9上22.9《一元二次方程的解法复习》课堂教学实录

22.2 一元二次方程的解法课堂实录

（复习课）

【情境导入】

师：同学们，今天这节课，我们一起来复习研究一元二次方程及其解法这一部分的内容．昨

天我请大家把这部分知识进行归类、整理．现在哪一位把你们对这部分知识归类整理的情况给大家展示一下．哪位同学先来展示一下你的成果？ 生：我是从一元二次方程的整体结构进行整理的，我分为两部分：

1．一元二次方程的有关概念（定义、一般形式、一元二次方程的解） 2．一元二次方程的解法（直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法）

师：这位同学的整理很好，她把握住了这部分知识的整体结构，理解得比较深刻．大家以后

在进行整理总结时要向她学习．除了她所总结的这两部分我们还要重视配方法的应用．这里，我也对这部分的知识进行了归纳整理，现在大家可以看一看．（用多媒体展示） 〖评析〗教师先让学生自己对该部分知识进行归纳总结，在课堂上展示后再通过师生的共同

评价修正，能帮助学生建立整体性的认知框架，完善认知机构．

【复习巩固】

师：现在我们来看下面几组练习（用多媒体展示）

第一组：（请学生口答）

1．下列方程中一定是关于ｘ的一元二次方程的有（ ）个

11??2?0 x2x④(2x?1)(x?3)?2x2?1 ⑤(m?1)x2?3mx?m?0（ｍ为常数）

①x?2x?3 ②x(x2?x?4)?0 ③

2A 1个 B 2个 C 3个 D 4个

2．若方程(m?1)x?2x?3是关于ｘ的一元二次方程，ｍ＝＿

师：通过这一组练习请同学们思考一下在判别一元二次方程的时候要注意什么？ 生：要注意一元二次方程的二次项系数不能为零

第二组：（请学生板演）

① 把关于ｘ的一元二次方程(3x?1)(x?1)?6?(x?2)化为一般形式． ② 若关于ｘ的一元二次方程ax?bx?c?0的一根为1，且a、b满足等式

2m?12b?2?a?a?2?3，求c的值

2师：我们来看第一道题，这位同学的结果是4x?2x?3?0，你们有没有不同的结果？

2生：我的结果为?4x?2x?3?0．

师：谁的结果对呢？同学们讨论一下．

师：他们的结果都对，但我们在把一个一元二次方程化为一般形式的时候，通常使二次项的

系数为正数．

〖评析〗以具体小题为载体，帮助学生复习一元二次方程的定义、一般形式让学生回答并

总结判定一元二次方程的方法及注意点，有利于学生更好的掌握基础知识． 第三组：请你用四种不同的方法解一元二次方程(3x?4)?(2x?5)?0

（分别请四位学生用不同的方法板演）

师：刚才四位同学分别用直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法解这道题，你们认为

哪些解法简单？

生：我认为直接开平方法比较简单． 生：我认为因式分解法比较简单．

生：我认为公式法也可以，只要将方程化为一般形式后代入求根公式就行了．

师：同学们分析得很好．这道题用配方法或公式法可以解，但是用直接开平方法或因式分解

法解起来更简单．其实，各种解法有各自的特点，一般来讲在解

22 1

一元二次方程的时候，首先考虑的解法是直接开平方法或因式分解法，然后再去考虑用公式法或配方法．希望同学们在解一元二次方程时，一定要先观察方程的特征，灵活选用恰当的方法．

师：通过这几组题的练习，大多数同学已经熟练掌握了一元二次方程的这几种解法，但也有

少数同学对配方法的一般步骤还不是太清楚，在使用公式法时没有将方程化为一般形式后，就使用求根公式．（再结合题目强调一下配方法的一般步骤）

〖评析〗教师提出问题后分别由四位学生用四种不同的方法去解答．然后小组内交流、讨

论，这样做能让学生很好的掌握一元二次方程的四种解法，并能根据方程的特点，选择合适的方法．

【探究新知】

师：我们来看课前延伸基础练习的第四题

已知一元二次方程（m?1）x2?7mx?m2?3m?4?0有一个根为零，求m的值. 师：请一个同学说明一下这道题的解题思路

生：因为一元二次方程有一个根为零代入方程后可以得到m的值为1或?4，但方程是一元

二次方程，所以二次项系数不能为零，m的值为?4

（m?1）x2?7mx?m2?3m?4?0有一个根为零，求师：下面把这道题变化一下已知方程

m的值.

生：m的值为1或?4，因为题目的条件是方程有一个根为零，那么可能是一元一次方程，

也可以是一元二次方程．

师：这位同学分析的很好，同学们在以后解题时一定要认真审题，注意题目中的条件，看下

面一题． 已知a,b是一个直角三角形两条直角边的长，且(a?b)(a?b?1)?6求这个直角三角形的斜边c的值

师：请同学们自己求解，得出解答后先在学习小组内交流，然后在全班交流．

（学生解题，小组内交流、讨论，教师巡视、指导）

师：我看大家都已得出了该题的解答，现在请各组展示你们的优秀成果．

22222生（一组）：我们是先把式子化简为(a?b)?(a?b)?6?0，然后把a?b看成

一个整体进行解答的．

222222生（三组）：我们注意到a,b是一个直角三角形两条直角边的长，所以a?b?c，把式

子化简为(c2)2?c2?6?0后，把c看成一个整体进行解答的．

生（四组）：我们令a?b?x，把式子化简为x?x?6?0后求解；

生（二组）：我们通过观察发现，这个式子可以理解为两个因数的乘积为6，且这两个因数为相邻的正整数，由此可得到a?b?2，即c?2（全班自发地鼓掌）

师：同学们的发言很好，其实前三组的同学使用的思想都是“换元的思想”和“整体的思

想”， 第二组同学的解答给我们一个很好的启示：在解题时，一定要认真审题，仔细观察题目的特征，灵活选用解题的方法．

〖评析〗教师提出问题后小组内交流、讨论，很好的向学生渗透了数学思想，若长期这样

进行下去，学生定能形成良好的数学思维策略，提高解题能力． 学生练习：①若(2a?2b?1)(2a?2b?1)?63，求a?b的值

②已知x?3xy?4y?0（y≠0），求

师：再来看下一道题

小明、小华、和小英三人共同探讨代数式2x?6x?11的值的情况，他们进行了明确的分工，小明负责找出最小值，小华负责找出值为0的ｘ的值，小英负责求最大值，5分钟后，各自通报自己的成绩．

小华说：当2x?6x?11?0时，方程没有解，故找不到满足条件的ｘ的值，使

2222222222222x?y的值 x?y2x2?6x?11的值为0．

2

小明说：我发现最小值为6.5 小英说：我没有找出最大值

聪明的同学，你能用什么方法很快对他们的结论作出判断吗？

（学生解题，小组内交流、讨论，教师巡视、指导，学生到黑板板书） 师：刚才的巡视我发现，不少同学是通过一元二次方程根的判别式来判断小华的说法是否正确．其实这道题我们只要通过配方，使代数式中出现完全平方的形式，然后利用完全平方式的特点就可以使问题得到解决． 【课堂检测】

师：下面我来检验一下看看同学们这节课的复习效果如何

1.把一元二次方程(x?5)(x?5)?(2x?1)2?0化为一般形式． 2.解下列方程

① (3x?2)2?16 ② (x?1)(x?1)?22x ③ x?3x?1?0 ④ (x?2)2?3(x?2)?4?0

3.把代数式2x?x?3化为a(x?m)2?n的形式.

师：通过刚才测试的情况我发现大多数同学已经熟练掌握了一元二次方程的这几种解法,并且能灵活选用恰当的方法．但对于配方法的应用有些同学还不是太熟练，配方法不仅是解一元二次方程的一种基本方法，而且在以后讨论二次函数等其他数学概念时也离不开配方法，希望课后要加强这方面的练习． 【课后提升】

1．方程(5x?2)(x?7)?9(x?7)的解是_________.

2232x?2a?0的一个解，则2a?1的值是_________. 23．关于y的方程2y2?3py?2p?0有一个根是y?2，则关于x的方程x2?3?p解

2．已知2是关于x的方程

为_____.

4．下列方程中是一元二次方程的有（ ）

y2①9x?7x ② =8 ③ 3y(y?1)?y(3y?1)

34④x2?2y?6?0 ⑤ 2(x2?1)?10 ⑥ 2?x?1?0

x2A． ①②③ B. ①③⑤ C. ①②⑤ D.①⑤⑥

5. 一元二次方程(4x?1)(2x?3)?5x2?1化成一般形式ax2?bx?c?0(a?0)后

a,b,c的值为（ ）

A．3，－10，－4 B. 3，－12，－2 C. 8，－10，－2 D. 8，－12，4

6．一元二次方程2x2?(m?1)x?1?x(x?1)化成一般形式后二次项的系数为1，一次项的系数为－1，则m的值为（ ）

A. －1 B. 1 C. －2 D. 2 7．解方程

(1)x?5x?6?0； (2)3x?4x?1?0（用公式法）；

(3)4x?8x?1?0（用配方法）； （4）x?22x?1?0

3

2222

8.用配方法证明：代数式3x?2x?4的值不小于

9.已知a是一元二次方程x?x?1?0的一个根，试求代数式a?2a?7的值

10.已知A?a2?a?5,B?a?2.求证A?B?2

232211． 3 4

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/yxgv.html