高三数学总复习第13讲

高三数学第13讲（151016）

抽象函数的性质

一、单调性问题（抽象函数的单调性多用定义法解决）

例1.设函数f(x)对任意实数x,y，都有f(x+y)=f(x)+f(y),若x>0时f(x)<0,且f(1)= -2,求f(x)在[-3，3]上的最大值和最小值.

例2、已知偶函数f(x)的定义域是x≠0的一切实数，对定义域内的任意x1,x2都有f(x1?x2)?f(x1)?f(x2)，且当x?1时f(x)?0,f(2)?1，

（1）f(x)在(0,+∞)上是增函数； （2）解不等式f(2x2?1)?2

例3、定义在R+上的函数f(x)满足: ①对任意实数m,f(xm)=mf(x); ②f(2)=1.

(1)求证:f(xy)=f(x)+f(y)对任意正数x,y都成立; (2)证明f(x)是R+上的单调增函数; (3)若f(x)+f(x-3)≤2,求x 的取值范围.

二、奇偶性问题

例4：已知函数f(x)的定义域关于原点对称且满足?1?f(x?y)?求证：f(x)是奇函数。

f(x)f(y)?1，（2）存在正常数a，使f(a)=1.

f(y)?f(x)

例5：设f(x)是定义在R上的偶函数，且在(??,0)上是增函数，又f(2a2?a?1)?f(3a2?2a?1)。求实数a的取值范围

例6．(1)若f(x)是奇函数，判断：（A）f(x-a)= - f(-x-a), (B) f(x-a)= - f(a-x)的真假，其中a?0; (2)若f(x)是偶函数，判断：（A）f(x-a)= f(-x-a), (B) f(x-a)= f(a-x)的真假，其中a?0; (3)若f(x+a)是奇函数，判断：（A）f(x+a)= - f(-x-a), (B) f(x+a)= - f(-x+a)的真假，其中a?0; (4)若f(x+a)是偶函数，判断：（A）f(x+a)= f(-x-a), (B) f(x＋a)= f(-x+a)的真假，其中a?0;

三、周期性与对称性问题（由恒等式简单判断：同号看周期，异号看对称） ．．．编号 周 期 性 对 称 性 1 f?x?a??f?x?a?→T=2a f?x?a??f??x?a?→对称轴x?a?y?f?x?a?是偶函数； f?x?a???f??x?a?→对称中心（a,0）?y?f?x?a?是奇函数 f?a?x??f?b?x?→对称轴x?a?b； 22 f?a?x??f?b?x?→T=b?a f?a?x???f?b?x?→对称中心(3 a?b,0)； 2f(x)= -f(x+a)→T=2a f(x)= -f(-x+a)→对称中心??a?,0? ?2?4 f?a?x???f?b?x?→T=2b?a f(x)=±f?a?x???f?b?x?→对称中心??a?b?,0? 2??5 f(x)=1-6 1→T=2a ??fxf(x)= b-f(-x+a)→对称中心??ab?,? ?22?1?f(x)?0?→T=3a f?x?a? 结论：(1) 函数图象关于两条直线x=a，x=b对称，则函数y=f(x)是周期函数，且T=2|a-b|

(2) 函数图象关于点M(a,0)和点N(b,0)对称，则函数y=f(x)是周期函数，且T=2|a-b| (3) 函数图象关于直线x=a，及点M(b,0)对称，则函数y=f(x)是周期函数，且T=4|a-b| （4） 应注意区分一个函数的对称性和两个函数的对称性的区别: y=f(a+x)与y=f(b-x)关于x?b?ab?a,0)对称 对称；y=f(a+x)与y=-f(b-x)关于点(22 （可以简单的认为：一个函数的恒等式，对应法则下的两式相加和的一半为对称轴：两个同法则不同表达式的函数，对应法则下的两式相减等于0，解得的x为对称轴）

总规律：定义在Ｒ上的函数y?f?x?，在对称性、周期性和奇偶性这三条性质中，只要有两条存在，则第三条一定存在。

例7：①已知定义在R上的奇函数f (x)满足f (x+2) = – f (x)，则f (6)的值为（ ）

A. –1 B. 0 C. 1 D. 2

②函数f(x)对于任意的实数x都有f(1+2x)=f(1-2x)，则f(2x)的图像关于 对称。

例8. 已知函数y=f(x)满足f(x)?f(?x)?2002，求f?1?x??f?1?2002?x?的值。

例9. 奇函数f (x)定义在R上，且对常数T > 0，恒有f (x + T ) = f (x)，则在区间［0，2T］上，方程f (x) = 0根的个数最小值为（ ）

A. 3个 B.4个 C.5个 D.6个

例10．① f(x)满足f(x) =-f(6-x)，f(x)= f(2-x)，若f(a) =-f(2000)，a∈[5，9]且f(x)在[5，9]上单调。

求a的值。

②设y=f(x)是定义在[-1,1]上的偶函数，函数y=f(x)的图象与y=g(x)的图象关于直线x=1对称，

且当x [2,3]时，g(x)=2a(x-2)-4(x-2)(a为常数且a R) （1）求f(x);

（2）是否存在a [2,6]或a (6,+∞),使函数f(x)的图象的最高点位于直线y=12上？ 若存在，求出a的值；若不存在，说明理由.

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四、综合问题

例11. 定义在R上的函数f(x)满足：对任意实数m，n，总0

例12.设定义在R上的函数f(x),满足当x>0时,f(x)>1,且对任意x,y∈R,有f(x+y)=f(x)f(y),f(1)=2

，

有，且当x>0时，

，若 A?B??，

1(1)解不等式f(3x?x2)?4,;(2)解方程[f(x)]2?f(x?3)?f(2)?1.

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抽象函数练习题（2151016）

姓名：

一．填空选择题（每题6分）

1、函数y?f(x?1)是偶函数，则y?f(x)的图象关于 对称。 2、函数y?f(x)满足f(x?3)??1)? 。 ，且f(3)?1，则f(2010f(x)12123、函数f(x)是定义在R上的奇函数，且f(?x)?f(?x),则f(1)?f(2)?f(3)?f(4)?f(5)? 4、已知函数y?f(2x?1)是定义在R上的奇函数，函数y?g(x)是y?f(x)的反函数，若x1?x2?0则

g(x1)?g(x2)?（ ）

A）2 B）0 C）1 D）-2

5.设f(x)是R的奇函数,f(x+2)= — f(x),当0≤x≤1,时,f(x)=x,则f(7.5)= 6.定义在R上的函数f(x)满足f(-x)+f(x)=3,则f-1(x)+f-1(3-x)= . 7、 f（x）是定义在R上的以3为周期的奇函数，且f（2）=0，则方程f（x）=0在区间（0，6）内解的个数的最小值是（ ）A.4 B.5 C.6 D.7

8、设函数f(x)的定义域为[1,3],且函数f(x)的图象关于点(2,0)成中心对称,已知当x [2,3]时f(x)=2x,求当x [1,2]时,f(x)的解析式为 .

9、（09山东）已知定义在R上的奇函数

f(x)，满足f(x?4)??f(x),且在区间[0,2]上是增函数,若方程

f(x)=m(m>0)在区间??8,8?上有四个不同的根x1,x2,x3,x4,则x1?x2?x3?x4?_________.

10.已知函数f(x)是定义在（-∞，3]上的减函数，已知f(a?sinx)?f(a?1?cosx)对x?R恒成立，那么实数a的取值范围为 。

二、简答题（每题10分）

1．已知函数f(x),当x,y?R时，恒有f(x?y)?f(x)?f(y). (1)求证: f(x)是奇函数;

(2)若f(?3)?a,试用a表示f(24).

2. 已知函数f（x）对任意

，满足条件f（x）＋f（y）＝2 + f（x＋y），且当x＞0时，f（x）＞2，f22（3）＝5，求不等式的解。

3. 设函数y＝f（x）的反函数是y＝g（x）。如果f（ab）＝f（a）＋f（b），那么g（a＋b）＝g（a）·g（b）是否正确，试说明理由。

4．设函数f(x)在(??,??)上满足f(2?x)?f(2?x)，f(7?x)?f(7?x)，且在闭区间［0，7］上，只有

f(1)?f(3)?0．

（1）试判断函数y?f(x)的奇偶性；

（2）试求方程f(x)=0在闭区间［-2005，2005］上的根的个数，并证明你的结论．

（3）＝5，求不等式的解。

3. 设函数y＝f（x）的反函数是y＝g（x）。如果f（ab）＝f（a）＋f（b），那么g（a＋b）＝g（a）·g（b）是否正确，试说明理由。

4．设函数f(x)在(??,??)上满足f(2?x)?f(2?x)，f(7?x)?f(7?x)，且在闭区间［0，7］上，只有

f(1)?f(3)?0．

（1）试判断函数y?f(x)的奇偶性；

（2）试求方程f(x)=0在闭区间［-2005，2005］上的根的个数，并证明你的结论．

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