中考数学专题讲座函数方程、不等式问题jxh 

2009中考数学专题讲座 函数、方程、不等式问题

【知识纵横】

函数、方程、不等式的结合，是函数某一变量值一定或在某一范围下的方程或不等式，体现了一般

到特殊的观念。也体现了函数图像与方程、不等式的内在联系，例求两个函数的交点坐标，一般通过函数解析式组成的方程组来解决。又如例4复合了一次函数、二次函数，并对所得的函数要结合自变量的取值范围来考虑最值，这就需要结合图像来解决。

【典型例题】

【例1】（天津市）已知抛物线y?3ax2?2bx?c，

（1）若a?b?1，c??1，求该抛物线与x轴公共点的坐标；

（2）若a?b?1，且当?1?x?1时，抛物线与x轴有且只有一个公共点，求c的取值范围；

（3）若a?b?c?0，且x1?0时，对应的y1?0；x2?1时，对应的y2?0，试判断当0?x?1时，抛物线与x轴是否有公共点？若有，请证明你的结论；若没有，阐述理由．

【思路点拨】（Ⅰ）令y=0，求方程的两根；（2）考虑判别式；（3）由不等式及结合图像解之。 【例2】（黄石市）如图，已知抛物线与x轴交于点A(?2，0)，B(4，0)，与y轴交于点C(0，8)． （1）求抛物线的解析式及其顶点D的坐标；

（2）设直线CD交x轴于点E．在线段OB的垂直平分线上是否存在点P，使得点P到直线CD的距离等于点P到原点O的距离？如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由； （3）过点B作x轴的垂线，交直线CD于点F，将抛物线沿 其对称轴平移，使抛物线与线段EF总有公共点．试探究：抛 物线向上最多可平移多少个单位长度？向下最多可平移多少个 单位长度？

【思路点拨】（2）设P(2，t),建立关于t的方程； （3）考虑抛物线向上平移、向下平移两种情况。

A O B x C y 【例3】（吉林长春）已知两个关于x的二次函数y1与当x?k时，y2?17；且二次函数y2的图象的对称轴是直线x??1．

（1）求k的值；

（2）求函数y1，y2的表达式；

（3）在同一直角坐标系内，问函数y1的图象与y2的图象是否有交点？请说明理由．

【思路点拨】（1）y2＝（y 1 + y 2）—y1；（2）由对称轴的方程，求出a的值；（3）考虑方程根的判别式。

【例4】（广西南宁）随着绿城南宁近几年城市建设的快速发展，对花木的需求量逐年提高。某园林专业户计划投资种植花卉及树木，根据市场调查与预测，种植树木的利润

y1与投资量x成正比例关系，

如图①所示；种植花卉的利润y2与投资量x成二次函数关系，如图②所示（注：利润与投资量的单位：万元）

（1）分别求出利润

y1与y2关于投资量x的函数关系式；

（2）如果这位专业户以8万元资金投入种植花卉和树木，他至少获得多少利润？他能获取的最大利润是多少？

【思路点拨】：（2）设获得的利润是z万元，则z＝y1＋y2，注意x范围内最值求法。 【学力训练】

1、（广州）如图，一次函数y?kx?b的图象与反比例

函

数

y?m的图象相交于A、B两点. x（1）根据图象，分别写出A、B的坐标； （2）求出两函数解析式；

（3）根据图象回答：当x为何值时，一次函数的函数值大函数的函数值.

2、（江西省卷）已知：如图所示的两条抛物线的解析式

分别是于反比例

y1??a2x?1a，?xy2?ax2?ax?1（其中a为常数，且a?0）．

12时，设y1??ax?ax?1与x轴分别交于M，N两点（M在N的左边）， 22y2?ax?ax?1与x轴分别交于E，F两点（E在F的左边），观察M，N，E，F四点坐标，请

（2）当a（1）请写出三条与上述抛物线有关的不同类型的结论； ．．

?写出一个你所得到的正确结论，并说明理由； ．．

A，B两点，直线l，l1，l2都垂直于x轴，l1，l2分别经过A，B两点，l在直线l1，l2之间，且l与两条抛物线分别交于C，D两点，求线段CD的最大值．

23、（四川自贡）抛物线y?ax?bx?c(a?0)的顶点为M，与x轴的交点为A、B（点B在点A

（3）设上述两条抛物线相交于

y 的右侧），△ABM的三个内角∠M、∠A、∠B所对的边分别为m、a、b.若关 2于x的一元二次方程(m?a)x?2bx?(m?a)?0有两个相等的实数根. A （1）判断△ABM的形状，并说明理由. x O （2）当顶点M的坐标为（－2，－1）时，求抛物线的解析式，并画出该抛物线的大 B 致图形.

（3）若平行于x轴的直线与抛物线交于C、D两点，以CD为直径的圆恰好与x轴相切， 求该圆的圆心坐标.

4、（青海省卷）王亮同学善于改进学习方法，他发现对解题过程进行回顾反思，效果会更好．某一天他

y的关系如

图甲所示，用于回顾反思的时间x（单位：分钟）与学习收益量y的关系如图乙所示（其中OA是抛物线的一部分，A为抛物线的顶点），且用于回顾反思的时间不超过用于解题的时间．

（1）求王亮解题的学习收益量y与用于解题的时间x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范

利用30分钟时间进行自主学习．假设他用于解题的时间x（单位：分钟）与学习收益量围；

（2）求王亮回顾反思的学习收益量

y与用于回顾反思的时间x之间的函数关系式；

（3）王亮如何分配解题和回顾反思的时间，才能使这30分钟的学习收益总量最大？ （学习收益总量?解题的学习收益量?回顾反思的学习收益量）

y y 25 函数、方程、不等式问题的参考答案 A 4 O 2 x O 5 15 x 【典型例题】

【例1】（天津市）（Ⅰ）当a?b?1，c??1时，抛物线为y?3x2?2x?1， 方程3x2?2x?1?0的两个根为x1??1，x2?1． 3∴该抛物线与x轴公共点的坐标是

?1?0?． 和?1，0???，?3?（Ⅱ）当a?b?1时，抛物线为y?3x2?2x?c，且与x轴有公共点． 对于方程3x2?2x?c?0，判别式??4?12c≥0，有c≤①当c?1． 3111时，由方程3x2?2x??0，解得x1?x2??． 333此时抛物线为y?3x2?2x??1?10?． 与x轴只有一个公共点??，33??②当c?1时， 3x1??1时，y1?3?2?c?1?c， x2?1时，y2?3?2?c?5?c．

由已知?1?x?1时，该抛物线与x轴有且只有一个公共点，考虑其对称轴为x??1， 3应有??y1≤0，?1?c≤0， 即?

?5?c?0.?y2?0.1或?5?c≤?1． 3解得?5?c≤?1． 综上，c?（Ⅲ）对于二次函数y?3ax2?2bx?c，

由已知x1?0时，y1?c?0；x2?1时，y2?3a?2b?c?0， 又a?b?c?0，∴3a?2b?c?(a?b?c)?2a?b?2a?b． 于是2a?b?0．而b??a?c，∴2a?a?c?0，即a?c?0． ∴a?c?0．

∵关于x的一元二次方程3ax2?2bx?c?0的判别式

??4b2?12ac?4(a?c)2?12ac?4[(a?c)2?ac]?0，

∴抛物线y?3ax2?2bx?c与x轴有两个公共点，顶点在x轴下方．

又该抛物线的对称轴x??b， 3a由a?b?c?0，c?0，2a?b?0， 得?2a?b??a， ∴

1b2???． 33a3x 又由已知x1?0时，y1?0；x2?1时，y2?0，观察图象， 可知在0?x?1范围内，该抛物线与x轴有两个公共点．

【例2】（黄石市）（1）设抛物线解析式为y?a(x?2)(x?4)，把C(0，8)代入得a??1．

?y??x2?2x?8??(x?1)2?9，

顶点D(19)，

（2）假设满足条件的点P存在，依题意设P(2，t)， 由C(0，，8)D(1，9)求得直线CD的解析式为y?x?8，

它与x轴的夹角为45，设OB的中垂线交CD于H，则H(2，10)．

则PH?10?t，点P到CD的距离为d?t2?22?t2?4．

210?t． 2222PH?10?t． 22y F D H 又PO??t2?4?C 平方并整理得：t?20t?92?0

E P A O B x t??10?83．

?10?83)． ?存在满足条件的点P，P的坐标为(2，0)F(412)，． （3）由上求得E(?8，，①若抛物线向上平移，可设解析式为y??x?2x?8?m(m?0)． 当x??8时，y??72?m． 当x?4时，

2y?m．

??72?m≤0或m≤12．

?0?m≤72．

②若抛物线向下移，可设解析式为y??x?2x?8?m(m?0)．

2?y??x2?2x?8?m由?， ?y?x?8有x?x?m?0．

21?△?1?4m≥0，?0?m≤．

4?向上最多可平移72个单位长，向下最多可平移

21个单位长 42【例3】（吉林长春）（1）由y1?a(x?k)?2，y1?y2?x?6x?12

得y2?(y1?y2)?y1?x?6x?12?a(x?k)?2?x?6x?10?a(x?k)． 又因为当x?k时，y2?17，即k22222?6k?10?17，

解得k1?1，或k2??7（舍去），故k的值为1． （2）由k?1，得y2?x2?6x?10?a(x?1)2?(1?a)x2?(2a?6)x?10?a，

2a?6，

2(1?a)所以函数y2的图象的对称轴为x??于是，有?2a?6??1，解得a??1，

2(1?a)22，y2?2x?4x?11． 所以y1??x?2x?1（3）由y1??(x?1)?2，得函数y1的图象为抛物线，其开口向下，顶点坐标为(1，2)；

2，9)； 由y2?2x?4x?11?2(x?1)?9，得函数y2的图象为抛物线，其开口向上，顶点坐标为(?1故在同一直角坐标系内，函数y1的图象与y2的图象没有交点．

【例4】（广西南宁）（1）设y1=kx,由图①所示，函数y1=kx的图像过（1，2），所以2=k?1，

22k?2

故利润y1关于投资量x的函数关系式是y1=2x；

因为该抛物线的顶点是原点，所以设y2=ax，由图12-②所示，函数y2=ax的图像过（2，2）， 所以2?a?2，a222?1 2

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/yx7v.html