y)在点(x0,y0)的邻域U(x0,y0)内连续，且

22F(x0,y0)?0，若Fy(x0,y0)?0，则在点x0附近有唯一的函数y?f(x)满足

F(x,y)?0。答：___。

4、 若函数f(x,y)在D?(x,y)|x?y?x2,1?x?2上连续，则含参量积分

??I(x)??x2xf(x,y)dy在?1,2?上一定是连续的。答：___。

5、 若f(x,y)在有界闭域D上连续，则二重积分二、填空题(每空4分，共20分) 1、设F(x)???Df(x,y)dxdy存在。答：___。

? x x2?1f(3x,y)dy，f(x,y)具有连续偏导数，则F?(x)?_________。

x2y2z22、椭球面2?2?2?1在其上某点M(x0,y0,z0)处的法线方程是_________。

abc 3、设D?(x,y)|x?y?1，则二重积分

?22???Dex2?y2dxdy?_________。

4、已知?()??，则?(?)?_________。

1212

5、设L?(x,y)|x2?y2?a2，则第一型曲线积分

三、计算题(每题8分，共48分)

???Lx2?y2ds?______。

?ysin1, (x,y)?(0,0),x 1、求函数f(x,y)??在点(0,0)的累次极限和重极限，并研究

(x,y)?(0,0),?0, f(x,y)在全平面上的连续性。

2、说明x?y?12z和x?y?z?2的交线在点P0(1,?1,2)的邻域内能用一对方程2dzdyz?f(x)和y?g(x)表示，并求和。

dxdx22

3、求

4、求三重积分

22?zdxdydz，其中是x?y?z及1?z?4所围区域。 ?????0??e?x?e?2xdx。 x

5、计算曲线积分

?L(exsin2y?y)dx?(2excos2y?10)dy，其中L是从A(1,0) 到

B(?1,0)的上半单位圆周。

6、计算曲面积分

??Sx3dydz?y3dzdx?z(x2?y2)dxdy，其中S是z?x2?y2 被

z?4所截得部分的外侧。

四、证明题

xy?,x2?y2?0,?21、（12分）试证：函数f(x,y)??x?y2 在原点的偏导数存在，

? 0, x2?y2?0,?并且函数在原点可微，但是fx(x,y)和fy(x,y)在原点不连续。

2、（10分）试证：含参量反常积分?

??0e?axsinxdx在?0,b?上一致收敛(b?0)。 x

《数学分析》（三）期末试题

一、 填空题

1、 E?{m,n|m,n为整数}，写出聚点集__________________ 2、limx?0y?0sinxy?__________________ xy?z?z ，那么?_______，?_______。 x?x?y3、z?arctan4、z?3axy?x3?y3,(a?0)极大值点为_______。 5、??1dx??11?x21?x2f(x,y)dy改变积分次序_______________________

二、 计算题 1、u?2、u?xx2?y2 求

?z?z, ?x?yz 求du x2?y2st?u?u, ?s?t3、u?f(x,y),x?st,y? 求

y4、F(y)??0(y?x)f(x)dx 求F??(y)

?2u?2u5、u?f(x,y),x?s?t,y?st 求2,2

?s?t三、计算重积分 1、求

323(x?3xy?y)dxdy 其中：R:[0?x?1,0?x?1] ??R2、求由坐标平面及x?2,y?3,x?y?z?4所围成角柱体的体积

3、求?0dx?xe?ydy 4、求

112???xyzdxdydzV V?{(x,y,z)|x2?y2?z2?1,x?0,y?0,z?0}

四、 求第一型曲线积分?C(x?y)ds 其中C是以(0,0),(1,0),(0,1)为顶点的三角形。

五、证明：设开区域G是一个单连通域, 函数P(x,y)及Q(x,y)在G内具有一阶连续偏导数，那么以下四个定理等价： （1）?lP(x,y)dx?Q(x,y)dy?0

（2）?lP(x,y)dx?Q(x,y)dy与路径无关。 （3）du?P(x,y)dx?Q(x,y)dy （4）

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