2015高一数学必修1综合测试题

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1 综合测试题(一)

本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．

第Ⅰ卷(选择题 共50分)

一、选择题(本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1．已知集合A ＝{1,2,3,4}，B ＝{x |x ＝n 2，n ∈A }，则A ∩B ＝( )

A ．{1,4}

B ．{2,3}

C ．{9,16}

D ．{1,2}

[答案] A

[解析] 先求集合B ，再进行交集运算．

∵A ＝{1,2,3,4}，B ＝{x |x ＝n 2，n ∈A }，

∴B ＝{1,4,9,16}，∴A ∩B ＝{1,4}．

2．(2013·大纲高考题)已知函数f (x )的定义域为(－1,0)，则函数f (2x ＋1)的定义域为( )

A ．(－1,1)

B ．(－1，－12)

C ．(－1,0)

D ．(12，1) [答案] B

[解析] 本题考查复合函数定义域的求法．

f (x )的定义域为(－1,0)

∴－1<2x ＋1<0，∴－1

. 3．在下列四组函数中，f (x )与g (x )表示同一函数的是( )

A ．f (x )＝x －1，g (x )＝x －1x －1

B ．f (x )＝|x ＋1|，g (x )＝?????

x ＋1，x ≥－1－x －1，x <－1 C ．f (x )＝x ＋2，x ∈R ，g (x )＝x ＋2，x ∈Z

D ．f (x )＝x 2，g (x )＝x |x |

[答案] B

[解析] 若两个函数表示同一函数，则它们的解析式、定义域必须相同，A 中g (x )要求x ≠1.C 选项定义域不同，D 选项对应法则不同．故选B.

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2 4．(2014·北京理，2)下列函数中，在区间(0，＋∞)上为增函数的是()

A．y＝x＋1 B．y＝(x－1)2

C．y＝2－x D．y＝log0.5(x＋1)

[答案] A

[解析]∵y＝x＋1在[－1，＋∞)上是增函数，

∴y＝x＋1在(0，＋∞)上为增函数．

5．函数y＝ln x＋2x－6的零点，必定位于如下哪一个区间()

A．(1,2) B．(2,3)

C．(3,4) D．(4,5)

[答案] B

[解析]令f(x)＝ln x＋2x－6，设f(x0)＝0，

∵f(1)＝－4<0，f(3)＝ln3>0，

又f(2)＝ln2－2<0，f(2)·f(3)<0，

∴x0∈(2,3)．

6．已知f(x)是定义域在(0，＋∞)上的单调增函数，若f(x)>f(2－x)，则x的取值范围是() A．x>1 B．x<1

C．0

[答案] D

[解析]由已知得

?

?

?x>0

2－x>0

x>2－x

?

??

?

??

x>0

x<2

x>1

，

∴x∈(1,2)，故选D.

7．设y1＝40.9，y2＝80.48，y3＝(

1

2)

－1.5，则()

A．y3>y1>y2B．y2>y1>y3

C．y1>y2>y3D．y1>y3>y2

[答案] D

[解析]∵y1＝40.9＝21.8，

y2＝80.48＝(23)0.48＝21.44，y3＝21.5，

又∵函数y＝2x是增函数，且1.8>1.5>1.44.

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3 ∴y 1>y 3>y 2.

8．设0

A ．(－∞，0)

B ．(0，＋∞)

C ．(－∞，log a 3)

D ．(log a 3，＋∞) [答案] C

[解析] 利用指数、对数函数性质．考查简单的指数、对数不等式．

由a 2x －2a x －2>1得a x >3，∴x

9．若函数f (x )、g (x )分别为R 上的奇函数、偶函数，且满足f (x )－g (x )＝e x ，则有( )

A ．f (2)

B ．g (0)

C ．f (2)

D ．g (0)

[答案] D

[解析] 考查函数的奇偶性、单调性和方程的思想．

∵f (x )－g (x )＝e x ，(x ∈R )

① f (x )为奇函数，g (x )为偶函数，

∴f (－x )－g (－x )＝e －x .

即－f (x )－g (x )＝e －x ，

② 由①、②得f (x )＝12

(e x －e －x )， g (x )＝－12

(e x ＋e －x )，∴g (0)＝－1. 又f (x )为增函数，∴0

∴g (0)

10．如果一个点是一个指数函数的图像与一个对数函数的图像的公共点，那么称这个点

为“好点”，在下面的五个点M (1,1)，N (1,2)，P (2,1)，Q (2,2)，G (2，12

)中，“好点”的个数为( )

A ．0

B ．1

C ．2

D ．3 [答案] C

[解析] ∵指数函数过定点(0,1)，对数函数过定点(1,0)且都与y ＝x 没有交点，

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4 ∴指数函数不过(1,1)，(2,1)点，对数函数不过点(1,2)，∴点M 、N 、P 一定不是好点．可

验证：点Q (2,2)是指数函数y ＝(2)x 和对数函数y ＝log 2x 的交点，点G (2，12

)在指数函数y ＝(22

)x 上，且在对数函数y ＝log 4x 上．故选C. 第Ⅱ卷(非选择题 共100分)

二、填空题(本大题共5个小题，每小题5分，共25分，把答案填在题中横线上)

11．(2013·湖南高考)已知集合U ＝{2,3,6,8}，A ＝{2,3}，B ＝{2,6,8}，则(?U A )∩B ＝________.

[答案] {6,8}

[解析] 本题考查的是集合的运算．

由条件知?U A ＝{6,8}，B ＝{2,6,8}，∴(?U A )∩B ＝{6,8}．

12．函数f (x )＝????? log 12x ，x ≥12x ，x <1的值域为________．

[答案] (－∞，2)

[解析] 可利用指数函数、对数函数的性质求解．

当x ≥1时，log 12 x ≤log 12

1＝0. ∴当x ≥1时，f (x )≤0

当x <1时，0<2x <21，即0

因此函数f (x )的值域为(－∞，2)．

13．用二分法求方程x 3＋4＝6x 2的一个近似解时，已经将一根锁定在区间(0,1)内，则下一步可断定该根所在的区间为________．

[答案] (12

，1) [解析] 设f (x )＝x 3－6x 2＋4，

显然f (0)>0，f (1)<0，

又f (12)＝(12)3－6×(12

)2＋4>0， ∴下一步可断定方程的根所在的区间为(12

，1)． 14．已知f (x 6)＝log 2x ，则f (8)＝________.

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5 [答案] 12

[解析] ∵f (x 6)＝log 2x ＝16

log 2x 6， ∴f (x )＝16

log 2x ， ∴f (8)＝16log 28＝16log 223＝12

. 15．已知函数f (x )＝x 2＋a x

(x ≠0，常数a ∈R )，若函数f (x )在x ∈[2，＋∞)上为增函数，则a 的取值范围为________．

[答案] (－∞，16]

[解析] 任取x 1，x 2∈[2，＋∞)，且x 1

则f (x 1)－f (x 2)＝x 21＋a x 1－x 22－a x 2

＝(x 1－x 2)x 1x 2

[x 1x 2(x 1＋x 2)－a ]， 要使函数f (x )在x ∈[2，＋∞)上为增函数，需使f (x 1)－f (x 2)<0恒成立．

∵x 1－x 2<0，x 1x 2>4>0，

∴a

又∵x 1＋x 2>4，∴x 1x 2(x 1＋x 2)>16，∴a ≤16，

即a 的取值范围是(－∞，16]．

三、解答题(本大题共6个小题，满分75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

16．(本小题满分12分)设全集U 为R ，A ＝{x |x 2＋px ＋12＝0}，B ＝{x |x 2－5x ＋q ＝0}，若(?U A )∩B ＝{2}，A ∩(?U B )＝{4}，求A ∪B .

[解析] ∵(?U A )∩B ＝{2}，A ∩(?U B )＝{4}，

∴2∈B,2?A,4∈A,4?B ，根据元素与集合的关系，

可得????? 42＋4p ＋12＝022－10＋q ＝0，解得?????

p ＝－7，q ＝6. ∴A ＝{x |x 2－7x ＋12＝0}＝{3,4}，B ＝{x |x 2－5x ＋6＝0}＝{2,3}，经检验符合题意． ∴A ∪B ＝{2,3,4}．

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6 17．(本小题满分12分)(1)不用计算器计算：log 327＋lg25＋lg4＋7log 72＋(－9.8)0

(2)如果f (x －1x )＝(x ＋1x

)2，求f (x ＋1)． [解析] (1)原式＝log 3332 ＋lg(25×4)＋2＋1

＝32＋2＋3＝132

. (2)∵f (x －1x )＝(x ＋1x

)2 ＝x 2＋1x 2＋2＝(x 2＋1x 2－2)＋4 ＝(x －1x

)2＋4 ∴f (x )＝x 2＋4

∴f (x ＋1)＝(x ＋1)2＋4

＝x 2＋2x ＋5.

18．(本小题满分12分)(1)定义在(－1,1)上的奇函数f (x )为减函数，且f (1－a )＋f (1－a 2)>0，求实数a 的取值范围．

(2)定义在[－2,2]上的偶函数g (x )，当x ≥0时，g (x )为减函数，若g (1－m )

[解析] (1)∵f (1－a )＋f (1－a 2)>0，

∴f (1－a )>－f (1－a 2)．

∵f (x )是奇函数，

∴f (1－a )>f (a 2－1)．

又∵f (x )在(－1,1)上为减函数，

∴????? 1－a

－1<1－a 2<1，解得1

(2)因为函数g (x )在[－2,2]上是偶函数，

则由g (1－m )

又当x ≥0时，g (x )为减函数，得到

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7 ?????

|1－m |≤2，|m |≤2，

|1－m |>|m |， 即????? －1≤m ≤3，－2≤m ≤2，(1－m )2>m 2，

解之得－1≤m <12

. 19．(本小题满分12分)已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，并且当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝2x .

(1)求f (log 213

)的值； (2)求f (x )的解析式．

[解析] (1)因为f (x )为奇函数，且当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝2x ，

所以f (log 213

)＝f (－log 23)＝－f (log 23) ＝－2log 23＝－3.

(2)设任意的x ∈(－∞，0)，则－x ∈(0，＋∞)，

因为当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝2x ，所以f (－x )＝2－x ，

又因为f (x )是定义在R 上的奇函数，则f (－x )＝－f (x )，

所以f (x )＝－f (－x )＝－2－x ，

即当x ∈(－∞，0)时，f (x )＝－2－x ；

又因为f (0)＝－f (0)，所以f (0)＝0，

综上可知，f (x )＝????? 2x ，x >00，x ＝0

－2－x ，x <0.

20．(本小题满分13分)已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)和一次函数g (x )＝－bx (b ≠0)，其中a ，b ，c 满足a >b >c ，a ＋b ＋c ＝0(a ，b ，c ∈R )．

(1)求证：两函数的图像交于不同的两点；

(2)求证：方程f (x )－g (x )＝0的两个实数根都小于2.

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8 [解析] (1)若f (x )－g (x )＝0，则ax 2＋2bx ＋c ＝0，

∵Δ＝4b 2－4ac ＝4(－a －c )2－4ac

＝4[(a －c 2)2＋34

c 2]>0， 故两函数的图像交于不同的两点．

(2)设h (x )＝f (x )－g (x )＝ax 2＋2bx ＋c ，令h (x )＝0可得ax 2＋2bx ＋c ＝0.由(1)可知，Δ>0. ∵a >b >c ，a ＋b ＋c ＝0(a ，b ，c ∈R )，∴a >0，c <0，

∴h (2)＝4a ＋4b ＋c ＝4(－b －c )＋4b ＋c ＝－3c >0，

－2b 2a ＝－b a ＝a ＋c a ＝1＋c a

<2， 即有??? Δ>0a >0

h (2)>0

－2

b 2a <2，结合二次函数的图像可知，

方程f (x )－g (x )＝0的两个实数根都小于2.

21．(本小题满分14分)一片森林原来面积为a ，计划每年砍伐一些树，且每年砍伐面积的百分比相等，当砍伐到面积的一半时，所用时间是10年，为保护生态环境，森林面积至

少要保留原面积的14，已知到今年为止，森林剩余面积为原来的22

， (1)求每年砍伐面积的百分比；

(2)至今年为止，该森林已砍伐了多少年？

(3)今后最多还能砍伐多少年？

[解析] (1)设每年砍伐的百分比为x (0

则a (1－x )10＝12a ，即(1－x )10＝12

， 解得x ＝1－(12)110 . (2)设经过m 年剩余面积为原来的

22， 则a (1－x )m ＝

22a ， 即(12)m 10 ＝(12)12 ，m 10＝12

，

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9 解得m＝5，故到今年为止，已砍伐了5年．(3)设从今年开始，以后砍了n年，

则n年后剩余面积为

2

2a(1－x)

n，

令

2

2a(1－x)

n≥

1

4a，即(1－x)

n≥

2

4，

(

1

2)

n

10≥(1

2)

3

2，n

10≤

3

2，解得n≤15.

故今后最多还能砍伐15年．

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/yxee.html