同济版大学物理上册3-3 狭义相对论基本原理 洛仑兹变换

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3–3 狭义相对论基本原理 3

洛仑兹变换

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一、狭义相对论的两条基本原理 相对性原理： 相对性原理：所有物理定律在一切惯性系中都具有 相同的形式。或者说所有惯性系都是平权的， 相同的形式。或者说所有惯性系都是平权的，在它 们之中所有物理规律都一样。 们之中所有物理规律都一样。 光速不变原理： 光速不变原理：所有惯性系中测量到的真空中光速 沿各方向都等于c,与光源和观察者的运动状态无关。 沿各方向都等于 ，与光源和观察者的运动状态无关。

第3章

相对论

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洛仑兹变换

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和光速不变紧密联系在一起的是：在某一惯性系中 光速不变紧密联系在一起的是： 紧密联系在一起的是 同时发生的两个事件 发生的两个事件， 同时发生的两个事件，在相对于此惯性系运动的另一 惯性系中观察， 不一定是同时发生的 惯性系中观察，并不一定是同时发生的 .

说明同时具有相对性， 说明同时具有相对性，时间的量度是相对的 .第3章 相对论

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洛仑兹变换

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二、洛仑兹变换 S系和S′系是两个相对 系和S′系是两个相对 S′ 作匀速直线运动的惯性 系

x ' = γ ( x ut ) ' y = y ' S→S′ z = z t ' = γ (t u x) 2 c 第3章 相对论

S′→S

x = γ ( x ' + ut ) y = y' z = z' t = γ (t ' + u x ' ) 2 c

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式中

γ =

1 1 β 2

=

1 u 2 1 ( ) c

u β= c

*三

洛仑兹变换式的推导

变换是爱因斯坦狭义相对论时空观的数学表达式。 1、L变换是爱因斯坦狭义相对论时空观的数学表达式。 (各个惯性系中的时间、空间量度的基准必须一致) 各个惯性系中的时间、空间量度的基准必须一致)

第3章

相对论

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变换说明了，时空是物质的一种基本属性。 2、L变换说明了，时空是物质的一种基本属性。 时、空不再分离，而是统一的整体，与物质的 空不再分离，而是统一的整体， 运动相关。在相对论的时、空观中， 运动相关。在相对论的时、空观中，不存在空无一 物的时、空点。在统一四维时空中的一个时、 物的时、空点。在统一四维时空中的一个时、空点 对应着一个具体的事件。 对应着一个具体的事件。 3、物质运动的极限速度为真空中的光速度c 。 物质运动的极限速度为真空中的光速度c

u 1 2 > 0 c4、L变换是比G变换更具普遍意义的变换。 变换是比G变换更具普遍意义的变换。第3章 相对论

2

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变换确实回到G变换 当u<<c时，L变换确实回

到 变换，故知满足 变 时 变换确实回到 变换，故知满足G变 换的牛顿定律，只能在低速范围内成立；而要想保证所 换的牛顿定律，只能在低速范围内成立； 有的物理规律在所有的惯性系中保持不变，只有L变换才 有的物理规律在所有的惯性系中保持不变，只有 变换才 能完成。 能完成。 x ut ′ x = u 2 x ′ = x ut 1 ( ) c y′ = y 2 u y′ = y 当u<<C时 2 → 0 c z′ = z z′ = z ux t ′ = t t 2 t′ = c u 2 1 ( ) c 第3章 相对论

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四 洛仑兹速度变换的速度匀速运动， 设S'系中有质点 以 v'x = v'x + v'y + v'z 的速度匀速运动， ' 系中有质点A以 且在t'时刻，其坐标为( ' 系测得A质 且在 ' 时刻 ， 其坐标为 ( t', x', y', z') , S系测得 质 ' ' ' 系测得 点的时空坐标为( , , , ) 则由L变换有： 点的时空坐标为(t,x,y,z),则由L变换有：

x = y = z = t =

x′ + ut ′ 1 β2 y′ z′ ux′ t′ + 2 c 1 β2相对论

对其求微分， 对其求微分，得

dx′ + udt′ dx = 1 β 2 dy = dy′ dz = dz′ udx′ dt′ + 2 dt = c 1 β 2

第3章

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洛仑兹变换'

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dx +u ' ' ' ' vx + u dx dx + udt dt ∴ vx = = = = ' u dx 1 + u v ' dt dt ' + u dx ' 1+ 2 ' 2 2 x c c c dt

同理

dy 2 1 β ' 2 ' v 'y 1 β 2 dy dy 1 β vy = = = dt = ' u ' u dx dt dt ' + u dx ' 1 + 2 vx 1+ 2 ' 2 c c c dt v'z 1 β 2vz =第3章 相对论

'

u ' 1 + 2 vx c

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3–3 狭义相对论基本原理 3 由 S→S'系 → '

洛仑兹变换 由 S'→S系 ' 系

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' vx u vx = u 1 2 vx c vy 1 β 2 ' vy = u 1 2 vx c vz 1 β 2 v' = u z 1 2 vx c 第3章 相对论

v 'x + u vx = u ' 1 + 2 vx c v 'y 1 β 2 vy = u ' 1 + 2 vx c v 'z 1 β 2 v = u ' z 1 + 2 vx c

式中u是 '系相对于S系沿 系沿x轴的相对速度 式中 是S'系相对于 系沿 轴的相对速度

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u vx 当u c, vx c时，γ → 1, 2 → 0 c ' vx = vx u, v'y = v y , v 'z = v z平行于x轴的特殊情况下 v 轴的特殊情况下， 在 v 平行于 轴的特殊情况下，x = v, v y = 0, v z = 0 ,

v u v = ,v 'y = 0,v 'z = 0 uv 1 2 c 平行x′轴的特殊情况下 轴的特殊情况下， 在 v ' 平行 轴的特殊情况下，' x

第3章

相对论

v +u vx = , v y = 0, v z = 0. ' uv 1+ 2 c'

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相对地面作匀速直线运动. 例3-1有一辆火车以速度u相对地面作匀速直线运动.

在 有一辆火车以速度 相对地面作匀速直线运动 火车上向前和向后射出两道光，求光相对地面的速度. 火车上向前和向后射出两道光，求光相对地面的速度. 解 以地面为S系 火车为 ′ 以地面为 系，火车为S′系， 光向前的速度

c+u v= =c uc 1+ 2 c

光向后的速度

c + u v= = c uc 1 2 c

第3章

相对论

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设有两个火箭A, 相向运动 在地面测得A, 相向运动， 例3.2 设有两个火箭 ，B相向运动，在地面测得 ， B的速度沿x轴正方向各为 A=0.9c,vB=- 的速度沿x 的速度沿 轴正方向各为v 0.9c, =-0.9c.试求 . 它们相对运动的速度. 它们相对运动的速度.0.9c -0.9c (S/系) B 系 地球 ( S系 x

设地球为参考系S, 解 设地球为参考系 ，火箭 A为参考系 ′. 为参考系S′. 为参考系' x

A

vx u 0.9c 0.9c 1.8c v = = = ≈ 0.995c uvx 1.81c ( 0.9c )( 0.9c ) 1 2 1 2 c c

同样可得A相对 的速度 同样可得 相对B的速度 相对第3章 相对论

v = 0.995c' x

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