第10章含有耦合电感的电路

更新时间：2023-08-12 00:16:01 阅读量：外语学习文档下载

说明：文章内容仅供预览，部分内容可能不全。下载后的文档，内容与下面显示的完全一致。下载之前请确认下面内容是否您想要的，是否完整无缺。

第10章推荐度：
相关推荐

第十章含有耦合电感的电路§10-1 互感 §10-2 含有耦合电感电路的计算 §10-3 空心变压器

§10-4 理想变压器

10. 1 互感一、互感

11N1i1 +1

N2 –1’

u11

u21

–

2’

当线圈1中通入电流i1时，在线圈1中产生磁通(magnetic flux) 11 , 产生的自感磁通链为 11 ,同时，有部分磁通穿过临近线圈2,产生互感磁通链为 21 ,我们把这种一个线圈的磁通交链另一线圈的现象称为磁耦合。 i1 称为施感电流, 11 = N1 11 , 21 = N2 21

提示1:双下标含义？提示2:对于实物，注意线圈绕向；

12 22N1 i11 1’

u11

–

u21

–

2’

当线圈2中同时通入电流i2时，在线圈2中产生磁通 22 ,产生的自感磁通链为 22 ,同时，有部分磁通穿过临近线圈 1 ,产生互感磁通链为 12 。相应地，i2 称为施感电流, 由它产生的磁通链： 12 = N1 12 , 22 = N2 22 那么，每个耦合线圈中的磁通链等于自感磁通链和互感磁通链的代数和。即： 1 = 11± 12

2 = ± 21+ 22思考：上式什么时候取加？什么时候减？3章目录返回上一页下一页

当线圈周围各向同性的线性磁介质时， 11、 21与i1成正比， 12、 22与i2成正比。可以分别用下式表示：

11 = L1 i1, 21 = M21 i1, 22 = L2 i2, 12 = M12 i2L 1= y11

, L 2=

称 L 1 L 2 为自感系数，单位亨 ( H) 。

M 21 =

M 12 =

i1 y

,称 M 21 为线圈 1 对线圈 2的互感系数，单位亨( H )。

,称 M 12 为线圈 2 对线圈 1的互感系数，单位亨( H )。

M21 = M12 =M

M 恒大于或等于零

1 = L1 i1 ± M i2 2 = ± M i1 + L2 i24章目录返回上一页下一页

二、互感线圈的同名端

1 = L1 i1 + M i2 2 = + M i1 + L2 i2 21

1’

u11

–

+ u21

2’

1 = L1 i1 -M i2i2

–

2 = - M i1 + L2 i2

互感的作用有两种可能性。若互感磁链与自感磁链方向一致，称为互感的增助作用，此时，M前符号为正；若互感磁链与自感磁链方向相反，称为互感的削弱作用，此时，M前符号为负。

为便于反映互感的增助或削弱作用， 1 简化图形表示，采用同名端标记方法。对 + 两个有耦合的线圈各取一对端子(产生的磁 u1 通方向相同),用相同的符号如“ ”或“*” _ 加以标记，则称这一对端子为同名端。同 1’ 名端反映两个线圈的相对绕向。

i1 * L1

M * L2

i2+ u2 _2

2’ 5

章目录返回

当有两个以上的电感彼此之间存在耦合时，同名端应一对一对地加以标记。每一对采用不同的符号。如果每一电感都有电流时，则每一电

感中的磁通链将等于自感磁通链与所有互感磁通链的代数和。

s 0N1

+ * u11 –

N2 △ + u21 –

* △ + u31 –

总结：同名端应成对标示，反映两两线圈的相对绕向。6章目录返回上一页下一页

例10-1 图示电路，i1=10A,i2=5cos(10t),L1=2H,L2=3H, M=1H,求两耦合线圈的磁通链。 i1+ u1 _ * L1 M * L2 i2 + u2 _

11 = L1 i1 =20Wb

22 = L2 i2 =15cos(10t) Wb 21 = M i1 =10Wb

12 = M i2 = 5cos(10t) Wb 1 = L1 i1 + M i2 =[20+ 5cos(10t)] Wb 2 = M i1 + L2 i2 =[10+ 15cos(10t)] Wb提示思考：同名端改变，电流流入端改变时，磁通链变化？7章目录返回上一页下一页

三、互感线圈的伏安特性当互感线圈通以变动的电流时，根据电磁感应定律，在每个线圈两端将产生感应电压。

u = i1

d Ψ dt

1.仅线圈1上通以变动的电流

M* L1 * L2 +

21 N1 N2 _ * i1 1*+ u1 _ 1 u + 2 ´ 2 ´ 2 + u11 – + u21 有了同名端后，分析互感电压时不必考虑线圈实 –用同名端判断互感电压的参考方向：当电流从一个电感线圈的同名端流入时，在与其耦合的另一线圈中的同名端即为由该电流产生的互感电压参考方向的正端。

+ u1 _

u2 _

际绕向，只画出同名端及电压电流参考方向即可。

u2 = u21 = M

di1 dt

用楞次定律分析互感电压的正端，比较与同名端判断互感电压的结果是否一致？ 8章目录返回上一页下一页

2. 两个线圈上同时通以变动的电流根据电磁感应定律，在每个线圈两端将产生感应电压(包含自感电压和互感电压)。图示：线圈L1和L2的电压和电流分别为 u1 i1和 u2 i2,为关联参考方向，互感为 M,则：

i1+ + + * u1 u11 u12L1 _ _ _

i2 * + + + L2 u21 u22 u2 _ _ _

u 1 = u 11 + u 12 = L 1 di 1 + M di 2 dt dt u 2 = u 21 + u 22 = M di 1 + L 2 di 2 dt dt思考总结：线圈绕向，同名端，互感磁通增强/减弱，互感电压正极性端之间的关系？9章目录返回上一页下一页

例10-2 图示电路，i1=10A,i2=5cos(10t),L1=2H, L2=3H, M=1H,求两耦合线圈的端电压u1 和u2 。dΨ 1 u1 = , Ψ 1 = L1 i1 + Mi2 dt dΨ2 u2 = , Ψ 2 = L2 i 2 + Mi1 dt

i1 + + + * u1 u11 u12L1 _ _ _

* + + + L2 u21 u22 u2 _ _ _

di1 di2 u1 = L1 +M = 50 sin( 10t ) dt dt di1 di2 u2 = M + L2 = 150 sin( 10t ) dt dt注意：上式中哪一项为零？为什么？10章目录返回上一页下一页

四、带有互感的电路模型研究时域形式方程：

i1+ u1 _△

di di +M 2 u1 = L1 1 – dt dt di 1 di 2 = + u 2 -M L2 dt dtU 1 = j L1 I 1 + j M I 2 U 2 = j M I 1 + j L2 I 2

*L2△

+ u2 _

时域形式I1

在正弦交流电路中，其相量形式的方程为

jωM

+U1

* j L1

+U2

j L2

+U1

j L1jω M I

j L2

–相量形式

–

+ –

jω M I 1

–

还可以用电流控制电压源来表示互感电压的作用。11

控制源形式的互感模型思考：三种不同形式的方程特点？章目录返回上一页下一页

五、耦合系数 (coupling coefficient)k:工程上为了定量描述两个耦合线圈的耦合程度，把两线圈的互感磁通链与自感磁通链的比值的几何平均值定义为耦合因数，用k表示。k 表示两个线圈磁耦合的紧密程度。

k =

de f

y 12 y 21 = y 11 y 22 k=def

M L1 L2| 21 |= Mi1M 1 L1 L2

11 = L1i1 ,

| 12 |= Mi2 , 22 = L2 i2 ,Mi2 Mi1 = L1 i1 L2 i2

说明：

显然，k 1。

k 的大小与 2 个线圈的结构、相互位置以及周围磁介质有关。改变或调整它们的相互位置有可能改变耦合因数的大小；当 L1和 L2一定时，也就相应地改变了互感系数 M 的大小。12章目录返回上一页下一页

特殊地，当k=1为全耦合: 11= 21, 22 = 121 1' 2

思考2'

什么情况下 k≈0 ?

k≈1互感现象的利与弊：利用——变压器：信号、功率传递; 避免——干扰; 克服：合理布置线圈相互位置减少互感作用；采用屏蔽。13章目录返回上一页下一页

六、同名端的确定方法总结：同名端实质：反映线圈绕法的相互关系。

i(1) 根据绕向判别：当两个线圈中电流同时由同名端流入(或流出)时，两个电流产生的磁场相互增强。 (2) 实验判别法：当随时间增大的时变电流从一线圈的一端流入时，将会引起另一线圈相应同名端的电位升高。如图电路，当闭合开关S时，i 增加， 1

* 2 2'

di 0, dt

u22' = M di 0 dt

R S 1 1'

i *

电压表瞬时正偏。思考：当开关S打开时，电压表？

*2 2'章目录返回

10--2 含有耦合电感电路的计算对于含有耦合电感电路的正弦稳态分析仍可以采用相量法。直接计算法不首先对具有互感的电感解耦，因为互感电压是电流的函数，所以列写电路方程求解时，通常采用以电流为未知量的求解方法建立方程；具体地，可采用支路电流法、回路电流法、网孔法。 KCL的形式不变；在KVL的表达式中，应计入由于互感的作用而引起的互感电压。即当某些支路具有耦合电感时，这些支路的电压将不仅与本支路电流有关，同时还将与那些与之有互感关系的支路电流有关。关键：不要丢掉互感电压；

互感消去法首先分析互感的连接方式，然后对互感采用前述方法去耦；电路去耦后，求解方法视方便，自由选择，无任何限制；

思考：互感线圈的可能连接方式？章目录返回

一.互感线圈的串联1. 串联顺

接M

i 等效 + u –

Req Leq

i i1 R1 + + u –

* u1

i2 R2

– +

* u2

L2 –

i = i1 = i2 u = u1 + u2

di1 di2 di di di u1 = R1i1 + L1 +M = R1i + L1 + M = R1i + ( L1 + M ) dt dt dt dt dt di di di2 di1 di = R2 i + L2 + M = R2 i + ( L2 + M ) u2 = R2 i2 + L2 +M dt dt dt dt dt di di = Req i + Leq u = u1 + u2 = ( R1 + R2 )i + ( L1 + L2 + 2 M ) dt dt Req = R1 + R2 Leq = L1 + L2 + 2 M16章目录返回上一页下一页

若激励为正弦量，也可通过其相量形式的电路方程来分析：

jω M

I I 1 U

* U 1

jω L1

R I 2 2

=I =I I 1 2 =U +U U1

+ +

– +

* U 2

jω L2

–

=RI U 1 1 1 + j L1 I 1 + j MI 2 + j L I = R1 I 1 + j MI + j ( L + M ) I = R1 I 1 =RI U 2 2 2 + j L2 I 2 + j MI 1 + j L I + j MI =RI2 2

等效

I+ U –

Req

jω Leq

+ j ( L + M ) I = R2 I 2 =U +U = ( R + R )I + j ( L + L + 2 M ) I = ( Req + j Leq ) I U 1 2 1 2 1 2 Req = R1 + R2 Leq = L1 + L2 + 2 M Z eq = Req + j Leq章目录返回

Z eq = ( R1 + R2 ) + j ( L1 + L2 + 2 M )

= R1 + j ( L1 + M ) + R2 + j ( L2 + M )= Z1 + Z2其中： Z = R + j ( L + M ) 1 1 1

Z 2 = R2 + j ( L2 + M )

I顺向串联的另一种等效电路

R1 jω(L1+M) R2 U 1

jω(L2+M) U 2

+ +

– +

–

顺向串联时，每一条耦合电感支路阻抗和输入阻抗都比无互感时的阻抗大(电抗变大),此时互感起加强作用。18章目录返回上一页下一页

2.反向串联M

i 等效 L2 L1 i2 R2 + u –

Req Leq

i i1 R1 + + u –

* u1

– +

* –

i = i1 = i2 u = u1 + u2

di1 di2 di di di u1 = R1i1 + L1 M = R1i + L1 M = R1i + ( L1 M ) dt dt dt dt dt di di di2 di1 di = R2 i + L2 M u2 = R2 i2 + L2 M = R2 i + ( L2 M ) dt dt dt dt dt di di = Req i + Leq u = u1 + u2 = ( R1 + R2 )i + ( L1 + L2 2 M ) dt dt Req = R1 + R2 Leq = L1 + L2 2 M19章目录返回上一页下一页

若激励为正弦量，也可通过其相量形式的电路方程来分析：

jωM I R I 1 1 U

* U 1

R jω L1 I 2 2

=I =I I 1 2 =U +U U 1 2

+ +

– +

jω L2 * – U 2

–

=RI U 1 1 1 + j L1 I 1 j MI 2 + j L I = R1 I 1 j MI + j ( L M ) I = R1 I 1 =RI U 2 2 2 + j L2 I 2 j MI 1 + j L I j MI =RI2 2

等效 I U

Req

jωLeq

+ –

+ j ( L M ) I = R2 I 2 =U +U = ( R + R )I + j ( L + L 2 M ) I = ( Req + j Leq ) I U 1 2 1 2 1 2 Req = R1 + R2 Leq = L1 + L2 2 M Z eq = Req + j Leq章目录返回

Z eq = ( R1 + R2 ) + j ( L1 + L2 2 M )

= R1 + j ( L1 M ) + R2 + j ( L2 M )= Z1 + Z2其中： Z

= R + j ( L M ) 1 1 1

Z 2 = R2 + j ( L2 M )

I反向串联的另一种等效电路

R1 jω(L1 -M) R2 U 1

jω(L2-M) U 2

+ +

– +

–

结论：

–