2017襄阳四中五中自主招生考试数学试题

2017年襄阳四中、五中自主招生考试

数学试题

考试时间：120分钟 试卷满分：150分

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的. 1．16的平方根(▲)

A.?4

B.2

C.-2

D.?2

?2x?1?1,2．不等式组??????12x?1的正整数解的个数为(▲)

A．1个 B．2个 C．3个 D．无数个

3. 某校13名同学参加数学竞赛初赛，他们的分数互不相同，按从高分录到低分的原则，取前7名同

学参加复赛，现在小明同学已经知道自己的分数，如果他想知道自己能否进入复赛，那么还需知道所有参赛学生成绩的(▲) A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差

4．如图是由单位立方体构成的积木垛的三视图，据此三视图可知，构成这堆积木垛的

单位正方体共有(▲) A．6块 B．7块 C．8块 D．9块 5． 如图，正方形ABCD的边长为2cm，动点P从点B出发，在正方形的边上沿B→C→D

的方向运动到点D停止，设点P的运动路程为x（cm），在下列图象中，能表示△ADP的面积y（cm2）关于x（cm）的函数关系的图象是(▲)

A． B． C． D．

6．如图，AB是半圆O的直径，点C、D是半圆O的三等分点，若弦

CDCD=1，则图中染色部分的面积为(▲)

A．

????6 B．4 C．3 D．3?34 AOB第1页（共4页）2017年自主招生考试——数学试题 （第 6 题图）

7. 已知

xyx?y?1，yzxzy?z?2，

x?z?3，则x=(▲) A.

43 B.

116 C. 512

D. 125

A 8. 如图，△ABC的顶点是正方形网格的格点，则cosA的值为(▲)

C A.12 B.55 C.1010 D.255 B

9．用[x]表示不超过x的最大整数，例如：[3.12]=3，[-5.12]=-6,把x?[x]称为x的小数部分. 已

知t?13?22，a是t的小数部分，b是?t的小数部分. 则14b?1a?(▲) A.

14 B.4

C.2 D.22

10.已知O为坐标原点，位于第一象限的点A在反比例函数y?4x(x?0)的图像上，位于第二象限的点B在反比例函数y??1x(x?0)的图像上，且OA?OB,则tan?ABO?(▲) A．

1 22B.2 C.1

D.2

二、填空题(本大题共6个小题，每小题5分，共30分)把答案填在答题卡的相应位置上．[来 11. 在函数y=

2x?1x?3中，自变量x的取值范围是 ▲ ． 12. (3x2?2x?5)(x3?5x2?6x?7)=a5435x?a4x?a3x?a22x?a1x?a0，则

a0?a1?a2?a3?a4?a5= ▲ ；

AB 13. 如图，CD是⊙O的直径，CD=4，∠ACD=40°，点B 为弧AD的中点，点CM OPND P是直径CD上的一个动点，则PA+PB的最小值为 ▲ ．

第13第7题图题图 第2页（共4页）2017年自主招生考试——数学试题

14．平面直角坐标系中，已知A(2，2)、B(4，2)．若在坐标轴上取点C，使△ABC为等腰三角形，则

满足条件的点C的个数是 ▲ . 15．观察下列各式：

1×2＝

13（1×2×3?0×1×2）， 2×3＝13（2×3×4?1×2×3），

3×4＝13（3×4×5?2×3×4），

…………

计算：3×（1×2+2×3+3×4+…+999×1000）= ▲ . 16.如果一个正整数可以表示为两个连续奇数的平方差，则称这个正整数为“和谐数”. 如8?32?12，16?52?32. 8和16均为“和谐数”，那么不超过2017的所有“和谐数”之和为 ▲ .

三、解答题(本大题共8个小题，共70分)解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，并 且写在答题卡上每题对应的答题区域内．

17．(本小题满分6分)已知多项式5x3?ax2?bx?1能被x2?1整除，且商式是5x?1,求??a?b.

A 18．(本小题满分6分)如图，在△ABC中，AD是BC上的高，AE平分

∠BAC，∠B＝75°， ∠C＝45°． （1）求∠DAE与∠AEC的度数; （2）求AC∶AE的值.

B D E C

（第18题图）

19.(本小题满分6分)小明、小林是某中学九年级的同班同学，在四月份举行的自主招生考试中，共有

四个选做题，分别是A平面几何，B代数综合，C概率，D初等数论. 每位考生被随机分配其中一道，他俩都不希望做初等数论.

（1）请你用画树状图法或列举法，列出所有可能的结果； （2）求两人都如愿的概率.

D

20．(本小题满分10分) 在?ABC中，?ABC?90?，?BAC?60?.

?ACD是等边三角形，E是AC的中点. 连接BE并延长，交DC与点F，求证：

A

（1）?ABE≌?CFE;

F

（2）判断四边形ABFD的形状，并证明;

E

（3）若BC=3, 求四边形ABCD的面积.

C

B

（第20题图）

第3页（共4页）2017年自主招生考试——数学试题 21. (本小题满分10分)某校九年级1班，2班准备集体购买一批T恤衫参加春季运动会，了解到某商

店正好有这种T恤衫促销，当购买5件时每件145元，购买者每增加1件，单价减少1元，当购买数量是60件以上时（含60件），一律每件80元，

（1）如果购买x（x>5）件，每件的单价为y元，请写出y关于x的函数关系式；

（2）如果1班，2班共购买了100件T恤衫，由于某种原因需分两批购买，已知第一批购买的数量多于35件而少于60件，购买两批T恤衫共花了9200元，求第一批购买T恤衫数量. 22.（本小题满分10分）若正数a,b，满足ab?1，求M?11?2a?11?b的最小值.

23．(本小题满分10分)已知抛物线y=2mx2+（1﹣4m）x+1﹣6m与x轴相交于不同的两点A、B.

（1）求m的取值范围；

（2）证明该抛物线一定经过非坐标轴上的一点P，并求出点P的坐标；

（3）当

18＜m≤4时，由（2）求出的点P和点A，B构成的△ABP的面积是否有最值？若有，求出该最值及相对应的m值．

24．(本小题满分12分)如图，在等腰直角三角形ABC中，∠ABC=90°，AB=BC=2，⊙B与AB、BC

交于E、F，点P是弧EF上的一个动点，连接PC，线段PC绕P点逆时针旋转90°到PD，连接CD，AD．

（1）求证：△BPC∽△ADC；

（2）当四边形ABCD满足AD∥CB且面积为3时，求⊙B的半径；

（3）若⊙B的半径为1，当点P沿弧EF从点E运动至PC与⊙B相切时，求点D的运动路径长．

AD EPBFC（第24题图）

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