抽象函数习题精选精讲
更新时间:2024-02-20 22:06:01 阅读量: 经典范文大全 文档下载
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篇一:抽象函数习题精选精讲
含有函数记号“
由于函数概念比较抽象,学生对解有关函数记号
f(x)”有关问题解法
f(x)的问题感到困难,学好这部分知识,能加深学生对函数概念的理解,更好地
掌握函数的性质,培养灵活性;提高解题能力,优化学生数学思维素质。现将常见解法及意义总结如下:
一、求表达式: 1.换元法:即用中间变量的灵活性及变形能力。
表示原自变量x的代数式,从而求出
f(x),这也是证某些公式或等式常用的方法,此法解培养学生
x
)?2x?1,求f(x). x?1xuu2?u?u,则x??1?解:设∴f(u)?2x?11?u1?u1?u
例1:已知
f(
∴
f(x)?
2?x
1?x
2.凑合法:在已知
f(g(x))?h(x)的条件下,把h(x)并凑成以g(u)表示的代数式,再利用代换即可求f(x).此解法简洁,
还能进一步复习代换法。
例2:已知
11f(x?)?x3?3
xx
,求
f(x)
解:∵
1111111
f(x?)?(x?)(x2?1?2)?(x?)((x?)2?3)又∵|x?|?|x|??1
xxxxxx|x|
∴
f(x)?x(x2?3)?x3?3x,(|x|≥1)
3.待定系数法:先确定函数类型,设定函数关系式,再由已知条件,定出关系式中的未知系数。 例3. 已知解:设
f(x)二次实函数,且f(x?1)?f(x?1)?x2+2x+4,求f(x).
f(x)=ax2?bx?c,则f(x?1)?f(x?1)?a(x?1)2?b(x?1)?c?a(x?1)2?b(x?1)?c
?2(a?c)?4
1313?22
?a?,b?1,c?∴f(x)?x2?x? =2ax?2bx?2(a?c)?x?2x?4比较系数得?2a?1
2222?2b?2
?
4.利用函数性质法:主要利用函数的奇偶性,求分段函数的解析式. 例4.已知解:∵
y=f(x)为奇函数,当 x>0时,f(x)?lg(x?1),求f(x)
f(x)为奇函数,∴f(x)的定义域关于原点对称,故先求x<0时的表达式。∵-x>0,∴f(?x)?lg(?x?1)?lg(1?x),
∵
?lg(1?x),x?0f(x)为奇函数,∴lg(1?x)?f(?x)??f(x)∴当x<0时f(x)??lg(1?x)∴f(x)??
??lg(1?x),x?0
f(x)为偶函数,g(x)为奇函数,且有f(x)+g(x)?
1
, 求f(x),g(x). x?1
例5.一已知解:∵
f(x)为偶函数,g(x)为奇函数,∴f(?x)?f(x),g(?x)??g(x),
f(x)+g(x)=
1
???①中的x, x?1
1
不妨用-x代换
11
即f(x)-g(x)????②
?x?1x?1
1x
显见①+②即可消去g(x),求出函数f(x)?2再代入①求出g(x)?2
x?1x?1
∴
f(?x)?g(?x)?
5.赋值法:给自变量取特殊值,从而发现规律,求出例6:设解:∵
f(x)的表达式
f(x)的定义域为自然数集,且满足条件f(x?1)?f(x)?f(y)?xy,及f(1)=1,求f(x)
f(x)的定义域为N,取y=1,则有f(x?1)?f(x)?x?1
∵f(1)=1,∴f(2)=f(1)+2,f(3)?f(2)?3??f(n)?f(n?1)?n
n(n?1)1
以上各式相加,有f(n)=1+2+3+??+n=∴f(x)?x(x?1),x?N
22
二、利用函数性质,解
f(x)的有关问题
1.判断函数的奇偶性: 例7 已知
f(x?y)?f(x?y)?2f(x)f(y),对一切实数x、y都成立,且f(0)?0,求证f(x)为偶函数。
f(y)?f(?y)?2f(0)f(y)??①
证明:令x=0, 则已知等式变为在①中令
y=0则2f(0)=2f(0)∵ f(0)≠0∴f(0)=1∴f(y)?f(?y)?2f(y)∴f(?y)?f(y)∴f(x)为偶函数。
2.确定参数的取值范围 例8:奇函数解:由
f(x)在定义域(-1,1)内递减,求满足f(1?m)?f(1?m2)?0的实数m的取值范围。
f(1?m)?f(1?m2)?0得f(1?m)??f(1?m2),∵f(x)为函数,∴f(1?m)?f(m2?1)
??1?1?m?1?
又∵f(x)在(-1,1)内递减,∴??1?m2?1?1?0?m?1
?1?m?m2?1?
3.解不定式的有关题目 例9:如果
f(x)=ax2?bx?c对任意的t有f(2?t)?f2?t),比较f(1)、f(2)、f(4)的大小
f(2?t)?f2?t)∴x=2为抛物线y=ax2?bx?c的对称轴 f
(2)最小,
解:对任意t有
又∵其开口向上∴∴
f
(1)=
f
(3)∵在[2,+∞)上,
f(x)为增函数
f
(3)<
f
(4),∴
f
(2)<
f
(1)<
f
(4)
五类抽象函数解法
1、线性函数型抽象函数
线性函数型抽象函数,是由线性函数抽象而得的函数。
例1、已知函数f(x)对任意实数x,y,均有f(x+y)=f(x)+f(y),且当x>0时,f(x)>0,f(-1)=-2,求f(x)在区间[-2,1]上的值域。 分析:由题设可知,函数f(x)是
的抽象函数,因此求函数f(x)的值域,关键在于研究它的单调性。
2
解:设∵∴
在条件中,令y=-x,则(x)为奇函数,
,∵当
,
,即
,∴,
,∴f(x)为增函数。
,再令x=y=0,则f(0)=2 f(0),∴ f(0)=0,故f(-x)=f(x),f
∴ f(1)=-f(-1)=2,又f(-2)=2 f(-1)=-4, ∴ f(x)的值域为[-4,2]。 例2、已知函数f(x)对任意
,满足条件f(x)+f(y)=2 + f(x+y),且当x>0时,f(x)>2,f(3)=5,求不
等式的解。
分析:由题设条件可猜测:f(x)是y=x+2的抽象函数,且f(x)为单调增函数,如果这一猜想正确,也就可以脱去不等式中的函数符号,从而可求得不等式的解。 解:设
,∵当
,
即
,∴f(x)为单调增函数。
∵
, 又∵f(3)=5,∴f(1)=3
。∴
,∴
,则
,∴
2、指数函数型抽象函数
, 即,解得不等式的解为-1 < a < 3。
例3、设函数f(x)的定义域是(-∞,+∞),满足条件:
存在成立。求:
(1)f(0); (2)对任意值x,判断f(x)值的正负。 分析:由题设可猜测f(x)是指数函数解:(1)令y=0代入
。若f(x)=0,则对任意
,使得,对任何x和y,
的抽象函数,从而猜想f(0)=1且f(x)>0。 ,则
,∴
,这与题设矛盾,∴f(x)≠0,∴f(0)=1。
,有
(2)令y=x≠0,则,又由(1)知f(x)≠0,∴f(2x)>0,即f(x)>0,故对任意x,
f(x)>0恒成立。
例4、是否存在函数f(x),使下列三个条件:①f(x)>0,x ∈N;②时成立?若存在,求出f(x)的解析式,如不存在,说明理由。 分析:由题设可猜想存在(1)x=1时,∵
3
,又由f(2)=4可得a=2.故猜测存在函数
,用数学归纳法证明如下:
,结论正确。 ;③f(2)=4。同
,又∵x ∈N时,f(x)>0,∴
(2)假设结论正确。
综上所述,x为一切自然数时3、对数函数型抽象函数
时有,则x=k+1时,,∴x=k+1时,
。
对数函数型抽象函数,即由对数函数抽象而得到的函数。 例5、设f(x)是定义在(0,+∞)上的单调增函数,满足
(1)f(1);
(2)若f(x)+f(x-8)≤2,求x的取值范围。 分析:由题设可猜测f(x)是对数函数解:(1)∵(2
)即
的抽象函数,f(1)=0,f(9)=2。 ,∴f(1)=0。
,从而有f(x)+f(x-8)≤f(9),
,∵f(x)是(0,+∞)上的增函数,故
,求:
,解之得:8<x≤9。
例6、设函数y=f(x)的反函数是y=g(x)。如果f(ab)=f(a)+f(b),那么g(a+b)=g(a)·g(b)是否正确,试说明理由。
分析: 由题设条件可猜测y=f(x)是对数函数的抽象函数,又∵y=f(x)的反函数是y=g(x),∴y=g(x)必为指数函数的抽象函数,于是猜想g(a+b)=g(a)·g(b)正确。
解:设f(a)=m,f(b)=n,由于g(x)是f(x)的反函数,∴g(m)=a,g(n)=b
,从而
,∴g(m)·g(n)=g(m+n),以a、b分别代替上式中的m、n即得g(a
+b)=g(a)·g(b)。 4、三角函数型抽象函数
三角函数型抽象函数即由三角函数抽象而得到的函数。
例7、己知函数f(x)的定义域关于原点对称,且满足以下三条件:
①当是定义域中的数时,有;
②f(a)=-1(a>0,a是定义域中的一个数); ③当0<x<2a时,f(x)<0。
试问:(1)f(x)的奇偶性如何?说明理由。 (2)在(0,4a)上,f(x)的单调性如何?说明理由。 分析: 由题设知f(x)是
的抽象函数,从而由
及题设条件猜想:f(x)是奇函数且在(0,4a)上是增函数
(这里把a看成
进行猜想)。
4
解:(1)∵f(x)的定义域关于原点对称,且是定义域中的数时有
,∴在定义域中。∵
,
∴f(x)是奇函数。
(2)设0<x1<x2<2a,则0<x2-x1<2a,∵在(0,2a)上f(x)<0,
∴f(x1),f(x2),f(x2-x1
)均小于零,进而知(0,2a)上f(x)是增函数。
中的,于是f(x1)< f(x2),∴在
又
<x-2a<2a,
,∵f(a)=-1,∴,∴f(2a)=0,设2a<x<4a,则0
,于是f(x)>0,即在(2a,4a)上f(x)>0。设2a<x1<x2<4a,则0<x2
-x1<2a,从而知f(x1),f(x2)均大于零。f(x2-x1)<0,∵,∴,即
f(x1)<f(x2),即f(x)在(2a,4a)上也是增函数。综上所述,f(x)在(0,4a)上是增函数。
5、幂函数型抽象函数
幂函数型抽象函数,即由幂函数抽象而得到的函数。
例8、已知函数f(x)对任意实数x、y都有f(xy)=f(x)·f(y),且f(-1)=1,f(27)=9,当(1)判断f(x)的奇偶性;
(2)判断f(x)在[0,+∞)上的单调性,并给出证明; (3)若
,求a的取值范围。
时,
。
分析:由题设可知f(x)是幂函数的抽象函数,从而可猜想f(x)是偶函数,且在[0,+∞)上是增函数。
解:(1)令y=-1,则f(-x)=f(x)·f(-1),∵f(-1)=1,∴
f(-x)=f(x),f(x)为偶函数。
(2)设,∴,,
∵时,
,∴,∴f(x1)<f(x2),故f(x)在0,+∞)上是增函数。
,
(3)∵f(27)=9,又∴
,∴
,∵
,∴
5
,
篇二:抽象函数习题精选精讲
含有函数记号“f(x)”有关问题解法
由于函数概念比较抽象,学生对解有关函数记号
f(x)的问题感到困难,学好这部分知识,能加深学生对函数概念的理解,更好地
掌握函数的性质,培养灵活性;提高解题能力,优化学生数学思维素质。现将常见解法及意义总结如下:
一、求表达式: 1.换元法:即用中间变量的灵活性及变形能力。
表示原自变量x的代数式,从而求出
f(x),这也是证某些公式或等式常用的方法,此法解培养学生
x
)?2x?1,求f(x). x?1xuu2?u?u,则x??1?解:设∴f(u)?2x?11?u1?u1?u
例1:已知
f(
∴
f(x)?
2?x
1?x
2.凑合法:在已知
f(g(x))?h(x)的条件下,把h(x)并凑成以g(u)表示的代数式,再利用代换即可求f(x).此解法简洁,
还能进一步复习代换法。
例2:已知
11f(x?)?x3?3
xx
,求
f(x)
解:∵
1111111
f(x?)?(x?)(x2?1?2)?(x?)((x?)2?3)又∵|x?|?|x|??1
xxxxxx|x|
∴
f(x)?x(x2?3)?x3?3x,(|x|≥1)
3.待定系数法:先确定函数类型,设定函数关系式,再由已知条件,定出关系式中的未知系数。 例3. 已知解:设
f(x)二次实函数,且f(x?1)?f(x?1)?x2+2x+4,求f(x).
f(x)=ax2?bx?c,则f(x?1)?f(x?1)?a(x?1)2?b(x?1)?c?a(x?1)2?b(x?1)?c
?2(a?c)?4
1313?22
?a?,b?1,c?∴f(x)?x2?x? =2ax?2bx?2(a?c)?x?2x?4比较系数得?2a?1
2222?2b?2
?
4.利用函数性质法:主要利用函数的奇偶性,求分段函数的解析式. 例4.已知解:∵
y=f(x)为奇函数,当 x>0时,f(x)?lg(x?1),求f(x)
f(x)为奇函数,∴f(x)的定义域关于原点对称,故先求x<0时的表达式。∵-x>0,∴f(?x)?lg(?x?1)?lg(1?x),
∵
?lg(1?x),x?0f(x)为奇函数,∴lg(1?x)?f(?x)??f(x)∴当x<0时f(x)??lg(1?x)∴f(x)??
??lg(1?x),x?0
f(x)为偶函数,g(x)为奇函数,且有f(x)+g(x)?
1
, 求f(x),g(x). x?1
例5.一已知解:∵
f(x)为偶函数,g(x)为奇函数,∴f(?x)?f(x),g(?x)??g(x),
f(x)+g(x)=
1
???①中的x, x?1
不妨用-x代换
11
即f(x)-g(x)????②
?x?1x?1
1x
显见①+②即可消去g(x),求出函数f(x)?2再代入①求出g(x)?2
x?1x?1
∴
f(?x)?g(?x)?
5.赋值法:给自变量取特殊值,从而发现规律,求出例6:设解:∵
f(x)的表达式
f(x)的定义域为自然数集,且满足条件f(x?1)?f(x)?f(y)?xy,及f(1)=1,求f(x)
f(x)的定义域为N,取y=1,则有f(x?1)?f(x)?x?1
∵f(1)=1,∴f(2)=f(1)+2,f(3)?f(2)?3??f(n)?f(n?1)?n
n(n?1)1
以上各式相加,有f(n)=1+2+3+??+n=∴f(x)?x(x?1),x?N
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二、利用函数性质,解
f(x)的有关问题
1.判断函数的奇偶性: 例7 已知
f(x?y)?f(x?y)?2f(x)f(y),对一切实数x、y都成立,且f(0)?0,求证f(x)为偶函数。
f(y)?f(?y)?2f(0)f(y)??①
证明:令x=0, 则已知等式变为在①中令
y=0则2f(0)=2f(0)∵ f(0)≠0∴f(0)=1∴f(y)?f(?y)?2f(y)∴f(?y)?f(y)∴f(x)为偶函数。
2.确定参数的取值范围 例8:奇函数解:由
f(x)在定义域(-1,1)内递减,求满足f(1?m)?f(1?m2)?0的实数m的取值范围。
f(1?m)?f(1?m2)?0得f(1?m)??f(1?m2),∵f(x)为函数,∴f(1?m)?f(m2?1)
??1?1?m?1?
又∵f(x)在(-1,1)内递减,∴??1?m2?1?1?0?m?1
?1?m?m2?1?
3.解不定式的有关题目 例9:如果
f(x)=ax2?bx?c对任意的t有f(2?t)?f2?t),比较f(1)、f(2)、f(4)的大小
f(2?t)?f2?t)∴x=2为抛物线y=ax2?bx?c的对称轴
解:对任意t有
又∵其开口向上∴∴
f
(2)最小,
f
(1)=
f
(3)∵在[2,+∞)上,
f(x)为增函数
f
(3)<
f
(4),∴
f
(2)<
f
(1)<
f
(4)
五类抽象函数解法
1、线性函数型抽象函数
线性函数型抽象函数,是由线性函数抽象而得的函数。
例1、已知函数f(x)对任意实数x,y,均有f(x+y)=f(x)+f(y),且当x>0时,f(x)>0,f(-1)=-2,求f(x)在区间[-2,1]上的值域。 分析:由题设可知,函数f(x)是
的抽象函数,因此求函数f(x)的值域,关键在于研究它的单调性。
解:设∵∴
在条件中,令y=-x,则(x)为奇函数,
∴ f(1)=-f(-1)=2,又f(-2)=2 f(-1)=-4, ∴ f(x)的值域为[-4,2]。 例2、已知函数f(x)对任意
,满足条件f(x)+f(y)=2 + f(x+y),且当x>0时,f(x)>2,f(3)=5,求不,即,∵当
,
,∴f(x)为增函数。
,再令x=y=0,则f(0)=2 f(0),∴ f(0)=0,故f(-x)=f(x),f
,∴
,
等式的解。
分析:由题设条件可猜测:f(x)是y=x+2的抽象函数,且f(x)为单调增函数,如果这一猜想正确,也就可以脱去不等式中的函数符号,从而可求得不等式的解。 解:设
,∵当
,
即
,∴f(x)为单调增函数。
∵
, 又∵f(3)=5,∴f(1)=3
。∴
,∴
,则
,∴
2、指数函数型抽象函数
, 即,解得不等式的解为-1 < a < 3。
例3、设函数f(x)的定义域是(-∞,+∞),满足条件:
存在成立。求:
(1)f(0); (2)对任意值x,判断f(x)值的正负。 分析:由题设可猜测f(x)是指数函数解:(1)令y=0代入
。若f(x)=0,则对任意
(2)令y=x≠0,则
,使得,对任何x和y,
的抽象函数,从而猜想f(0)=1且f(x)>0。 ,则
,∴
,这与题设矛盾,∴f(x)≠0,∴f(0)=1。
,有
,又由(1)知f(x)≠0,∴f(2x)>0,即f(x)>0,故对任意x,
f(x)>0恒成立。
例4、是否存在函数f(x),使下列三个条件:①f(x)>0,x ∈N;②时成立?若存在,求出f(x)的解析式,如不存在,说明理由。 分析:由题设可猜想存在(1)x=1时,∵
,又由f(2)=4可得a=2.故猜测存在函数
,用数学归纳法证明如下:
,结论正确。 ;③f(2)=4。同
,又∵x ∈N时,f(x)>0,∴
(2)假设结论正确。
综上所述,x为一切自然数时3、对数函数型抽象函数
对数函数型抽象函数,即由对数函数抽象而得到的函数。 例5、设f(x)是定义在(0,+∞)上的单调增函数,满足
(1)f(1);
(2)若f(x)+f(x-8)≤2,求x的取值范围。 分析:由题设可猜测f(x)是对数函数解:(1)∵(2
)即
的抽象函数,f(1)=0,f(9)=2。 ,∴f(1)=0。
,从而有f(x)+f(x-8)≤f(9),
,∵f(x)是(0,+∞)上的增函数,故
,求:
。 时有
,则x=k+1时,
,∴x=k+1时,
,解之得:8<x≤9。
例6、设函数y=f(x)的反函数是y=g(x)。如果f(ab)=f(a)+f(b),那么g(a+b)=g(a)·g(b)是否正确,试说明理由。
分析: 由题设条件可猜测y=f(x)是对数函数的抽象函数,又∵y=f(x)的反函数是y=g(x),∴y=g(x)必为指数函数的抽象函数,于是猜想g(a+b)=g(a)·g(b)正确。
解:设f(a)=m,f(b)=n,由于g(x)是f(x)的反函数,∴g(m)=a,g(n)=b
,从而
,∴g(m)·g(n)=g(m+n),以a、b分别代替上式中的m、n即得g(a
+b)=g(a)·g(b)。 4、三角函数型抽象函数
三角函数型抽象函数即由三角函数抽象而得到的函数。
例7、己知函数f(x)的定义域关于原点对称,且满足以下三条件:
①当是定义域中的数时,有;
②f(a)=-1(a>0,a是定义域中的一个数); ③当0<x<2a时,f(x)<0。
试问:(1)f(x)的奇偶性如何?说明理由。 (2)在(0,4a)上,f(x)的单调性如何?说明理由。 分析: 由题设知f(x)是
的抽象函数,从而由
及题设条件猜想:f(x)是奇函数且在(0,4a)上是增函数
(这里把a看成进行猜想)。
解:(1)∵f(x)的定义域关于原点对称,且
是定义域中的数时有
,∴在定义域中。∵
,
∴f(x)是奇函数。
(2)设0<x1<x2<2a,则0<x2-x1<2a,∵在(0,2a)上f(x)<0,
∴f(x1),f(x2),f(x2-x1
)均小于零,进而知(0,2a)上f(x)是增函数。
中的,于是f(x1)< f(x2),∴在
又
<x-2a<2a,
,∵f(a)=-1,∴,∴f(2a)=0,设2a<x<4a,则0
,于是f(x)>0,即在(2a,4a)上f(x)>0。设2a<x1<x2<4a,则0<x2
-x1<2a,从而知f(x1),f(x2)均大于零。f(x2-x1)<0,∵,∴,即
f(x1)<f(x2),即f(x)在(2a,4a)上也是增函数。综上所述,f(x)在(0,4a)上是增函数。
5、幂函数型抽象函数
幂函数型抽象函数,即由幂函数抽象而得到的函数。
例8、已知函数f(x)对任意实数x、y都有f(xy)=f(x)·f(y),且f(-1)=1,f(27)=9,当(1)判断f(x)的奇偶性;
(2)判断f(x)在[0,+∞)上的单调性,并给出证明; (3
)若
,求a的取值范围。
时,
。
分析:由题设可知f(x)是幂函数的抽象函数,从而可猜想f(x)是偶函数,且在[0,+∞)上是增函数。
解:(1)令y=-1,则f(-x)=f(x)·f(-1),∵f(-1)=1,∴
f(-x)=f(x),f(x)为偶函数。
(2)设,∴,,
∵时,,∴,∴f(x1)<f(x2),故f(x)在0,+∞)上是增函数。
,
(3)∵f(27)=9,又
∴,∴,∵,∴,
篇三:抽象函数习题精选精讲
含有函数记号“f(x)”有关问题解法
一、求表达式: 1.换元法:即用中间变量
例1:已知 f(
表示原自变量x的代数式,从而求出f(x)
x
)?2x?1,求f(x). x?1xuu2?u2?x?u,则x??1?解:设∴f(u)?2∴f(x)? x?11?u1?u1?u1?x
2.凑合法:在已知f(g(x))?h(x)的条件下,把h(x)并凑成以g(u)表示的代数式,再利用代换即可求f(x).
例2:已知f(x?)?x?
1
x
3
1
,求f(x) x3
2
解:∵f(x?)?(x?)(x?1?
1x1x111211)?(x?)((x?)?3)|x?|?|x|??1 又∵2xxxx|x|
∴f(x)?x(x2?3)?x3?3x,(|x|≥1)
3.待定系数法:先确定函数类型,设定函数关系式,由已知条件,定出关系式中的未知系数。
例3. 已知f(x)二次函数,且f(x?1)?f(x?1)?x2+2x+4,求f(x).
解:设f(x)=ax?bx?c,则f(x?1)?f(x?1)?a(x?1)2?b(x?1)?c?a(x?1)2?b(x?1)?c
2
?2(a?c)?4
13?
?a?,b?1,c?∴=2ax2?2bx?2(a?c)?x2?2x?4比较系数得?2a?1
22?2b?2
?f(x)?
123x?x? 22
4.利用函数性质法:主要利用函数的奇偶性,求分段函数的解析式. 例4.已知y=f(x)为奇函数,当 x>0时,f(x)?lg(x?1),求f(x)
解:∵f(x)为奇函数,∴f(x)的定义域关于原点对称,故先求x<0时的表达式。∵-x>0,∴
f(?x)?lg(?x?1)?lg(1?x),
∵f(x)为奇函数,∴lg(1?x)?f(?x)??f(x)∴当x<0时f(x)??lg(1?x)∴
?lg(1?x),x?0
f(x)??
?lg(1?x),x?0?
例5.一已知f(x)为偶函数,g(x)为奇函数,且有f(x)+g(x)?
1
, 求f(x),g(x). x?1
解:∵f(x)为偶函数,g(x)为奇函数,∴f(?x)?f(x),g(?x)??g(x),
1
???①中的x, x?111
∴f(?x)?g(?x)?即f(x)-g(x)????②
?x?1x?1
1x
显见①+②即可消去g(x),求出函数f(x)?2再代入①求出g(x)?2
x?1x?1
不妨用-x代换f(x)+g(x)=
5.赋值法:给自变量取特殊值,从而发现规律,求出f(x)的表达式
例6:设f(x)的定义域为自然数集,且满足条件f(x?1)?f(x)?f(y)?xy,及f(1)=1,求f(x) 解:∵f(x)的定义域为N,取y=1,则有f(x?1)?f(x)?x?1 ∵f(1)=1,∴f(2)=f(1)+2,f(3)?f(2)?3??f(n)?f(n?1)?n 以上各式相加,有f(n)=1+2+3+??+n=二、利用函数性质,解f(x)的有关问题 1.判断函数的奇偶性:
例7 已知f(x?y)?f(x?y)?2f(x)f(y),对一切实数x、y都成立,且f(0)?0,求证f(x)为偶函数。
证明:令x=0, 则已知等式变为f(y)?f(?y)?2f(0)f(y)??①
在①中令y=0则2f(0)=2f(0)∵ f(0)≠0∴f(0)=1∴f(y)?f(?y)?2f(y)∴f(?y)?f(y)∴f(x)为偶函数。
2.确定参数的取值范围
例8:奇函数f(x)在定义域(-1,1)内递减,求满足f(1?m)?f(1?m2)?0的实数m的取值范围。
2
解:由f(1?m)?f(1?m2)?0得f(1?m)??f(1?m2),∵f(x)为函数,∴f1(?m)?f(m1?)
n(n?1)1
∴f(x)?x(x?1),x?N 22
??1?1?m?1
?2
又∵f(x)在(-1,1)内递减,∴??1?m?1?1?0?m?1
?1?m?m2?1?
3.解不定式的有关题目
例9:如果f(x)=ax?bx?c对任意的t有f(2?t)?f2?t),比较f(1)、f(2)、f(4)的大小 解:对任意t有f(2?t)?f2?t)∴x=2为抛物线y=ax?bx?c的对称轴 又∵其开口向上∴f(2)最小,f(1)=f(3)∵在[2,+∞)上,f(x)为增函数 ∴f(3)<f(4),∴f(2)<f(1)<f(4)
五类抽象函数解法
1、线性函数型抽象函数
线性函数型抽象函数,是由线性函数抽象而得的函数。
2
2
例1、已知函数f(x)对任意实数x,y,均有f(x+y)=f(x)+f(y),且当x>0时,f(x)>0,f(-1)=-2,求f(x)在区间[-2,1]上的值域。 分析:由题设可知,函数f(x)是究它的单调性。 解:设∵∴
在条件中,令y=-x,则
,即,∵当
,
,∴f(x)为增函数。
,再令x=y=0,则f(0)=2 f(0),∴ f(0)=0,
,∴
,
的抽象函数,因此求函数f(x)的值域,关键在于研
故f(-x)=f(x),f(x)为奇函数,
∴ f(1)=-f(-1)=2,又f(-2)=2 f(-1)=-4, ∴ f(x)的值域为[-4,2]。 例2、已知函数f(x)对任意(x)>2,f(3)=5,求不等式
,满足条件f(x)+f(y)=2 + f(x+y),且当x>0时,f
的解。
分析:由题设条件可猜测:f(x)是y=x+2的抽象函数,且f(x)为单调增函数,如果这一猜想正确,也就可以脱去不等式中的函数符号,从而可求得不等式的解。 解:设
,∴
,则
,
即
,∴f(x)为单调增函数。
∵
, 又∵f(3)=5,∴f(1)
=3。∴
3。
2、指数函数型抽象函数
例3、设函数f(x)的定义域是(-∞,+∞),满足条件:存在何x和y,
成立。求:
,使得
,对任
,∴
, 即
,解得不等式的解为-1 < a <
,∵当
(1)f(0); (2)对任意值x,判断f(x)值的正负。 分析:由题设可猜测f(x)是指数函数解:(1)令y=0代入
。若f(x)=0,则对任意
≠0,∴f(0)=1。
的抽象函数,从而猜想f(0)=1且f(x)>0。 ,则
,有
,∴
,这与题设矛盾,∴f(x)
(2)令y=x≠0,则,又由(1)知f(x)≠0,∴f(2x)>0,即
f(x)>0,故对任意x,f(x)>0恒成立。
例4、是否存在函数f(x),使下列三个条件:①f(x)>0,x ∈N;②
③f(2)=4。同时成立?若存在,求出f(x)的解析式,如不存在,说明理由。 分析:由题设可猜想存在纳法证明如下: (1)x=1时,∵结论正确。 (2)假设
∴x=k+1时,结论正确。 综上所述,x为一切自然数时
。 时有
,则x=k+1时,
,
,又∵x ∈N时,f(x)>0,∴
,
,又由f(2)=4可得a=2.故猜测存在函数
,用数学归
;
3、对数函数型抽象函数
对数函数型抽象函数,即由对数函数抽象而得到的函数。 例5、设f(x)是定义在(0,+∞)上的单调增函数,满足
(1)f(1);
(2)若f(x)+f(x-8)≤2,求x的取值范围。 分析:由题设可猜测f(x)是对数函数解:(1)∵(2)即
的抽象函数,f(1)=0,f(9)=2。
,∴f(1)=0。
,从而有f(x)+f(x-8)≤f(9),
,∵f(x)是(0,+∞)上的增函数,故
,求:
,解之得:8<x≤9。
例6、设函数y=f(x)的反函数是y=g(x)。如果f(ab)=f(a)+f(b),那么g(a+b)=g(a)·g(b)是否正确,试说明理由。
分析: 由题设条件可猜测y=f(x)是对数函数的抽象函数,又∵y=f(x)的反函数是y=g(x),∴y=g(x)必为指数函数的抽象函数,于是猜想g(a+b)=g(a)·g(b)正确。
解:设f(a)=m,f(b)=n,由于g(x)是f(x)的反函数,∴g(m)=a,g(n)=b
,从而
,∴g(m)·g(n)=g(m+n),以a、b分别代替上
式中的m、n即得g(a+b)=g(a)·g(b)。 4、三角函数型抽象函数
三角函数型抽象函数即由三角函数抽象而得到的函数。
例7、己知函数f(x)的定义域关于原点对称,且满足以下三条件:
①当是定义域中的数时,有;
②f(a)=-1(a>0,a是定义域中的一个数); ③当0<x<2a时,f(x)<0。
试问:(1)f(x)的奇偶性如何?说明理由。
(2)在(0,4a)上,f(x)的单调性如何?说明理由。 分析: 由题设知f(x)是
的抽象函数,从而由
及题设条件猜想:f(x)是奇函数且
在(0,4a)上是增函数(这里把a看成进行猜想)。
是定义域中的数时有
解:(1)∵f(x)的定义域关于原点对称,且
,∴在定义域中。∵
,
∴f(x)是奇函数。
(2)设0<x1<x2<2a,则0<x2-x1<2a,∵在(0,2a)上f(x)<0,
∴f(x1),f(x2),f(x2-x1)均小于零,进而知< f(x2),∴在(0,2a)上f(x)是增函数。
中的,于是f(x1)
又
设2a<x<4a,则0<x-2a<2a,
,∵f(a)=-1,∴,∴f(2a)=0,
,于是f(x)>0,即在(2a,4a)上f(x)>0。设2a<
x1<x2<4a,则0<x2-x1<2a,从而知f(x1),f(x2)均大于零。f(x2-x1)<0
,∵
,∴,即
f(x1)<f(x2),即f(x)在(2a,4a)上也是增函数。综上所述,f(x)在(0,4a)上是增函数。
5、幂函数型抽象函数
幂函数型抽象函数,即由幂函数抽象而得到的函数。
例8、已知函数f(x)对任意实数x、y都有f(xy)=f(x)·f(y),且f(-1)=1,f(27)=9,
当
时,
。
(1)判断f(x)的奇偶性;
(2)判断f(x)在[0,+∞)上的单调性,并给出证明; (3)若
,求a的取值范围。
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