2018年湖北省孝感市中考数学试卷及答案解析

2018年湖北省孝感市中考数学试卷

一、精心选一选，相信自己的判断!（本大题10小题，每小题3分，共30分，在每小题出的四个选项中只有一项是符合题目求的，不涂，错涂或涂的代号超过一个，一律得0分）

1．（3分）﹣的倒数是（ ） A．4

B．﹣4 C． D．16

2．（3分）如图，直线AD∥BC，若∠1=42°，∠BAC=78°，则∠2的度数为（ ）

A．42° B．50° C．60° D．68°

3．（3分）下列某不等式组的解集在数轴上表示如图所示，则该不等式组是（ ）

A． B． C． D．

4．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，AC=8，则sinA等于（ ）

A． B． C． D．

5．（3分）下列说法正确的是（ ）

A．了解“孝感市初中生每天课外阅读书籍时间的情况”最适合的调查方式是全面调查

B．甲乙两人跳绳各10次，其成绩的平均数相等，S稳定

C．三张分别画有菱形，等边三角形，圆的卡片，从中随机抽取一张，恰好抽到

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甲

2

＞S

乙

2

，则甲的成绩比乙

中心对称图形卡片的概率是

D．“任意画一个三角形，其内角和是360°”这一事件是不可能事件 6．（3分）下列计算正确的是（ ） A．a﹣2÷a5=

B．（a+b）2=a2+b2 C．2+

=2

D．（a3）2=a5

7．（3分）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AC=10，BD=24，则菱形ABCD的周长为（ ）

A．52 B．48 C．40 D．20 8．（3分）已知x+y=4（ ） A．48 B．12

C．16 D．12

，x﹣y=

，则式子（x﹣y+

）（x+y﹣

）的值是

9．（3分）如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=3cm，BC=6cm，动点P从点A开始沿AB向点B以1cm/s的速度移动，动点Q从点B开始沿BC向点C以2cm/s的速度移动，若P，Q两点分别从A，B两点同时出发，P点到达B点运动停止，则△PBQ的面积S随出发时间t的函数关系图象大致是（ ）

A．

B． C．

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D．

10．（3分）如图，△ABC是等边三角形，△ABD是等腰直角三角形，∠BAD=90°，AE⊥BD于点E，连CD分别交AE，AB于点F，G，过点A作AH⊥CD交BD于点H．则下列结论：①∠ADC=15°；②AF=AG；③AH=DF；④△AFG∽△CBG；⑤AF=（

﹣1）EF．其中正确结论的个数为（ ）

A．5

B．4 C．3 D．2

二、细心填一填，试试自己的身手!（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．（3分）一年之中地球与太阳之间的距离随时间而变化，1个天文单位是地球与太阳的平均距离，即149600000千米，用科学记数法表示1个天文单位是 千米．

12．（3分）如图是一个几何体的三视图（图中尺寸单位：cm），根据图中数据计算，这个几何体的表面积为 cm2．

13．（3分）如图，抛物线y=ax2与直线y=bx+c的两个交点坐标分别为A（﹣2，4），B（1，1），则方程ax2=bx+c的解是 ．

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14．（3分）已知⊙O的半径为10cm，AB，CD是⊙O的两条弦，AB∥CD，AB=16cm，CD=12cm，则弦AB和CD之间的距离是 cm．

15．（3分）我国古代数学家杨辉发现了如图所示的三角形，我们称之为“杨辉三角”从图中取一列数：1，3，6，10，…，记a1=1，a2=3，a3=6，a4=10，…，那么a4+a11﹣2a10+10的值是 ．

16．（3分）如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的顶点A的坐标为（﹣l，1），点B在x轴正半轴上，点D在第三象限的双曲线y=上，过点C作CE∥x轴交双曲线于点E，连接BE，则△BCE的面积为 ．

三、用心做一做做，显显自己的能力!（本大题共8小题，满分72分） 17．（6分）计算：（﹣3）2+|﹣4|+

﹣4cos30°．

18．（8分）如图，B，E，C，F在一条直线上，已知AB∥DE，AC∥DF，BE=CF，连接AD．求证：四边形ABED是平行四边形．

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19．（9分）在孝感市关工委组织的“五好小公民”主题教育活动中，我市蓝天学校组织全校学生参加了“红旗队飘，引我成长”知识竞赛，赛后机抽取了部分参赛学生的成绩，按从高分到低分将成绩分成A，B，C，D，E五类，绘制成下面两个不完整的统计图：

根据上面提供的信息解答下列问题：

（1）D类所对应的圆心角是 度，样本中成绩的中位数落在 类中，并补全条形统计图；

（2）若A类含有2名男生和2名女生，随机选择2名学生担任校园广播“孝心伴我行”节目主持人，请用列表法或画树状图法求恰好抽到1名男生和1名女生的概率．

20．（7分）如图，△ABC中，AB=AC，小聪同学利用直尺和圆规完成了如下操作： ①作∠BAC的平分线AM交BC于点D；

②作边AB的垂直平分线EF，EF与AM相交于点P； ③连接PB，PC．

请你观察图形解答下列问题：

（1）线段PA，PB，PC之间的数量关系是 ； （2）若∠ABC=70°，求∠BPC的度数．

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【点评】此题主要考查了完全平方公式以及二次根式加减运算和幂的乘方运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．

7．（3分）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AC=10，BD=24，则菱形ABCD的周长为（ ）

A．52 B．48 C．40 D．20

【分析】由勾股定理即可求得AB的长，继而求得菱形ABCD的周长． 【解答】解：∵菱形ABCD中，BD=24，AC=10， ∴OB=12，OA=5， 在Rt△ABO中，AB=

=13，

∴菱形ABCD的周长=4AB=52， 故选：A．

【点评】此题考查了菱形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握菱形的性质，属于中考常考题型．

8．（3分）已知x+y=4（ ）

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，x﹣y=，则式子（x﹣y+）（x+y﹣）的值是

A．48 B．12 C．16 D．12

【分析】先通分算加法，再算乘法，最后代入求出即可． 【解答】解：（x﹣y+=

?

）（x+y﹣

）

=?

=（x+y）（x﹣y）， 当x+y=4故选：D．

【点评】本题考查了分式的混合运算和求值，能正确根据分式的运算法则进行化简是解此题的关键．

9．（3分）如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=3cm，BC=6cm，动点P从点A开始沿AB向点B以1cm/s的速度移动，动点Q从点B开始沿BC向点C以2cm/s的速度移动，若P，Q两点分别从A，B两点同时出发，P点到达B点运动停止，则△PBQ的面积S随出发时间t的函数关系图象大致是（ ）

，x﹣y=

时，原式=4

=12，

A． B． C． D．

【分析】根据题意表示出△PBQ的面积S与t的关系式，进而得出答案． 【解答】解：由题意可得：PB=3﹣t，BQ=2t， 则△PBQ的面积S=PB?BQ=（3﹣t）×2t=﹣t2+3t，

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故△PBQ的面积S随出发时间t的函数关系图象大致是二次函数图象，开口向下． 故选：C．

【点评】此题主要考查了动点问题的函数图象，正确得出函数关系式是解题关键．

10．（3分）如图，△ABC是等边三角形，△ABD是等腰直角三角形，∠BAD=90°，AE⊥BD于点E，连CD分别交AE，AB于点F，G，过点A作AH⊥CD交BD于点H．则下列结论：①∠ADC=15°；②AF=AG；③AH=DF；④△AFG∽△CBG；⑤AF=（

﹣1）EF．其中正确结论的个数为（ ）

A．5 B．4 C．3 D．2

【分析】①由等边三角形与等腰直角三角形知△CAD是等腰三角形且顶角∠CAD=150°，据此可判断；②求出∠AFP和∠FAG度数，从而得出∠AGF度数，据此可判断；③证△ADF≌△BAH即可判断；④由∠AFG=∠CBG=60°、∠AGF=∠CGB即可得证；⑤设PF=x，则AF=2x、AP=

=

x，设EF=a，由△ADF≌△

BAH知BH=AF=2x，根据△ABE是等腰直角三角形之BE=AE=a+2x，据此得出EH=a，证△PAF∽△EAH得

=

，从而得出a与x的关系即可判断．

【解答】解：∵△ABC为等边三角形，△ABD为等腰直角三角形， ∴∠BAC=60°、∠BAD=90°、AC=AB=AD，∠ADB=∠ABD=45°， ∴△CAD是等腰三角形，且顶角∠CAD=150°， ∴∠ADC=15°，故①正确； ∵AE⊥BD，即∠AED=90°， ∴∠DAE=45°，

∴∠AFG=∠ADC+∠DAE=60°，∠FAG=45°，

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∴∠AGF=75°，

由∠AFG≠∠AGF知AF≠AG，故②错误； 记AH与CD的交点为P，

由AH⊥CD且∠AFG=60°知∠FAP=30°， 则∠BAH=∠ADC=15°， 在△ADF和△BAH中， ∵

，

∴△ADF≌△BAH（ASA）， ∴DF=AH，故③正确；

∵∠AFG=∠CBG=60°，∠AGF=∠CGB， ∴△AFG∽△CBG，故④正确；

在Rt△APF中，设PF=x，则AF=2x、AP=设EF=a，

∵△ADF≌△BAH， ∴BH=AF=2x，

△ABE中，∵∠AEB=90°、∠ABE=45°， ∴BE=AE=AF+EF=a+2x， ∴EH=BE﹣BH=a+2x﹣2x=a，

∵∠APF=∠AEH=90°，∠FAP=∠HAE， ∴△PAF∽△EAH， ∴

=

，即=

，

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=x，

整理，得：2x2=（由x≠0得2x=（故选：B．

﹣1）ax， ﹣1）a，即AF=（

﹣1）EF，故⑤正确；

【点评】本题主要考查相似三角形的判定与性质，解题的关键是掌握等腰三角形与等边三角形的性质、全等三角形与相似三角形的判定与性质等知识点．

二、细心填一填，试试自己的身手!（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．（3分）一年之中地球与太阳之间的距离随时间而变化，1个天文单位是地球与太阳的平均距离，即149600000千米，用科学记数法表示1个天文单位是 1.496×108 千米．

【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．

【解答】解：149600000=1.496×108， 故答案为：1.496×108．

【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．

12．（3分）如图是一个几何体的三视图（图中尺寸单位：cm），根据图中数据计算，这个几何体的表面积为 16π cm2．

【分析】由主视图和左视图确定是柱体，锥体还是球体，再由俯视图确定具体形状，确定圆锥的母线长和底面半径，从而确定其表面积．

【解答】解：由主视图和左视图为三角形判断出是锥体，由俯视图是圆形可判断

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出这个几何体应该是圆锥；

根据三视图知：该圆锥的母线长为6cm，底面半径为2cm， 故表面积=πrl+πr2=π×2×6+π×22=16π（cm2）． 故答案为：16π．

【点评】考查学生对三视图掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对空间想象能力方面的考查．

13．（3分）如图，抛物线y=ax2与直线y=bx+c的两个交点坐标分别为A（﹣2，4），B（1，1），则方程ax2=bx+c的解是 x1=﹣2，x2=1 ．

【分析】根据二次函数图象与一次函数图象的交点问题得到方程组的解

为，

，于是易得关于x的方程ax2﹣bx﹣c=0的解．

【解答】解：∵抛物线y=ax2与直线y=bx+c的两个交点坐标分别为A（﹣2，4），B（1，1）， ∴方程组

的解为

，

，

即关于x的方程ax2﹣bx﹣c=0的解为x1=﹣2，x2=1． 所以方程ax2=bx+c的解是x1=﹣2，x2=1 故答案为x1=﹣2，x2=1．

【点评】本题考查抛物线与x轴交点、一次函数的应用、一元二次方程等知识，解题的关键是灵活运用所学知识，学会利用图象法解决实际问题，属于中考常考题型．

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14．（3分）已知⊙O的半径为10cm，AB，CD是⊙O的两条弦，AB∥CD，AB=16cm，CD=12cm，则弦AB和CD之间的距离是 2或14 cm．

【分析】分两种情况进行讨论：①弦AB和CD在圆心同侧；②弦AB和CD在圆心异侧；作出半径和弦心距，利用勾股定理和垂径定理求解即可，小心别漏解． 【解答】解：①当弦AB和CD在圆心同侧时，如图， ∵AB=16cm，CD=12cm， ∴AE=8cm，CF=6cm， ∵OA=OC=10cm， ∴EO=6cm，OF=8cm， ∴EF=OF﹣OE=2cm；

②当弦AB和CD在圆心异侧时，如图， ∵AB=16cm，CD=12cm， ∴AF=8cm，CE=6cm， ∵OA=OC=10cm， ∴OF=6cm，OE=8cm， ∴EF=OF+OE=14cm．

∴AB与CD之间的距离为14cm或2cm． 故答案为：2或14．

【点评】本题考查了勾股定理和垂径定理的应用．此题难度适中，解题的关键是注意掌握数形结合思想与分类讨论思想的应用，小心别漏解．

15．（3分）我国古代数学家杨辉发现了如图所示的三角形，我们称之为“杨辉三角”从图中取一列数：1，3，6，10，…，记a1=1，a2=3，a3=6，a4=10，…，那么a4+a11﹣2a10+10的值是 ﹣24 ．

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【分析】由已知数列得出an=1+2+3+…+n=算可得．

，再求出a10、a11的值，代入计

【解答】解：由a1=1，a2=3，a3=6，a4=10，…，知an=1+2+3+…+n=∴a10=

=55、a11=

=66，

，

则a4+a11﹣2a10+10=10+66﹣2×55+10=﹣24， 故答案为：﹣24．

【点评】本题主要考查数字的变化规律，解题的关键是根据已知数列得出an=1+2+3+…+n=

16．（3分）如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的顶点A的坐标为（﹣l，1），点B在x轴正半轴上，点D在第三象限的双曲线y=上，过点C作CE∥x轴交双曲线于点E，连接BE，则△BCE的面积为 7 ．

．

【分析】作辅助线，构建全等三角形：过D作GH⊥x轴，过A作AG⊥GH，过B作BM⊥HC于M，证明△AGD≌△DHC≌△CMB，根据点D的坐标表示：AG=DH=﹣x﹣1，由DG=BM，列方程可得x的值，表示D和E的坐标，根据三角形面积公式可得结论．

【解答】解：过D作GH⊥x轴，过A作AG⊥GH，过B作BM⊥HC于M，

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设D（x，），

∵四边形ABCD是正方形， ∴AD=CD=BC，∠ADC=∠DCB=90°， 易得△AGD≌△DHC≌△CMB， ∴AG=DH=﹣x﹣1， ∴DG=BM，

∴1﹣=﹣1﹣x﹣， x=﹣2，

∴D（﹣2，﹣3），CH=DG=BM=1﹣∵AG=DH=﹣1﹣x=1， ∴点E的纵坐标为﹣4， 当y=﹣4时，x=﹣， ∴E（﹣，﹣4）， ∴EH=2﹣=，

∴CE=CH﹣HE=4﹣=， ∴S△CEB=CE?BM=××4=7； 故答案为：7．

=4，

【点评】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质、反比例函数的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会构建方程解决问题，属于中考填空题的压轴题．

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三、用心做一做做，显显自己的能力!（本大题共8小题，满分72分） 17．（6分）计算：（﹣3）2+|﹣4|+

﹣4cos30°．

【分析】直接利用二次根式的性质以及特殊角的三角函数值、绝对值的性质进而化简得出答案．

【解答】解：原式=9+4+2=13+2=13．

【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．

18．（8分）如图，B，E，C，F在一条直线上，已知AB∥DE，AC∥DF，BE=CF，连接AD．求证：四边形ABED是平行四边形．

﹣2

﹣4×

【分析】由AB∥DE、AC∥DF利用平行线的性质可得出∠B=∠DEF、∠ACB=∠F，由BE=CF可得出BC=EF，进而可证出△ABC≌△DEF（ASA），根据全等三角形的性质可得出AB=DE，再结合AB∥DE，即可证出四边形ABED是平行四边形． 【解答】证明：∵AB∥DE，AC∥DF， ∴∠B=∠DEF，∠ACB=∠F． ∵BE=CF， ∴BE+CE=CF+CE， ∴BC=EF．

在△ABC和△DEF中，∴△ABC≌△DEF（ASA）， ∴AB=DE． 又∵AB∥DE，

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，

∴四边形ABED是平行四边形．

【点评】本题考查了平行线的性质、平行四边形的判定以及全等三角形的判定与性质，利用全等三角形的性质找出AB=DE是解题的关键．

19．（9分）在孝感市关工委组织的“五好小公民”主题教育活动中，我市蓝天学校组织全校学生参加了“红旗队飘，引我成长”知识竞赛，赛后机抽取了部分参赛学生的成绩，按从高分到低分将成绩分成A，B，C，D，E五类，绘制成下面两个不完整的统计图：

根据上面提供的信息解答下列问题：

（1）D类所对应的圆心角是 72 度，样本中成绩的中位数落在 C 类中，并补全条形统计图；

（2）若A类含有2名男生和2名女生，随机选择2名学生担任校园广播“孝心伴我行”节目主持人，请用列表法或画树状图法求恰好抽到1名男生和1名女生的概率．

【分析】（1）首先用C类别的学生人数除以C类别的人数占的百分率，求出共有多少名学生；然后根据B类别百分比求得其人数，由各类别人数和等于总人数求得D的人数，最后用360°乘以样本中D类别人数所占比例可得其圆心角度数，根据中位数定义求得答案．

（3）若A等级的4名学生中有2名男生2名女生，现从中任意选取2名担任校园广播“孝心伴我行”节目主持人，应用列表法的方法，求出恰好选到1名男生和1名女生的概率是多少即可．

【解答】解：（1）∵被调查的总人数为30÷30%=100人， 则B类别人数为100×40%=40人，

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所以D类别人数为100﹣（4+40+30+6）=20人， 则D类所对应的圆心角是360°×而第50、51个数据均落在C类， 所以中位数落在C类， 补全条形图如下：

=72°，中位数是第50、51个数据的平均数，

（2）列表为：

男1 ﹣﹣ 男1男2 男2 女1 女2 男1 男2 女1 女2 男2男1 女1男1 女2男1 ﹣﹣ 女1男2 女2男2 ﹣﹣ 女2女1 ﹣﹣ 男1女1 男2女1 男1女2 男2女2 女1女2 由上表可知，从4名学生中任意选取2名学生共有12种等可能结果，其中恰好选到1名男生和1名女生的结果有8种， ∴恰好选到1名男生和1名女生的概率为

=．

【点评】此题考查了扇形统计图、条形统计图和列表法求概率，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．

20．（7分）如图，△ABC中，AB=AC，小聪同学利用直尺和圆规完成了如下操作： ①作∠BAC的平分线AM交BC于点D；

②作边AB的垂直平分线EF，EF与AM相交于点P； ③连接PB，PC．

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请你观察图形解答下列问题：

（1）线段PA，PB，PC之间的数量关系是 PA=PB=PC ； （2）若∠ABC=70°，求∠BPC的度数．

【分析】（1）根据线段的垂直平分线的性质可得：PA=PB=PC；

（2）根据等腰三角形的性质得：∠ABC=∠ACB=70°，由三角形的内角和得：∠BAC=180°﹣2×70°=40°，由角平分线定义得：∠BAD=∠CAD=20°，最后利用三角形外角的性质可得结论．

【解答】解：（1）如图，PA=PB=PC，理由是： ∵AB=AC，AM平分∠BAC， ∴AD是BC的垂直平分线， ∴PB=PC，

∵EP是AB的垂直平分线， ∴PA=PB， ∴PA=PB=PC；

故答案为：PA=PB=PC；

（2）∵AB=AC， ∴∠ABC=∠ACB=70°， ∴∠BAC=180°﹣2×70°=40°， ∵AM平分∠BAC， ∴∠BAD=∠CAD=20°， ∵PA=PB=PC，

∴∠ABP=∠BAP=∠ACP=20°，

∴∠BPC=∠ABP+∠BAC+∠ACP=20°+40°+20°=80°．

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【点评】本题考查了角平分线和线段垂直平分线的基本作图、等腰三角形的三线合一的性质、三角形的外角性质、线段的垂直平分线的性质，熟练掌握线段的垂直平分线的性质是关键．

21．（9分）已知关于x的一元二次方程（x﹣3）（x﹣2）=p（p+1）． （1）试证明：无论p取何值此方程总有两个实数根；

（2）若原方程的两根x1，x2，满足x12+x22﹣x1x2=3p2+1，求p的值．

【分析】（1）将原方程变形为一般式，根据方程的系数结合根的判别式，即可得出△=（2p+1）2≥0，由此即可证出：无论p取何值此方程总有两个实数根； （2）根据根与系数的关系可得出x1+x2=5、x1x2=6﹣p2﹣p，结合x12+x22﹣x1x2=3p2+1，即可求出p值．

【解答】解：（1）证明：原方程可变形为x2﹣5x+6﹣p2﹣p=0．

∵△=（﹣5）2﹣4（6﹣p2﹣p）=25﹣24+4p2+4p=4p2+4p+1=（2p+1）2≥0， ∴无论p取何值此方程总有两个实数根； （2）∵原方程的两根为x1、x2， ∴x1+x2=5，x1x2=6﹣p2﹣p． 又∵x12+x22﹣x1x2=3p2+1， ∴（x1+x2）2﹣3x1x2=3p2+1， ∴52﹣3（6﹣p2﹣p）=3p2+1， ∴25﹣18+3p2+3p=3p2+1， ∴3p=﹣6， ∴p=﹣2．

【点评】本题考查了根与系数的关系以及根的判别式，解题的关键是：（1）牢记“当△≥0时，方程有两个实数根”；（2）根据根与系数的关系结合x12+x22﹣x1x2=3p2+1，求出p值．

22．（10分）“绿水青山就是金山银山”，随着生活水平的提高，人们对饮水品质的需求越来越高，孝感市槐荫公司根据市场需求代理A，B两种型号的净水器，每台A型净水器比每台B型净水器进价多200元，用5万元购进A型净水器与

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用4.5万元购进B型净水器的数量相等．

（1）求每台A型、B型净水器的进价各是多少元？

（2）槐荫公司计划购进A，B两种型号的净水器共50台进行试销，其中A型净水器为x台，购买资金不超过9.8万元．试销时A型净水器每台售价2500元，B型净水器每台售价2180元，槐荫公司决定从销售A型净水器的利润中按每台捐献a（70＜a＜80）元作为公司帮扶贫困村饮水改造资金，设槐荫公司售完50台净水器并捐献扶贫资金后获得的利润为W，求W的最大值．

【分析】（1）设A型净水器每台的进价为m元，则B型净水器每台的进价为（m﹣200）元，根据数量=总价÷单价结合用5万元购进A型净水器与用4.5万元购进B型净水器的数量相等，即可得出关于m的分式方程，解之经检验后即可得出结论；

（2）根据购买资金=A型净水器的进价×购进数量+B型净水器的进价×购进数量结合购买资金不超过9.8万元，即可得出关于x的一元一次不等式，解之即可得出x的取值范围，由总利润=每台A型净水器的利润×购进数量+每台B型净水器的利润×购进数量﹣a×购进A型净水器的数量，即可得出W关于x的函数关系式，再利用一次函数的性质即可解决最值问题．

【解答】解：（1）设A型净水器每台的进价为m元，则B型净水器每台的进价为（m﹣200）元， 根据题意得：解得：m=2000，

经检验，m=2000是分式方程的解， ∴m﹣200=1800．

答：A型净水器每台的进价为2000元，B型净水器每台的进价为1800元． （2）根据题意得：2000x+180（50﹣x）≤98000， 解得：x≤40．

W=（2500﹣2000）x+（2180﹣1800）（50﹣x）﹣ax=（120﹣a）x+19000， ∵当70＜a＜80时，120﹣a＞0， ∴W随x增大而增大，

∴当x=40时，W取最大值，最大值为（120﹣a）×40+19000=23800﹣40a，

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=，

∴W的最大值是（23800﹣40a）元．

【点评】本题考查了分式方程的应用、一次函数的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，找出W关于x的函数关系式．

23．（10分）如图，△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，交AC于点E，过点D作DF⊥AC于点F，交AB的延长线于点G． （1）求证：DF是⊙O的切线； （2）已知BD=2

，CF=2，求AE和BG的长．

【分析】（1）连接OD，AD，由圆周角定理可得AD⊥BC，结合等腰三角形的性质知BD=CD，再根据OA=OB知OD∥AC，从而由DG⊥AC可得OD⊥FG，即可得证；

（2）连接BE．BE∥GF，推出△AEB∽△AFG，可得解决问题；

【解答】解：（1）连接OD，AD， ∵AB为⊙O的直径， ∴∠ADB=90°，即AD⊥BC， ∵AB=AC， ∴BD=CD， 又∵OA=OB， ∴OD∥AC， ∵DG⊥AC， ∴OD⊥FG，

∴直线FG与⊙O相切；

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=，由此构建方程即可

（2）连接BE．∵BD=2∴∵CF=2， ∴DF=∴BE=2DF=8， ∵cos∠C=cos∠ABC， ∴∴

==，

，

=4， ，

，

∴AB=10， ∴AE=

=6，

∵BE⊥AC，DF⊥AC， ∴BE∥GF， ∴△AEB∽△AFG， ∴∴∴BG=

=

， =．

，

【点评】本题主要考查圆的切线的判定、圆周角定理、相似三角形的判定与性质及中位线定理等知识点，熟练掌握圆周角定理和相似三角形的判定与性质是解题的关键．

24．（13分）如图1，在平面直角坐标系xOy中，已知点A和点B的坐标分别为

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A（﹣2，0），B（0，﹣6），将Rt△AOB绕点O按顺时针方向分别旋转90°，180°得到Rt△A1OC，Rt△EOF．抛物线C1经过点C，A，B；抛物线C2经过点C，E，F．

（1）点C的坐标为 （﹣6，0） ，点E的坐标为 （2，0） ；抛物线C1的解析式为 y=﹣

．抛物线C2的解析式为 y=﹣

；

（2）如果点P（x，y）是直线BC上方抛物线C1上的一个动点． ①若∠PCA=∠ABO时，求P点的坐标；

②如图2，过点P作x轴的垂线交直线BC于点M，交抛物线C2于点N，记h=PM+NM+围．

【分析】（1）根据旋转的性质，可得C，E，F的坐标，根据待定系数法法求解析式；

（2）①根据P点直线CA或其关于x轴对称直线与抛物线交点坐标，求出解析式，联立方程组求解；

②根据图象上的点满足函数解析式，可得P、N、M纵坐标，根据平行于y轴直线上两点间的距离是较大的较大的纵坐标间较小的纵坐标，可得二次函数，根据x取值范围讨论h范围．

【解答】解：（1）由旋转可知，OC=6，OE=2， 则点C坐标为（﹣6，0），E点坐标为（2，0）， 分别利用待定系数法求C1解析式为：y=﹣

，

BM，求h与x的函数关系式，当﹣5≤x≤﹣2时，求h的取值范

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C2解析式为：y=﹣

故答案为：（﹣6，0），（2，0），y=﹣，y=﹣

（2）①若点P在x轴上方，∠PCA=∠ABO时，则CA1与抛物线C1的交点即为点P

设直线CA1的解析式为：y=k1x+b1 ∴

解得

∴直线CA1的解析式为：y=x+2

联立：

解得或

根据题意，P点坐标为（﹣）；

若点P在x轴下方，∠PCA=∠ABO时，则CA1关于x轴对称的直线CA2与抛物线C1的交点即为点P

设直线CA2解析式为y=k2x+b2 ∴

解得

∴直线CA2的解析式为：y=﹣x﹣2

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联立

解得或

由题意，点P坐标为（﹣∴符合条件的点P为（﹣

） ）或（﹣

）

②设直线BC的解析式为：y=kx+b ∴解得

∴设直线BC的解析式为：y=﹣x﹣6

过点B做BD⊥MN于点D，如图则BM=∴

，

BM=2BD=2|x|=﹣2x．

=（yP﹣yM）+（yN﹣yM）+2|x|=yP﹣yM+yN﹣yM﹣2x

h=PM+NM+

=[﹣x2﹣4x﹣6﹣（﹣x﹣6）]+[﹣x2+6﹣（﹣x﹣6）]+（﹣2x） =﹣x2﹣6x+12 ∴h=﹣（x+3）2+21

当x=﹣3时，h的最大值为21 ∵﹣5≤x≤﹣2

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∴当x=﹣5时，h=﹣（﹣5+3）2+21=17 当x=﹣2时，h=﹣（﹣2+3）2+21=20 ∴h的取值范围是：17≤h≤21

【点评】本题考查二次函数综合题，解（1）的关键是利用旋转的性质得出C，E的坐标，又利用了待定系数法；解（2）①的关键是利用解方程组，要分类讨论，以防遗漏；解（2）②的关键是利用平行于y轴直线上两点间的距离是较大的较大的纵坐标间较小的纵坐标得出二次函数，又利用了二次函数的性质．

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∴当x=﹣5时，h=﹣（﹣5+3）2+21=17 当x=﹣2时，h=﹣（﹣2+3）2+21=20 ∴h的取值范围是：17≤h≤21

【点评】本题考查二次函数综合题，解（1）的关键是利用旋转的性质得出C，E的坐标，又利用了待定系数法；解（2）①的关键是利用解方程组，要分类讨论，以防遗漏；解（2）②的关键是利用平行于y轴直线上两点间的距离是较大的较大的纵坐标间较小的纵坐标得出二次函数，又利用了二次函数的性质．

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