导数的应用复习课 优秀教案

复习课: 导数及其应用

教学目标

重点：能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间、极值和最值．

难点：导数在求函数的单调区间、极值、最值、证明中的应用，方程根及恒成立问题.

知识点：（1）掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义，理解导函数的概念（2）熟记基本导数公式,掌握两个函数和、差、积、商的求导法则（3）理解可导函数的单调性与其导数的关系. 理解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件（导数在极值点两侧异号）.会求一些实际问题的最大值和最小值. 能力点：培养学生的数形结合、转化、分类讨论的数学思想，提高发现问题、分析问题、解决问题的能力． 教育点：求极值和最值的步骤，需要具体练习和掌握. 这是一堂复习课，教学难度有所增加，培养学生思考问题的习惯，以及克服困难的信心.

自主探究点：函数导数等于零的点一定是极值点吗？

考试点：1.导数的概念、四则运算、常用函数的导数的考查2.利用导数求函数的单调区间、极值、最值. 易错易混点：使导函数等于零的点当成了是极值点，没有进一步的检验，在选择题、和填空题中经常出错. 拓展点：不等式恒成立和方程根的个数问题.

学法与教具

学法：1.采用“学案导学”方式进行教学2.讨论法、启发式、自主学习、合作探究式教学方法的综合运用 教具：多媒体、学案、直尺. 一、【知识结构】

导数的概念 导数的几何意义 基本的导数公式 导数 即 导数的应用 二、【知识梳理】

几种常见函数的导数 导数的运算 两个函数的和差积商的导数 函数的单调性 函数的极值 函数的最值 1.导数的概念：对于函数y?f(x)，如果自变量x在x0处有增量?x，那么函数y相应的有增量

?y?f?x0??x??f?x0?.比值

?y就叫做函数y?f(x)在x0到x0??x之间的平均变化率， ?x?yf(x0??x)?f(x0)?y?，如果当?x?0时，有极限，就说函数y?f(x)在点x0处可导，并

?x?x?x且把这个极限叫做f(x)在点x0处的导数（或瞬时变化率），记作f'?x0? 或 y?|x?x0

1

即f'?x0?＝

lim?x?0f(x0??x)?f(x0)?y＝lim ?x?x?x?02.几种常见函数的导数

??(x)?＝ ；(??Q*) (sinx)?＝ ;(cosx)?＝ ; (C) ＝ ；

(ex)?＝ ， (ax)?＝ ； (lnx)?＝ ; (logax)?＝

3. 导数的四则运算 若y?f(x),y?g?x? 的导数存在，则

①[f(x)?g?x?]/?_____________ ②[f(x)?g?x?]/?_____________ ③[f(x)/ ④[Cf?x?]/?__________]?_______________________

g(x)4.导数的意义

（1）导数的几何意义：函数y?f(x)在点x0处的导数f'?x0?，就是曲线y?f(x)在点P?x0,f(x0)?处的切线的斜率k，即k?f/?x0?.

t0处的导数/tS(t0)的物理意义是运动物体在时刻0处的瞬时速度.

（2）导数的物理意义：函数S(t)在点

5.函数的单调性与导数的关系

（1）在某个区间?a,b?内如果 ，那么函数y?f(x)在这个区间内单调递增；如果 ，那么函数y?f(x)在这个区间内单调递减；如果 ，那么函数y?f(x)在这个区间上是常数函数． （2）求可导函数y?f(x)的单调区间的步骤：（1）求f'?x? (2)解不等式f'?x??0 (或f'?x??0)

(3)确认并写出单调区间. 6．函数的极值与导数

（1）若函数y?f(x)在点x?a处的函数值f(a)比它在点

x?a附近其它点处的函数值 ，且

f'(a)?0，而且在点x?a附近的左侧 ，右侧 ，则点a叫函数的极小值点，f(a)叫做

函数的极小值．

（2）若函数y?f(x)在点x?b处的函数值f(b)比它在点x?b附近其它点处的函数值 ，且

f'(b)?0，而且在点x?b附近的左侧 ，右侧 ，则点b叫函数的极大值点，f(b)叫做函

数的极大值．

求函数y?f(x) 极值的步骤：

（1）确定函数的定义域 ; (2) 求方程f?x??0的根;

'（3）解不等式f?x??0 (或f?x??0)顺次将函数的定义域分成若干小开区间； (4) 列表; (5)写出极值. 7．函数的最值与导数

函数y?f(x)在[a,b]上有最值的条件：如果在区间[a,b]上函数y?f(x)的图像是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值．

''求在闭区间[a,b]上的连续函数y?f(x)最值的步骤：（1）求y?f(x)在(a,b)内的 值； (2)将y?f(x)的各极值与f(a)、f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值.

2

【设计说明】

第一步：自主复习，学生用6分钟时间利用《学案》将以上基础知识填完

第二步：合作学习，分组交流，解决知识漏洞及疑难点（老师注意发现学生的问题） 第三步：老师点评：老师根据情况有重点的进行知识讲评（大屏幕显示） 三、【范例导航】

1．利用导数研究曲线的切线 例1求曲线

y?x在点??1,?1?处的切线方程 x?2【分析】先求出导函数，解出斜率，然后根据点斜式求出切线方程. 【解答】因为y?/2?x?2?2，所以，在点??1,?1?处的切线斜率k?y/|?1?2，所以，切线方程为

y?1?4(x?1)，即2x?y?1?0.

【点评】本题主要考查导数的几何意义，以及熟练运用导数的运算法则进行求导.

14变式训练: 已知曲线y?x3?.

33（1）求曲线在x?2处的切线方程； （2）求曲线过点(2,4)的切线方程.

答案：（1）∵y/?x2,∴在点P(2,4)处的切线的斜率k?y/|x?2?4. 

∴曲线在点P(2,4)处的切线方程为y?4?4(x?2),即4x?y?4?0.

（2）设曲线y?134?134?2x?.与过点P(2,4)的切线相切于点A?x0,x0则切线的斜率k?y/|x?x0?x0 ??，333??3∴切线方程为y??x0??1?332344?22y?x?x?x0?. 即?x(x?x),?000333?2∵点P(2,4)在切线上，∴4?2x0?234x0?, 即33323222x0?3x0?4?0,?x0?x0?4x0?4?0,∴x0(x0?1)?4(x0?1)(x0?1)?0,

∴?x0?1?x0?2??2?0,解得x0??1或x0?2,故所求的切线方程为4x?y?4?0或x?y?2?0.

2. 利用导数研究函数的单调性

例2(1) 已知函数f?x??212x?ax?(a?1)lnx,a?1，讨论函数f?x?的单调性； 2 (2)已知函数f?x??x?2x?alnx，若函数f?x?在区间?0,1?上是单调函数，求实数a的取值范围. 【分析】直接利用函数与导数的关系讨论函数的单调性,同时应注意分类标准的选择. 求参数a的范围，应该首选分离参数法，这样比较简单．

3

【解答】(1) 函数f?x?的定义域是?0,???，由于f'/?x??x?a?a?1??x?1??x?1?a?

xx(x?1)2（i）若a?1?1即a?2,则f(x)?，故f(x)在(0,??)单调递增.

x(ii)若a?1?1,而a?1,故1?a?2,则当x?(a?1,1)时，f'(x)?0; 当x?(0,a?1)及x?(1,??)时，f'(x)?0

故f(x)在(a?1,1)单调递减，在(0,a?1),(1,??)单调递增.

(iii)若a?1?1,即a?2,同理可得f(x)在(1,a?1)单调减少，在(0,1),(a?1,??)单调增加.

a2x2?2x?a (2) 函数f?x?的定义域是?0,???，f?x??2x?2??，

xx/因为函数f?x?在区间?0,1?上为单调函数

所以只需f'?x??0或f'?x??0在区间?0,1?上恒成立，

22a??(2x?2x)或a??(2x?2x)在区间?0,1?上恒成立， 即

解得a?0或a??4,所以实数a的取值范围是???,?4???0,???

【点评】本题主要考查利用导数研究函数性质的能力.考查分类讨论思想、数形结合思想和等价变换思想.

变式训练: １、已知函数f(x)?x3?ax2?x?1，a?R．

（１）讨论函数f?x?的单调区间；（２）设函数f?x?在区间???21?,??内是减函数，求a的取值范围． ?33?答案：（1）f(x)?x3?ax2?x?1求导：f?(x)?3x2?2ax?1 当a2≤3时，?≤0，f?(x)≥0，f(x)在R上递增．

?a?a2?3当a?3，f?(x)?0求得两根为x?．

32???a?a2?3?a?a2?3???a?a2?3??a?a2?3?，，???递增．即f(x)在???， ?递增，??递减，???????3333??????（2）因为函数f?x?在区间???21??21?,??内是减函数，所以当x???,??时f'?x??0恒成立，结合二?33??33? 4

??f?次函数的图像可知??f???74a?2?????0?3?3?0??3?即?解得a?2．所以a的取值范围?2,???

42a1?/??????0?3?3?0?3??/3．利用导数研究函数的极值与最值

例3.已知函数f?x??x3?ax2?bx?c,曲线y?f(x)在点x?1处的切线为 l : 3 x ? y ? 1 ? ，若

x?

2

时，y?f(x)有极值.（1）求a,b,c的值；（2）求y?f(x)在??3,1?上的最大值和最小值. 3

【分析】利用导数及函数的性质解题．

【解答】（1）由f?x??x3?ax2?bx?c,得f?(x)?3x2?2ax?b, 当x?1时，切线 的斜率为3，可得2a?b?0 ① 当x?

2?2?时，y?f(x)有极值，则f????0,可得4a?3b?4?0 ② 3?3?由①②解得a?2,b??4由于切点的横坐标为x?1,∴f(1)?4. ∴1?a?b?c?4∴c?5.

（2）由（1）可得f?x??x3?2x2?4x?5,∴f?(x)?3x2?4x?4，令当x变化时，y,y/的取值及变化如下表：

f?(x)?0,得x??2或x?2， 3x

?3

??3,?2?

+

2?2? ?2 ??2,?

33??0

- 单调递减 ↘

?2??,1? ?3?+

1

y/

y

0

95单调递增 4

27↗95 ∴y?f(x)在??3,1?上的最大值为13，最小值为

278

单调递增

13

↗

【点评】本小题主要考查导数的应用，利用导数研究函数的单调性与极值以及最值等基础知识，考查运算

能力及用函数思想分析解决问题的能力.

2变式训练: 已知函数f?x??x3?ax2?bx?c在x??与x?1时都取得极值（1）求a,b,的值与函数

3f(x)的单调区间

（2）若对x???1,2?，不等式f(x)?c恒成立，求c的取值范围.

2答案：（1）由f?x??x?ax?bx?c,得f?(x)?3x?2ax?b,

322由f???1?2?44???a?b?0，f?(1)?3?2a?b?0得a??,b??2

2?3?335

f?(x)?3x2?x?2??3x?2??x?1?，函数f(x)的单调区间如下表：

x ?1 ???,?2??2 ??1,??? 3? 3?2????3,1??? f/(x) ＋ 0 － 0 ＋ f(x) ? 极大值 ? 极小值 ? 所以函数f(x)的递增区间是????,?2??2?3??和?1,???，递减区间是???3,1???. （2）f?x??x3?12x2?2x?c，x???1,2?，当x??2223时，f?x??27?c为极大值，而f?2??2?c，则f?x??f?2??2?c.

要使f?x??c2（x???1,2?）恒成立，只需c2?f?2??2?c，解得c??1或c?2 四、【解法小结】

1．掌握求单调区间、极值、最值的步骤，在解题中一定要列表. 2．在解题中注意变量分离的思想，分类讨论的思想． 五、【布置作业】 必做题：

１、函数f(x)?(x?3)ex的单调递增区间是

( )

A. (??,2) B.(0,3) C.(1,4) D. (2,??) 学 2、曲线y?x2x?1在点?1,1?处的切线方程为( )

A. x?y?2?0 B. x?y?2?0 C.x?4y?5?0 D. x?4y?5?0

3、若函数f(x)?x2?ax?1在x?1处取极值，则a?

4、设函数f(x)?x3?3ax?b(a?0).

（Ⅰ）若曲线y?f(x)在点(2,f(x))处与直线y?8相切，求a,b的值； （Ⅱ）求函数f(x)的单调区间与极值点. 必做题答案： 1.D 2.B 3. 3 4. （Ⅰ）f'?x??3x2?3a,

∵曲线y?f(x)在点(2,f(x))处与直线y?8相切，

6

'??3?4?a??0?a?4,?f?2??0?∴? ????b?24.???8?6a?b?8??f?2??8'2（Ⅱ）∵f?x??3x?a???a?0?,

当a?0时，f'?x??0，函数f(x)在???,???上单调递增， 此时函数f(x)没有极值点.

当a?0时，由f'?x??0?x??a，

??当x???a,a?时，f?x??0，函数f(x)单调递减， 当x??a,???时，f?x??0，函数f(x)单调递增，

''当x???,?a时，f'?x??0，函数f(x)单调递增，

∴此时x??a是f(x)的极大值点，x?选做题：

1.已知函数f?x??x?a是f(x)的极小值点.

a?a?R?, g?x??lnx,求函数F?x??f?x??g?x?的单调区间 x2.已知函数f?x??x3??1?a?x2?a?a?2?x?b?a,b?R?．若函数f?x?在区间??1,1?上不单调，求a的取值范围．

x2?x?a选做题答案：1..函数F?x??f?x??g?x?的定义域为?0,???. ∴F?x??.

x/ ① 当??1?4a?0, 即a??12/时, 得x?x?a?0,则F?x??0. 4 ∴函数F?x?在?0,???上单调递增. ② 当??1?4a?0, 即a??12/时, 令F?x??0 得x?x?a?0, 4解得x1?(ⅰ) 若??1?1?4a?1?1?4a. ?0,x2?221?1?1?4a?a?0, 则. x2 ??042/∵x??0,???, ∴F?x??0, ∴函数F?x?在?0,???上单调递增. (ⅱ)若a?0,则x?(0,?1?1?4a?1?1?4a,??)时, F/?x??0, )时, F/?x??0; x?(22 7

∴函数F?x?在区间(0,?1?1?4a?1?1?4a,??)上单调递增. )上单调递减, 在区间(22 综上所述, 当a?0时, 函数F?x?的单调递增区间为?0,???; 当a?0时, 函数F?x?的单调递减区间为(0,?1?1?4a?1?1?4a,??). ), 单调递增区间为(222.函数f(x)在区间??1,1?上不单调，等价于f??x??0在区间??1,1?上有实数解，且无重根．

又f??x??3x2?2?1?a?x?a?a?2?，由f??x??0，得x1?a,x2??a?2，从而 3a?2??1???1,??1?a?1,??1?a?1,??5?a?1,?????3解得?或? a?2或??11a?2a??,?a??,a??,???a??.322????3?所以a的取值范围是??5,???????1??1?,1?.

2??2?六、【教后反思】

1.本教案的亮点是：首先以结构图呈现本章的知识结构，直观简明；其次，复习相关知识并以填空的形式呈现，.再次，例题选择典型，对知识点的覆盖面广;再次，讲练结合，学生落实较好.最后，在作业的布置上，选择高考和各地市摸底考试中的部分难度不大的题，对学生理解、巩固知识能够起到良好的作用.

2.本教案的弱项：由于课时安排和时间关系，本节课内容较多，学生在课下预习时应下功夫，基础薄弱的同学可能有点跟不上或者有点吃力，课下应注意消化.

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