2019届江西省吉安一中、九江一中、新余一中等八所重点中学高三4月联考数学（文）试题（解析版）

2019届江西省吉安一中、九江一中、新余一中等八所重点中

学高三4月联考数学（文）试题

一、单选题 1．已知集合A．

B．

，则C．

（）

D．

【答案】A

【解析】求得集合N，由此求得两个集合的交集. 【详解】 由于【点睛】

本小题主要考查集合的研究对象，考查二次函数的值域，考查两个集合的交集等知识，属于基础题.

2．为虚数单位，复数A． 【答案】D 【解析】化简为【详解】 依题意【点睛】

本小题主要考查复数的乘法运算，考查复数的模的运算，属于基础题. 求解与复数概念相关问题的技巧：复数的分类、复数的相等、复数的模，共轭复数的概念都与复数的实部与虚部有关，所以解答与复数相关概念有关的问题时，需把所给复数化为代数形式，即

的形式，再根据题意求解.

命题

则p是的什么条件（） C．充要条件

D．既不充分也不

，故

，故选D.

的形式，进而求得. B．

，则

（） C．

D．

，故

，故选A.

3．已知命题A．充分不必要条件 必要条件 【答案】B

B．必要不充分条件

【解析】解不等式求得的解集，解不等式求得的解集，由此判断是的什么条件. 【详解】

由得，解得或.由解得.后者是前者的子集，

故是的必要不充分条件.故选B. 【点睛】

本小题主要考查充分、必要条件的判断，考查分式不等式的解法，考查指数不等式的解法，属于中档题.

4．某地区某村的前三年的经济收入分别为

万元，其统计数据的中位数为，

平均数为；经过今年政府新农村建设后，该村经济收入在上年基础上翻番，则在这年里收入的统计数据中，下列说法正确的是（） A．中位数为，平均数为C．中位数为【答案】C

【解析】先求得前三年的中位数和平均数，求得第四年的收入，然后求得新的中位数和平均数，由此得出正确选项. 【详解】

依题意，前三年中位数万元，故中位数为

，平均数

，平均数为，故选C.

【点睛】

本小题主要考查中位数和平均数的计算，考查实际生活的数学案例，属于基础题. 5．设向量A． 【答案】B 【解析】利用【详解】 由于故选B. 【点睛】

本小题主要考查向量数量积的坐标运算，考查二倍角公式，考查特殊角的三角函数值，属于基础题.

，所以

，即

，而

，故

，

列方程，解方程求得

的值，进而求得的值.

与B．

，且C．

，则

（） D． ，第四年收入为

，平均数为

B．中位数为D．中位数为

，平均数为 ，平均数为

6．已知点A．

为双曲线

B．

上一点，则它的离心率为（）

C．

D．

【答案】B

【解析】将的坐标代入双曲线，求得的值，进而求得的值和离心率. 【详解】

将的坐标代入双曲线方程得，解得，故，所以离心率为

，故选B.

【点睛】

本小题主要考查双曲线标准方程的求法，考查双曲线离心率的求法，属于基础题. 7．小华爱好玩飞镖，现有如图所示的由两个边长都为的正方形靶图形，如果点正好是正方形

的中心，而正方形

和

构成的标

可以绕点旋转，则小华随

机向标靶投飞镖射中阴影部分的概率是（ ）

A． B． C． D． 【答案】A

【解析】先连OA,OB，设OR交BC于M,OP交AB于N，由四边形到

，从而可求出结果.

【详解】

，再由四边形

是正方形，得

为正方形，可证

先连OA,OB，设OR交BC于M,OP交AB于N,如图所示：

因为四边形又四边形所以

是正方形，所以为正方形，所以，

，

，

所以，即它们重叠部分的面积为1，总面积是7，

故小华随机向标靶投飞镖射中阴影部分的概率是【点睛】

.

本题主要考查与面积有关的几何概型，属于基础题型.

8．某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是3，则正视图中的值是

A．2 B． C． D． 【答案】D

【解析】根据三视图判断几何体为四棱锥，再利用体积公式求高即可． 【详解】

根据三视图判断几何体为四棱锥，其直观图，如下图：

所以．故选：D．

【点睛】

由三视图正确恢复原几何体是解题的关键．

9．已知实数A．

满足

B．

，则

C．

的取值范围是（）

D．

【答案】B

【解析】画出可行域，这个取值范围. 【详解】

画出可行域如下图所示，短距离平方为

表示可行域内点到原点距离的平方，由图可知，最

，故取值范围是

，故选B.

表示可行域内点到原点距离的平方，根据图像可求得

，最大距离平方为

【点睛】

本小题主要考查线性规划可行域的画法，考查到原点的距离型目标函数的取值范围的求

法，属于基础题. 10．已知函数

对称，则下列结论正确的是（） A．B．若C．D．

在

是

上是减函数

的对称轴，则一定有

的图像过点

，且关于直线

的解集是的一个对称中心是

【答案】D

【解析】先求出函数的解析式为据极值的定义判断；解不等式的对称性判断. 【详解】 因为函数

对称，所以

，

，，

，

,因为，若

是

,

在

，

上是增函数，故错误，

是极值点，一定有

，故错误，

， ， ，

的图象经过点

，且关于直线

，根据正弦函数的单调性判断；根

可判断;根据正弦函数

的一条对称轴，则

，因为，

，故错误，

，

，因为【点睛】

为对称中心，故正确，故选D.

本题通过对多个命题真假的判断，综合考查三角函函数的单调性对称性性，属于中档题.这种题型综合性较强，也是高考的命题热点，同学们往往因为某一处知识点掌握不好而

导致“全盘皆输”，因此做这类题目更要细心、多读题，尽量挖掘出题目中的隐含条件，另外，要注意从简单的自己已经掌握的知识点入手，然后集中精力突破较难的命题. 11．已知定义在上的奇函数

满足

时，

，则函数

（为自然对数的底数）的零点个数是（）

A． 【答案】C

【解析】利用导数求得函数奇函数

得到

在

时的最小值，得到

的一个零点，根据函数为

B．

C．

D．

的另一个零点，根据函数为奇函数，图像的对称性，得到

的第三个零点，由此得出正确选项. 【详解】 当

时，，此时

时，

是

的唯一零点.由于

，所以，故函数在

上递减，，根据

上递增，在的单调性和

处有最小值为可知，当，故都是奇函数，故

在

是

上在

是定义在上的奇函数，则是函数

的零点.由于

和

，且根据奇函数图像的对称性可知，

递增，在区间【点睛】

上递减，

时，

取得在

上的最大值，故

上的唯一零点.综上所述，零点个数有个，故选C.

本小题主要考查利用导数研究函数的零点，考查函数的奇偶性，综合性较强，属于中档题.

12．已知曲线

是以原点为中心，

与

的交点，且

为焦点的椭圆，曲线

为钝角，若

是以为顶点、

，则

为焦

点的抛物线，是曲线的面积是（） A．

B． C． D．

【答案】C

【解析】根据抛物线的定义，求得的值，再利用三角形面积公式求得三角形【详解】

，也即

的面积.

，利用余弦定理求得

画出图像如下图所示，

，也即

,根据抛物线的定义可知

，在三角形

，故

中由余弦定理得

，解得或，由于为钝角，故,

所以舍去，故.而,所以

.故选C.

【点睛】

本小题主要考查抛物线和椭圆的位置关系，考查抛物线的定义，考查余弦定理解三角形，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.

二、填空题

13．函数【答案】

的定义域为__________．

【解析】利用偶次方根被开方数为非负数、对数真数大于零和分式分母不为零列不等式组，解不等式组求得函数的定义域. 【详解】

依题意得【点睛】

，得，即函数的定义为.

本小题主要考查函数定义域的求法，函数的定义域主要由以下方面考虑来求解：一个是分数的分母不能为零，二个是偶次方根的被开方数为非负数，第三是对数的真数要大于零，第四个是零次方的底数不能为零.属于基础题. 14．已知曲线__________． 【答案】

【解析】根据切线与直线数为列方程，由此求得的值. 【详解】

垂直求得切线的斜率为，令曲线在

处的导

在

处的切线与直线

垂直，则实数的值为

，当时，导数为.由于切线与直线垂直，故切线的

斜率为，即【点睛】

，解得.

本小题主要考查两条直线垂直的表示，考查导数与切线的斜率对应关系，属于基础题. 15．在

中，

所对的角为

__________． 【答案】 【解析】由正弦公式可得

，求得

，将

，利用正弦定理、诱导公式、两角和的

平方，结合

求得

，满足条件：且

，则边长的值为

，再利用余弦定理可得结果.

【详解】 因为

所以由正弦定理可得

，

，

，

， ，

因为所以

， ，

，

即因为

，

，

，

，

，故答案为3. 【点睛】

解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷．如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到． 16．如图，已知多面体

，且

与动直线

的底面

，现将

是边长为的正方形，

以直线

平面

，

，

，

为轴旋转一周后，则直线

所成角的范围__________．

【答案】

【解析】画出图像，将动.在

平移到的位置，点在以为圆心，半径为的圆上运

在处线线角最小，

就是所求线线角，根据三角形中，大角对大边，判断出处线线角最大，并求出这两个最值.

【详解】

画出图像如下图所示，将则

平移到

的位置，点在以为圆心，半径为的圆上运动.

为定值，故最值由

，故

就是所求线线角，根据三角形中，大角对大边，

来确定，故当在处线线角最小，在处线线角最大.由于

.而，故

，故，所以.而

.

.所以所求线线角的取值范围是

【点睛】

本小题主要考查线线角的取值范围的求法，考查空间想象能力和分析能力，有一定难度，属于难题.解题突破口在于将两条异面直线平移到一起，根据三角形大角对大边，来确定线线角的最大值以及最小值.

三、解答题

17．设数列满足

（1）求证：数列是等差数列；

（2）设，求数列的前项和为.

【答案】（1）详见解析；（2）.

【解析】（1）由可得为常数，从而可得结果；（2）由（1）知

则

，利用分组求和法与裂项相消法求和即

可. 【详解】

（1）

为常数

又

（2）由（1）知

数列是以为首项为公差的等差数列.

所以，数列【点睛】

裂项相消法是最难把握的求和方法之一，其原因是有时很难找到裂项的方向，突破这一难点的方法是根据式子的结构特点，常见的裂项技巧：(1)

的前项和为.

；（2）

；（4）

； （3）

；此外，需注意裂项之后相消的过程中容

易出现丢项或多项的问题，导致计算结果错误. 18．在四棱锥

中，底面

是边长为的菱形且中心为点，

上的投影为

的中点.

，且点在底面

（1）若为的中点，求证：

的距离.

.

；

（2）求点到平面

【答案】（1）详见解析；（2）【解析】（1）根据已知条件得到证得

，由此证得

,利用三角形中位线和菱形的对角线相互垂直，，从而

.（2）利用余弦定理求得

的距离.

的长，

平面

利用等体积法【详解】 （1）取且

的中点为，连结

，所以的中点，所以

列方程，解方程求得点到平面

，则，.

.

平面.

平面分别为

又底面且

平面（2）设

是边长为的菱形，所以，，所以，，即

由

，在

，

和

中，则平面

，

.所以，.

， ，

在中由余弦定理得：

，

的距离为，由

的距离

.

得：

.

解得，则

设点到平面解得

，即点到平面

【点睛】

本小题主要考查由线面垂直证明线线垂直，考查点到面的距离的求法，考查空间想象能力，考查逻辑推理能力，属于中档题.

19．某部门经统计，客户对不同款型理财产品的最满意程度百分比和对应的理财总销售量（万元）如下表（最满意度百分比超高时总销售量最高）： 产品款型 最满意度% 总销量（万元）

设表示理财产品最满意度的百分比，为该理财产品的总销售量（万元）.这些数据的散点图如图所示.

A 20 80 B 34 89 C 25 89 D 19 78 E 26 75 F 20 71 G 19 65 H 24 62 I 19 60 J 13 52

（1）在份款型理财产品的顾客满意度调查资料中任取份；只有一份最满意的，求含有最满意客户资料事件的概率. （2）我们约定：相关系数的绝对值在是一般线性相关，在

以上（含

以下是无线性相关，在

以上（含

）至

）是较强线性相关，若没有达到较强线性相关则

采取“末位”剔除制度（即总销售量最少的那一款产品退出理财销售）；试求在剔除“末位”款型后的线性回归方程（系数精确到数据参考计算值：

）.

项目 37.16 452.1 17.00 值

21.9 72.1 288.9 附：回归直线方程的斜率和截距的最小二乘法估计分别为：

线性相关系数【答案】（1）；（2）

.

.

【解析】（1）由最满意度表可知在份款型产品客户资料有最满意客户资料份，利用列举法和古典概型概率计算公式，计算出含有最满意客户资料事件的概率.（2）根据线性相关系数公式计算出

，故即与具有一般线性关系，没有达到较

强的线性相关. 末位剔除数据后，利用剩下数据，根据回归直线方程计算公式，计算出回归直线方程. 【详解】

由最满意度表可知在份款型产品客户资料有最满意客户资料份；把最满意客户资料

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