静安区2016年高三数学文科一模试卷

静安区2015学年高三年级第一学期期末教学质量检测

文科数学试卷

（试卷满分150分 考试时间120分钟） 2016.1

考生注意：

本试卷共有23道题，答题前，请在答题纸上将学校、班级、姓名、检测编号等填涂清楚． 一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直

接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分． 1.抛物线y2 16x的准线方程是.

2．在等差数列 an （n N ）中，已知公差d 2，a2007 2007，则a2016 . 3. 已知圆锥的底面半径为4cm

，高为cm，则这个圆锥的表面积是cm2. 4.方程lgx lg(x 2) lg3 lg(x 2)的解为.

3

5.已知 为第二象限角，且cos ，则tan( ) .

5

4

6.坐标原点(0,0)关于直线x 2y 2 0对称的点的坐标是. 7.已知复数z满足z z 2 8i，其中i为虚数单位，则z 8. (x y z)的展开式中项xyz的系数等于. (用数值作答)

9.在产品检验时，常采用抽样检查的方法.现在从100件产品(已知其中有3件不合格品)中任意抽出4件检查，恰好有2件是不合格品的抽法有 种. (用数值作答)

10.经过直线2x y 3 0与圆x2 y2 2x 4y 1 0的两个交点,且面积最小的圆的方程是 .

11.已知数列 an （n N ）中，a1 2,a2 3，当n 3时，an 3an 1 2an 2，则

834

an

12.在平面直角坐标系xOy中，坐标原点O(0,0)、点P(1,2)，将向量OP绕点O按逆时针

5

方向旋转后得向量OQ，则点Q的横坐标是 .

6

13．在△ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，若a、b、c成等差数列，sinB 且△ABC的面积为

4

，5

3

，则b = . (用数值作答) 2

14.在平面直角坐标系xOy中，将直线l沿x轴正方向平移3个单位， 沿y轴正方向平移5

个单位，得到直线l1.再将直线l1沿x轴正方向平移1个单位， 沿y轴负方向平移2个单位，又与直线l重合.则直线l与直线l1的距离是

二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，填上正确的答案，选对得5分，否则一律得零分. 15.设全集U {1,2,3,4,5,6},A {4,5},B {3,4}，则CU A B = ( ) A．{1,2,6} B．{1,2,3,6} C．{3,4,5} D．{1,2,4,6}16.组合数Cn(n r 1,n,r N)恒等于( ) A.

r

r 1r 1n 1r 1r 1nr 1

Cn 1 B. Cn 1 C. Cnr D.1 Cn 1n 1r 1nr

2

17.函数y 3x

1

( 1 x 0)的反函数是 ( )

1

3

B

．y x 1) D

．y x )

A

．y x )

13

C

．y x 1)

1313

18.下列四个命题中，真命题是 ( )

A．和两条异面直线都相交的两条直线是异面直线；

B．和两条异面直线都相交于不同点的两条直线是异面直线； C．和两条异面直线都垂直的直线是异面直线的公垂线；

D．若a、b是异面直线, b、c是异面直线,则a、c是异面直线.

三、解答题（本大题满分74分）本大题共5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.

19．（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分4分，第2小题满分8分．

O 已知为坐标原点，向量OA (3cosx,3sinx)，

OB (3cosx,sinx)， (,0),x 0, .

2

(1)求证：OA OB OC；

(2) 若△ABC是等腰三角形，求x的值.

20.（本小题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分. 如图，在棱长为1的正方体ABCD A1B1C1D1中，E为AB的中点. (1)求三棱锥A--A1EC的体积；

(2)求异面直线BD1与CE所成角的余弦值.

21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分10分，第2小题满分4分.

李克强总理在很多重大场合都提出“大众创业，万众创新”. 某创客，白手起家，2015年一月初向银行贷款十万元做创业资金，每月获得的利润是该月初投入资金的20%.每月月底需要交纳房租和所得税共为该月全部金额（包括本金和利润）的10%，每月的生活费等开支为3000元，余款全部投入创业再经营.如此每月循环继续.

(1)问到2015年年底(按照12个月计算)，该创客有余款多少元？(结果保留至整数元) (2)如果银行贷款的年利率为5%，问该创客一年(12个月)能否还清银行贷款？ 22．（本题满分16分）本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分9分.

x2y2

设P1和P2是双曲线2 2 1上的两点，线段P1P2的中点为M，直线P1P2不经过坐

ab

标原点O.

b2

(1)若直线P1P2和直线OM的斜率都存在且分别为k1和k2，求证:k1k2=2；

a

(2)

若双曲线的焦点分别为F1(

、F2，点P1的坐标为(2，1) ，直线OM的斜率为

3

，求由四点P1、 F1、P2、F2所围成四边形P1 F1P2F2的面积. 2

23．（本小题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.

已知定义在实数集R上的偶函数f x 和奇函数g x 满足f x g x 2(1)求f x 与g x 的解析式；

(2)求证：f x 在区间[0, )上单调递增；并求f x 在区间[0, )的反函数；

2

(3)设h(x) x2 2mx m2 m 1（其中m为常数），若h(g(x)) m m 1对于x [1,2]恒成立，求m的取值范围.

x 1

.

静安区2015学年第一学期期末高三年级教学检测

文科数学试卷参考答案及评分标准 2016.01

说明：内容与理科相同

一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分． 1.x 4 2．2025 3. 40 ； 4. x 6 5. 6.( ,)

557 7.z 178.280 9. 13968

10. 5x2 5y2 6x 18y 1 0 11.an 2n 1 1（n N ） 12.

1

13．2 14.

148

11

. 5

二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，填上正确的答案，选对得5分，否则一律得零分. 15. A; 16. D; 17.C; 18.B

三、解答题（本大题满分74分）本大题共5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤 . 19． 解：⑴ ∵0 x

2

， ∴ 3sinx sinx ，∴OA OB 0 又

OA OB 0,2sinx

∴

(OA OB ∴0OA OB OC 。 ) OC 0 2sinx 0

（2）若 ABC是等腰三角形，则AB=BC， (2sinx)2 (3cosx )2 (sinx)2

2cosx2

3cxo s,所以0cosx 0或cosx

3

， 0 x

2，2

cosx

, x 26

20.解（1）由三棱锥体积公式可得：V

11111

AA1 S ACE 1 1 。 332212

（2）延长DC至G，使CG= DC,连结BG、D1G

CG //EB ，∴四边形EBGC是平行四边形.

∴BG∥EC. ∴ D1BG就是异面直线BD1与CE所成的角在 DBG中DB 3，11 BG

513

D1B BG D1G cos D1BG

2D1B BG152

2

2

2

2

即异面直线BD1与CE所成角的余弦值是

532，D1G 2 （） 222

3

21解法1：（1）设n个月的余款为an，则

a1 100000 1.2 0.9 3000 105000，

a2 100000 1.22 0.92 3000 1.2 0.9 3000 110400，

。。。。。。

a12 100000 1.212 0.912 3000 1.211 0.911 3000， [1 (1.2 0.9)12]

194890（元）=100000 1.2 0.9 3000 ，

1 1.2 0.9

12

12

法2：a1 100000 1.2 0.9 3000 105000， 一般的，an an 1 1.2 0.9 3000，

构造an c 1.2 0.9(an 1 c)，c 37500

an 37500 (105000 37500)(1.2 0.9)n 1 an 37500 67500 1.08n 1，

a12 194890。

方法3:用ak 1 ak 1.2 0.9(ak ak 1)通过等比数列求和解决. （2）194890-100000 1.05=89890（元）， 能还清银行贷款。

x2y2

22(1)解法1：设不经过点O的直线P1P2方程为y k1x l，代入双曲线2 2 1方程得：

ab

(b2 a2k12)x2 2a2k1lx a2b2 a2l2 0.

设 P1坐标为(x1,y1)，P2坐标为(x2,y2)，中点坐标为M (x,y),则x

x1 x2y y2

,y 1，22

2a2k1l

， x1 x2 2

22

b ak1

b2y1 y2b2 a2k12222222

，所以，ak1k2 ak1 b ak1，k1k2=2。 k2 k1

ax1 x2a2k1

另解：设P1(x1,y1)、P2(x2,y2)，中点M (x,y),则 x

x1 x2y y2,y 1且22

x12y12

1(1) a2b2

22

x2 y2 1(2) a2b2

（1）-（2）得：

(x1 x2)(x1 x2)(y1 y2)(y1 y2)

0。 22

ab

因为,直线P1P2和直线OM的斜率都存在,所以(x1+x2)(x1-x2) 0，

等式两边同除以(x1+x2)(x1-x2)，得：

1y1 y2y1 y21

2 0 2ax1 x2x1 x2b

即

b2

k1k2=2。

a

221

x2 2 2 1,

y2 1， （2）由已知得 a,求得双曲线方程为b

2 a2 b2 3

b231

直线P1 P2斜率为2 ，

23a

直线P1 P2方程为y 1

1

(x 2), 3

代入双曲线方程可解得P2( , )(中点M坐标为(,).

7777

10123

18F1F2 y1 y2 . 277

3

另解: 线段P1 P2中点M在直线y x上.所以由中点M((x,y),可得点P2的坐标为

2

面积

2

(2x 2)22

(3x 1) 17x 2x 0，解得,代入双曲线方程可得,即P(2x 2,3x 1)2

2

x

2310118（y ），所以P2( ,

)。面积F1F2 y1 y2 . 7777277

23.解：（1）假设f(x) g(x) 2x 1①，因为f x 是偶函数， g x 是奇函数

所以有f( x) g( x) 2 x 1，即f(x) g(x) 2 x 1 ②

∵f(x)，g(x)定义在实数集R上， 由①和②解得，

2x 1 2 x 11f(x) 2x x，

222x 1 2 x 11g(x) 2x x.

22

1

f(x) 2x x 2，当且仅当2x 1,即x 0时等号成立.对于任意 (2)

2

111

0 x1 x2,f(x1) f(x2) 2x1 x1 2x2 x2 (2x1 x2 1)(2x2 x1),

222

1xxx xx xx x

因为0 x1 x2,所以212 1,212 1 0,22 1,21 1,0 x 1,22 21 0,

21

从而f(x1) f(x2) 0,所以当x 0时,f x 递增.

x

设y 2

1x2x

，则y 2x 2,令2 s 1,则s2 ys 1 0.再由 1x2

f(x)

x

1x

2 x

解得2s

即2 .

2 1（y 2），

所以2x ,因此f x 的反

1

函数f(x) log2(x 1,x 2

315 t . 24

315 222

∴h(t) t 2mt m m 1 m m 1对于t , 恒成立，

24

（3）∵t g(x)在x [1,2]单调递增，∴

t2 2 315

∴m 对于t , 恒成立，

2t 24

t2 2t2 2t13

令k(t) ，

则当且仅当t 等号成立，

22t2t2t

t2 2 315

所以在区间t , 上k(t) 单调递减，

2t24

31717

∴k(t)max k() ，∴m 为m的取值范围.

21212

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/yy5i.html