专题五 匀速圆周运动万有引力xin

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专题五 匀速圆周运动 万有引力

一、走进高考

1.（2007）22．2007年4月24日，欧洲科学家宣布在太阳系之外发现了一颗可能适合人类居住的类地行星Gliese581c。这颗围绕红矮星Gliese581运行的星球有类似地球的温度，表面可能有液态水存在，距离地球约为20光年，直径约为地球的1.5倍，质量约为地球的5倍，绕红矮星Gliese581运行的周期约为13天。假设有一艘宇宙飞船飞临该星球表面附近轨道，下列说法正确是

A．飞船在Gliese581c表面附近运行的周期约为13天

B．飞船在Gliese581c表面附近运行时的速度大于7.9km/s C．人在Gliese581c上所受重力比在地球上所受重力大 D．Gliese581c的平均密度比地球平均密度小

2.（2008）18.据报道，我国数据中继卫星“天链一号Ol星”于2008年4月25日在西昌卫星发射中心发射升空，经过4次变轨控制后，于5月1日成功定点在东经770赤道上空的同步轨道。关于成功定点后的“天链一号01星”，下列说法正确的是 A运行速度大于7.9 km／s

B．离地面高度一定，相对地面静止

C绕地球运行的角速度比月球绕地球运行的角速度大 D向心加速度与静止在赤道上物体的向心加速度大小相等

3.（2009）18．2008年9月25日至28日我国成功实施了“神舟”七号载入航天飞行并实现了航天员首次出舱。飞船先沿椭圆轨道飞行，后在远地点343千米处点火加速，由椭圆轨道变成高度为343千米的圆轨道，在此圆轨道上飞船运行周期约为90分钟。下列判断正确的是（ ）

A．飞船变轨前后的机械能相等

轨道2 B．飞船在圆轨道上时航天员出舱前后都处于失重状态

轨道1 C．飞船在此圆轨道上运动的角度速度大于同步卫星运动的角速度 D．飞船变轨前通过椭圆轨道远地点时的加速度大于变轨后沿圆轨

Q P

道运动的加速度 地球

4.（2010）18.1970年4月24日，我过自行设计、制造的第一颗人造地球卫星“东方红一号”发射成功，开创了我国航天事业的新纪元。“东方红一号”的运行轨道为椭圆轨道，其近地点的M和远地点的N的高度分别为439km和2384km，则

A.卫星在M点的势能大于N点的势能

B.卫星在M点的角速度大于N点的角速度 C.卫星在M点的加速度大于N点的加速度

D.卫星在N点的速度大于7.9km/s

5.（2011）17.甲、乙为两颗地球卫星，其中甲为地球同步卫星，乙的运行高度低于甲的运行高度，两卫星轨道均可视为圆轨道。以下判断正确的是

A.甲的周期大于乙的周期

B.乙的速度大于第一宇宙速度 C.甲的加速度小于乙的加速度 D.甲在运行时能经过北极的正上方

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6.（2012）15.2011年11月3日，“神州八号”飞船与“天宫一号”目标飞行器成功实施了首次交会对接。任务完成后“天宫一号”经变轨升到更高的轨道，等待与“神州九号”交会对接。变轨前和变轨完成后“天宫一号”的运行轨道均可视为圆轨道，对应的轨道半径分别为R1、R2，线速度大小分别为v1、v2。则

3v1v2等于

A.

R1R32 B. R2R1C.

R2R221D.

R2R1

二、感悟高考

常考知识点：

1. 圆周运动的基本公式、实例分析

2. 受力分析、万有引力、天体运动、同步卫星、完全失重 3. 能量关系、机械能守恒

重要方法:

1. 物理方法：空间想象力

2. 数学方法：圆的知识、三角函数

情景模型：水平面、斜面、多物体系统、绳、杆、万有引力 答案： 1. BC 2. BC 3. BC 4. BC 5. AC 6. B

三、知识储备 （一）基础知识

1. 匀速圆周运动的基本概念和公式

（1）线速度大小（2）角速度

，方向沿圆周的切线方向，时刻变化； ，恒定不变量；

（3）周期与频率（4）向心力向与向心力相同；

；

，总指向圆心，时刻变化，向心加速度

，方

（5）线速度与角速度的关系为，、、、的关系为。

所以在、、中若一个量确定，其余两个量也就确定了，而还和有关。 2. 质点做匀速圆周运动的条件 （1）具有一定的速度；

（2）受到的合力（向心力）大小不变且方向始终与速度方向垂直。合力（向心力）与速度始终在一个确定不变的平面内且一定指向圆心。 3. 向心力有关说明

向心力是一种效果力。任何一个力或者几个力的合力，或者某一个力的某个分力，只要其效果是使物体做圆周运动的，都可以认为是向心力。做匀速圆周运动的物体，向心力就是物体所受的合力，总是指向圆心；做变速圆周运动的物体，向心力只是物体所受合外力在沿着半径方向上的一个分力，合外力的另一个分力沿着圆周的切线，使速度大小改变，所以向心力不一定是物体所受的合外力。

（二）解决圆周运动问题的步骤

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1. 确定研究对象；

2. 确定圆心、半径、向心加速度方向；

3. 进行受力分析，将各力分解到沿半径方向和垂直于半径方向； 4. 根据向心力公式，列牛顿第二定律方程求解。 基本规律：径向合外力提供向心力

（三）常见问题及处理要点 1. 皮带传动问题

例1：如图所示，为一皮带传动装置，右轮的半径为r，a是它边缘上的一点，左侧是一轮轴，大轮的半径为4r，小轮的半径为2r，b点在小轮上，到小轮中心的距离为r，c点和d点分别位于小轮和大轮的边缘上，若在传动过程中，皮带不打滑，则（ ）

A. a点与b点的线速度大小相等 B. a点与b点的角速度大小相等 C. a点与c点的线速度大小相等

D. a点与d点的向心加速度大小相等

点评：处理皮带问题的要点为：皮带（链条）上各点

以及两轮边缘上各点的线速度大小相等，同一轮上各点的角速度相同。 2. 水平面内的圆周运动

转盘：物体在转盘上随转盘一起做匀速圆周运动，物体与转盘间分无绳和有绳两种情况。无绳时由静摩擦力提供向心力；有绳要考虑临界条件。

例2：如图所示，水平转盘上放有质量为m的物体，当物块到转轴的距离为r时，连接物块和转轴的绳刚好被拉直（绳上张力为零）。物体和转盘间的最大静摩擦力是其正压力的

倍。

求：（1）当转盘的角速度时，细绳的拉力。

（2）当转盘的角速度

点评：当转盘转动角速度

时，细绳的拉力。

时，物体有绳相连和无绳连接是一样的，此时物体做圆周

运动的向心力是由物体与圆台间的静摩擦力提供的，求出。可见，是物体相对圆

台运动的临界值，这个最大角速度与物体的质量无关，仅取决于和r。这一结论同样适用于汽车在平路上转弯。

圆锥摆：圆锥摆是运动轨迹在水平面内的一种典型的匀速圆周运动。其特点是由物体所受的重力与弹力的合力充当向心力，向心力的方向水平。也可以说是其中弹力的水平分力提供向心力（弹力的竖直分力和重力互为平衡力）。

例3：小球在半径为R的光滑半球内做水平面内的匀速圆周运动，试分析图3中的（小球与半球球心连线跟竖直方向的夹角）与线速度v、周期T的关系。（小球的半径远小于R）。

，

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点评：可见，越大（即轨迹所在平面越高），v越大，T越小。本题的分析方法和结论同样适用于火车转弯、飞机在水平面内做匀速圆周飞行等在水平面内的匀速圆周运动的问题。共同点是由重力和弹力的合力提供向心力，向心力方向水平。 3. 竖直面内的圆周运动

竖直面内圆周运动最高点处的受力特点及题型分类。注意绳、杆的区别

这类问题的特点是：由于机械能守恒，物体做圆周运动的速率时刻在改变，所以物体在最高点处的速率最小，在最低点处的速率最大。物体在最低点处向心力向上，而重力向下，所以弹力必然向上且大于重力；而在最高点处，向心力向下，重力也向下，所以弹力的方向就不能确定了，要分三种情况进行讨论。

（1）弹力只可能向下，如绳拉球。这种情况下有则不能通过最高点；

，即

，否

（2）弹力只可能向上，如车过桥。在这种情况下有，，否则车将离开桥面，做平抛运动；

（3）弹力既可能向上又可能向下，如管内转（或杆连球、环穿珠）。这种情况下，速度大小v可以取任意值。但可以进一步讨论：a. 当

时物体受到的弹力必然是向上的；当

大小

时，向心力有两解

；当弹力大小

时物体受到的弹力必然是向下的；当时物体受到的弹力恰好为零。b. 当弹力

时，向心力只有一解

；

当弹力时，向心力等于零，这也是物体恰能过最高点的临界条件。 结合牛顿定律的题型

例4：如图所示，杆长为，球的质量为最高点处，杆对球的弹力大小为

，杆连球在竖直平面内绕轴O自由转动，已知在

，求这时小球的瞬时速度大小。

（1）；

（2）

点评：本题是杆连球绕轴自由转动，根据机械能守恒，还能求出小球在最低点的即时速度。 需要注意的是：若题目中说明小球在杆的带动下在竖直面内做匀速圆周运动，则运动过程中小球的机械能不再守恒，这两类题一定要分清。

考虑圆周运动的周期性

例5. 如图所示，直径为d的纸质圆筒，以角速度ω绕轴O高速运动，有一颗子弹沿直径穿过圆筒，若子弹穿过圆筒的时间小于半个周期，在筒上先、后留下a、b两个弹孔，已知aO、bO间夹角为φ弧度，则子弹速度为

dω/（π－φ）

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结合能量的题型

例6：一内壁光滑的环形细圆管，位于竖直平面内，环的半径为R（比细管的半径大得多），在圆管中有两个直径与细管内径相同的小球A、B，质量分别为经过最低点的速度都是合力为零，那么

、

、

，沿环形管顺时针运动，

，当A球运动到最低点时，B球恰好到最高点，若要此时作用于细管的、R和

应满足的关系是 。

由以上各式解得

点评：圆周运动与能量问题常联系在一起，在解这类问题时，除要对物体受力分析，运用圆周运动知识外，还要正确运用能量关系（动能定理、机械能守恒定律）。

连接问题的题型

例7：如图所示，一根轻质细杆的两端分别固定着A、B两个质量均为m的小球，O点是一光滑水平轴，已知，，使细杆从水平位置由静止开始转动，当B球转到O点正下方时，它对细杆的拉力大小是多少？

B球对细杆的拉力大小等于，方向竖直向下。

说明：杆件模型的最显著特点是杆上各点的角速度相同。这与后面解决双子星问题的共同点。 临界极值问题

例8：如图所示，用细绳一端系着的质量为另一端通过转盘中心的光滑小孔O吊着质量为

。若A与转盘间的最大静摩擦力为求转盘绕中心O旋转的角速度

的物体A静止在水平转盘上，细绳的小球B，A的重心到O点的距离为，为使小球B保持静止，

）

的取值范围。（取

点评：在水平面上做圆周运动的物体，当角速度变化时，物体有远离或向着圆心运动的（半径有变化）趋势。这时要根据物体的受力情况，判断物体受的某个力是否存在以及这个力存在时方向朝哪（特别是一些接触力，如静摩擦力、绳的拉力等）。 微元问题

例9：如图所示，露天娱乐场空中列车是由许多完全相同的车厢组成，列车先沿光滑水平轨道行驶，然后滑上一固定的半径为R的空中圆形光滑轨道，若列车全长为（

），R远大于一节车厢的长度和高度，那么列车在运行到圆环前的速度至少要多大，才能使整个列车安全通过固定的圆环轨道（车厢间的距离不计）？

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解析：当列车进入轨道后，动能逐渐向势能转化，车速逐渐减小，当车厢占满环时的速度最小。设运行过程中列车的最小速度为v，列车质量为m，则轨道上的那部分车的质量为

由机械能守恒定律得

由圆周运动规律可知，列车的最小速率数理问题---归纳法

，联立解得

例10：如图，光滑的水平桌面上钉有两枚铁钉A、B，相距，长的柔软细线一端拴在A上，另一端拴住一个质量为500g的小球，小球的初始位置在AB连线上A的一侧，把细线拉直，给小球以2m/s的垂直细线方向的水平速度，使它做圆周运动，由于钉子B的存在，使细线逐步缠在A、B上，若细线能承受的最大拉力，则从开始运动到细线断裂的时间为多少？

解析：小球转动时，由于细线逐步绕在A、B两钉上，小球的转动半径逐渐变小，但小球转动的线速度大小不变。

小球交替地绕A、B做匀速圆周运动，线速度不变，随着转动半径的减小，线中拉力

在第一个半圆内

不断增大，每转半圈的时间t不断减小。

，

在第二个半圆内，

在第三个半圆内，

在第n个半圆内令

，得

，

，即在第8个半圆内线还未断，n取8，经历的时间为

【精品练习】

1. 甲、乙两个物体均做匀速圆周运动，甲的质量和轨道半径均为乙的一半，当甲转过 60°时，乙在这段时间里正好转过45°，则甲乙两个物体的向心力之比为 （ ）

A.

B.

C.

D.

2. 以相同的材料做成的A、Ｂ、C三物体放在匀速转动的平台上，若都相对于平台静止，且，，则（ ）

A. C的向心加速度最大 B. A受到的摩擦力最大

C. 转速增大时，C比B先滑动

D. 转速增大时，B比A先滑动

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3. 一个内壁光滑的圆锥形筒固定在水平面上，如图所示。有质量相同的小球A和B沿着筒的内壁在水平面内做匀速圆周运动，A球运动的半径大于B球运动的半径，则（ ）

A. A球的角速度必小于B球的角速度 B. A球的线速度必小于B球的线速度

C. A球运动的周期必大于B球的运动的周期 D. A球对筒壁的压力必大于B球对筒壁的压力

4. 如图所示，已知半圆形碗半径为R，质量为M，静止在地面上，质量为m的滑块滑到圆弧最底端速率为v，碗仍静止，此时地面受到碗的压力为（ ）

A. mg＋mC.

B. Mg＋mg＋m

D. Mg＋mg—m

5. 如图所示，在光滑的以角速度ω旋转的水平细杆上，穿有质量分别为m和M的两球，两球用轻细线连接，若M>m，则（ ）

A. 当两球离轴距离相等时，两球相对杆不动

B. 当两球离轴距离之比等于质量之比时，两球相对杆都不动 C. 若转速为ω时，两球相对杆都不动，转速为2ω时两球也不动 D. 若两球相对杆滑动，一定向同一方向，不会相向滑动

6. 如图所示，在光滑水平面上放一小球以某速度运动到A点，遇到一段半径为R的圆弧曲面AB，然后落到水平地面的C点，假如小球没有跟圆弧曲线上的任何点接触，则BC的最小距离为（ ）

R D. （－1）R

7、雨伞半径为R，高出地面h，雨伞以角速度ω旋转时，雨滴从伞边缘飞出 （ ） A. 沿飞出点半径方向飞出，做平抛运动。 B. 沿飞出点切线方向飞出，做平抛运动。

C. 雨滴落在地面上后形成一个和伞半径相同的圆圈。

D. 雨滴落在地面上后形成一个半径r＝R 的圆圈。

8、如图所示，长为L的细线，一端固定在O点，另一端系一个球.把小球拉到与悬点O处于同一水平面的A点，并给小球竖直向下的初速度，使小球绕O点在竖直平面内做圆周运动。要使小球能够在竖直平面内做圆周运动，在A处小球竖直向下的最小初速度应为（ ）

A.

9、在质量为M的电动机飞轮上，固定着一个质量为m的重物，重物到轴的距离为R，如图所示，为了使电动机不从地面上跳起，电动机飞轮转动的最大角速度不能超过（ ）

B.

C.

D.

A. 0 B. R C.

A. B.

C.

D.

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10、如图，细杆的一端与一小球相连，可绕过O点的水平轴自由转动现给小球一初速度，使它做圆周运动，图中a、b分别表示小球轨道的最低点和最高点，则杆对球的作用力可能是（ ）

A. a处为拉力，b处为拉力 B. a处为拉力，b处为推力 C. a处为推力，b处为拉力 D. a处为推力，b处为推力

11（04全国卷）．如图所示，轻杆的一端有一个小球，另一端有光滑的固定轴O。现给球一初速度，使球和杆一起绕O轴在竖直面内转动，不计空气阻力，用F表示球到达最高点时杆对小球的作用力，则F（ ）

A．一定是拉力 B．一定是推力 C．一定等于0 D．可能是拉力，可能是推力，也可能等于0

12．2002夏季高考理综上海卷下图是上海锦江乐园新建的“摩天转轮”，它的直径达98米；世界排名第五。游人乘坐时，转轮始终不停地匀速转动，每转一周用时25分钟，每个箱轿共有6个座位。试判断下列说法中正确的是

A.每时每刻，每个人受到的合力都不等于零 B．每个乘客都在做加速度为零的匀速运动 C．乘客在乘坐过程中对座位的压力始终不变 D．乘客在乘坐过程中的机械能始终保持不变

13. 08年高考江苏卷物理如图所示，一根不可伸长的轻绳两端各系一个小球a和b,跨在两根固定在同一高度的光滑水平细杆上，质量为3m的a球置于地面上，质量为m的b球从水平位置静止释放。当a球对地面压力刚好为零时，b球摆过的角度为θ.下列结论正确的是

(A)θ=90? (B)θ=45?

(C)b球摆动到最低点的过程中，重力对小球做功的功率先增大后减小 (D)b球摆动到最低点的过程中，重力对小球做功的功率一直增大

14．2003夏季高考物理上海卷一质量不计的直角形支架两端分别连接质量为m和2m的小球A和B。支架的两直角边长度分别为2l和l，支架可绕固定轴O在竖直平面内无摩擦转动，如图所示。开始时OA边处于水平位置，由静止释放，则 A．A球的最大速度为2

gl

B．A球速度最大时，两小球的总重力势能最小

C．A球速度最大时，两直角边与竖直方向的夹角为45° D．A、B两球的最大速度之比vA:vB?2:1

15、08年高考海南卷物理如图，一轻绳的一端系在固定粗糙斜面上的O点，另一端系一小球．给小球一足够大的初速度，使小球在斜面上做圆周运动．在此过程中， A．小球的机械能守恒

B．重力对小球不做功

C．绳的张力对小球不做功

D．在任何一段时间内，小球克服摩擦力所做的功总是等于小球动能的减少

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16. 如图所示，高为h竖直圆筒内壁光滑，半径为R，顶部有入口A，在A的正下方处有出口B，一质量为m的小球自入口A沿切线方向水平射入圆筒内，要使球从B处飞出，小球进入入口A的速度应满足什么条件?在运动过程中，球对筒压力多大?

17、如图所示在方向竖直向下的匀强电场中，一个带负电q，质量为m且重力大于所受电场力的小球，从光滑的斜面轨道的点A由静止下滑，若小球恰能通过半径为R的竖直圆形轨道的最高点B而做圆周运动，问点A的高度h至少应为多少？ 5R/2

18. 如图所示，在光滑水平面上固定相距40cm的两个钉子A和B，长1m的细绳一端系着质量为0.4kg的小球，另一端固定在钉子A上，开始时小球和钉子A、B在同一直线上，小球始终以2m/s的速率，在水平面上做匀速圆周运动，若细绳能够承受最大拉力为4N，那么从开始到细绳断开所经历的时间是多少？

19、（2009年广东物理）17．（1）为了清理堵塞河道的冰凌，空军实施投弹爆破。飞机在河道上空高H处以速度v0水平匀速飞行，投掷下炸弹并击中目标。求炸弹刚脱离飞机到击中目标所飞行的水平距离及击中目标时的速度大小。（不计空气阻力） （2）如图17所示，一个竖直放置的圆锥筒可绕其中心轴OO?转动，筒内壁粗糙，筒口半径和筒高分别为R和H，筒内壁A点的高度为筒高的一半。内壁上有一质量为m的小物块。求

①当筒不转动时，物块静止在筒壁A点受到的摩擦力和支持力的大小； ②当物块在A点随筒做匀速转动，且其所受到的摩擦力为零时，筒转动的角速度。

答案：（1）2gH?v0；（2）①

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2mgRR?H22，②2gHR

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20. 如图所示，位于竖直平面上的1／4圆轨道，半径为R，OB沿竖直方向，上端A距地面的高度为H，质量为m的小球从A点由静止释放，最后落在地面上C点处，不计空气阻力，求：

（1）小球运动到B点时，对轨道的压力多大？ （2）小球落地点C与B点的水平距离s为多少？

（3）比值R／H为多少时，小球落地点C与B点的水平距离s最远？该水平距离的最大值是多少？

21、（2009年安徽卷）24．过山车是游乐场中常见的设施。下图是一种过山车的简易模型，它由水平轨道和在竖直平面内的三个圆形轨道组成，B、C、D分别是三个圆形轨道的最低点，B、C间距与C、D间距相等，半径R1=2.0m、R2=1.4m。一个质量为m=1.0kg的小球（视为质点），从轨道的左侧A点以v0=12.0m/s的初速度沿轨道向右运动，A、B间距L1=6.0m。小球与水平轨道间的动摩擦因数μ=0.2，圆形轨道是光滑的。假设水平轨道足够长，圆形轨道间不相互重叠。重力加速度取g=10m/s，计算结果保留小数点后一位数字。试求

（1）小球在经过第一个圆形轨道的最高点时，轨道对小球作用力的大小；

（2）如果小球恰能通过第二圆形轨道，B、C间距L应是多少；

（3）在满足（2）的条件下，如果要使小球不能脱离轨道，在第三个圆形轨道的设计中，半径R3应满足的条件；小球最终停留点与起点A的距离。

第一圈轨道

第二圈轨道

R1 B

L1

答案：（1）10.0N；（2）12.5m

(3) 当0?R3?0.4m时， L??36.0m；当1.0m?R3?27.9m时， L???26.0m

答案：1. C 2.D 3. AC 4. B 5.CD 6.D 7.BD 8.C 9.B 10.AB 11.D 12.A 13.AC 14.BCD 15.C

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2

第三圈轨道

R3 D

L

A v0

R2 C

L

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20.解析：（1）小球沿圆弧做圆周运动，在B点由牛顿第二定律有NB－mg＝mv2/R ①

由A至B，机械能守恒，故有mgR＝?mv2 ② 由此解出NB＝3mg

（2）小球离B点后做平抛运动：在竖直方向有：H－R＝?gt2 ③ 水平方向有：s＝vt ④ 由②③④解出：s＝

⑤

（3）由⑤式得s＝ ⑥ 由⑥式可知当R＝H/2时，s有最大值，且为smax＝H

答案：NB＝3mg；

时，smax＝H

12gt

219.【解析】（1）设飞行的水平距离为s，在竖直方向上H?2Hg得飞行时间为 t? 则飞行的水平距离为 s?v0t?v02Hg 设击中目标时的速度为v，飞行过程中，由机械能守恒得

mgH?12mv0?212mv

2FN 2gH?v0

2Ff θ mg mgcosθ

得击中目标时的速度为 v?（2）物块受力如图所示

mgsinθ 0go?s?①由平衡条件得 FN?mcFf?mgsin??0

其中sin??HR?H22 得摩擦力为 Ff?mgsin??mgHR?HmgRR?H2222

支持力为 FN?mgcos??②这时物块的受力如图所示

FN R2由牛顿第二定律得 mgta?n?m?am?

2ma θ mg 得筒转动的角速度为 ??2gtan?R?2gHR

21.【解析】（1）设小于经过第一个圆轨道的最高点时的速度为v1根据动能定理

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??mgL1?2mgR1?12mv1?212mv0 ①

2 小球在最高点受到重力mg和轨道对它的作用力F，根据牛顿第二定律 F?mg?mv12R1 ②

由①②得 F?10.0N ③ （2）设小球在第二个圆轨道的最高点的速度为v2，由题意 mg?mv22R2 ④

1212 ??mg?L1?L??2mgR2?mv2?2mv0 ⑤

2由④⑤得 L?12.5m ⑥ （3）要保证小球不脱离轨道，可分两种情况进行讨论：

I．轨道半径较小时，小球恰能通过第三个圆轨道，设在最高点的速度为v3，应满足 mg?mv32R3 ⑦

1212 ??mg?L1?2L??2mgR3?由⑥⑦⑧得 R3?0.4m

mv3?2mv0 ⑧

2II．轨道半径较大时，小球上升的最大高度为R3，根据动能定理 ??mg?L1?2L??2mgR3?0?解得 R3?1.0m

为了保证圆轨道不重叠，R3最大值应满足 ?R2?R3??L??R3-R2212mv0

2 2?2解得 R3=27.9m

综合I、II，要使小球不脱离轨道，则第三个圆轨道的半径须满足下面的条件 0?R3?0.4m 或 1.0m?R3?27.9m

当0?R3?0.4m时，小球最终焦停留点与起始点A的距离为L′，则 -?mgL??0?12mv0

2 L??36.0m

当1.0m?R3?27.9m时，小球最终焦停留点与起始点A的距离为L〞，则 L???L??2?L??L1?2L??26.0m

- 12 - 专题5

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（四）万有引力定律 （一）、开普勒行星运动定律 定律 内容 开普勒第一定律(轨道定律) 所有行星绕_____运动的轨道都是_____，太阳处在椭圆的一个焦点上 图示 开普勒第二定律(面积定律) 开普勒第三定律(周期定律) 所有行星的轨道的______的三次方跟它的公转____的二次方的比值都相等即等于k 例1．关于行星绕太阳运动的正确说法是（ ） A．所有行星都在同一椭圆轨道上绕太阳运动

B．行星绕太阳运动时， 太阳位于行星轨 道的中心处 C．离太阳越近的行星，运动周期越大[来源:学科网]

D．所有行星的轨道的半长轴的三次方跟公转周期的二次方的比值都相等

例2．在太阳系里有一千多颗小行星，某一颗行星绕日运行的半径是金星绕日运行半径的4倍，则两行星绕日运行的周期比为（ ）

A．1∶16 B．3 ∶1 C．8∶1 D．1∶1

例3．有一行星，距太阳的平均距离是地球到太阳平均距离的8倍，则该行星绕太阳公转的周期是_________年．

例4．设行星绕恒星的运动轨道是圆，则其运行周期T的平方与其运行轨道半径R的三次方之比为常数，即T2 / R3= K。那么K的大小 （ ） A．只与行星的质量有关 B．只与恒星的质量有关 C．与恒星和行星的质量都有关 D．与恒星的质量及行星的速率有关 （二）、万有引力定律

1．内容：自然界中任何两个物体都是相互吸引的，引力的方向沿两物体的连线，引力的大小F与这两个物体______________成正比，与这两个物体间____________成反比． 2．公式：F＝G对任意一个行星来说，它与_____的连线在相等的时间内扫过相等的_____ m1m2－11

N·m2/kg2，它是在牛顿发现万有引力定律一百年后英国2，其中G＝6.67×10

r物理学家卡文迪许利用扭秤装置测出的．

3．适用条件：公式适用于质点间的相互作用，当两物体间的距离远远大于物体本身的大小时，物体可视为质点，质量分布均匀的球体也可适用．r为两球心间的距离．

例5. 如图5－4－3所示，阴影区域是质量为M、半径为R的球体挖去一个小圆球后的剩余部分，所挖去的小圆球的球心和大球体球心间的距离是，小球的半径是，求球体剩余部分对球体外离

22球心O距离为2R、质量为m的质点P的引力．

RR - 13 - 专题5

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【解析】 万有引力定律只适用于两个质点间的作用，只有对均匀球体才可将其看成是质量全部集中在球心的一个质点，至于本题中不规则的阴影区，那是不能当成一个质点来处理的，故可用挖补法．

将挖去的球补上，则完整的大球对球外质点P的引力

F1＝G半径为的小球的质量

24R4RM1M′＝π()3·ρ＝π()3·＝M，

3232483

πR3

M′mGMm补上的小球对质点P的引力F2＝G＝2. 5250RR2

因而挖去小球后的阴影部分对质点P的引力

GMmGMm23GMmF＝F1－F2＝2－2＝2.

4R50R100R23GMm2 100R【规律总结】 采用割补法将不规则形状的物体转化为两个规则形状物体，可以将复杂问题简单化，有助于将陌生的实际问题转化为熟悉的物理模型．

三、万有引力定律在天体运动中的应用-----两种情景---两条思路 1．在地面附近的物体所受的万有引力近似等于物体的重力，F引＝mg，即G黄金代换GM＝gR2.（2）中心天体质量M= gR2/G 天体密度ρ＝＝

MmGMm＝ 2R24R2RMm＝mg，整理得（1）R2

MM3g＝. （3）星

V434πGRπR3

球表面g= GM/R. （4）高空g= GM/（R+h）. 例6、以下说法中正确的是 [ ]

A.质量为m的物体在地球上任何地方其重力都一样 B.把质量为m的物体从地面移到高空中，其重力变小 C.同一物体在赤道上的重力比在两极处重力大 D.同一物体在任何地方质量都是相同的

例7、假设火星和地球都是球体，火星的质量M火和地球的质量M地之比M火/M地=p，火星的半径R火和地球的半径R地之比R火/R地=q，那么火星表面处的重力加速度g火和地球表面处的重力的加速度g地之比等于[ ]

A.p/q2 B.pq C.p/q D.pq

例8、一个半径比地球大两倍，质量是地球质量的36倍的行星、同一物体在它表面上的重力是在地球表面上的______倍。离地面某一高度h处的重力加速度是地球表面重力加速度的 .

例9、已知火星的半径约为地球半径的1/2，火星质量约为地球质量的1/9。若一物体在地球表面所受重力比它在火星表面所受重力大49N，则这个物体的质量是______kg。

例10.在圆轨道上运动的质量为m的人造卫星，它到地面的距离等于地球半径r，地面上的重力加速度为g，则

2

22

- 14 - 专题5

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A 卫星运动的速度为2gr 2r/g

B 卫星运动的周期为4π

C 卫星运动的加速度为g/2 D 卫星的角速度为(mgr)/4

例11．设地面附近重力加速度为g0，地球半径为R0，人造地球卫星圆形运行轨道半径为R，那么以下说法正确的是 ( )

2.天体运动都可近似地看成匀速圆周运动，其向心力由万有引力提供，即F引＝F向． 一般有以下几种表述形式：

2

Mmv24π2

即G2=ma＝ m＝m rω＝m r 2＝mr(2nf)2=mvw

rrT(1) F,a,V,W,T,a与r关系：

向心力F和向心加速度a：由F＝G2=ma可得，随着轨道半径的增加，卫星的向心力和向心加速度都减小．

MmrMG，随着轨道半径的增加，卫星的线速度减小． rM角速度ω＝ G3，随着轨道半径的增加，做匀速圆周运动的卫星的角速度减小．

rr3

周期T＝2π ，随着轨道半径的增加，卫星的周期增大．

GM线速度v＝ 例12．人造地球卫星在环形轨道上绕地球运转，它的轨道半径、周期和环绕速度的关系是（ ） A．半径越小，速度越小，周期越小 B．半径越小，速度越大，周期越小 C．半径越大，速度越大，周期越小 D．半径越大，速度越小，周期越小

例13．设想人类开发月球，不断把月球上的矿藏搬运到地球上，假定经过长时间开采后，地球

仍可看做是均匀的球体，月球仍沿开采前的圆周轨道运动．则与开采前相比 （ ）

A．地球与月球的万有引力将变大 B．地球与月球的万有引力将变小 C．月球绕地球运动的周期将变长 D．月球绕地球运动的周期将变短

例14．两颗人造地球卫星，都绕地球作圆周运动，它们的质量相等，轨道半径之比r1 /r2=1/2，则它们的速度大小之比v1/v2等于

（ ）

A． 2 B． C． 1/2 D． 4

例15．人造卫星在轨道上绕地球做圆周运动，它所受的向心力F跟轨道半径r的关系是（ ）

A．由公式F= GMm2

B．由公式F=mrω可知F和r成正比 2 可知F和r成反比 rv2

D．由公式F= m可知F和r成反比

rC．由公式F=mvω可知F和r无关

例16．两行星A和B各有一颗卫星a和b，卫星的圆轨道接近各自行星表面，如果两行星质量之

比Ma：Mb=2 : 1，两行星半径之比Ra：Rb=1 : 2，则两个卫星周期之比Ta：Tb为

- 15 - 专题5

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（ ） A．1 : 4 B．1 : 2 C．1 : 1 D．4 : 1

例17．两颗人造卫星A、B绕地球作圆周运动， 周期之比为Ta:Tb=1:8，则轨道半径之比和运动速率之比分别为 （ ） A．Ra:Rb=4:1， va:vb=1:2 B．Ra:Rb=4:1， va:vb=2:1 C．Ra:Rb=1:4， va:vb=2:1 D．Ra:Rb=1:4， va:vb=1:2

例18．人造地球卫星在运行中，由于受到稀薄大气的阻力作用，其运动轨道半径会逐渐减小，在此进程中，以下说法中正确的是 （ ）

A．卫星的速率将增大 B．卫星的周期将增大 C．卫星的向心加速度将增大 D．卫星的向心力将减小

例19．假如一作圆周运动的人造地球卫星的轨道半径增大到原来的2倍，仍作圆周运动，则 （ ）

A.根据公式v=ωr，可知卫星的线速度将增大到原来的2倍

（2）天体质量M、密度ρ的估算：若测出卫星绕天体做匀速圆周运动的半径r和周期T.由G2＝4π23MM3πm2r得M＝2r，ρ＝＝＝23r3，其中r0为天体的半径，当卫星沿天体表面绕天体运TGTV43GTr0

πr034π

动时，r＝r0，则ρ＝

3π

2

MmrGT2

. 例20．为了计算一个天体的质量，需要知道绕着该天体做匀速圆周运动的另一星球的条件是 （ ） A．质量和运转周期 B．运转周期和轨道半径 C．运转速度和轨道半径 D．运转速度和质量

例21.(2009年高考全国卷Ⅰ)天文学家新发现了太阳系外的一颗行星．这颗行星的体积是地球的4.7倍，质量是地球的25倍．已知某一近地卫星绕地球运动的周期约为1.4小时，引力常量G＝6.67×10－11N·m2/kg2，由此估算该行星的平均密度为( ) A．1.8×103 kg/m3 B．5.6×103 kg/m3 C．1.1×104 kg/m3 D．2.9×104 kg/m3

Mm4π2R解析：选D.首先根据近地卫星绕地球运动的向心力由万有引力提供G2＝m2，可求出地球的

RT3M43

3，可得该行星的密度约为2.9×10 kg/m. 4πR例22．一宇宙飞船在一个星球表面附近做匀速圆周运动，宇航员要估测星球的密度，只需要测质量．然后根据ρ＝

定飞船的（ ）

A：环绕半径 B：环绕速度 C：环绕周期 D：环绕角速度 例23 ．已知万有引力恒量G，则还已知下面哪一选项的数据，可以计算地球的质量（ ）

A：已知地球绕太阳运行的周期及地球中心到太阳中心的距离．

- 16 - 专题5

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B：已知月球绕地球运行的周期及月球中心到地球中心的距离． C：已知人造地球卫星在地面附近绕行的速度和运行周期．

D：已知地球同步卫星离地面的高度． （3）三种宇宙速度：第一宇宙速度(环绕速度)v1＝___ km/s，是人造地球卫星的_____发射速度，也是人造地球卫星绕地球做圆周运动的_____环绕速度．

Mmv2

推导方法：①G2＝m v＝

rr环绕速度与发射速度的比较:

近地卫星的环绕速度v＝Mv2

G ② mg= m v=gR rrMG＝gR＝7.9 km/s，通常称为第一宇宙速度，它是地球周围所R有卫星的最大环绕速度，是在地面上发射卫星的最小发射速度．不同高度处的人造卫星在圆轨道上的运行速度v＝

MG，其大小随半径的增大而减小．但是，由于在人造地球卫星发射过程中R火箭要克服地球引力做功，所以将卫星发射到离地球越远的轨道所需的发射速度就越大．

第二宇宙速度(脱离速度)v2＝_____ km/s，是使物体挣脱地球引力束缚的_____发射速度． 第三宇宙速度(逃逸速度)v3＝_____ km/s，是使物体挣脱太阳束缚的最小发射速度． 提示：三种宇宙速度均指发射速度，不能理解为环绕速度．

例24．关于第一宇宙速度，下列说法正确的是 （ ） A．它是人造地球卫星绕地球飞行的最小速度 B．它是近地圆形轨道上人造地球卫星的运行速度 C．它是能使卫星进入近地圆形轨道的最小发射速度

D．它是卫星在椭圆轨道上运行时在近地点的速度

(4)．地球同步卫星：只能在赤道_______，与地球自转具有相同的______和________，相对地面静止，线速度,高度是一定的．其环绕的高度是________． 例25．通信卫星又叫同步卫星，下面关于同步卫星的说法中正确的是 A．所有的地球同步卫星都位于地球的赤道平面内

B．所有的地球同步卫星的质量都相等

C．所有的地球同步卫星绕地球作匀速圆周运动的角速度都相等 D．所有的地球同步卫星离地心的距离都相等

（ ）

例26．地球上有两位相距非常远的观察者，都发现自己的正上方有一颗人造地球卫星，相对自己静止不动，则这两位观察者的位置及两人造卫星到地球中心的距离可能是（ ） A．一人在南极，一人在北极，两卫星到地球中心的距离一定相等

B．一人在南极，一人在北极，两卫星到地球中心的距离可以不等，但应成整数倍 C．两人都在赤道上，两卫星到地球中心的距离一定相等

D．两人都在赤道上，两卫星到地球中心的距离可以不等，但应成整数倍

(5)．人造地球卫星的超重和失重

①③人造地球卫星在发射升空时，有一段加速运动；在返回地面时，有一段减速运动．这两个过程加速度方向均向上，因而都是超重状态．

②人造地球卫星在沿圆轨道运行时，由于万有引力提供向心力，因此处于完全失重状态．在这种情况下凡是与重力有关的力学现象都不会发生．因此，在卫星上的仪器，凡是制造原理与重力有关的均不能使用．同理，与重力有关的实验也将无法进行．

- 17 - 专题5

例27．绕地球作匀速圆周运动的人造地球卫星内，其内物体处于完全失重状态，则物体

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（ ）

A．不受地球引力作用 B．所受引力全部用来产生向心加速度

C．加速度为零 D．物体可在飞行器悬浮

例28.2008年9月27日“神舟七号”宇航员翟志刚顺利完成出舱活动任务，他的第一次太空行走标志着中国航天事业全新时代的到来．“神舟七号”绕地球做近似匀速圆周运动，其轨道半径为r，若另有一颗卫星绕地球做匀速圆周运动的半径为2r，则可以确定( ) A．卫星与“神舟七号”的加速度大小之比为1∶2 B．卫星与“神舟七号”的线速度大小之比为1∶2 C．翟志刚出舱后不再受地球引力

D．翟志刚出舱任务之一是取回外挂的实验样品，假如不小心实验样品脱手，则它做自由落体运动

(6)卫星在轨、变轨问题

1．卫星的轨道

(1)赤道轨道：卫星的轨道在赤道平面内．同步卫星就是其中的一种．

(2)极地轨道：卫星的轨道过南北两极，即在垂直于赤道的平面内．如定位卫星系统中的卫星轨道．

(3)其他轨道：除以上两种轨道外的卫星轨道 2．卫星的稳定运行与变轨运行分析 (1)圆轨道上的稳定运行

Mmv22

若卫星所受万有引力等于做匀速圆周运动的向心力，将保持匀速圆周运动，即G2＝m＝mrω

rr＝mr(

2π

T)

2

(2)变轨运行分析

当卫星由于某种原因速度突然改变时(开启或关闭发动机或空气阻力作用)，万有引力就不再等于向心力，卫星将做变轨运行．

v2

当v增大时，所需向心力m增大，即万有引力不足以提供向心力，卫星将做离心运动，脱离原r来的圆轨道，轨道半径变大，但卫星一旦进入新的轨道运行，由v＝但重力势能、机械能均增加．

GM知其运行速度要减小，rmv2

②当卫星的速度突然减小时，向心力减小，即万有引力大于卫星所需的向心力，因此卫星将

r做向心运动，同样会脱离原来的圆轨道，轨道半径变小，进入新轨道运行时由v＝ GM知运行r速度将增大，但重力势能、机械能均减少．(卫星的发射和回收就是利用了这一原理)． 【名师点睛】：(1)一切地球卫星的轨道圆心都与地心重合．

(2)卫星的变轨问题是离心运动和近心运动的具体应用．

例29. 2010（江苏卷） 2009年5月，航天飞机在完成对哈勃空间望远镜的维修任务后，在A点从圆形轨道Ⅰ进入椭圆轨道Ⅱ，B为轨道Ⅱ上的一点，如图5－4－2所示．关于航天飞机的运动，下列说法中不正确的是( )

A．在轨道Ⅱ上经过A的速度小于经过B的速度

B．在轨道Ⅱ上经过A的动能小于在轨道Ⅰ上经过A的动能 C．在轨道Ⅱ上运动的周期小于在轨道Ⅰ上运动的周期

D．在轨道Ⅱ上经过A的加速度小于在轨道Ⅰ上经过A的加速度

解析：选D.航天飞机在椭圆轨道上运动，距地球越近，速度越大，A项正确．航天飞机在轨道

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章丘中学张士岩 内部资料 2012.7

Ⅰ经A点时减速才能过渡到轨道Ⅱ，所以对于A点在轨道Ⅰ上的速度、动能都大于轨道Ⅱ上的，即B正确．由开普勒第三定律知，航天飞机在轨道Ⅱ上的角速度大于在轨道Ⅰ的，故航天飞机在轨道Ⅱ上的周期小，即C正确．由万有引力

Gm1m2

＝m1a知，加速度仅与间距有关，D不正确． r2

例30. (2011年泉州高三统考)我国发射的“嫦娥二号”探月卫星简化后的路线示意图如图5－4－4所示，卫星由地面发射后经过发射轨

道进入停泊轨道，然后在停泊轨道经过调速后进入地月转移轨道，经过几次制动后进入工作轨道，卫星开始对月球进行探测．已知地球与月球的质量之比为a，卫星的停泊轨道与工作轨道的半径之比为b，卫星在停泊轨道和工作轨道上均可视为做匀速圆周运动，则卫星( )

①在停泊轨道和工作轨道运行的速度之比为 ②在停泊轨道和工作轨道运行的周期之比为

a bb a③在停泊轨道运行的速度大于地球的第一宇宙速度 ④从停泊轨道进入地月转移轨道时，卫星必须加速 A．①② B．①②③ C．①④ D．①②③④ 【思路点拨】 解决此题的关键是：

(1)利用万有引力充当向心力判断速度、周期与轨道半径的关系． (2)根据卫星变轨问题的条件分析速度变化．

Mmv2

【解析】 由G2＝m得v＝

rrT1

得＝ T2

r3M21

3·＝ r2M1

Mv1

G，所以＝ rv2M1r2

＝ M2r1aMm4π2，选项①正确．由G2＝m2rbrTb3

，选项②错误．由v＝ aMG可知，轨道半径越大，运行速度越小，所r以选项③错误．要使卫星从停泊轨道进入地月转移轨道，必须使卫星做离心运动，即应增加卫星的动能，选项④正确．故选项C正确． 答案】 C

【规律总结】 卫星的速度增大，应做离心运动，要克服万有引力做负功，其动能要减小，速度也减小，所以稳定后速度减小与卫星原来速度增大并不矛盾，这正是能量守恒定律的具体体现． (7)双星问题

例31.(2011年山东济南模拟)天文学家将相距较近、仅在彼此的引力作用下运行的两颗恒星称为双星．双星系统在银河系中很普遍．利用双星系统中两颗恒星的运动特征可推算出它们的总质量．已知某双星系统中两颗恒星围绕它们连线上的某一固定点分别做匀速圆周运动，周期均为T，两颗恒星之间的距离为r，试推算这个双星系统的总质量．(引力常量为G)

解决双星问题关键是搞清每个星的轨道半径和距离的区别．结合共同的角速度，利用万有引力充当向心力计算．

设两颗恒星的质量分别为m1、m2，做圆周运动的半径分别为r1、r2，角速度分别为ω1、ω2.根据题意有

ω1＝ω2①(1分) r1＋r2＝r②(1分)

根据万有引力定律和牛顿运动定律，有

Gm1m22

2＝m1ω1r1③(1分) r- 19 - 专题5

章丘中学张士岩 内部资料 2012.7

Gm1m22

2＝m2ω2r2④(1分) r联立以上各式解得

2

m1＋m2＝ω21(r1＋r2)r/G⑤(1分) 根据角速度与周期的关系知

2π

ω1＝ω2＝⑥(1分)

T联立②⑤⑥式解得

2

4π3

m1＋m2＝2r.(2分)

TG4π

2

TG2

r3

“双星系统”具有以下特点：

(1)彼此间的万有引力是双星各自做圆周运动的向心力——作用力和反作用力． (2)双星具有共同的角速度．

(3)双星始终与它们共同的圆心在同一条直线上．

【精品练习】

1.（2012安徽卷）.我国发射的“天宫一号”和“神州八号”在对接前，“天宫一号”的运行轨道高度为350km,“神州八号”的运行轨道高度为343km.它们的运行轨道均视为圆周，则 ( )

A．“天宫一号”比“神州八号”速度大 B．“天宫一号”比“神州八号”周期长

C．“天宫一号”比“神州八号”角速度大 D．“天宫一号”比“神州八号”加速度大

2.（2012江苏卷）．2011年8月，“嫦娥二号”成功进入了绕“日地拉格朗日点”的轨道，我国成为世界上第三个造访该点的国家，如图所示，该拉格朗日点位于太阳与地球连线的延长线上，一飞行器位于该点，在几乎不消耗燃料的情况下与地球同步绕做圆周运动，则此飞行器的

A．线速度大于地球的线速度

B．向心加速度大于地球的向心加速度 C．向心力仅由太阳的引力提供

太阳 拉格朗日点

地球 太阳

D．向心力仅由地球的引力提供 3.（2012重庆卷）．冥王星与其附近的星体卡戎可视为双星系统，质量比约为7：1，同时绕它们连线上某点O做匀速圆周运动。由此可知冥王星绕O点运动的

A． 轨道半径约为卡戎的1/7

B． 角速度大小约为卡戎的1/7 C． 线度大小约为卡戎的7倍 D． 向心力小约为卡戎的7倍

4.（2012海南卷）.2011年4月10日，我国成功发射第8颗北斗导航卫星，建成以后北斗导航卫星系统将包含多可地球同步卫星，这有助于减少我国对GPS导航系统的依赖，GPS由运行周期为12小时的卫星群组成，设北斗星的同步卫星和GPS导航的轨道半径分别为R1和R2，向心加

3速度分别为a1和a2，则R1:R2=____ 4_。a1:a2=_____

- 20 - 专题5

324（可用根式表示）

章丘中学张士岩 内部资料 2012.7

5.（2012广东卷）.如图6所示，飞船从轨道1变轨至轨道2。若飞船在两轨道上都做匀速圆周运动，不考虑质量变化，相对于在轨道1上，飞船在轨道2上的

A.动能大

B.向心加速度大

C.运行周期长 D.角速度小

6.（2012北京高考卷）．关于环绕地球卫星的运动，下列说法正确的是 A．分别沿圆轨道和椭圆轨道运行的两颗卫星，不可能具有相同的周期 B．沿椭圆轨道运行的一颗卫星，在轨道不同位置可能具有相同的速率

C．在赤道上空运行的两颗地球同步卫星，它们的轨道半径有可能不同

D．沿不同轨道经过北京上空的两颗卫星，它们的轨道平面一定会重合

7.（2012福建卷）．一卫星绕某一行星表面附近做匀速圆周运动，其线速度大小为v0假设宇航员在该行星表面上用弹簧测力计测量一质量为m的物体重力，物体静止时，弹簧测力计的示数为

N0，已知引力常量为G,则这颗行星的质量为

2mvA．

GN7

mv B.

4GNNvC．

2GmNv D.

7

4Gm

8.（2012四川卷）．今年4月30日，西昌卫星发射中心发射的中圆轨道卫星，其轨道半径为2.8×l0m。它与另一颗同质量的同步轨道卫星（轨道半径为4.2×l0m）相比 A．向心力较小 B．动能较大

C．发射速度都是第一宇宙速度 D．角速度较小

9.(2012全国新课标).假设地球是一半径为R、质量分布均匀的球体。一矿井深度为d。已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零。矿井底部和地面处的重力加速度大小之比为

A.1?C. (dRR?ddRR B. 1?) D. (2 )

2RR?d10.（2012浙江卷）．如图所示，在火星与木星轨道之间有一小行星带。假设该带中的小行星只

受到太阳的引力，并绕太阳做匀速圆周运动。下列说法正确的是（ ）

A.太阳队各小行星的引力相同

B.各小行星绕太阳运动的周期均小于一年

C.小行星带内侧小行星的向心加速度值大于外侧小行星的向心加速度值

D.小行星带内个小行星圆周运动的线速度值大于地球公转的线速度值

11.（2012天津卷）.一人造地球卫星绕地球做匀速圆周运动，加入该卫星变轨后仍做匀速圆周运动，动能减小为原来的

14，不考虑卫星质量的变化，则变轨前后卫星的（ ）

A．向心加速度大小之比为4:1 B．角速度大小之比为2:1

C．周期之比为1:8 D．轨道半径之比为1:2

12.（2011全国卷1）．我国“嫦娥一号”探月卫星发射后，先在“24小时轨道”上绕地球运行(即绕地球一圈需要24小时)；然后，经过两次变轨依次到达“48小时轨道”和“72小时轨道”；

- 21 - 专题5

章丘中学张士岩 内部资料 2012.7

最后奔向月球。如果按圆形轨道计算，并忽略卫星质量的变化，则在每次变轨完成后与变轨前相比，

A．卫星动能增大，引力势能减小 B．卫星动能增大，引力势能增大

C．卫星动能减小，引力势能减小 D．卫星动能减小，引力势能增大 13（2011天津）． 质量为m的探月航天器在接近月球表面的轨道上飞行，其运动视为匀速圆周

运动。已知月球质量为M，月球半径为R，月球表面重力加速度为g，引力常量为G，不考

虑月球自转的影响，则航天器的 A．线速度v?GMR B．角速度??gR

C．运行周期T?2?Rg D．向心加速度a?GMR2

14.(2011广东).已知地球质量为M，半径为R，自转周期为T，地球同步卫星质量为m，引力常量为G。有关同步卫星，下列表述正确的是

3

A.卫星距离地面的高度为

GMT4?22 B.卫星的运行速度小于第一宇宙速度 C.卫星运行时受到的向心力大小为G 2RD.卫星运行的向心加速度小于地球表面的重力加速度

Mm15．地球赤道上有一物体随地球的自转而做圆周运动，所受的向心力为F1，向心加速度为a1，线速度为v1，角速度为ω1；绕地球表面附近做圆周运动的人造卫星（高度忽略）所受的向心力为F2，向心加速度为a2，线速度为v2，角速度为ω2;地球同步卫星所受的向心力为F3，向心加速度为a3，线速度为v3，角速度为ω3；地球表面重力加速度为g，第一宇宙速度为v，假设三者质量相等，则 （ ） A．F1=F2＞F3 B．a1=a2=g＞a3 C．v1=v2=v＞v3 D．ω1=ω3＜ω2

16. 2010（全国卷2）21.已知地球同步卫星离地面的高度约为地球半径的6倍。若某行星的平均密度为地球平均密度的一半，它的同步卫星距其表面的高度是其半径的2.5倍，则该行星的自转周期约为

A．6小时 B. 12小时 C. 24小时 D. 36小时

17. 2010（北京卷）16．一物体静置在平均密度为?的球形天体表面的赤道上。已知万有引力常量Ｇ，若由于天体自转使物体对天体表面压力恰好为零，则天体自转周期为

Ａ．(4?3G?1) Ｂ．(234?G?1) Ｃ．(2?G?1) Ｄ．(23?G?1)2

18. 2010（上海物理）15. 月球绕地球做匀速圆周运动的向心加速度大小为a，设月球表面的重力加速度大小为g1，在月球绕地球运行的轨道处由地球引力产生的加速度大小为g2，则 （A）g1?a （B）g2?a （C）g1?g2?a （D）g2?g1?a

19. [2008年高考·四川理综卷]1990年4月25日，科学家将哈勃天文望远镜送上距地球表面约600 km的高空，使得人类对宇宙中星体的观测与研究有了极大的进展.假设哈勃望远镜沿圆轨

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道绕地球运行.已知地球半径为6.4×106 m，利用地球同步卫星与地球表面的距离为3.6×107 m这一事实可得到哈勃望远镜绕地球运行的周期.以下数据中最接近其运行周期的是 ( )

A.0.6 h B.1.6 h C.4.0 h D.24 h

20.. [2008年高考·上海物理卷]某行星绕太阳运行可近似看做匀速圆周运动.已知行星运动的轨道半径为R，周期为T，引力常量为G，则该行星的线速度大小为 ；太阳的质量可表

2πR4π2R3

示为 . 答案： 2 TGT

21.已知太阳到地球与地球到月球的距离的比值约为390，月球绕地球旋转的周期约为27天.利用上述数据以及日常的天文知识，可估算出太阳对月球与地球对月球的万有引力的比值约为[2008年高考·全国理综卷Ⅰ]( )

A.0.2 B.2 C.20 D.200

答案：1.B 2.AB 3.A 5.CD 6. B 7. B 8. B 9. A 10 .C 11.C 12.D 13.AC 14.BD

15.D 16. B 17. D18.B 19 B 21. B

警示易错试题

典型错误之一：错误地认为做椭圆运动的卫星在近地点和远地点的轨道曲率半径不同。 [例1] 某卫星沿椭圆轨道绕行星运行，近地点离行星中心的距离是a，远地点离行星中心的距离为b，若卫星在近地点的速率为Va，则卫星在远地点时的速率Vb多少？

错解：卫星运行所受的万有引力提供向心力，在近地点时，有，在远地点

时有

，上述两式相比得，故。

分析纠错：以上错误在于认为做椭圆运动的卫星在近地点和远地点的轨道曲率半径不同。实际做椭圆运动的卫星在近地点和远地点的轨道曲率半径相同，设都等于R。所以，在近地点时

有

，在远地点时有，上述两式相比得，故。

典型错误之二：利用错误方法求卫星运动的加速度的大小。

[例2] 发射地球同步卫星时，先将卫星发射至近地圆轨道1，然后经点火，使其沿椭圆轨道2运行，最后再次点火，将卫星送入同步圆轨道3，轨道1、2相切于Q点，轨道2、3相切于P点，如图2所示。则在卫星分别在1、2、3轨道上正常运行时，以下说法正确的是（ ）

A. 卫星在轨道3上的速率大于在轨道1上的速率

B. 卫星在轨道3上的角速度小于在轨道1上的角速度

C. 卫星在轨道1上经过Q点时的加速度大于它在轨道2上经过Q点时的加速度

D. 卫星在轨道2上经过P点时的加速度等于它在轨道3上经过P点时的加速度

错解：因为，所以V=，，即B选项正确，A选项错误。

因为卫星在轨道1上经过Q点时的速度等于它在轨道2上经过Q点时

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的速度，而在Q点轨道的曲率半径，即C选项正确。

分析纠错：B选项正确，但C选项错误。根据牛顿第二定律可得，即卫星的加速度a只与卫星到地心的距离r有关，所以C选项错误，D选项正确。

典型错误之三：错误认为卫星克服阻力做功后，卫星轨道半径将变大。

[例3] 一颗正在绕地球转动的人造卫星，由于受到阻力作用则将会出现（ ）

A. 速度变小 B. 动能增大 C. 角速度变小 D. 半径变大

错解：当卫星受到阻力作用时，由于卫星克服阻力做功，故动能减小，速度变小，为了继续

环绕地球，由于卫星速度可知，V减小则半径R必增大，又因，故ω变小，可见应该选A、C、D。

分析纠错：当卫星受到阻力作用后，其总机械能要减小，卫星必定只能降至低轨道上飞行，

故R减小。由可知，V要增大，动能、角速度也要增大。可见只有B选项正确。

典型错误之四：混淆稳定运动和变轨运动

[例4] 如图21所示，a、b、c是在地球大气层外圆形轨道上运动的3颗卫星，下列说法正确的是（ ）

A. b、c的线速度大小相等，且大于a的线速度

B. b、c的向心加速度大小相等，且大于a的向心加速度

C. c加速可追上同一轨道上的b，b减速可等候同一轨道上的c D. a卫星由于某原因，轨道半径缓慢减小，其线速度将增大

错解：c加速可追上b，错选C。

分析纠错：因为b、c在同一轨道上运行，故其线速度大小、加速度大小均相等。又b、c轨道半径大于a的轨道半径，由知，

2

Vb=Vc2

当c加速时，c受到的万有引力Fmv2/r， 故它将偏离原轨道做向心运动。所以无论如何c也追不上b，b也等不到c，故C选项错。对这

一选项，不能用来分析b、c轨道半径的变化情况。

对a卫星，当它的轨道半径缓慢减小时，在转动一段较短时间内，可近似认为它的轨道半径未变，视为稳定运行，由知，r减小时V逐渐增大，故D选项正确。

典型错误之五：混淆连续物和卫星群

[例5] 根据观察，在土星外层有一个环，为了判断环是土星的连续物还是小卫星群。可测出环中各层的线速度V与该层到土星中心的距离R之间的关系。下列判断正确的是（ ）

A. 若V与R成正比，则环为连续物

2

B. 若V与R成正比，则环为小卫星群 C. 若V与R成反比，则环为连续物

2

D. 若V与R成反比，则环为小卫星群 错解：选BD。

分析纠错：连续物是指和天体连在一起的物体，其角速度和天体相同，其线速度V与r成正比。而对卫星来讲，其线速度，即V与r的平方根成反比。由上面分析可知，连

2

续物线速度V与r成正比；小卫星群V与R成反比。故选A、D。

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