2013年高考真题——理科数学(山东卷)含答案

2013年山东高考数学试题

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

（1）复数z满足(z-3)(2-i)=5(i为虚数单位)，则z的共轭复数为( D )

A. 2+i B.2-i C. 5+i D.5-i

（2）设集合A={0,1,2},则集合B={x-y |x∈A, y∈A }中元素的个数是( C )

A. 1 B. 3 C. 5 D.9 （3）已知函数f(x)为奇函数,且当x>0时, f(x) =x2+1 ,则f(-1)= ( A ) x

（A）-2 （B）0 （C）1 （D）2 （4）已知三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱与底面垂直,体积为9 ,底面积是边长为 43的正

三角形，若P为底面A1B1C1的中心,则PA与平面ABC所成角的大小为 ( B ) （A） （5）将函数y=sin（2x +?）的图像沿x轴向左平移像，则?的一个可能取值为 B （A）

5???? （B） （C） （D） 12346? 个单位后，得到一个偶函数的图83??? （B） （C）0 （D） ? 444?2x?y?2?0? （6）在平面直角坐标系xOy中，M为不等式组：?x?2y?1?0，所表示的区域上一动

?3x?y?8?0?点，则直线OM斜率的最小值为 C （A）2 （B）1 （C） ?11 （D） ? 32

（7）给定两个命题p、q，若﹁p是q的必要而不充分条件，则p是﹁q的 B

（A）充分而不必条件 （B）必要而不充分条件

（C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件

（8）函数y=xcosx + sinx 的图象大致为 D

（A） （B） (C) (D) （9）过点（3，1）作圆（x-1）2+y2=1的两条切线，切点分别为A，B，则直线AB的方程为 A

（A）2x+y-3=0 （B）2x-y-3=0 （C）4x-y-3=0 （D）4x+y-3=0

（10）用0，1，…，9十个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为 B

（A）243 （B）252 （C）261 （D）279

x212?y2?1的右焦点的连线交C1 （11）抛物线C1：y= x(p＞0)的焦点与双曲线C2： 32p于第一象限的点M.若C1在点M处的切线平行于C2的一条渐近线，则p= D

（12）设正实数x,y,z满足x2-3xy+4y2-z=0.则当xy212取得最大值时，??的最大值 zxyz9 （D）3 4为 B （A）0 （B）1 （C） 二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分 （13）执行右面的程序框图，若输入的?的值为0.25，则输入的n的值为 3 (14)在区间[-3,3]上随机取一个数x，使得 |x+1 |- |x-2 |≥1成立的概率为 （15）已知向量AB与AC的夹角为120，且|AB|?3,|AC|?2,若

1 3AP??AB?AC,且AP?BC,则实数?的值为

7 12（16）定义“正对数”：ln?x???0,0?x?1，现有四个命题：

x?1?lnx,①若a?0,b?0，则ln?(ab)?bln?a ②若a?0,b?0，则ln?(ab)?ln?a?ln?b ③若a?0,b?0，则ln()?lna?lnb

④若a?0,b?0，则ln?(a?b)?ln?a?ln?b?ln2

其中的真命题有： ①③④ （写出所有真命题的编号）

三、解答题：本大题共6小题，共74分. （17）设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a+c=6，b=2，cosB= （Ⅰ）求a，c的值； （Ⅱ）求sin（A-B）的值. 解答：（1）由cosB= ?ab??7. 971422ac，又a+c=6，解得a?c?3 与余弦定理得，a?c?4?9914222与正弦定理可得，sinA?,cosA?， 393（2）又a=3,b=2，sinB?所以sin（A-B）=sinAcosB-cosAsinB=102 27 （18）（本小题满分12分） 如图所示，在三棱锥P-ABQ中，PB⊥平面ABQ，BA=BP=BQ，D，C，E，F分别是AQ，BQ，AP，BP的中点，AQ=2BD，PD与EQ交于点G，PC与FQ交于点H，连接GH。

（Ⅰ）求证：AB//GH；

（Ⅱ）求二面角D-GH-E的余弦值 . 解答：（1）因为C、D为中点，所以CD//AB 同理：EF//AB，所以EF//CD，EF?平面EFQ， 所以CD//平面EFQ，又CD?平面PCD,所以 CD//GH，又AB//CD，所以AB//GH.

(2)由AQ=2BD，D为AQ的中点可得，△ABQ为直角

三角形，以B为坐标原点，以BA、BC、BP为x、y、z轴建立空间直角坐标系，设AB=BP=BQ=2，可得平面GCD的一个法向量为n1?(0,2,1)，平面EFG的一个法向量为n2?(0,1,2)，可得

cos??444?,所以二面角D-GH-E的余弦值为? 5555（19）本小题满分12分 甲、乙两支排球队进行比赛，约定先胜3局者获得比赛的胜利，比赛随即结束.除第五局甲队获胜的概率是12外，其余每局比赛甲队获胜的概率是 .假设每局比赛结果互相独立. 23 （1）分别求甲队以3：0，3：1，3：2胜利的概率 （2）若比赛结果为3：0或3：1，则胜利方得3分，对方得0分；若比赛结果为 3：2，则胜利方得2分、对方得1分，求乙队得分x的分布列及数学期望. 解答：（1）p1?C3()?

（2）由题意可知X的可能取值为：3,2,1,0

相应的概率依次为：,323388422212222121，p2?C3()??，p3?C4()()?? 273332733227144167,,，所以EX= 92727279 （20）（本小题满分12分） 设等差数列｛an｝的前n项和为Sn，且S4=4S2，a2n=2an+1 （1） 求数列｛an｝的通项公式； （2） 设数列｛bn｝的前n项和Tn，且Tn+数列｛cn｝的前n项和Rn. 解答：（1）由S4=4S2，a2n=2an+1，｛an｝为等差数列，可得，a1?1,d?2

所以an?2n?1

an?1 = λ（λ为常数），令cn=b2n，（n∈N?）.求2nan?12n = λ可得，，T+ = λ两式相减可得，当n?2时，b???1n-112n2nn?2n?143n?1bn?n?1，所以当??0时，cn=b2n=n?1，错位相减法可得，Rn=? n?12499?4（2）由Tn+???1n?153n?1?当??0时，cn=b2n=?n?1，可得Rn=??? n?199?4n?2??4n?1

（21）（本小题满分13分） 设函数f(x)?x?c(e?2.718282xe是自然对数的底数，c?R). （1）求f(x)的单调区间，最大值；

（2）讨论关于x的方程|lnx|?f(x)根的个数.

解答：（1）f(x)?'1?2x1'x?，令得，， f(x)?0e2x2当x?(??,),f(x)?0,函数单调递增； 12'11x?(，??),f'(x)?0,函数单调递减；所以当x?时，函数取得最的最大值 221fmax(x)??c 2e1?c，然后递减到c，而函数|lnx|是（0,1）（2）由（1）知，f(x)先增后减，即从负无穷增大到2e时由正无穷递减到0，然后又逐渐增大。 故令f(1)=0得，c??所以当c??当c??1， e21时，方程有两个根； 2e1时，方程有一两个根； e21当c??2时，方程有无两个根. e（22）（本小题满分13分） x2y23 椭圆C：2?2?1（a＞b＞0）的左、右焦点分别是F1、F2,离心率为 ，过F1且垂ab2直于x轴的直线被椭圆C截得的线段长为l.

（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）点P是椭圆C上除长轴端点外的任一点，连接PF1、PF2,设∠F1PF2的角平分线 PM交C的长轴于点M（m，0），求m的取值范围；

（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，过点p作斜率为k的直线l，使得l与椭圆C有且只有一个公共点， 设直线PF1,PF2的斜率分别为k1，k2，若k≠0，试证明定值.

11为定值，并求出这个?kk1kk2c32b2?1,a2?b2?c2，解得a2?4,b2?1 解答：（1）由已知得，?，aa2x2?y2?1 所以椭圆方程为：4（2）由题意可知：PFPF2?PMPF1?PMPF2?PM1?PM=,=,设P(x0,y0)其中|PF|PF1||PF2|1||PM||PF2||PM|2232x0?4，将向量坐标代入并化简得：m（4x0?16)?3x0?12x0，因为x0?4，

所以m?333x0，而x0?(?2,2)，所以m?(?,) 422（3）由题意可知，l为椭圆的在p点处的切线，由导数法可求得，切线方程为： x0xy0y0x11?y0y?1，所以k??0，而k1?，代入中得： ,k2??44y0kk1kk2x?3x?3x?3x0?311???4(0?)??8为定值. kk1kk2x0x0

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