五邑大学，近代物理，物理数学，第八篇量子理论

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第八篇

量子理论

依我看来，当今的物理学理论中，有可能在未来的终极理论中保留下来的部分是量子力学。

温伯格

Nobel物理学奖得主

2

在望远镜看不到的地方，显微镜开始起作用了。这两者

哪一个有更大的视界呢？

维克多·雨果

正像一个粒子有可能处于这样一个量子态，在这个态中既不是明确地在这里也不是明确地在那里??一个粒子也有可能处于一个态，在这个态中既不能明确地说它是电子也不能明确地说它是中微子，只有当我们测量到某些区别二者的特性（比如电荷）之后才能把它们分辨出来。

温伯格，S Weinberg，物理学家

??从根本上说，量子理论的统计表现是由于这一理论所描述的物理体系还不完备。

爱因斯坦

它们全都同样古怪。

费曼对亚原子粒子的描述

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第18章 波粒二象性

在19世纪末到20世纪初这个世纪之交的年代里，经典物理学理论一方面被认为已经发展到了相当完善的程度，但是，另一方面又有一系列重大的实验发现无法用经典物理学的理论来解释。这种情况迫使物理学家跳出经典物理学的传统框框，去寻找新的解决办法。其中对热辐射和原子辐射给经典物理学带来的困境进行的探索导致了量子理论的诞生。

18.1 辐射之谜

黑体辐射

在19世纪，冶金高温测量技术和天文学研究等方面的需要，促使人们对热幅射进行深入的研究。热辐射依靠热运动来维持辐射的能量来源。到19世纪末，人们已经认识到，热辐射与光辐射都是电磁波，并且开始研究热辐射

<=紫外灾的能量在不同频率中的分布问题，特别对黑体辐 ?射进行了较深入的理论上和实验上的探讨。所谓 的黑体指的是这样一种物体，它的表面对入射的 电磁波具有完全吸收的作用。当这样的物体由于

Wien热运动而发射电磁波时，所发射的电磁波就叫做

? 黑体辐射。当绝对黑体与热辐射达到平衡时，辐

射的能量密度随频率的变化曲线如图9.1中的圆

图18.1 黑体辐射

点所示。维恩(W. Wien)于1894通过分析实验数据得出描述该曲线的经验公式

式中c1与c2是两个经验参数，T为平衡时的温度。除了低频部分之外，这个公式与实验符合得不错。

瑞利(J. W. Rayleigh)于1900用经典电磁理论和统计物理学来处理黑体辐射的能量分布，导出了一个确切的公式，后来，金斯修正了其中的一个错误，这个公式就被称为瑞利—金斯公式：

??c1?e?5?c2?T??2?ckT?4

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其中c是光速，k?1.38?10J?K，称为玻耳兹曼常数。

这个公式在低频部分与实验曲线比较符合，但是，当频率趋于无限时，能量密度是发散的，与实验明显不符。

在瑞利—金斯公式和维恩公式的基础上，普朗克(Max Planck)于1900对实验曲线做了进一步的分析，得到了一个很好的经验公式，这就是著名的普朗克公式：

?23?1??1c1ec2?T?5

?1普朗克公式与当时最精确的实验数据符合得很好，而且公式非常简单。人们相信，这绝不是偶然的巧合，其中必定蕴藏着非常重要但尚未被揭示的科学原理。

光电效应

我们知道，赫兹(H. Hertz)于1888年证实了电磁波的同时发现了光电效应，但是，当时对这种现象的物理机制并不清楚。在19世纪末期，由于电气工业的发展，稀薄气体放电现象开始引起人们的注意。汤姆孙(J J Thomson)于1896通过对气体放电现象和阴极射线的研究发现了电子。发现电子后，人们才认识到，光电效应实际上是在紫外线的照射下，电子从金属表面逸出的现象。实验研究表明，光电效应具有以下几个特点：

1．对于用一定的金属材料做成的表面光洁的电极，有一个确定的临界频率?0。当入射光的频率???0时，无论光强多大，都不会观测到光电子逸出；

2．每个光电子的能量只与入射光的频率有关，与光强无关。光强只影响光电流的强度，即单位时间内从金属电极的单位面积上逸出的电子的数目；

3．当入射光的频率???0时，不管光多微弱，只要光一照射到金属的电极上，几乎立刻~10s观测到光电子逸出。这与经典电磁理论的计算结果不一致。

光电效应的这些特点在原则上无法用经典物理学来解释。

??9? 5

原子的线状光谱

光谱分析的方法是在17世纪由牛顿初创的。到19世纪中叶，这种方法被广泛地应用于工业生产和科学研究中，因而得到迅速的发展。由于每一种原子都有由一定频率成份构成的线状特征光谱，因此，线状光谱是分析物质的化学成分和研究原子结构的重要手段。19世纪末，光谱分析方法积累了相当丰富的资料，人们开始对它们进行整理和分析。1885年，巴耳末发现，氢原子可见光谱线的频率具有下列规律：

??Rc??? , n?3 , 4 , 5 ?

式中

?1?21?n?R?109677.581cm?1

称为里德伯常数。巴耳末公式与观测结果惊人地符合，引起

了人们的注意。后来不少人对光谱线的规律进行了大量研究，发现了一系列线系，每一线系的各条谱线都有与巴耳末公式类似的规律。在这个基础上，里兹(W Ritz)于l908年提出了组合原则，对此作了更普遍的概括。按照这个原则，每一种原子都有其特有的一系列光谱项 T(n)，原子发出的光谱线的频率总可以表示成两个光谱项之差：

?mn?T?m??T?n? 按照经典电磁理论，作加速运动的电荷所辐射的电磁波的频率是连续分布的。这样，人们自然会提出一系列问题：原子产生线状光谱的机制是什么？这些谱线的频率为什么有这样简单的规律？光谱项的本质又是什么？

原子的稳定性

19世纪的最后几年，人们陆续发现了电子、X射线和几种放射性现象。电子与放射性现象的发现揭示出：原子不再是物质组成的永恒不变的最小单位，它们具有复杂的结构，并且可以互相转化。中性的原子可以放出带负电的 ? 粒子，这个现象表明，原子内部必定由带正电和带负电的粒子组成。这样，原子的内部结构及其运动规律的问题就成了人们关心的问题。

汤姆孙于1904年曾经提出过这样一个模型：正电荷均匀

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地分布在大小约10cm的原子中，电子有规律地分布在正

电荷之中。1911年，卢瑟福在研究 ? 粒子与原子碰撞后散射 ? 粒子的角分布时发现，实验中许多 ? 粒子的散射角很大。这个结果无法用汤姆孙模型解释。为了解释 ? 粒子的大角度散射，卢瑟福提出：原子中的正电荷部分集中在小于10cm的一个很小的区域中，原子的质量主要集中在正电荷部分，形成“原子核”。原子中的负电荷部分由电子组成，电子围绕着原子核运动，这种情况与太阳系有点相似。卢瑟福提出的这个模型就是著名的原子的“有核模型”，也称为原子的“行星模型”。

在原子的有核模型中，电子在核外作加速运动。按照经典电磁理论，加速运动的电荷将不断地辐射能量而减速。因此，核外电子最终会丧失所有的能量而掉到原子核中，原子随之崩溃。但在现实世界中，原子却稳定地存在着。经典电磁理论无法对此作出解释。

固体的热容量

固体中每个原子在其平衡位置附近作微振动，可以看成是有三个自由度的粒子。按照经典统计力学，其平均动能与势能均为3kT/2。于是，一摩尔固体物质的平均内能就是

3NAkT?3RT

因此，固体的定容摩尔热容量

?12?8CV?3R?6 cal?mol-1?K-1

实验发现，在极低温下，固体的定容摩尔热容量趋于零。经典统计力学无法解释这个现象。

多原子分子气体的定容摩尔热容量也存在类似的问题。比如N2、O2、H2和CO等双原子分子有5个自由度，按照能量均分定理，这些气体的定容摩尔热容量

CV?5R2?5 cal?mol-1?K-1

但是，实验发现，当温度低于60K时，这些气体的定容摩尔热容量都下降到

CV?3 cal?mol-1?K-1

经典统计力学同样无法解释这个现象。

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18.2 量子假说

历史上，量子理论首先在黑体辐射问题上得到突破。普朗克找到的黑体辐射公式与实验符合得非常好，这促使他进一步去探索其背后蕴含的更深刻的本质。他发现，如果作下列假设，就可以从理论上导出他的经验公式：对于一定频率v的电磁辐射，物体只能以hv为单位吸收或发射它，h称为普朗克常数。这就意味着吸收或发射电磁辐射只能以“量子”的方式进行，每个“量子”的能量为??h?。量子假说是向不能纳入经典物理学框架的未知世界迈出的第一步。

从经典物理学的角度看，能量不连续的概念完全不符合常识。因此，尽管从这个假说能够导出与实验极为符合的公式，但是，在相当长的时间里，这项工作并未引起普遍重视。

爱因斯坦首先注意到量子假设有可能解决经典物理学所碰到的其它困难。他在1905年用普朗克的量子假说去解决光电效应问题，进一步提出了光量子的概念，认为电磁场由光量子组成，每个光量子的能量和动量与电磁场的频率的关系是：

E?h? , p?h?

通常把这两个公式称为普朗克－爱因斯坦关系。

采用光量子概念后，光电效应的疑难便迎刃而解。当光入射到金属的表面上时，一个光子的能量可能立即被一个电子吸收，但只有当入射光的频率足够大，以致每个光子的能量足够大时，电子才有可能获得足够的能量，从而克服脱出功A而逸出金属表面。电子逸出后的动能为：

Ek?h??A

当入射光的频率

???0?A h时，电子无法克服金属表面的引力而逸出，因此没有光电子发射。

1907年，爱因斯坦进一步将能量不连续的概念应用到固体中原子的振动，解释了温度趋于绝对零度时固体比热趋于零的现象。至此，能量不连续的概念才引起物理学家的普

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遍重视。

从光的量子假说可以看到，人们对于光的本性的认识是螺旋式上升的。早期，牛顿认为光是由微粒组成的。惠更斯倡议的光的波动说，只是在19世纪20年代经过杨和菲涅耳等人的干涉与衍射实验证实后，才被人们普遍承认。到19世纪下半叶，由于麦克斯韦、赫兹等人的工作，光的波动学说获得全面胜利。但是，光电效应与黑体辐射所揭示的困难又促使人们重新认识光的粒子性。不过，普朗克—爱因斯坦的光量子论决不是牛顿微粒说的简单复归，而是认识上的一个大飞跃。光是粒子性与波动性的统一体。在不同的条件下，光会表现出象“波”或者象“粒子”。

光量子的概念以及普朗克－爱因斯坦关系式在1923年的康普顿散射实验中得到了直接的证实。早在1904年，人们就发现，X射线被轻原子量的物质散射后，波长有变长的现象。康普顿(A H Compton)提出，这是X射线的光子与电子碰撞而产生的现象。如果在微观粒子的碰撞过程中能量与动量是守恒的，由于反冲，电子将带走一部分能量与动量，散射X射线光子的能量与动量就减小，相应的频率变小，波长变长。

在碰撞之前，电子的速度很小，可以看作是静止的。电子在原子中的束缚能相对于X射线光子的能量也很小，可以视为自由电子。假设碰撞过程中能量与动量守恒：

h??me0c2?h???mec2 ????p?p?pe对电子利用相对论中的能量动量关系式：

242224Ee2?mec?pec?me0c

可以将上述能量与动量守恒方程化为：

?h??m2??22224???c?h??p?p??c?mee00c

展开上式，利用光子的动量与波长的关系以及波长与频率的

关系作简单的推导就可以得到：

??????e?1?cos?? 其中

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?h?e??0.0243A

me0c是电子的康普顿波长。由此可见，散射光的波长随角度增大而增加。理论计算与实验结果完全符合。

康普顿散射实验对光量子概念是一个直接的强有力的支持，它证实了普朗克—爱因斯坦关系在定量上是正确的，并首次证明了在微观的单个碰撞事件中，动量和能量守恒定律仍然成立。

在微观的单个碰撞事件中，动量和能量是否守恒？这个问题在历史上曾经有过激烈的争论。玻尔、克喇末(H A Kramers)和斯莱特(J C Slater)等曾认为，在微观过程中，动量和能量只是统计地守恒，单个事件中并不一定守恒。l924年，博特(W Bothe)和盖革(H Geiger)通过实验否定了这种看法。1925年，康普顿和西蒙(A W Simon)用云室仔细记录光子及反冲电子的径迹，分析结果也否定了玻尔等人的观点。

“在微观的单个碰撞事件中，动量守恒定律和能量守恒定律仍然成立”的结论，在后来发现的“电子正电子对湮没”现象中也得到证实。正电子由安德森(C D Aderson)于1932年在宇宙射线中观测到，安德森因此而获得了诺贝尔物理学奖。

例题：电子对的湮没(annihilation)

1928年，狄拉克在电子的相对论性理论中预言，除质子和电子外，还有一种带正电的粒子，称为正电子(positron)，它是电子的反粒子，其质量与电子相同。1932年，安德森在宇宙线中观测到这种粒子。当一个正电子穿过物质时，会与物质内部的原子发生碰撞而减速，然后有可能被某个原子俘获，最后与一个电子一起湮没。在适当条件下，一个正电子也有可能与一个电子形成类似于氢原子的电子偶素(positronium)，然后才湮没。电子偶素的寿命极短，而氢原子的寿命却很长。这种湮没也发生在其他的粒子和反粒子之间。比如，质子和反质子湮没将放出电子、正电子和中微子，同时还放出电磁辐射。

在电子对湮没时，考虑到动量守恒，至少要产生两个光子：

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e??e??n?

在两个光子的情况下，它们的动量数值相同，方向相反。设

放出的光子的频率为v，由能量守恒定律可以得到：

2h??2mec2

实验的结果与上述分析完全一致，从而再一次证实了，在微观的单个事件中，动量和能量守恒律仍然成立。此外，电子对湮没还是爱因斯坦关于质能转换这一结论令人信服的例证之一。

18.3 玻尔假说

光量子理论诞生的年代，正逢原子的“有核模型”被提出，经典物理学与原子的稳定性发生尖锐矛盾的时刻。1913年，玻尔把量子概念运用到原子结构问题上，建立了原子的量子理论，提出了两个极为重要的概念：

1．原子具有能量不连续的定态：原子的稳定状态只可能是某些具有一定的分立值能量(E1 , E2 , E3 , ?)的状态。这些能量的数值可以用以下量子化条件确定

L?nh2??n?

2．量子跃迁：原子处于定态时并不辐射。原子能量的任何变化只能在两个定态间以跃迁的形式进行，这时，原子将发射或吸收一个光子，光子的频率为

h?mn?En?Em 这个公式称为频率条件。但是，处于基态的原子不再放出光子而稳定地存在着。量子跃迁概念深刻地反映了微观粒子运动的特征，频率条件揭示了里兹组合原则的实质——光谱项与原子不连续的能量相联系。

现在，我们用玻尔理论来描述氢原子中电子的行为。为了简单起见，假定电子在氢原子中绕核作圆周运动，所需要的向心力由质子与电子之间的库仑力提供：

v2e2 me?2r4??0r运动的轨道角动量为L?mvr。利用量子化条件消去上述等

式中的速率，就可以得到电子作圆周运动的轨道半径为：

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n2h2?0rn? , n?1 , 2 , 3 , ? 2mee?由此可以导出氢原子的能级公式：

1e21mee42En?mevn???222

24??0rnn8h?0基态的能量为E1??13.6eV。这就意味着要使处于基态的氢原子电离，扰动的能量至少是E??E1?13.6eV。根据

量子跃迁的概念，从En到Em跃迁所发出的谱线的频率为：

hvmnmee4?11??22?2?2? 8h?0?mn?mee4R?32

8hc?0与巴耳末公式比较可以得到里德伯常数的理论公式：

理论计算值与实验结果符合得很好。

玻尔理论对当时已发现的氢原子光谱线系的规律给出了很好的说明，包括可见光范围内的巴耳末线系，红外区域中的帕邢线系，并且预言在紫外区还有一个线系。1914年，这个线系被赖曼观测到，称为赖曼线系，定量上与理论计算相当符合。原子能量不连续性的概念也在1914年被夫兰克(P Franck)与赫兹直接从实验上证实。

玻尔理论虽然成功地说明了氢原子光谱的规律，但是，对于复杂原子的光谱，玻尔理论遇到了极大的困难。即使对于简单的原子，玻尔理论也只是提出了计算光谱线频率的规则，对谱线的强度无能为力。此外，玻尔理论只能处理简单的周期运动问题，不能解决非束缚态问题。从理论上看，玻尔的量子化条件与经典力学不相容，带有人为的性质，只是把能量的不连续性问题转化为角动量的不连续性，并末从根本上解决不连续性的本质。

量子力学正是在克服这些困难中逐步建立起来的。今天玻尔理论已经被量子力学所代替，但是，这个理论在历史上曾经起过重大的推动作用。而且，这个理论的某些核心思想

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至今仍然是正确的，并且在量于力学中被保留下来。

量子力学是在1923－1927年间建立起来的。两个等价的理论——矩阵力学与波动力学几乎同时提出。

矩阵力学是在对玻尔的旧量子论的批判中产生的，其基本观点是：物理理论只应讨论物理上可观测的物理量。它继承了旧量子论中关于分立能级、定态、量子跃迁和频率条件等合理的内核，摒弃了速度和轨道等没有实验根据的概念。

玻尔的量子论引用了一整套没有实验根据的概念，比如说，没有任何实验支持我们肯定电子有完全确切的轨道。要肯定电子确实沿着某条轨道运动，就必须不断对电子的位置进行测量，但是，测量的精度要受到用来对其进行跟踪的光的波长的限制。当测量的精度要求很高时，必须使用波长很短的X射线跟踪电子。但是，由康普顿散射可知，当X射线的光子与电子相互作用时，伴随着有动量转移，这就对电子的运动产生了扰动。要求位置测量得越精确，使用的X射线的波长就必须越短，给电子的扰动就越大，电子就不可能维持原来的运动状态。因此，无限精确地跟踪一个电子是不可能的。事实上，没有任何实验证据妨碍我们抛弃电子有绝对精确轨道的概念。

海森伯、玻恩与约当在以上观点的引导下建立了矩阵力学，它从原子辐射的频率及强度等物理上可观测的量出发，赋予每个物理量一个矩阵。量子体系的力学量(矩阵)之间的关系(矩阵方程)，形式上与经典力学相似，但运算规则不同。

另一个理论是薛定谔的波动力学，它从德布罗意有关物质波的思想出发讨论微观粒子的运动规律。物质波的概念是德布罗意为了寻求实物粒子与辐射的统一基础时提出的假设。薛定谔进一步推广了物质波的概念，找到了量子体系的物质波的运动方程——薛定谔方程，成功地解决了氢原子光谱等一系列重大问题。薛定谔方程是波动力学的核心。薛定谔后来还证明，波动力学与矩阵力学完全等价，是同一力学规律的两种不同表述。

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18.4 德布罗意假说

在光的量子理论和玻尔理论的启发下，德布罗意对力学

与光学的相似性进行了研究，根据类比的方法，于1923年提出实物粒子具有波粒二象性的假设：波动－粒子两重性是实物粒子的普遍性质，与具有一定能量E和动量p的粒子相联系的波的频率和波长分别为：

h E?h? , p?mv?

? 这两个关系式称为德布罗意关系。

从物质波的概念出发，能够较为自然地 导出玻尔的量子化条件。比如在圆轨道的情 况下，当电子绕核运动一周时，相应的波应

量子化条件 该能够光滑地衔接起来，这就要求圆周是波长的整数倍：

2?r?n? , n?1 , 2 , 3 , ?

将这个式子代入德布罗意关系中就可以得出粒子的角动量为：

L?rp?nh?n? 2?从量子力学的角度看，上述推导并不确切，能处理的问题也很有限，但是，其物理图象却极有启发性。

由于宏观粒子的动量与普朗克常数相比总是非常巨大的，因此与之相应的德布罗意波长极短，波的性质完全显露不出来。

1926年，薛定谔进一步推广了德布罗意波的概念，构造出一个反映量子体系的物质波的波动方程，建立了波动力学。波动方程是一个关于物质波的波函数的二阶线性偏微分方程。在波动力学中，分立能级问题表现为在一定的边界条件下求解微分方程的本征值问题。与矩阵力学一样，波动力学成功地解决了氢原子光谱的一系列重大问题。

在经典的概念中，粒子性和波动性具有明确的含义。当我们谈到“粒子”这个概念时，总是意味着具有确定的质量和电荷等“颗粒性”的物理客体，它们具有确切的位置和运动轨道；当我们谈到“波动”这个概念时，就意味着物理量

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的空间分布作周期性的变化，并呈现出干涉和衍射等反映相

干叠加性的现象。如何将这两种截然不同的特性统一到一个物理客体上呢？

为解释电子具有的波动性，有人曾经把电子波看作是空间中连续分布的某种物质波包，波包的大小代表了电子的大小，波包的群速度就是电子的运动速度。但是，只要稍加分沂，这种看法就碰到难以克服的困难。比如在非相对论性的情况下，自由粒子的动量为p = mv，利用德布罗意关系式可以得到

v??k2? , k? m?由此可见，组成波包的不同频率成份的行进速率不同，于是，

波包在传播过程中必然要扩散。然而，至少在现有的实验条件下，人们并没有观察到电子变“胖”的现象。显然，物质波包的观点夸大了物理客体的波动性。

与此相反，有人认为电子的波动性来源于大量电子分布在空间中所形成的疏密波。然而，实验表明，单个电子就具有波动性。事实上，正是由于单个电子具有波动性，才能理解氢原子中电子运动的量子性质。

显然，在经典的意义下，粒子性和波动性难以统一到一个物理客体上。事实上，由以上的分析可以看出，电子既不是经典意义下的粒子，也不是经典意义下的波。对这个问题作进一步分析表明，电子所呈现的粒子性只是它的颗粒性，并不与“粒子有确切的轨道”这个概念相关；电子所呈现的波动性只不过是波动性中最本质的东西：叠加性，并不一定与某种实在的物理量在空间的周期分布相联系。因此，波粒二象性只是把粒子的“颗粒性”与波的“叠加性”统一起来。在量子的概念下，电子既是粒子又是波，粒子的量子化必定具有波动性，波的量子化必定具有粒子性，粒子是波的量子。在不同的实验条件下，物理客体可以呈现出不同的性质。

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习题

18.1 根据狭义相对论以及光子以光速c运动的事实，从普朗克假说出发导出光子的动量与辐射场的波长之间的关系。

18.2 在正负电子对淹没时，为何至少要产生两个光子？

18.3 如果将恒星看成绝对黑体，利用维恩位移定律，通过测量?m便可估计其表面温度。现测得太阳和北极星的?m分别为510 nm和350 nm，求它们的表面温度。

18.4 太阳辐射到地球大气层顶部单位表面上的辐射通量

I0?1.35kW?m?2称为太阳常数。如果把太阳当作黑体，

估算太阳表面的温度。

18.5 在理想条件下，正常人的眼睛接收到550 nm的可见光时，只要每秒光子数达100个就会有光的感觉， 求此时的光功率。

18.6 广播天线以频率1 MHz，功率1 kW发射无线电波，求它每秒发射的光子数；利用太阳常数的观测值计算人眼每秒接收到来自太阳的光子数。假定光的平均波长是550 nm，人眼的受光面积是1 cm2。用上述计算结果说明为什么在研究广播辐射和太阳光学时，电磁辐射的量子性并未直接显示出来。

18.7 已知氢原子的电离能是13.6 eV，通常把电子从基态跃迁到某个激发态所需要的能量称为激发能。如果从某个激发态移走一个电子需要0.85 eV的能量，那么，从这个激发态向激发能为10.2 eV的激发态跃迁时，所产生的谱线的波长是多少？这条谱线属于哪个线系？

18.8 氢原子的电离能等于13.6 eV，有一个能量为15.2 eV的光子被某氢原子中的基态电子吸收，形成一个光电子，求这个光电子在远离原子核时的速率和德布罗意波长。

( me = 0.51MeV/c2，c = 3×108m . s?1，1eV = 1.6×10?19J )

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18.9 热中子的平均动能是3kT/2，当温度为300 K时，用电子伏表示一个热中子的动能并计算它的德布罗意波长。

18.10 如果电子的动能等于它的静能，求它的速率和德布罗意波长。如果光子的能量等于电子的静能，求该光子的频率、波长和动量。

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第19章 量子世界

19.1 概率波

实物粒子具有波动性的一面，它的波动性必定能够用一

个波函数来描写。必须找出波函数随时间演化所遵从的规律。薛定谔在1926年提出的波动方程成功地解决了这个问题。薛定谔方程是量子力学的基本方程，它的地位与牛顿第二定律在经典力学中的地位相似。实际上，薛定谔方程是量子力学的基本假定，它的正确性只能靠实验来检验。

对于在势场中运动的粒子，波函数满足的薛定谔方程为：

??22?????i???r,t??????U?r????r,t? ?t?2m?在建立量子力学的过程中，对德布罗意波以及波函数的

解释存在着许多困难。1926年，玻恩利用散射过程的量子力学描述对波函数的意义进行了论证，他指出，德布罗意波所描述的是刻划粒子在空间的概率分布的概率波。这样，在量子概念下，粒子性和波动性就有了统一的明确的含义。

波函数的统计解释是量子力学的基本原理之一。根据这种解释，在衍射实验中显示的电子的波动性，是一个电子在多次相同实验中的统计结果，或者是许多电子在同一个实验中的统计结果。实验给出的衍射图样代表电子在空间某点附

?近出现的概率。波函数??r?正是为了描述粒子的这种行为而引进的。在量子力学中，波函数是最重要的基本概念之一，它完全描述了体系的量子态。衍射图样的强度分布用

??r???*?

2?来描述。但是，衍射波强度的意义与经典波完全不同，它刻划了电子出现在某点附近的概率的大小。确切地讲，

??r??x?y?z

表示在r点附近的体积元?x?y?z中找到粒子的概率。

2?

玻恩对波函数的统计解释表明，我们只能给出在空间一

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定范围内找到粒子的概率，不能确定粒子一定在某个地方。

在经典力学中，只要给定了初始条件，原则上可以同时精确地预言粒子的位置及其动量。然而，在量子概念下，牛顿决定论的图象不再适用。海森堡发现，不同物理量的不确定性之间存在着一定关系，这就是他于1927年提出的不确定性原理(uncertainty principle)：如果测量粒子位置的不确定范围是?x，那么，同时测量其动量也有一个不确定范围?px，两者之间满足所谓的不确定关系(uncertainty relation)：

?x??px?? 2这个不等式反映了微观粒子运动的基本规律。

不确定关系还存在于能量与时间之间。如果一个粒子在能量状态E附近只能停留?t时间，这段时间间隔就称为粒子的平均寿命。在粒子停留的这段时间内，粒子的能量状态并非完全确定，两者之间满足

?E??t?? 2?E称为能级的宽度。

当然，由于普朗克常数的数值非常小，在一股的宏观现象中，由不确定关系并不能得到任何有价值的结果，而且，到目前为止，任何精确测量所得到的?x与?px的乘积，其数量级都远比普朗克常数的大得多，因此，在宏观现象中完全可以引用位置、速度和轨道运动等概念来描述物理客体的运动。但是，在处理微观现象时，无论是作定性的讨论，还是作粗略估计，都必须考虑到不确定关系的作用。

在前几章中我们看到，相对论改变了我们关于时间和空间的观念，现在我们再次看到，量子力学改变了我们对自然现象的认识，我们不能做决定性的断言，只能做可能性的断言。

19.2 氢原子

现在我们用量子力学来讨论氢原子的问题。在氢原子中，电子在质子的库仑场中运动，相互作用势能为：

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U?r??e24??0r2

由于势函数具有球对称性，在球坐标系下求解这个问题较为

方便。在球坐标系下，薛定谔方程的解可以定性地写成?nlm?r,?,??，其中n , l , m是三个量子数，称为主量子数、角量子数和磁量子数。求解上述方程需要使用一类称为特殊函数的数学函数，我们对此不作详细讨论，只给出能级的最终结果以及三个量子数的取值范围。三个量子数分别按如下方式取值：

n = 1 , 2 , 3 , ?

l = 0 , 1 , 2 , ? , n -1

m = 0 , ±1 , ±2 , ? , ±l

氢原子的能量本征值由主量子数决定：

mee2 En??22232?2?0?n由此可见，用量子力学得到的氢原子的能级公式与用玻尔理

论得到的结果完全一致。

我们看到，氢原子的能量本征值只依赖于主量子数。但是，对于给定的主量子数，角量子数可以取n -1个值，而对于给定的角量子数，磁量子数又可以取2l +1个值，因此，当给定了主量子数n时，总共有

fn???2l?1??n2

个态?nlm?r,?,??对应于同一个能量En。这种多个态对应于同一个能级的现象称为简并性，对应于同一个能级的态的数目称为简并度。在一般的有心力场中，能量的数值取决于n和l，能级的简并度为2l +1。

l?0n?1 20

习题

19.1 当粒子沿x方向运动时，速率的不确定度为

?v?1cm?s?1，这个粒子可能是电子、10?13kg的布朗粒子

或10?4kg的细弹丸，分别估算这三种情况下该粒子的坐标的不确定度。

19.2 质量为m的粒子被限制在宽度为a的区域中运动，请用不确定关系估算该粒子可能具有的最低能量。

19.3 发现中子之前，人们曾认为原子核由A个质子和A-Z个电子组成。用不确定关系估算核内质子和中子的动能，由此说明电子不可能是原子核的结构单元。即使是原子核在发生衰变时临时产生的电子，也只有几个MeV动能，相应的德布罗意波长远大于核的半径，因此，不可能在核内久留，几乎一产生就逸出核外。

19.4 氢原子处于n = 2的能级时共有多少个不同的状态？

?1019.5 原子的尺度是~10m，原子内电子的动能~10eV；在测定电子的荷质比的实验中，电子束截面的尺度

~10?4m，电子的加速电压~10 V；带电粒子在威尔逊云室

中的轨迹是一串小雾滴，线度1 ?m，被观测电子的能量~1000 eV。结合以上情况用不确定关系说明：在原子中电子轨道运动的概念完全没有意义，而在测定电子荷质比的实验中，以及 ? 粒子的散射实验中，粒子的轨道还是有意义的，可以近似地把他们当作经典粒子来处理。

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