14-2一般周期函数的傅里叶级数12.6.4

第十五章

第二节 一般周期函数 的傅里叶级数一、周期为2l 的函数展开成 傅里叶级数 二、定义在[-l, l ]和[0, l ]区间上 的函数展开成傅里叶级数

一、周期 T = 2l 的函数展开成傅里叶级数T 2l x l t T 2π l t ) (t ) 展开 思路： f ( x ) f ( t [ , ] x [ l , l ] f ( x) n x l n x l (t

xl

)

1 an ( n 0 , 1 , 2 , ) ( t ) cos nt d t π l 1 n x x 1 l 1 n f (x x )) cos x d x ( n 1 , 2 , ) bn ( t sin nt d t f ( ) cos d l l l l l l

bn

1

(t ) sin nt d tl

( n 1 , 2 , )

x t l 1

l

n x f ( x ) sin dx l l

1 l n x f ( x ) sin dx l l l

定理4 (展开定理)

设周期为2l 的周期函数 f ( x )满足收敛定理的条件，则它的傅 里叶级数处处收敛，且a0 n x n x (an cos bn sin ) 2 n 1 l l当x为f ( x )的连续点时； f ( x ), f ( x ) f ( x ) , 当x为f ( x )的间断点时， 2

其中系数 an , bn为

1 l nπ x a n l f ( x ) cos d x ( n 0 , 1 , 2 , ) l l 1 l nπ x bn l f ( x ) sin d x ( n 1 , 2 , ) l l结论 (1) 若以2l 为周期的周期函数 f (x) 在(-l , l ) 上为奇函数，则 (连续点处) 其中 bn

nπ x f ( x ) sin dx l

( n 1 , 2 , )

(2) 若以2l 为周期的周期函数 f (x) 在(-l , l )上为偶函数，则 (连续点处) 其中 a n 注

nπ x f ( x ) cos dx l

( n 0 , 1 , 2 , )

傅里叶级数总 收敛于 (在 f (x) 的间断点 x 处)

例1 设f ( x ) 的周期T 10,且当 5 x 5 时，

f ( x ) x,将 f ( x ) 展开成傅里叶级数. y 解 l 5, f ( x ) : 奇函数, 5 o 5 a n 0 n 0,1,2, 2 l nπx 2 5 nπx bn 0 f x sin d x 0 x sin dx l l 5 5 5 2 nπ x 5 nπ x x cos sin nπ 5 nπ 5 0 n 1 10 n 1,2, 1 nπ

x

ya n 0, bn 1 n 1

10 nπ

5 o 5

x

故有傅里叶展开式: 因 f x 满足狄利克雷条件，10 πx 1 2πx 1 3πx f x sin sin sin π 5 2 5 3 5

( x , x 10k 5, k 0, 1, 2, )当 x 10k 5时, 傅里叶级数收敛到5 5 S (10k 5) 0. 2

例2 设 f ( x ) 周期 T 4 , 2,2 上表达式为

0, 2 x 0 f x E , 0 x 2 ( E 0 , 为常数) y E 试将f x 展成傅里叶级数.解 1 f ( x )满足收敛定理条件 . 2

o 2

x

f ( x )的间断点： xm 2m ( m 0, 1, 2, )傅里叶级数之和函数： f ( xm ) f ( xm ) E . S ( xm ) 2 2

l 2, 当 x xm 时，f ( x )连续 a0 n x n x f

( x ) S ( x ) (an cos bn sin ) 2 2 2 n 1 l l ( x 2m , m 0, 1, 2, )2 确定傅里叶系数：an , bn1 2 a0 f x d x 2 2 0, 2 x 0 f x E, 0 x 2

2 1 0 [ 0 d x E d x] E 0 2 2

1 2 n x an f x cos dx 2 2 2

( n 1 , 2 , )

2 1 0 n x 0 d x E cos d x 0 2 2 2 n x 2 sin 2 0, 2 x 0 0 f x n 0 E , 0 x 2 2

1 2 n x 1 2 n x dx bn f x sin d x E sin 2 0 2 2 2 2

E 1 2 n x n [ 1 ( 1 ) ] E sin d x bn 2 0 2 nπ y E 0, n 2,4, 2E o 2 2 , n 1,3, nπ

xa0 E , an 0 ( n 1,2, )

3º 所求函数的傅里叶展开式为： a0 n x n x f ( x ) (an cos bn sin ) 2 n 1 2 2

E 2E 1 ( 2k 1) sin x 2 k 1 2k 1 2

( x R,x 2m , m 0, 1, 2, )

二、定义在 [-l , l ]和[ 0, l ]区间上的函数 展成傅里叶级数1. 将[–l , l ]上的函数展成傅里叶级数

思 想y

周期延拓

F ( x ) 傅里叶展开 T 2l

3l

y f ( x)lx 3l

y

y F ( x)

l O

l O

l

x

1 对f ( x )进行周期延拓:考虑 y F ( x ) (T 2l )

y

y f ( x)ly F ( x)

满足： F ( x ) f ( x ), x ( l , l ]

l Oy

x

且 F ( x 2l ) F ( x )2 将F ( x )展开成周期为 2l的傅里叶级数 3l

l O

l

3l

x

3 限制 x [ l , l ], F ( x ) f ( x ), x ( l , l ] 当 x ( l , l ),且x为f ( x )的连续点时，a0 n x n x f ( x ) F ( x ) S ( x ) (an cos bn sin ) 2 n 1 l l

当 x0 ( l , l ),且x0为f ( x )的间断点时， f ( x ) f ( x F ( x ) F ( x ) 0 0) 0 0 S ( x0 ) 2 2

S ( x0 ) 当 x0 l 时，

F (l ) F ( l ) 2

f (l ) f ( l ) 2

其中傅里叶系数1 l n x an l l F ( x ) cos l d x , ( n 0,1,2, ) l 1 n x f ( x ) cos d x, l l l 1 l n x bn F ( x ) sin d x , ( n 1,2, ) l l l 1 l n x f ( x ) sin d x. l l l

例3 将f x e x 在 π , π 上展成傅里叶级数 解 f ( x )在 π,π 上连续,且满足狄利克雷条件 . (周期延拓

傅里叶展开 限制)x π

1 π x 1 x π 1 π a0 π e d x e | π [e e π ] , π π π e 1 π x 1 a n π e cos nx d x n sin nx cos nx 2 π π 1 n π

1 e en π

π

π (1 n 2 )

,

π x 1 π x e 1 bn e sin nxdx sin nx n cos nx π 2 π π 1 n π y n 1

1

n

π (1 n 2 )

e π e π .

1 1 n cos nx n sin nx 2 2 n 1 1 n π x π 注 在x π 处， 傅立叶级数收敛到

傅里叶展式 1 π π f x [e e ] π

π oπ

x

1 1 π π [ f ( π ) f ( π )] [e e ]. 2 2

2. 将[0,l ]上的函数展成正弦级数与余弦级数

yf ( x) x [0 , l ]

y f ( x)

奇延拓

l

oy l

l x

偶延拓 周期延拓限制

o

l x

F (x) (展开)

x [0, l ] f (x)展成正弦级数 (余 )

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