2013届高考文科数学第一轮复习测试题37

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命题要点：?1?数列的通项公式?′11年6考，′10年5考?；?2?数列的概念及性质?′11年1考?.

A级

(时间：40分钟 满分：60分)

一、选择题(每小题5分，共25分)

1．已知数列，1，3，5，7，?，2n－1，?，则35是它的( )． A．第22项 B．第23项 C．第24项 D．第28项 解析 35＝45＝2×23－1. 答案 B 2．(2011·福州一模)把1,3,6,10,15,21这些数叫做三角形数，这是因为这些数目的点子可以排成一个正三角形(如图所示)．

则第七个三角形数是( )． A．27 B．28 C．29 D．30 解析 观察三角形数的增长规律，可以发现每一项与它的前一项多的点数正好是本身的序号，所以根据这个规律计算即可．根据三角形数的增长规律可知第七个三角形数是1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＝28. 答案 B 3．(2011·四川)数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝1，an＋1＝3Sn(n≥1)，则a6＝

( )．

A．3×44 B．3×44＋1 C．45 D．45＋1

解析 a1＝1，a2＝3S1＝3，a3＝3S2＝12＝3×41，a4＝3S3＝48＝3×42，a5＝3S4 ＝3×43，a6＝3S5＝3×44. 答案 A

4．对于数列{an}，“an＋1＞|an|(n＝1,2，?)”是“{an}为递增数列”的( )． A．必要不充分条件

B．充分不必要条件

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www.3edu.net 教师助手 学生帮手 家长朋友 www.aaaxk.com C．必要条件

解析 当an＋1＞|an|(n＝1,2，?)时，∵|an|≥an，

D．既不充分也不必要条件

∴an＋1＞an，∴{an}为递增数列．当{an}为递增数列时，若该数列为－2,0,1，则a2＞|a1|不成立，即知：an＋1＞|an|(n＝1,2，?)不一定成立．故综上知，“an＋1＞|an|(n＝1,2，?)”是“{an}为递增数列”的充分不必要条件． 答案 B

5．(2011·绵阳模拟)在数列{an}中，an＝－2n2＋29n＋3，则此数列最大项的值是

( )．

865825A．103 B.8 C.8 D．108 29??解析 根据题意并结合二次函数的性质可得：an＝－2n2＋29n＋3＝－2?n2－2n?

??29?841?＋3＝－2?n－4?2＋3＋8， ??∴n＝7时，an取得最大值，最大项a7的值为108. 答案 D 二、填空题(每小题4分，共12分) 6．在函数f(x)＝x中，令x＝1,2,3，?，得到一个数列，则这个数列的前5项是________． 答案 1，2，3，2，5 7．数列1,2,4,7,11,16，?的一个通项公式an＝________. 解析 通过观察得知an＋1－an＝n，利用累差叠加法，可求出an＝1＋2＋?＋(nn2－n＋2－1)＋1＝. 2n2－n＋2答案

2

8．已知数列{an}的前n项和Sn＝n2－9n，第k项满足5＜ak＜8，则k的值为________．

解析 ∵Sn＝n2－9n，

∴n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n－10，

a1＝S1＝－8适合上式，∴an＝2n－10(n∈N*)，

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www.3edu.net 教师助手 学生帮手 家长朋友 www.aaaxk.com ∴5＜2k－10＜8，得7.5＜k＜9.∴k＝8. 答案 8

三、解答题(共23分)

9．(11分)已知数列{an}的通项公式为an＝n2－5n＋4. (1)数列中有多少项是负数？

(2)n为何值时，an有最小值？并求出最小值． 解 (1)由n2－5n＋4＜0，解得1＜n＜4.

∵n∈N*，∴n＝2,3.∴数列中有两项是负数，即为a2，a3. 5?29?(2)∵an＝n－5n＋4＝?n－2?－4.又n∈N*，∴n＝2或n＝3时，an有最小值，其??2最小值为a2＝a3＝－2. 10．(★)(12分)已知各项均为正数的数列{an}的前n项和满足Sn＞1，且6Sn＝(an＋1)(an＋2)，n∈N*.求{an}的通项公式． 1解 由a1＝S1＝6(a1＋1)(a1＋2)， 解得a1＝1或a1＝2，由已知a1＝S1＞1，因此a1＝2. 又由an＋1＝Sn＋1－Sn 11＝6(an＋1＋1)(an＋1＋2)－6(an＋1)(an＋2)， 得an＋1－an－3＝0或an＋1＝－an. 因an＞0，故an＋1＝－an不成立，舍去． 因此an＋1－an－3＝0. 即an＋1－an＝3，从而{an}是公差为3，首项为2的等差数列，故{an}的通项为an＝3n－1. 【点评】 解决已知数列的前n项和Sn与通项an的关系，求通项an的问题，步骤主要有：,第一步：令n＝1，由Sn＝f?an?求出a1；,第二步：令n≥2，构造an＝Sn－Sn－1，用an代换Sn－Sn－1?或用Sn－Sn－1代换an，这要结合题目的特点?，由递推关系求通项；,第三步：验证当n＝1时的结论是否适合当n≥2时的结论.如果适合，则统一“合写”；如果不适合，则应分段表示；,第四步：明确规范表述结论.

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www.3edu.net 教师助手 学生帮手 家长朋友 www.aaaxk.com B级

(时间：30分钟 满分：40分)

一、选择题(每小题5分，共10分)

1．(2011·惠州二模)已知整数按如下规律排成一列：(1,1)，(1,2)，(2,1)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，?，则第60个数对是( )． A．(5,5) B．(5,6) C．(5,7) D．(5,8) 解析 按规律分组 第一组(1,1) 第二组(1,2)，(2,1) 第三组(1,3)，(2,2)，(3,1) 10×11则前10组共有2＝55个有序实数对． 第60项应在第11组中即(1,11)，(2,10)，(3,9)，(4,8)，(5,7)，?，(11,1)因此第60项为(5,7)． 答案 C 2．已知数列{an}的通项公式是an＝n2＋kn＋2，若对所有的n∈N*，都有an＋1＞an成立，则实数k的取值范围是( )． A．(0，＋∞) B．(－1，＋∞) C．(－2，＋∞) D．(－3，＋∞) 解析 an＋1＞an，即(n＋1)2＋k(n＋1)＋2＞n2＋kn＋2，则k＞－(2n＋1)对所有的n∈N*都成立，而当n＝1时，－(2n＋1)取得最大值－3，所以k＞－3. 答案 D 二、填空题(每小题4分，共8分) 113．(2011·合肥三检)在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝1－a(n≥2)，则a16＝________.

n

1111

解析 由题可知a2＝1－a＝－1，a3＝1－a＝2，a4＝1－a＝2，∴此数列是以3

1

2

3

1

为周期的周期数列，a16＝a3×5＋1＝a1＝2. 1答案 2

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www.3edu.net 教师助手 学生帮手 家长朋友 www.aaaxk.com 4．已知{an}的前n项和为Sn，且满足log2(Sn＋1)＝n＋1，则an＝________. 解析 由已知条件可得Sn＋1＝2n＋1. ∴Sn＝2n＋1－1， 当n＝1时，a1＝S1＝3，

当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n＋1－1－2n＋1＝2n， ?3，n＝1，

n＝1时不适合an，∴an＝?n

?2，n≥2.?3，n＝1答案 ?n ?2，n≥2三、解答题(共22分) 5．(10分)在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝an＋2n－1，求an. 解 由an＋1＝an＋2n－1，得an＋1－an＝2n－1. 所以a2－a1＝1，a3－a2＝2， a4－a3＝22， a5－a4＝23， ? an－an－1＝2n－2(n≥2)， 将以上各式左右两端分别相加，得an－a1＝1＋2＋22＋?＋2n－2＝2n－1－1， 所以an＝2n－1(n≥2)，又因为a1＝1适合上式，故an＝2n－1(n≥1)． 26．(12分)已知数列{an}满足前n项和Sn＝n2＋1，数列{bn}满足bn＝，且前an＋1n项和为Tn，设cn＝T2n＋1－Tn. (1)求数列{bn}的通项公式； (2)判断数列{cn}的增减性． 解 (1)a1＝2，an＝Sn－Sn－1＝2n－1(n≥2)． 1??n ?n≥2?，∴bn＝?2

??3 ?n＝1?.

(2)∵cn＝bn＋1＋bn＋2＋?＋b2n＋1

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www.3edu.net 教师助手 学生帮手 家长朋友 www.aaaxk.com 111＝＋＋?＋， n＋1n＋22n＋1111∴cn＋1－cn＝＋－

2n＋22n＋3n＋1－n－1

＝＜0， ?2n＋2??2n＋3??n＋1?∴{cn}是递减数列．

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