考前30天之备战2012高考冲刺押题系列一三角与向量（理数）

【命题趋势】：三角函数与平面向量在高考中的题量大致是三小一大，总分值约为26分，从近几年的高考来看，三角函数小题的命题热点有三：①利用诱导公式、同角三角函数的基本关系及特殊角的三角函数值的求值问题，为容易题；②利用两角和与差的三角函数公式求值或化简三角函数式后求周期、单调区间，一般为中档题；③三角函数的图象和性质的综合应用，一般为中档偏难题．平面向量的命题热点有三：①向量的坐标运算，多为容易题；②向量的几何运算，一般为中档题；③向量与函数、三角函数、不等式的综合题，一般为中档偏难题．三角函数与平面向量相综合的题目的命题热点有三：①应用正余弦定理及三角公式解三角形；②三角函数的图象与性质，可能结合向量与三角公式进行考查；③三角函数求值和应用题． 【方法与技巧】

【高考冲刺押题】

【押题1】已知函数f(x)?5sinxcosx?53cos2x（其中x?R)，求：①函数f(x)的

最小正周期； ②函数f(x)的单调递减区间；③函数f(x)图像的对称轴。 【押题指数】★★★★★ 【解析】∵f(x)?51?cos2x55353sin2x?53=sin2x? cos2x?22222 =5(sin2x?12353?53=5sin(2x?)?， cos2x)?2232 ①f(x)最小正周期T??；

3?5?11?,k?Z，得k???x?k??,k?Z；

2321212??k?5??(k?Z)。 ③由2x??k??(k?Z)，得f(x)的对称轴为x?32212②由2k????2x???2k??【押题2】已知函数f(x)?2cos2x?23sinxcosx?1.（1）求f(x)的周期和单调递增区间；

（2）说明f(x)的图象可由y?sinx的图象经过怎样变化得到. 【押题指数】★★★★★

【押题3】已知函数f(x)?(sin2x?cos2x)?2sin2x.（Ⅰ）求f(x)的最小正周期；（Ⅱ）若函数y?g(x)的图象是由y?f(x)的图象向右平移长度得到的，当x?[0,

22?个单位长度，再向上平移1个单位8?]时，求y?g(x)的最大值和最小值. 4【押题指数】★★★★★

【解析】（Ⅰ）因为f(x)?(sin2x?cos2x)?2sin2x

22

??sin4x?cos4x?2sin(4x?) ,…6分

4?所以函数f(x)的最小正周期为.…………8分

2??? （Ⅱ）依题意,y?g(x)?2sin[4(x?)?]?1?2sin(4x?)?1.…10分

844???3???3?，所以??4x??.…11分当4x??，即x?时，g(x)取44444216??最大值2?1；当4x???，即x?0时， g(x)取最小值0.………13分

44 因为0?x?【押题4】已知函数f(x)?cos(x?). （Ⅰ）若f(?)?π472，求sin2?的值； 10（II）设g(x)?f?x??f?x?【押题指数】★★★★★

?????ππ?，求函数在区间g(x)?,?上的最大值和最小值 ??2??63?【押题5】已知函数f(x)?sin(2x?)?sin(2x?)?cos2x?a（a?R,a为常数）. 66（1）求函数f(x)的单调增区间；（2）若函数f(x)的图像向左平移m(m?0)个单位后，得到函数g(x)的图像关于y轴对称，求实数m的最小值. 【押题指数】★★★★★ 【解析】（1）

??

f(x)?sin(2x?)?sin(2x?)?cos2x?a?3sin2x?cos2x?a?2sin(2x?)?a.…3分

666???当2k???2?2x??6?2k???2(k?Z)，即k???6?x?k???3(k?Z)时，

函数f(x)单调递增，故所求区间为[k???,k??](k?Z).…………6分

63?（2）函数f(x)的图像向左平移m(m?0)个单位后得g(x)?2sin[2(x?m)?]?a，

6要使g(x)的图像关于y轴对称，只需2m?即m???6?k???2(K?Z)…………9分

k????(k?Z)，所以m的最小值为.……………12分 233【押题6】已知?ABC的三个内角A， B，C所对的边分别是a,b，c，

tanA?tanB ?3?3tanAtanB,a?2,c?19. （Ⅰ）求tan(A?B)的值；（Ⅱ）求?ABC的面积.

【押题7】已知函数f(x)?(sinx?cosx)2?23cos2x,x?R（Ⅰ）求函数f(x)的最小正周期及其单调递减区间；（Ⅱ）在锐角△ABC中，a,b,c分别为角A,B,C所对的边，又a =2，f(A)?1?3， b c =【押题指数】★★★★★

【解析】（Ⅰ）f(x)?(sinx?cosx)2?23cos2x

5,求△ABC的周长. 3?sin2x?cos2x?2sinx?cosx?3(1?cos2x)-------2分

?1?3?(sin2x?3cos2x)?1?3?2sin(2x?所以函数f(x)的周期为?.-----5分

?3) ------------4分

由2k???7?3??x?k?? ，k?Z解得 k?? ，

2321212?7?,k??](k?Z).----------7分 故函数f(x)的单调减区间是[k??1212??2x???2k??（Ⅱ）在锐角?ABC中，a,b,c分别为角A,B,C所对的边，

f(A)?1?3 ?1?3?2sin(2A?因为0?A??3)， 则sin(2A??3)?0,

???4???,所以?2A??， 所以2A???. 则A?. ----10分

332333 又 a =2， 由余弦定理a2?b2?c2?2bccosA，得4?(b?c)2?2bc?2bccosA, 因为bc?5，所以b?c?3， 则 ?ABC的周长等于5. --13分 3??????xx2x【押题9】已知向量m?(cos,?1),n?(3sin,cos)，设函数f(x)?m?n＋1（1）

222?11若x?[0,]， f(x)?,求cosx的值；（2）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a,b,c，

210且满足2bcosA?2c?3a，求f(x)的取值范围．

【押题指数】★★★★★

【押题10】已知函数f(x)=sinx+sin(x-?).（Ⅰ）求f(x)的单调递增区间；（Ⅱ）3在?ABC中，角A，B， C的对边分别为a,b,c. 已知f(A)=3，a=23b，试判断

?ABC的形状.

【押题指数】★★★★★

【解析】（Ⅰ）f(x)=sinx+sin(x-?13) =sinx+sinx-cosx………2分

32233=sinx-cosx =22由2k?-骣31÷÷3?sinx-cosx =?÷?÷?2桫23sin(x-?)…4分 6????2?

62262（Ⅱ）因为 f(A)=

??5?b，A=，所以 B=.所以 C=所以 ?ABC为直角三角形.……13分

362因为 0

2、已知△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c，且cosA?25310，cosB?． 510（Ⅰ）求cos?A?B?的值；（Ⅱ）设a?10，求△ABC的面积． 【试题出处】北京市房山区2012年高三第一次模拟试题高三数学 【解析】（Ⅰ）∵A,B,C为?ABC的内角，且，cosA?25310，cosB? 510?25?5??∴sinA?1?cos2A?1???

??5?5?2

2?310?10?? …………4分 sinB?1?cos2B?1???10?10??∴cos?A?B??AcosB?cosAsinB ?253105102 ………7分 ????5105102（Ⅱ）由（I）知，A?B?45?∴C?135? 8分

10sinBab?10?10?5 …11分 ?∵a?10，由正弦定理得 b?a?sinAsinBsinA55∴S?ABC?1125absinC??10?5?? …………13分 2222??????3、已知向量m=(2cosωx，-1)，n =(sinωx-cosωx，2)，函数f(x)= m·n+3的周期

为π.(Ⅰ) 求正数ω；(Ⅱ) 若函数f(x)的图像向左平移

π，再横坐标不变，纵坐标伸长8到原来的2倍，得到函数g(x)的图像，求函数g(x)的单调增区间.

2sin2A?cos2A?2. (1)求∠A的大小；4、设锐角△ABC中，(2)求y?2sin2B?sin(2B??6)取最大值时，∠ B的大小.

【试题出处】云南省宣威市2012届高三第二次调研统一模拟考试理科数学试题

2

12【解析】(1)∵2sinA-cos2A=2 ∴cos2A=- ∴A=(2)y=2sinB+sin(2B+

432

?………(6分) 3??)=1+sin(2B-) ………(10分) 66?? ?=即B=时，ymax=2 …………(12分) 623 ∵0<2B

5、在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且asinB?bcosC?ccosB． （Ⅰ）判断△ABC的形状；（Ⅱ）若f(x)?121cos2x?cosx?，求f(A)的取值范围． 232（Ⅱ）因为f(x)?1212cos2x?cosx??cos2x?cosx …8分 2323121121 =(cosx?)?．……10分所以 f(A)?(cosA?)?．

3939??因为△ABC是B?的直角三角形，所以 0?A?，且0?cosA?1，……11分

221111所以 当cosA?时，f(A)有最小值是?．…12分所以f(A)的取值范围是[?,)…

399313分

6、在?ABC中，角A，B，C的对边分别为a,b,c，且A，B， C成等差数列.（Ⅰ）若b=13，a=3，求c的值；（Ⅱ）设t?sinAsinC，求t的最大值.

【试题出处】2012年北京市海淀区高三一模理科数学

【解析】（Ⅰ）因为A,B,C成等差数列， 所以2B?A?C. 因为A?B?C??，

所以B?2?222.……2分 因为b=13，a=3，b?a?c?2accosB， 3所以c?3c?4?0.…5分所以c?4或c??1（舍去）.…………6分 （Ⅱ）因为A?C?22?31?，所以t?sinAsin(?A)?sinA(cosA?sinA) 3322?11?2?311?cos2Asin2A?()??sin(2A?).……10分 因为0?A?，

4263422??7????3?2A?? 所以当2A??，即A?时，t有最大值.…13分

4666623所以?????ABCA7、在△中，已知sin(A?B)?sinB?sin(A?B)．（Ⅰ）求角； （Ⅱ）若|BC|?7，

????????AB?AC?20，求|AB?AC|．

【试题出处】2012年北京市西城区高三一模理科数学

8、已知函数f(x)?sin(?4?x)sin(??x)?3sinxcosx(x?R)求f()的值；在?ABC46?中，若f()?1，求sinB?sinC的最大值

?2【试题出处】江苏省苏北四市（徐、淮、连、宿）高三3月联考试题数学Ⅰ

【解析】⑴f(x)?sin(ππ13?x)sin(?x)?3sinxcosx?cos2x?sin2x……2分 4422ππ?sin(2x?)，……4分所以f()=1………6分

66AAππππsin(A?)1?，⑵由f()?1，有f()? 因为0?A?π，所以A??，即A?. 8分

226623sinB?sinC?sinB?sin(因为0?B?2π33π?B) =sinB?cosB?3sin(B?). ……12分 32232ππππ，所以?B??π，0?sin(B?)≤1，所以sinB?sinC的最大值3333为3…14分

9、已知函数f(x)?sin(?x??3)?3cos(?x??3)（??0）的最小正周期为?．⑴求

f(7?)的值；⑵若?ABC满足f(C)?f(B?A)?2f(A)，证明： ?ABC是直角三角形． 12

【试题出处】广东省江门市2012年普通高中高三第一次模拟测试数学（理科）

11、已知函数y?sin2x?2sinxcosx?3cos2x.若sinx?若tanx?1，求y的值． 23，且x为第一象限角，求y的值；5【试题出处】重庆市西南大学附属中学2012届高三第二次月考数学试题 【解析】(1) x为第一象限角，sinx?3344816分 y?()2?2???3?()2?55552534 ∴ cosx?，代入函数55sin2x?2sinxcosx?3cos2xtan2x?2tanx?3(2) y?10?222sinx?cosxtanx?1分∵ tanx?1 ∴ 2

1()2?1?317y?2?13分

15()2?1212、在锐角三角形ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C所对的边，且满足

????????3a?2bsinA?0．（Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）若b?7，c?2，求AB?AC的值．

【试题出处】北京市朝阳区2012届高三上学期期末考试数学试题

13、已知函数f(x)?23sinxcosx?2cosx?2. （ I）求f(x)的单调递增区问；（Ⅱ）若f(x)?m?2对一切x∈[0，

2?]均成立，求实数m的取值范围． 2【试题出处】湖北省武昌区2012届高三年级元月调研测试数学试题 【解析】f(x)?（Ⅰ）由?3sin2x?cos2x?1?2sin(2x??6)?1．

?2?2k??2x??6??2?2k?，解得??6?k??x??3?k?,k?Z．

所以，f(x)的递增区间为[??6?k?,?3?k?],k?Z． …………………（5分）

（Ⅱ）由f(x)?m?2，得m?2?f?x?对一切x?[0,?2]均成立．

???5?1??x?[0,], ?2x??[?,]．???sin(2x?)?1, ?0?f(x)?3.

266626

?m?2?3，?m?1．所以实数m的取值范围范围为?1,???．……（12分）

（3）?f(x)?1?sin又

?2x?f(1)?f(2)?f(3)?f(4)?2?1?0?1?4.

周

期

为

4

，

?y?f(x)的

2012?4?503，

?f(1)?f(2)?????f(2012)?4?503?2012.

15、已知函数f(x)?Asin(?x??)(A?0,??0,???2)的图像与y轴的交点为(0,1)，在

y轴右侧的第一个最高点和第一个最低点的坐标分别为(x0,2)和(x0?2?,?2)。 (Ⅰ)求f(x)的解析式及x0值；(Ⅱ)若锐角?满足cos??1求f(4?)的值 3【试题出处】山东省德州市2012届高三上学期期末考试数学试题 【解析】（Ⅰ）由题意可得：

A?2,T2?11?2?,即?4????f(x)?2sin(x??)， 2?221?f(x)?2sin(x?)26261?1??2?f(x0)?2sin(x0?)?2所以x0??2k??，x0?4k??(k?Z)

2626232?又?x0是最小的正数，?x0?；

3f(0)?2sin??1,由???得

???，所以，

（Ⅱ）

f(4?)?2sin(2????122)?3sin2??cos2????(0,),cos(?)??sin??， 6233742cos2??2cos2??1??,sin2??2sin?cos??99?f(4?)?3?42746?7 ??999

(Ⅱ) ∵f??????????10????????2sin?2??????2sin?????2cos??

2?13?212????212?3?5, (7分) 132即cos??12?5?2∵????0，∴sin???1?cos???1?????

213?13?? （9分）

3??∴cos???4?分）

3?3?5?2?122172?????????cos?cos?sin?sin（12?????1321322644???

17、如图，为了解某海域海底构造，在海平面内一条直线上的A，B，C

三点进行测量，已知AB?50m，BC?120m，于A处测得水深

AD?80m，于B处测得水深BE?200m，于C处测得水深CF?110m，求∠DEF的余弦值。

【试题出处】2012年浙江高考适应性考试试题 【解析】作DM//AC交BE于N，交CF于M．

DF?MF2?DM2?302?1702?10198， DE?DN2?EN2?502?1202?130，

EF?(BE?FC)2?BC2?902?1202?150． ．．．．．．6分

在?DEF中，由余弦定理，

DE2?EF2?DF21302?1502?102?29816cos?DEF???.

2DE?EF2?130?15065

gmax?3cos?3?3 2

19、已知函数f(x)?13sinxcosx?cos2x?,x?R

2??（1）求函数f(x)的最小值和最小正周期；（2）已知?ABC内角A、B、C的对边分别为a、b、c且c=3,f(C)?0，若向量m?(1,sinA)与n?(2,sinB)共线，求实数a、b的值。 【试题出处】株洲市2012届高三年级教学质量统一检测（一）数学试题 【

解

析

】

（

1

）

f(x)?3sinxcosx?cos2x??131?sin2x?cos2x?1?sin(2x?)?1

6222

∴ f(x)的最小值为?2，最小正周期为?.…………5分

)?1?0， 即sin(2C?)?1

66??11????∵ 0?C??，??2C??，∴ 2C??，∴ C?． ……7分

366662???ab?∵ m与n共线，∴ sinB?2sinA?0．由正弦定理 ， 得b?2a, sinAsinB（2）∵ f(C)?sin(2C?①…9分

22∵c?3，由余弦定理得9?a?b?2abcos???3， ②……………10分

解方程组①②，得??a?3．……………12分

b?23?20、已知△ABC的面积为3，并且满足23?AB?AC?63，设AB与AC的夹角为?.(1)求?的取值范围；(2)求函数f(?)?23sin2(?4?2?)?2cos22??3的零点.

【试题出处】2012年上海五校联合教学调研数学试卷(理科) 【解析】

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