高考数学总复习数列单元精品教学案(教师版全套)

数列

1、理解数列的概念，了解数列通项公式的意义．了解递推公式是给出数列的一种方法，并能根据递推公式写出数列的前几项．

2、理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式与前n项和的公式，并能解决简单的实际问题．

3、理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式与前n项和公式，并能解决简单的实际

纵观近几年高考试题，对数列的考查已从最低谷走出，估计以后几年对数列的考查的比重仍不会减小，等差、等比数列的概念、性质、通项公式、前n项和公式的应用是必考内容，数列与函数、三角、解析几何、组合数的综合应用问题是命题热点．

从解题思想方法的规律着眼，主要有：①方程思想的应用，利用公式列方程(组)，例如等差、等比数列中的“知三求二”问题；②函数思想方法的应用、图像、单调性、最值等问题；

③待定系数法、分类讨论等方法的应用．

第1课时数列的概念

数N*或其子集{1，2，3，……n}的函数f(n)．数列的一般形式为a1，a2，…，a n…，简记为{a n}，其中a n是数列{a n}的第项．

2．数列的通项公式

一个数列{a n}的与之间的函数关系，如果可用一个公式a n＝f(n)来表示，我们就把这个公式叫做这个数列的通项公式．

3．在数列{a n }中，前n 项和S n 与通项a n 的关系为：

=n a

?????≥==2

1n n a n 4．求数列的通项公式的其它方法

⑴ 公式法：等差数列与等比数列采用首项与公差(公比)确定的方法．

⑵ 观察归纳法：先观察哪些因素随项数n 的变化而变化，哪些因素不变；初步归纳出公式，再取n 的特珠值进行检验，最后用数学归纳法对归纳出的结果加以证明．

⑶ 递推关系法：先观察数列相邻项间的递推关系，将它们一般化，得到的数列普遍的递推关系，再通过代数方法由递推关系求出通项公式.

例1. 根据下面各数列的前n 项的值，写出数列的一个通项公式．

⑴ －312?，534?，－758?，9

716?…；⑵ 1，2，6，13，23，36，…；

⑶ 1，1，2，2，3，3，

解： ⑴ a n ＝(－1)n

)12)(12(12+--n n n ⑵ a n ＝)

673(21

2+-n n （提示：a 2－a 1＝1，a 3－a 2＝4，a 4－a 3＝7，a 5－a 4＝10，…，a n －a n －1＝1＋3(n －2)=3n －5．各式相加得

)673(2

1)43)(1(211)]

53(10741[12+-=--+

=-++++++=n n n n n a n ⑶ 将1，1，2，2，3，3，…变形为

,213,202,211+++,,2

06,215,204 +++∴4

)1(1222)1(111

++-++=-++=n n n n n a 变式训练1.某数列{a n }的前四项为0，2，0，2，则以下各式：

① a n ＝2

2[1＋(－1)n ] ② a n ＝n

)(11-+③ a n ＝

???)(0)(2为奇数为偶数n n 其中可作为{a n }的通项公式的是

（ ）A ．① B ．①②

C ．②③

D ．①②③

解：D

例2. 已知数列{a n }的前n 项和S n ，求通项．

⑴ S n ＝3n －2

⑵ S n ＝n 2＋3n ＋1

解 ⑴ a n ＝S n －S n －1 (n≥2) a 1＝S 1

解得：a n ＝???=≥?-)

1(1)2(3

21n n n ⑵ a n ＝???≥+=)

2(22)1(5

n n n 变式训练2：已知数列{a n }的前n 项的和S n 满足关系式lg(S n －1)＝n ，(n ∈N *)，则数列{a n }的通项公式为 ．

解：,110101)1lg(+=?=-?=-n n n n n S S n S 当n ＝1时，a 1＝S 1＝11；当n≥2时，a n ＝S n －S n －1＝10n －10n －1＝9·10 n －1．故a n ＝?????≥?=-)2(10

9)1(11

1n n n 例3. 根据下面数列{a n }的首项和递推关系，探求其通项公式．⑴ a 1＝1，a n ＝2a n －1＋1 (n≥2)

⑵ a 1＝1，a n ＝113--+n n a (n≥2)

⑶ a 1＝1，a n ＝11--n a n

n (n≥2)解：⑴ a n ＝2a n －1＋1?(a n ＋1)＝2(a n －1＋1)(n≥2)，a 1＋1＝2．故：a 1＋1＝2n ，∴a n ＝2n －1．

⑵a n ＝（a n －a n －1）＋（a n －1－a n －2）＋…＋（a 3－a 2）＋（a 2－a 1）＋a 1＝3n －1＋3n －2＋…＋33

＋3＋1＝)13(2

1-n ．

(3)∵n n a a n n 11-=-∴a n ＝?--?-=?????-----1

2111232211n n n n a a a a a a a a a n n n n n n n

n n 112123=???-- 变式训练3.已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝

22+n n a a (n ∈N *)，求该数列的通项公式．解：方法一：由a n ＋1＝

22+n n a a 得2111

1=-+n n a a ，∴{n a 1}是以111=a 为首项，21为公差的等差数列．∴n

a 1＝1＋(n －1)·21,即a n ＝12+n 方法二：求出前5项，归纳猜想出a n ＝

12+n ，然后用数学归纳证明．例4. 已知函数)(x f ＝2x －2－x ，数列{a n }满足)(log 2n a f ＝－2n ，求数列{a n }通项公式．

解：n

a f n a n a n 222)(log 2log 2log 2-=-=-n a a n

n 21-=-得n n a n -+=12变式训练4.知数列{a n }的首项a 1＝5．前n 项和为S n 且S n ＋1＝2S n ＋n ＋5（n ∈N *）．

(1) 证明数列{a n ＋1}是等比数列；

(2) 令f (x)＝a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n ，求函数f (x)在点x ＝1处导数f 1 (1)．

解：(1) 由已知S n ＋1＝2S n ＋n ＋5，∴ n≥2时，S n ＝2S n －1＋n ＋4，两式相减，得：S n ＋1－S n ＝2(S n －S n －1)＋1，即a n ＋1＝2a n ＋1

从而a n ＋1＋1＝2(a n ＋1)

当n ＝1时，S 2＝2S 1＋1＋5，∴ a 1＋a 2＝2a 1＋6,

又a 1＝5，∴ a 2＝11

∴ 1

11+++n n a a ＝2，即{a n ＋1}是以a 1＋1＝6为首项，2为公比的等比数列.(2) 由(1)知a n ＝3×2n －1

∵ )(x f ＝a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n

∴ )('x f ＝a 1＋2a 2x ＋…＋na n x n －1

从而)1('f ＝a 1＋2a 2＋…＋na n

＝(3×2－1)＋2(3×22－1)＋…＋n(3×2n －1)

＝3(2＋2×22＋…＋n×2n )－(1＋2＋…＋n)

＝3[n×2n ＋1－(2＋…＋2n )]－2

)

1(+n n ＝3(n －1)·2n ＋1－2)1(+n n ＋6

1．根据数列的前几项，写出它的一个通项公式，关键在于找出这些项与项数之间的关系，常用的方法有观察法、通项法，转化为特殊数列法等.

2．由S n 求a n 时，用公式a n ＝S n －S n －1要注意n≥2这个条件，a 1应由a 1＝S 1来确定，最后看二者能否统一．

3．由递推公式求通项公式的常见形式有：a n ＋1－a n ＝f(n)，

n

n a a 1+＝f(n)，a n ＋1＝pa n ＋q ，分别用累加法、累乘法、迭代法（或换元法）．第2课时 等差数列

等差数列的定义： － ＝d （d 为常数）．

2．等差数列的通项公式：

⑴ a n ＝a 1＋ ×d

⑵ a n ＝a m ＋ ×d

3．等差数列的前n 项和公式：

S n ＝ ＝ ．

4．等差中项：如果a 、b 、c 成等差数列，则b 叫做a 与c 的等差中项，即b ＝ ．

5．数列{a n }是等差数列的两个充要条件是：

⑴ 数列{a n }的通项公式可写成a n ＝pn ＋q(p, q ∈R)

⑵ 数列{a n }的前n 项和公式可写成S n ＝an 2＋bn

(a, b ∈R)

6．等差数列{a n }的两个重要性质：

⑴ m, n, p, q ∈N *，若m ＋n ＝p ＋q ，则 ．

⑵ 数列{a n }的前n 项和为S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 成 数列．

例1. 在等差数列{a n }中，

(1)已知a 15＝10，a 45＝90，求a 60；

(2)已知S 12＝84，S 20＝460，求S 28；

(3)已知a 6＝10，S 5＝5，求a 8和S 8．

解：(1)方法一：???????=-=????=+==+=38382904410141145115d a d a a d a a ∴a 60＝a 1＋59d ＝130．

方法二：3815451545=--=--=a a m n a a d m n ，由a n ＝a m ＋(n －m)d ?a 60＝a 45＋(60－45)d ＝90＋15×38＝130．

(2)不妨设S n ＝An 2＋Bn ，

∴???-==???

???=+=+172460202084121222B A B A B A ∴S n ＝2n 2－17n

∴S 28＝2×282－17×28＝1092

(3)∵S 6＝S 5＋a 6＝5＋10＝15， 又S 6＝

2)10(62)(6161+=+a a a ∴15＝

2)10(61+a 即a 1＝－5 而d ＝31

616=--a a ∴a 8＝a 6＋2 d ＝16

S 8＝442

)(881=+a a 变式训练1.在等差数列{a n }中，a 5＝3，a 6＝－2，则a 4＋a 5＋…＋a 10＝ ． 解：∵d ＝a 6－a 5＝－5，

∴a 4＋a 5＋…＋a 10＝49)2(72

)(75104-=+=+d a a a 例2. 已知数列{a n }满足a 1＝2a ，a n ＝2a －

12-n a a （n≥2）．其中a 是不为0的常数，令b n ＝a a n -1． ⑴ 求证：数列{b n }是等差数列． ⑵ 求数列{a n }的通项公式．

解：∵ ⑴ a n ＝2a －1

2-n a a (n≥2) ∴ b n ＝)(11111a a a a a a a a a n n n n -=-=---- (n≥2)

∴ b n －b n －1＝a

a a a a a a n n n 11)(111=------ (n≥2) ∴ 数列{

b n }是公差为

a 1的等差数列． ⑵ ∵

b 1＝a

a -11＝a 1 故由⑴得：

b n ＝

a 1＋(n －1)×a 1＝a n 即：a

a n -1＝a n 得：a n ＝a(1＋n 1) 变式训练2.已知公比为3的等比数列{}n

b 与数列{}n a 满足*,3N n b n a n ∈=，且11=a ，

（1）判断{}n a 是何种数列，并给出证明；

（2）若1

1+=n n n a a C ，求数列{}n C 的前n 项和 解：1）1111333,13n n n n a a a n n n a n b a a b ++-++===∴-=，即 {}n a 为等差数列。

（2）11111111111,11

n n n n n n n n n C S n a a a a a a a ++++==-∴=-=-=+。 例3. 已知{a n }为等差数列，S n 为数列{a n }的前n 项和，已知S 7＝7，S 15＝75，T n 为数列{

n S n }前n 项和。求T n ．

解：设{a n }首项为a 1公差为d ，由

???

????=?+==?+=7521415157267711517d a S d a S ????=-=121d a ∴ S n ＝n n 25212-

2521--=n n S n ∴311-=S ∴T n ＝n n 4

11412-- 变式训练3．两等差数列{a n }、{b n }的前n 项和的比

'5327n n S n S n +=+，则55a b 的值是 （ ） A ．2817 B ．4825 C ．5327 D ．2315

解：B 解析：19559559199()24829252()2

a a a a S

b b S b b +?====+?。 例4. 美国某公司给员工加工资有两个方案：一是每年年末加1000美元；二是每半年结束时加300美元．问：

⑴ 从第几年开始，第二种方案比第一种方案总共加的工资多？

⑵ 如果在该公司干10年，问选择第二种方案比选择第一种方案多加工资多少美元？ ⑶ 如果第二种方案中每半年加300美元改为每半年加a 美元．

问a 取何值时，总是选择第二种方案比第一种方案多加工资？

解：⑴ 设工作年数为n （n ∈N *），第一种方案总共加的工资为S 1，第二种方案总共加的工资为S 2．则：

S 1＝1000×1＋1000×2＋1000×3＋ (1000)

＝500(n ＋1)n

S 2＝300×1＋300×2＋300×3＋…＋300×2n

＝300(2n ＋1)n

由S 2>S 1，即：300(2n ＋1)n>500(n ＋1)n

解得：n>2

∴ 从第3年开始，第二种方案比第一种方案总共加的工资多．

⑵ 当n ＝10时，由⑴得：S 1＝500×10×11＝55000

S 2＝300×10×21＝63000

∴ S 2－S 1＝8000

∴ 在该公司干10年，选第二种方案比选第一种方案多加工资8000美元．

⑶ 若第二种方案中的300美元改成a 美元．

则12S ＝an(2n ＋1) n ∈N *

∴ a ＞

12)1(500++n n ＝250＋12250+n ≥250＋3250 ＝3

1000 变式训练4.假设某市2004年新建住房400万平方米,其中有250万平方米是中低价房.预计在今后的若干年内,该市每年新建住房面积平均比上一年增长8%.另外,每年新建住房中,中低价房的面积均比上一年增加50万平方米.那么,到哪一年底,

(1)该市历年所建中低价房的累计面积(以2004年为累计的第一年)将首次不少于4750万平方米?

(2)当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%?

解：(1)设中低价房面积形成数列{a n },由题意可知{a n }是等差数列,

其中a 1=250,d=50,则S n =250n+502

)1(?-n n =25n 2+225n, 令25n 2+225n≥4750,即n 2+9n-190≥0,而n 是正整数, ∴n≥10.

到2013年底,该市历年所建中低价房的累计面积将首次不少于4750万平方米.

(2)设新建住房面积形成数列{b n },由题意可知{b n }是等比数列,

其中b 1=400,q=1.08,则b n =400·(1.08)n-1·0.85.

由题意可知a n >0.85 b n ,有250+(n-1)·50>400·(1.08)n-1·0.85.

由计箅器解得满足上述不等式的最小正整数n=6.

到2009年底,当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%.

1．欲证{a n }为等差数列，最常见的做法是证明：a n ＋1－a n ＝d(d 是一个与n 无关的常数)．

2．a 1，d 是等差数列的最关键的基本量，通常是先求出a 1，d ，再求其他的量，但有时运算较繁．

3．对等差数列{a n }的最后若干项的求和，可以把数列各项的顺序颠倒，看成公差为－d 的等差数列进行求和．

4．遇到与等差数列有关的实际问题，须弄清是求项的问题还是求和的问题．

第3课时 等比数列

1．等比数列的定义：

)()(

＝q （q 为不等于零的常数）． 2．等比数列的通项公式：

⑴ a n ＝a 1q n －1 ⑵ a n ＝a m q n －m

3．等比数列的前n 项和公式：

S n ＝ ???

??=≠)

1()1(q q 4．等比中项：如果a ，b ，c 成等比数列，那么b 叫做a 与c 的等比中项，即b 2＝ （或b ＝ ）．

5．等比数列{a n }的几个重要性质：

⑴ m ，n ，p ，q ∈N *，若m ＋n ＝p ＋q ，则 ．

⑵ S n 是等比数列{a n }的前n 项和且S n ≠0，则S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 成 数列． ⑶ 若等比数列{a n }的前n 项和S n 满足{S n }是等差数列，则{a n }的公比q ＝ ． 例1. 已知等比数列{a n }中，a 1＋a n ＝66，a 2a n －1＝128，S n ＝126，求项数n 和公比q 的值． 解：∵{a n }是等比数列，

∴a 1·a n ＝a 2·a n －1，

∴???=?=+128

6611n n a a a a ，解得???==6421n a a 或???==2641n a a 若a 1＝2，a n ＝64，则2·q n －1＝64

∴q n ＝32q

由S n ＝1261)321(21)1(1=--=--q

q q q a n ， 解得q ＝2，于是n ＝6

若a 1＝64，a n ＝2，则64·q n －1＝2

∴q n ＝q 32

1 由S n ＝1261)3211(641)1(1=--=--q q q

q a n 解得q ＝21

，n ＝6

变式训练1.已知等比数列{a n }中，a 1·a 9＝64，a 3＋a 7＝20，则a 11＝ ．

解：64或1

由???=+=?20647391a a a a ????=+=20

64737

3a a a a ????==41673a a 或???==16

473a a ∴ q 2＝21或q 2＝2，∴ a 11＝a 7 q 2，∴ a 11＝64或a 11＝1 例2. 设等比数列{a n }的公比为q(q>0)，它的前n 项和为40，前2n 项和为3280，且前n 项中数值最大项为27，求数列的第2n 项．

解：若q ＝1，则na 1＝40，2na 1＝3280矛盾，∴ q≠1．∴ ???

????=--=--32801)1(401)1(211q q a q q a n n 两式相除得：q n ＝81，q ＝1＋2a 1

又∵q>0，∴ q>1，a 1>0

∴ {a n }是递增数列．

∴ a n ＝27＝a 1q n －1＝1

12181a a +? 解得 a 1＝1，q ＝3，n ＝4

变式训练2.已知等比数列{a n }前n 项和S n ＝2n －1，{a n 2}前n 项和为T n ，求T n 的表达式． 解：(1) ∵a 1＋2a 22＝0，∴公比q ＝

2112-=a a 又∵S 4－S 2＝81，

将q ＝－21代入上式得a 1＝1，

∴a n ＝a 1q n －1＝(－21

) n －1 (n ∈N *)

(2) a n ≥161?(－21) n －1≥(2

1)4 ?n≤5

∴原不等式的解为n ＝1或n ＝3或n ＝5．

例3. 有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个数的和是12，求这四个数．

解：设这四个数为a －d ，a ，a ＋d ， a

d a 2)(+ 依题意有：??

???=++=++-1216)(2

d a a a d a d a 解得：???==44d a 或 ?

??-==69d a ∴ 这四个数为0，4，8，16或15，9，3，1．

变式训练3.设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，6636,324,144(6)n n S S S n -===>，则n 等于（ ）

A. 15

B. 16

C. 17

D. 18

答案： D 。解析：由6324,144n n S S -==得12345180n n n n n n a a a a a a -----+++++=，再由

161()326,36,324,182

n n n n a a S a a S n +=∴+=∴==∴=。 例4. 已知函数f(x)＝(x －1)2，数列{a n }是公差为d 的等差数列，数列{b n }是公比为q 的等比数列(q ≠1)，若a 1＝f(d －1)，a 3＝f(d ＋1)，b 1＝f(q －1)，b 3＝f(q ＋1)，

(1) 求数列{a n }，{b n }的通项公式；

(2) 设数列{c n }对任意的自然数n 均有：12211)1(++=+++n n n a n b c b c b c ，求数列{c n }前n 项和S n ． 解：(1) a 1＝(d －2)2，a 3＝d 2，a 3－a 1＝2d

即d 2－(d －2)2＝2d ，解之得d ＝2

∴a 1＝0，a n ＝2(n －1)

又b 1＝(q －2)2，b 3＝q 2，b 3＝b 1q 2

即q 2＝(q －2)2 q 2，解之得q ＝3

∴b 1＝1，b n ＝3n －1 (2) 1134,4)1(-+?==-+=n n n n n

n n c n na a n b C S n ＝C 1＋C 2＋C 3＋…＋C n

＝4(1×3°＋2×31＋3×32＋…＋n×3 n －1)

设='n S 1×3°＋2×3′＋3×32＋…＋n×3 n －

1 3='n S 1×31＋2×32＋3×33＋…＋n×3 n

－2='n S 1＋3＋32＋33＋…＋3 n －1－n×3 n ＝2)13(1-n －3 n ·n

4

1332'--?=n n n n S ∴S n ＝2n·3n －3n ＋1

变式训练4.已知等差数列{a n }的首项a 1＝1，公差d>0，且第二项，第五项，第十四项分别是

等比数列{b n }的第二项，第三项，第四项．

⑴求数列{a n }与{b n }的通项公式；

⑵设数列{c n }对任意正整数n ，均有1332211+=+??+++n n n a b c b c b c b c ，求c 1＋c 2＋c 3＋…＋c 2007的值．

解：⑴由题意得（a 1＋d ）(a 1＋13d)＝(a 1＋4d)2(d>0) 解得d ＝2，∴a n ＝2n －1，b n ＝3n －1．

⑵当n ＝1时，c 1＝3 当n ≥2时，∵,1n n n n a a b c -=+∴???≥?==-)2(32)1(31n n c n n 故132-?=n n c 22006200712200732323233c c c ∴++?+=+?+?+?+?=

1．在等比数列的求和公式中，当公比q≠1时，适用公式S n ＝q

q a n --1)1(1，且要注意n 表示项数；当q ＝1时，适用公式S n ＝na 1；若q 的范围未确定时，应对q ＝1和q≠1讨论求和．

2．在等比数列中，若公比q > 0且q≠1时，可以用指数函数的单调性确定数列的最大项或

最小项．

3．若有四个数构成的函数，前三个成等差数列，后三个成等比数列时，关键是如何巧妙地

设这四个数，一般是设为x －d ，x ，x ＋d ，x

d x 2)(+再依题意列出方程求x 、d 即可． 4．a 1与q 是等比数列{a n }中最活跃的两个基本量．

第4课时 等差数列和等比数列的综合应用

⑴ m ，n ，p ，r ∈N *，若m ＋n ＝p ＋r ，则有 ．

⑵ {a n }是等差数列， 则{a kn } (k ∈N *，k 为常数)是 数列．

⑶ S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 构成 数列．

2．在等差数列中，求S n 的最大(小)值，关键是找出某一项，使这一项及它前面的项皆取正(负)值或0，而它后面的各项皆取负(正)值．

⑴ a 1> 0，d <0时，解不等式组 ??

?<≥+001n n a a 可解得S n 达到最 值时n 的值． ⑵ a 1<0，d>0时，解不等式组 ???

??可解得S n 达到最小值时n 的值．

3．等比数列的常用性质：

⑴ m ，n ，p ，r ∈N *，若m ＋n ＝p ＋r ，则有 ．

⑵ {a n }是等比数列，则{a 2n }、{n

a 1}是 数列． ⑶ 若S n ≠0，则S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 构成 数列．

例1. 是否存在互不相等的三个实数a 、b 、c ，使它们同时满足以下三个条件：

① a ＋b ＋c ＝6

② a 、b 、c 成等差数列．

③ 将a 、b 、c 适当排列后成等比数列．

解：设存在这样的三位数a ，b ，c ．

由a ＋b ＋c ＝6，2b ＝a ＋c 得：b ＝2，a ＋c ＝4

① 若b 为等比中项，则ac ＝4，∴ a ＝c ＝2与题设a≠c 相矛盾．

② 若a 为等比中项，则a 2＝2c ，则a ＝c ＝2(舍去)或a ＝－4，c ＝8．

③ 若c 为等比中项，则c 2＝2a ，解得c ＝a ＝2(舍去)或c ＝－4，a ＝8．

∴存在着满足条件的三个数：－4，2，8或8，2，－4．

变式训练1.若a 、b 、c 成等差数列，b 、c 、d 成等比数列，111,,c d e

成等差数列，则a 、c 、e 成（ ）

A ．等差数列

B ．等比数列

C ．既成等差数列又成等比数列

D ．以上答案都不是

答案：B 。解析：由2,2a c b a c b +=+∴=，由2

22,c c bd d a c =∴=+，由211,d c e =+

∴22,a c c e c ae c ce

++=∴=，即,,a c e 成等比数列。 例2. 已知公差大于0的等差数列{

n a 1}满足a 2a 4＋a 4a 6＋a 6a 2＝1，a 2，a 4，a 8依次成等比数列，求数列{a n }的通项公式a n ．

解：设{

n a 1}的公差为d(d ＞0)，由a 2，a 4，a 8成等比数列可知21a ，41a ，81a 也成等比数列， ∴(

41a )2＝21a ·81a ∴(11a ＋3d)2＝(11a ＋d)(1

1a ＋7d) 化简得d 2＝

1a d ，∴11a ＝d 又a 2a 4＋a 4a 6＋a 6a 2＝1化简为

21a ＋41a ＋61a ＝6

421a a a ∴3·

41a ＝621a a ·41a ∴21a ·61a ＝3，即(11a ＋d)(1

1a ＋5d)＝3 2d·6d ＝3 ∴d ＝21，

11a ＝21 ∴n a 1＝1

1a ＋(n －1)d ＝2n ∴a n ＝n

2 变式训练2.已知

111,,a b c 成等差数列，求证：,,b c a c a b a b c

+++也成等差数列。 解析：由111,,a b c 成等差数列，则211,2(),ac b a c b a c =+∴=+ ∴22222()()()()2()b c a b b c c a a b bc c a ab b a c a c a c a c a c ac ac ac ac b +++?+++++++++++===== 即,,b c a c a b a b c

+++成等差数列。 例3. 已知△ABC 中，三内角A 、B 、C 的度数成等差数列，边a 、b 、c 依次成等比数列．求证：△ABC 是等边三角形．

解：由2B ＝A ＋C ，且A ＋B ＋C ＝180°，B ＝60°，由a 、b 、c 成等比数列，有b 2＝ac

cosB ＝ac b c a 2222-+＝ac

ac c a 222-+＝21 得(a －c)2＝0，∴ a ＝c ∴△ABC 为等边三角形．

变式训练3.若互不相等的实数a 、b 、c 成等差数列，c 、a 、b 成等比数列，且103=++c b a ，则a = （ ）

A.4

B.2

C.-2

D.-4

答案： D.解析：依题意有2

2,,

310.a c b bc a a b c +=??=???++=?

4,2,8.a b c =-??

=??=?

例4. 数列{a n }的前n 项和S n ，且a 1＝1，a n ＋1＝3

1S n ，n ＝1，2，3…… 求：⑴ a 2、a 3、a 4的值及{a n }的通项公式； ⑵ a 2＋a 4＋a 6＋…＋a 2n 的值.

解析：(1)由a 1＝1，a n ＋1＝31S n ，n ＝1，2，3，…得a 2＝31S 1＝31a 1＝31，a 3＝31S 2＝3

1(a 1＋a 2)＝9

4，a 4＝3

1S 3＝3

1(a 1＋a 2＋a 3)＝

27

16 由a n ＋1－a n ＝3

1(S n －S n －1)＝3

1a n (n≥2)，得a n ＋1＝34

a n (n≥2)，又a 2＝31，∴a n ＝31·(3

4)n －

2(n≥2)

∴ {a n }通项公式为a n ＝?????≥?=-2)3

4(311

12n n n

(2) 由(1)可知a 2、a 4、…a 2n 是首项为31，公比为(3

4)2，项数为n 的等比数列.

∴ a 2＋a 4＋a 6＋…＋a 2n ＝31

×2

2)3

4(1)34

(1--n

＝73[(3

4)2n －1]

变式训练4.设数列{}n a 的前n 项的和1412

2333

n n n S a +=-?+，......3,2,1=n 求首项1a 与通项n a 。 解析：（I ）2111412

2333a S a ==

-?+，解得：12a = ()21111441

22333n n n n n n n a S S a a +++++=-=---()11242n n n n a a ++?+=+

所以数列{}

2n

n a +是公比为4的等比数列

所以：

()11

1224n n n a a -+=+?

得：42n n

n a =- （其中n 为正整数）

1．在三个数成等差（或等比）时，可用等差（或等比）中项公式；在三个以上的数成等差（或等比）时，可用性质：m 、n 、p 、r ∈N*，若m ＋n ＝p ＋r ，则a m ＋a n ＝a p ＋a r （或a m ·a n ＝a p ·a r ）进行解答．

2．若a 、b 、c 成等差（或等比）数列，则有2b ＝a ＋c （或b 2＝ac ）．

3．遇到与三角形相关的问题时，一般要注意运用正弦定理（或余弦定理）及三角形内角和

等于180°这一性质．

4．在涉及a n 与S n 相关式子中用S n －1和S n 的关系表示a n 时应该注意“n≥2”这个特点．

第5课时 数列求和

1．等差数列的前n 项和公式：

S n ＝ ＝ ．

2．等比数列的前n 项和公式：

① 当q ＝1时，S n ＝ ．

② 当q≠1时，S n ＝ ．

3．倒序相加法：将一个数列倒过来排列与原数列相加．主要用于倒序相加后对应项之和有公因子可提的数列求和．

4．错位相减法：适用于一个等差数列和一个等比数列对应项相乘构成的数列求和．

5．裂项求和法：把一个数列分成几个可直接求和的数列．

例1. 已知数列：1，??? ??+211，??? ??++41211，??? ??+++8141211，…，??

? ??+++-12141211n ，求它的前n 项的和S n ．

解：∵ a n ＝1＋21＋41＋……＋

121-n ＝??? ??-=--n 21122

1121

1 ∴a n ＝2－121-n 则原数列可以表示为：

(2－1)，??? ??-212，??? ??-2212，??? ??-3212，…??

? ??--1212n 前n 项和S n ＝(2－1)＋??? ??-212＋??? ??-2212＋…＋??

? ??--1212n ＝2n －??? ?

?++++-122121211n ＝2n －2

1121

1--n ＝2n －2??? ??-n 211 ＝121

-n ＋2n －2

变式训练1.数列 ,1614,813,412,21

1前n 项的和为 （ ）

A ．2212n n n ++

B ．12212+++-n n n

C ．2212n n n ++-

D ． 22

121n n n -+-+ 答案:B 。解析：2111(1)11234122222n n n n n S n +=+++++++=+- 例2. 求S n ＝1＋

211+＋3211++＋…＋n ++++...3211． 解：∵ a n ＝

n ++++ 3211＝)1(2+n n ＝2(n 1－1

1+n ) ∴ S n ＝2(1－21

＋21－31

＋…＋n 1－11+n )＝1

2+n n 变式训练2：数列{a n }的通项公式是a n ＝

11++n n ，若前n 项之和为10，则项数n 为（ ） A ．11 B ．99

C ．120

D ．121

解：C .a n ＝11++n n ＝n n -+1，

∴S n ＝11-+n ，由11-+n ＝10，∴1+n ＝11，

∴n ＝11

例3. 设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝)()21(

*2N n a n ∈+，b n ＝a n ·2n ，求数列{b n }的前n 项和T n ．

解：取n ＝1，则a 1＝21)21(

+a ?a 1＝1 又S n ＝2)(1n a a n +可得：2

)(1n a a n +＝2)21(+n a ∵a n ≠－1(n ∈N *) ∴a n ＝2n －1

∴T n ＝1·2＋3·22＋5·23＋……＋(2n －1)·2n ①

2T n ＝1·22＋3·23＋5·24＋……＋(2n －1)·2n ＋1②

①－②得：

∴－T n ＝2＋23＋24＋25＋……＋2n ＋1－(2n －1)·2n ＋1

＝2＋2

1)21(213---n －(2n －1)·2n ＋1＝－6＋(1－n)·2n ＋2 ∴T n ＝6＋(n －1)·2n ＋

2

变式训练3.设数列{a n }的前n 项和为S n ＝2n 2，{b n }为等比数列，且a 1＝b 1，b 2(a 2－a 1)＝b 1. ⑴ 求数列{a n }和{b n }通项公式． ⑵ 设C n ＝n

n b a ，求数列{C n }前n 项和T n ． 解：（1）当n ＝1时a 1＝S 1＝2，当n≥2时，a n ＝S n －S n －1＝4n －2，故{a n }通项公式为a n ＝4n －2，即{a n }是a 1＝2，d ＝4的等差数列，设{b n }的公比为q ，则b 1qd ＝b 1，d ＝4，∴ q ＝41

，

故b n ＝b 1q n －1＝142

-n

（2）∵C n ＝n n b a ＝14)12(1

4224--=--n n n n ∴T n ＝C 1＋C 2＋…＋C n ＝1＋3×4＋5×42＋…＋（2n －1）4n －1

∴4T n ＝1×4＋3×42＋5×43＋…＋（2n －3）4n －n ＋（2n －1）4n

两式相减 3T n ＝]54)56[(3

1+-n n ∴ T n ＝]54)56[(9

1+-n n ．

例4. 求S n ＝1!＋2·2！＋3·3！＋…＋n·n ！．

解： a n ＝n·n!＝(n ＋1)!－n!

∴ S n ＝(n ＋1)!－1!＝(n ＋1)!－1

变式训练4.以数列{a n }的任意相邻两项为坐标的点P n (a n 、a n ＋1)均在一次函数y ＝2x ＋k 的图象上，数列{b n }满足条件：b n ＝a n ＋1－a n ，且b 1≠0．

⑴ 求证：数列{b n }为等比数列．

⑵ 设数列{a n }、{b n }的前n 项和分别为S n 、T n ，若S 6＝T 4，S 5＝－9，求k 的值． 解：⑴由题意，a n ＋1＝2a n ＋k

∴ b n ＝a n ＋1－a n ＝2a n ＋k －a n ＝a n ＋k

b n ＋1＝a n ＋1＋k ＝2a n ＋2k ＝2b n

∵ b 1≠0，∴ n n b b 1+＝2 ∴ {b n }是公比为2的等比数列．

⑵ 由⑴知a n ＝b n －k

∵ b n ＝b 1·2n －1 ∴ T n ＝)12(2

1)21(11-=--n n b b S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ＝(b 1＋b 2＋…＋b n )－nk

＝T n －nk ＝b 1(2n －1)－nk

∵ ???-==9546S T S ∴ ???-=-=-9

53115663111k b b k b

1．求和的基本思想是“转化”．其一是转化为等差、等比数列的求和，或者转化为求自然数的方幂和，从而可用基本求和公式；其二是消项，把较复杂的数列求和转化为求不多的几项的和．

2．对通项中含有(－1)n 的数列，求前n 项和时，应注意讨论n 的奇偶性．

3．倒序相加和错位相减法是课本中分别推导等差、等比数列前n 项和用到的方法，在复习中应给予重视．

数列章节测试题

一、选择题：

1

,…

则是该数列的（ ）

A ．第6项

B ．第7项

C ．第10项

D ．第11项

2．方程2640x x -+=的两根的等比中项是（ ）

A ．3

B ．2± C

． D ．2

3．已知等差数列{}n a 满足244a a +=，3510a a +=，则它的前10项的和10S =（ ）

A ．138

B ．135

C ．95

D ．23

4、已知等比数列{}n a 的前三项依次为1a -，1a +，4a +，则n a =

A ．342n ??? ???

B ．243n ??? ???

C ．1342n -??? ???

D ．1243n -??? ???

5．一个有限项的等差数列，前4项之和为40，最后4项之和是80，所有项之和是210，则此数列的项数为（ ）

A ．12

B ．14

C ．16

D ．18

6、若等差数列{}n a 的前5项和525S =，且23a =，则7a =（ ）

（A ）12 （B ）13 （C ）14 （D ）15

7、在数列{}n a 中，12a =， 11ln(1)n n a a n

+=++，则n a = （ ）

A ．2ln n +

B ．2(1)ln n n +-

C ．2ln n n +

D ．1ln n n ++ 8．两等差数列{a n }、{b n }的前n 项和的比'5327n n S n S n +=+，则5

5b a 的值是（ ） A ．2817 B ．2315 C ．5327 D ．4825

9．{a n }是等差数列，10110,0S S ><，则使0n a <的最小的n 值是（ ）

A ．5

B ．6

C ．7

D ．8

10、黑白两种颜色的正六边形地面砖按如图的规律拼成若干个图案

则第n 个图案中有白色地面砖的块数是（ ）

A. 33n +

B.42n -

C.24n +

D. 42n + 11.若数列22331,2cos ,2cos ,2cos ,,θθθ前100项之和为0，则θ的值为（ ）

第1个 第2个 第3个

A. ()3k k Z π

π±∈ B. 2()3k k Z π

π±∈ C. 22()3

k k Z ππ±∈ D.以上的答案均不对 12.设2a =3,2b =6,2c =12,则数列a,b,c 成

A.等差

B.等比

C.非等差也非等比

D.既等差也等比

二、填空题

13、设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，a 12=-8,S 9=-9,则S 16= .

14、由正数构成的等比数列{a n }，若132423249a a a a a a ++=，则23a a += ．

15．已知数列{}n a 的前n 项和为2,n S n =某三角形三边之比为234::a a a ，则该三角形最大角为 ．

16、给定(1)log (2)n n a n +=+（n ∈N*），定义乘积12k a a a ???为整数的k （k ∈N*）叫做“理

想数”，则区间[1，2008]内的所有理想数的和为 ．

三、解答题

17、已知函数()f x 是一次函数，且(8)15,f =(2),(5),(14)f f f 成等比数列，设()n a f n =，

(n N *∈)（1）求

1n i i a =∑；（2）设2n n b =，求数列{}n n a b 的前n 项和n S 。

18、数列{a n }的前n 项和记为S n ，()111,211n n a a S n +==+≥

（1）求{a n }的通项公式;

（2）等差数列{b n }的各项为正，其前n 项和为T n ，且315T =，又112233,,a b a b a b +++成等比数列，求T n

19、假设某市2004年新建住房400万2m ，其中有250万2m 是中低价房。预计在今后的若干年内，该市每年新建住房面积平均比上一年增长8%。另外，每年新建住房中，中低价房的面积均比上一年增加50万2m 。那么，到哪一年底，

(1)该市历年所建中低价房的累计面积（以2004年为累计的第一年）将首次不少于4750万2m ？

(2)当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%？

20、已知数列{}n a 中，12a =，23a =，其前n 项和n S 满足1121n n n S S S +-+=+（2n ≥，*n ∈N ）．（1）求数列{}n a 的通项公式；

（2）设14(1)2(n a n n n b λλ-=+-?为非零整数，

*n ∈N ），试确定λ的值，使得对任意*n ∈N ，都有n n b b >+1成立．

21

、已知直线:n

y x =22:22()n n C x y a n n N ++=++∈交于不同点A n 、B n ,其中数列{}n a 满足：21111,4n n n a a A B +==

. （1）求数列{}n a 的通项公式；

（2）设(2),3

n n n b a =

+求数列{}n b 的前n 项和n S .

22、已知{}n a 是公差为d 的等差数列，它的前n 项和为n S ,4224S S =+,1n n n a b a +=

． （1）求公差d 的值；

（2）若152

a =-，求数列{}n

b 中的最大项和最小项的值；

（3）若对任意的*n N ∈，都有8n b b ≤成立，求1a 的取值范围．

数列章节测试题参考答案

一、选择题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 B B C

C

B

B

A

D

B

D

C

A

二、填空题

13、-72 14、7 15、120 16、2026．

解：换底公式：log log log b a b N

N a

=

．12

lg(2)

lg 2

k k a a a +=

为整数，22m k +=，m ∈N*．k 分别可取23422,22,22,---，最大值22m -≤2008，m 最大可取10，故和为

22+23+…+210-18=2026． 三、解答题 17、解：（1）设()f x ax b =+，（0a ≠）由(8)15,f =(2),(5),(14)f f f 成等比数列

得

815a b +=，----------------①, 2(5)(2)(14)f f f =?得

2(5)(2)(14)a b a b a b +=++2360a ab ?+=

∵0a ≠ ∴2a b =----------------② 由①②得2,1a b ==-， ∴()21f x x =- ∴21n a n =-，显然数列{}n a 是首项11,a =公差2d =的等差数列 ∴

1

n

i i a =∑＝212(121)

2

n n n a a a n +-++

+=

=

（2）∵(21)2n n n a b n =-? ∴1122n n n S a b a b a b =++

+＝2323252(21)2n n +?+?+

+-?

2n S ＝2

3

4

123252(23)2(21)2n n n n ++?+?++-?+-?

－n S ＝2

3

122(222)(21)2n n n +++++--?＝31122(21)(21)2n n n -++?---?

∴n S ＝1(23)2

6n n +-?+。

18、（I ）由121n n a S +=+可得()1212n n a S n -=+≥，两式相减得()112,32n n n n n a a a a a n ++-==≥ 又21213a S =+= ∴213a a =，故{a n }是首项为1，公比为3得等比数列 ∴13n n a -=. （II ）设{b n }的公差为d ，由315T =得，可得12315b b b ++=，可得25b =， 故可设135,5b d b d =-=+ 又1231,3,9a a a ===由题意可得

()()()2515953d d -+++=+解得10,221-==d d

∵等差数列{b n }的各项为正，∴0d >，∴2d = ∴()213222n n n T n n n -=+?=+

19.（1）到2013年底，该市历年所建中低价房的累计面积将首次不少于4750

（2）到2009年底，当年建造的中低房的面积占该年建造住房面积的比例将首次大于85%

20、解：（1）由已知，()()111n n n n S S S S +----=（2n ≥，*

n ∈N ）， 即11n n a a +-=（2n ≥，*n ∈N ），且211a a -=．

∴数列{}n a 是以12a =为首项，公差为1的等差数列．∴1n a n =+．

（2）∵1n a n =+，∴114(1)2n n n n b λ-+=+-?，要使n n b b >+1恒成立，

∴()()

112114412120n n n n n n n n b b λλ-++++-=-+-?--?>恒成立， ∴()11343120n n n λ-+?-?->恒成立，

∴()1112n n λ---<恒成立．

（ⅰ）当n 为奇数时，即12n λ-<恒成立，

当且仅当1n =时，12n -有最小值为1，

∴1λ<．

（ⅱ）当n 为偶数时，即12

n λ->-恒成立， 当且仅当2n =时，12n --有最大值2-，

∴2λ>-．

即21λ-<<，又λ为非零整数，则1λ=-．

综上所述，存在1λ=-，使得对任意*n ∈N ，都有1n n b b +>

21．（1

）圆心到直线的距离d =

21111(

)22,22(2)2

322

n n n n n n n n a A B a a a a ++-∴==++=+∴=?-则易得 （2）10121123(2)2,3

122232*********n n n n n n

n n b a n S n S n --=+=?=?+?+?+???+?=?+?+?+???+? 相减得(1)21n n S n =-+

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