贝塞尔函数 柱函数

贝塞尔函数 柱函数

第十四章 贝塞尔函数 柱函数

贝塞尔函数(也称为圆柱函数)是现代科学技术领域中经常遇到的一类特殊函数．1732 年伯努利研究直悬链的摆动问题，以及 1764 年欧拉研究拉紧圆膜的振动问题时，都涉及到 这类函数．1824 年德国数学家贝塞尔（F.W.贝塞尔, 

1784~1846）在研究天文学问题时又遇到了这类函数，并首次系统地研究了这类函数．因此 人们称这类

函数为贝塞尔函数，并被广泛应用到数学、物理、光通信和其它科 学技术领域之中．

在用分离变量法一章介绍了拉普拉斯方程在柱坐标系下分离变量得 到了一种特殊类型的常微分

方程:贝塞尔方程．通过幂级数解法得到了另一类特殊函数，称为贝 塞尔函数．贝塞尔函数具有

一系列性质，在求解数学物理问题时主要是引用贝塞尔函数的正交 完备性．

14.1 贝塞尔方程及其解

14.1.1 贝塞尔方程

拉普拉斯方程在柱坐标系下的分离变量得出了一般的贝塞尔方程，由于贝塞尔方程的 普遍性，我们还能从其它典型的数学物理定解问题来导出贝塞尔方程的一般形式． 考虑固定边界的圆膜振动，可以归结为下述定解问题 

ì utt=a2(uxx+uyy )           (0£x2+y2<l2 ,t > 0) ï

(t ³ 0) ï u|x+y= l =0 

í

) ï u(x,y,t)|t = 0 = j (x,y 

ï u(x,y,t)|= y (x,y ) î tt = 0 （14.1.1）

) 为已知函数．这个定解问题因宜于使用柱坐标，从而构 其中l为已知正数，j (x,y),y (x,y

2

2

2 

成柱面问题．（由于是二维问题，即退化为极坐标）

设 u(x,y,t)=u(r,j,t)= T(t)U (r,j ) ，对泛定方程分离变量（取 l = k ）得 

2 

T¢¢+k2a2 T = 0 （14.1.2） 

ì ¢¢1¢1 ¢¢ 2 

ï Ur+rUr+r 2 Uj +kU = 0 í ï U |r = l = 0 î

(r)F (j ) ，得到 再令 U(r,j)=R

（14.1.2）

F¢¢ +n 2 F= 0 (14.1.3) r2R¢¢+rR¢ +(k2r2-n 2 )R = 0 

) 于是(14.1.5)得到 令 kr=x,        R(r )= y(x

（14.1.4）

d2 yd y 22 

x+x+(x-n )y = 0 2 

dxdx  y(kr )|r = l =y(kl )= 0 . 

边界条件为 

2

（14.1.5）

方程（14.1.5）称为n 阶贝塞尔微分方程．这里n 和 x

可以为任意数．

贝塞尔函数 柱函数

14.1.2 贝塞尔方程的解

通过数学物理方程的幂级数求解方法可以得出结论： （1）当n ¹ 整数时，贝塞尔方程(14.1.6)的通解为 

y(x)=AJn(x)+ BJ- n (x ) 

（14.1.6）

) 定义为n 阶第一类贝塞尔函数（简称为贝塞尔函数）其中 A, B 为任意常数， Jn (x ．但

n 

J(x)=(- 1)Jn (x ) ，故上述解中的 Jn (x ) 与 n = n - n是我们应该注意到：当 整数时，有 

J- n (x ) 是线性相关的，所以(14.1.6)成为通解必须是n ¹ 整数. 

（2）当n 取任意值时：

N(x ) ，这样贝塞尔方程的通解可表示为 

定义第二类贝塞尔函数 n

y(x)=AJn(x)+ BNn (x ) 

（14.1.7）

) ，本书之所以选取 Nn (x ) ，是因为它又称为诺依曼函 n (x （第二类贝塞尔函数也可写成 Y

数，取第一大写字母）下面我们会看到不管n 是否为整数，上式均成立． (3) 当n 取任意值时：

实际上由第一、二类贝塞尔函数还可以构成线性独立的第三类贝塞尔函数 称为汉克尔函数． 

(1) ì Hn(x)=Jn(x)+ iNn (x ) í (2) 

Hn(x)=Jn(x)- iNn (x ) （14.1.8） î

(1)(2) H,H n 称为第一种和第二种汉克尔函数． 并分别将 n

最后，总结n 阶贝塞尔方程的通解通常有下列三种形式：

)     ( n ¹ 整数） （i） y(x)=AJn(x)+BJ- n (x

Hn (x ) ，又

)     (n  可以取任意数） （ii） y(x)=AJn(x)+ BNn (x

)     (n  可以取任意数） （iii） y(x)=AHn(x)+ BHn (x

注明：第一、第二、第三类贝塞尔函数分别称为贝塞尔函数、诺依曼函数、汉克尔函数， 还可以分别简称为第一、第二、第三类柱函数．

(1)(2) 

14.2 三类贝塞尔函数的表示式及性质

14.2.1 第一类贝塞尔函数的表示式

) 的级数表示 第一类贝塞尔函数（也可直接简称为贝塞尔函数，或第一类柱函数） Jn (x

式为 

Jn (x )=å (- 1)k

k = 0 ¥

1 x n + 2 k 

() 

k!G(n +k + 1)2 1 x -n + 2 k 

() 

k!G(-n +k + 1)2 

（14.2.1）

J- n (x )=å (- 1)k

k = 0 

¥

(x ) 是伽马函数．当 n = n 整数时，上述的级数实际上是从k= n 的项开始，即 式中 G

Jn (x)=å (-1)k

k = 0 ¥

1 x 

)n+ 2 k ,        (n ³ 0) 

k!(n+ k )!2 

(14.2.2) 

而

贝塞尔函数 柱函数

J- n (x )=å (- 1)k

k= n 

¥

1 x -n+ 2 k 

k!G(-n+k + 1)2 

l

=(-1)

所以 

n

å (-1)

l = 0 

¥

1 x 

)n+ 2 l ,        (l=k- n ) 

l!G(n+l + 1)2 

(14.2.3) （14.2.4） （14.2.5） （14.2.6）

J- n(x)=(- 1)n Jn (x ) 

同理可证 

J- n(x)=Jn (- x ) 

因此有重要关系 

Jn(-x)=(- 1)n Jn (x ) 

14.2.2 第二类贝塞尔函数

第二类贝塞尔函数（又称为诺依曼函数或第二类柱函数）定义为 

Nn (x ) =

cos( n π)Jn(x)- J- n (x ) 

sin( n π) 

Jn (x ) 线性无关

（14.2.7）

这样定义的的理由是它既满足贝塞尔方程，又与 （i）当n ¹ 整数时，显然它与 

Jn (x ) 线性独立；

Jn (x ) 线性

（ii）当n  = n （整数）时，可以用洛必达法则求极限的办法来证明它也与 

独立，且其结果与用级数法寻找的第二个线性独立的解一致．

图 20.1

14.2.3 第三类贝塞尔函数

第三类贝塞尔函数（又称为汉克尔（Hankel）函数，或第三类柱函数），根据其定

义式即 

(1) 

ì Hn(x)=Jn(x)+i× Nn (x ) í (2) 

Hn(x)=Jn(x)-i× Nn (x ) î

14.3 贝塞尔函数的基本性质

14.3.1 贝塞尔函数的递推公式

由贝塞尔函数的级数表达式（14.2.1）容易推出 

d Jn (x)J(x ) 

[n ] =-v + 1 v dx xx d v

[xJv(x)]= xv Jv - 1 (x ) dx 

(14.3.1) (14.3.2) 

贝塞尔函数 柱函数

以上两式都是贝塞尔函数的线性关系式. 诺伊曼函数 上述递推关系．

Nv (x ) 和汉克尔函数也应该满足

) 代表v阶的第一或第二或第三类函数,总是有 若用 Zv (x 

d v

[xZv(x)]= xv Zv - 1 (x ) dx 

d -v

[xZv(x)]=- x- v Zv + 1 (x ) dx 

把两式左端展开, 又可改写为 

(14.3.3) (14.3.4) 

v 

Zn ¢ (x)-Zv(x)=- Zv + 1 (x ) 

x v Zn¢ Zv(x)= Zv - 1 (x )  +

x

或消去 Zn ¢ 可得 从(14.3.5)和(14.3.6)消去 Zn

¢ (x Zv+1(x)=Zv- 1 (x)- 2Zv ) 

2 v 

Zv+1(x)=-Zv- 1 (x)Zv (x ) 

x

(14.3.5) (14.3.6) 

x ) 和 Z v (x ) 推算 Z v+ 1 ( x ) 的递推公式. 1 ( 即为从 Z v-

上式也可以写成为 

v 

Zv-1(x)+Zv+ 1 (x)= 2Zv (x ) 

x

Zv-1(x)-Zv + 1 (x)= 2Zn¢ )  (x

（14.3.7） （14.3.8）

) 统称为柱函数． 任一满足一组递推关系的函数 Z v (x 

例 14.3.1 求 

ò xJ

2 

(x)dx 

) 有  (x 【解】 根据公式 (14.3.8) Zv-1(x)-Zv + 1 (x)= 2Zn¢

¢ (x J2(x)=J0(x)- 2J1 ) 

òxJ

2

¢ (x)dx=xJ1(x)-2[xJ1(x)- ò (x)dx=òxJ0(x)dx-2òxJ1J1 (x)dx ] 

=xJ1(x)-2[xJ1(x)+ò J0¢ (x)dx]=-xJ1(x)-2J0 (x) + c

14.3.2贝塞尔函数正交性和模

1．正交性

对应不同本征值的本征函数分别满足 

2 

d dJ m m (m)2(m ) 

[r]+{[ki]-2 m(k )= 0 i r drdr r 2 d dJ m m (m)2

[r]+{[kj]-2 m(k (j m ) r )= 0 drdr r

(14.3.9) (14.3.10) 

(m ) (m ) 

J(k r ) J(k r ) ，然后两式相减，再积分，利 mj mi 将(14.3.9)乘以 ，将(14.3.10)乘以 

用分部积分法得到

贝塞尔函数 柱函数

{[ki(m)]2- [k(jm)]2}ò Jm(ki(m)r)Jm(k (j m ) r)rd r

0 

r 0 

=[rJm(ki(m)r)

(m)(m ) k¹ k j 时 故当 i

dd r (m ) 

Jm(k(jm)r)-rJm(k(jm)r)Jm(k )]|0 = 0 i r drdr 

0 

ò 

0 

r 0 

Jm(ki(m)r)Jm(k (j m ) r)rdr = 0 

(14.3.11) 

(m ) 

N n 2．贝塞尔函数的模 

[N

(m)2n

2 2 

r 1 2m (m )2 0 

]=(r0-m(k n r 0 )] 

2 lnl n H

（14.3.12）

14.3.3 广义傅立叶－贝塞尔级数

(m ) 

) 是完备的，可作为广义傅立叶 n r 按照施－刘型本征值问题的性质，本征函数族 Jm(k

级数展开的基．

0 , r 0 ] 上的函数 f (r ) ，可以展开为广义的傅立叶－贝塞尔级数为 定义在区间 [ 

(m ) 

f(r)= å fnJm(k ) n r

n = 1 ¥

（14.3.13） (14.3.14) 

r 1 (m ) fn(m )2 ò f(r)Jm(k r n r)rd 0 [N n ] 其中广义傅氏系数 

0 

14.3.4 贝塞尔函数的母函数（生成函数）

1. 母函数（生成函数）

( x , z ) = e 考虑解析函数 G

数，不是复变数z的实部）．因为

x 

z 2 

¥

x 1 (z ) 2 z 

在

0 < z< +¥ 内的罗朗展式（注意，此处的 x 为参变

x x l ()k x ¥ z 

k - l 2 

e = z e = ( - z ) 

! ! k = 0 k l = 0 l ，

-1  

e 

故

x 1 z ) 2 z 

x k x l 

())¥ ¥

k 

= z ( - z ) - l 

! ! k = 0 k l = 0 l 

0 < z< +¥ 内是可以相乘的，且可按任意方式并项．令 

对于固定的z，以上两级数在

k - l = n , n = 0 , ± 1 , ± 2 , L , 得 

G(x,z)=e

故 

x 1 

(z ) 2 z 

l ¥¥

(-1)lxk+lk-l(- 1) x 

=åå()z= å[(2 l+ n] z n 

!2 k=0l=0k!l!2n=-¥l = 0 (n+ l)!l ¥

¥

G(x,z)= å Jn (x) z n 

n =-¥

¥

(14.3.15) 

称 e

x 1 

z ) 2 z 

为贝塞尔函数的母函数（或生成函数）．

2.加法公式

贝塞尔函数 柱函数

利用母函数公式 

G(x,z)= å Jn (x) z n 

n =-¥ x+ y 1 

(z ) 2 z 

¥

故有 

G(x+y,z)=e

=e

m 

=

n =-¥

x1(z-)2z

å J

¥

m 

(x+ y) z m 

¥

k

e

y 1 

(z ) 2 z 

=G(x,z)G(y,z)= åJk(x)z

k=-¥

n =-¥

å J

¥

n 

(y) z n 

比较两边的 z 项的系数，即得加法公式 

Jm(x+y)= å Jk(x)Jm- k (y ) 

k =-¥

+¥

(14.3.16) 

3．贝塞尔函数的积分表达式

利用母函数公式(14.3.30)和罗朗展式的系数表达式，得到 

1 e 

) ò C z m + 1 dz   (m =0,±1,± 2,L 2πi i

iq 

其中C 是围绕 z = 0 点的任意一条闭曲线．如果取C 为单位圆，则在C 上，有 z= e ．从

Jm (x)=

而得到 

x 1 z ) 2 z 

12π ixsinqiq-m-1iq1 2π i(xsinq- m q ) 

Jm (x)=e(e)(ie)dqò e d q

2πiò02π 0 1 2π 

Jm (x)=cos(xsinq-mq)dq ,    (m =0,±1,± 2,L ) 

0 2π ò （14.3.17） ) 的项已被省去，因为在 [0,2π] 上其积分为零． 其中积分式中的 sin(xsinj- mj

式(14.3.10)就是整数阶贝塞尔函数的积分表达式．

特别若 m= 0 时，有 

J0 (x)=

1 π 

cos(x sinq)d q ò 0 π 

（14.3.18）

14.4 虚宗量贝塞尔方程

14.4.1 虚宗量贝塞尔方程的解

在前面一节中，我们提到拉普拉斯方程在柱坐标系下的分离变量方程，在 m < 0 的情况

(r ) 应满足虚宗量贝塞尔方程即为（14.3.22）式 下， R 

d2 Rd R 22 

x+x-x+n R = 0 ( ) 2 

dxdx 

2

(14.4.1) 

虚宗量贝塞尔方程也称为修正贝塞尔方程．

) ，代入上方程，得到贝塞尔方程形式 若令 x=ix,y(x )= R(x

x2y¢¢+xy¢ +( x2-n 2 ) y = 0 

(14.4.2) 

因此， 只需要将贝塞尔方程(14.4.2)的解中， 令 x = ix ， 即可得到虚宗量贝塞尔方程(14.4.1) 

的解. 

我们定义虚宗量贝塞尔方程的解具有下列形式 

1 n J(x )=(- i)Jn (ix ) nn i (14.4.3) 

) 的级数形式(14.2.1)i)n 的引入是为了确保 In (x ) 是实函数．利用 Jn (x 式中 (-

In(x)=

贝塞尔函数 柱函数

Jn (x )=å (- 1)k

k = 0 

¥

1 x n + 2 k 

() 

k!G(n +k + 1)2 

则 

¥

1ixn+2k1 x n + 2 k nn

In (x )=(-i)å(-1)()=(-i)iå i2k(- 1)k(k!G(n+k+1)2k!G(n +k + 1)2 k=0k = 0 

故 

n

¥

k

1 x n + 2 k 

In (x )= å(1)2 k = 0 k!G(n +k +

¥

(14.4.4) 

In (x ) 称为n 阶第一类虚宗量贝塞尔函数（也称为第一类修正贝塞尔函数）． 14.4.2 第一类虚宗量贝塞尔函数的性质

由第一类虚宗量贝塞尔函数的级数形式（14.4.4）知 

Im(-x)=(- 1)m Im (x ) 

) 为奇函数；故当m=偶数时， Im (x ) 为偶函数； 故当m=奇数时， Im (x 

而当 m= 0 时，有 

6 

x2x4x 

I0 (x )=1 +2+4+6+L 22 

22(2!)2(3!) 

(14.4.5) 

（1）特殊值： I0 (0)=1,  Im (0)=0  (m > 0)   

) 没有实 （2）由级数表达式知，当 x是大于零的实数时，所有的项都是正的．故 In (x

零点  

(3) 递推公式 

2 m 

Im(x),        Im+1(x)+Im- 1 (x)= 2Im ¢ (x ) x 

mm 

¢ I¢(x)+I(x) = I(x),             I(x)-Im(x)= Im + 1 (x ) mmm-1m

xx (14.4.6) Im-1(x)-Im+1(x)=

14.5 球贝塞尔方程

14.5.1. 球贝塞尔方程

用球坐标系对亥姆霍兹方程进行分离变量，得到球贝塞尔方程(14.4.25)即 

d2 Rd R 

r+2r+[k2r2 -l(l+1)]R = 0 2 

drdr  ， 

2

(14.5.1) 

称为l阶球贝塞尔方程．

(r ) 分别换作 x和 y (x ) ，令 x = kr ，

 这是因为对于 k > 0 ，可以把自变量r 和函数 R 

R(r)(x ) ，则 

2 2 éù dydy 1 æö 22 

x+x+êx-çl+÷ ú y = 0 dx2 dx êè2 ø ú ëû

， (14.5.2) 

即为（ 

l +1

2 ）阶贝塞尔方程．

R ( r ) = Cr l +

D 

r l + 1 ．

而对于 k = 0 ，方程(14.5.1)即为欧拉型方程,解为 

贝塞尔函数 柱函数

下面将着重讨论 k ¹ 0 的情况．

14.5.2 球贝塞尔方程的解

根据并贝塞尔方程(14.5.2）的解，可得球贝塞尔方程(14.5.1)的两个线性独立解为 

Jl (x)  Nl +(x ) 和 

( 或 

(2) H(1) (x ) Hl (x ) +l 和 

) 

11 jl (x)

l (x ) nl (x)=l+(x)=(- 1)l + -(l ) (x ) ；

1 

(14.5.3) 

) 为第一类球贝塞尔函数， nl (x ) 为第二类球贝塞尔 称之为球贝塞尔方程的解，并且称 jl (x 

函数或球诺依曼函数．

第三类球贝塞尔函数或球汉克尔函数

可定义为

hl(1)(x)=hl(2)(x)=

球贝塞尔方程的通解为 

(1) 

l (x)=jl(x)+i× nl (x ) 1 

(2) 

(x)=jl(x)-i× nl (x ) l 1 

(14.5.4) (14.5.5) (14.5.6) 

y(x)=Cjl(x)+ Dnl (x ) 

或 

(2) y(x)=Ch(1)) l(x)+ Dhl (x

其中 C, D 为两个任意实数．

14.5.3 球贝塞尔函数的级数表示

根据球贝塞尔函数的定义式和贝塞尔函数的级数表示得到 

jl (x)=2x

和 

ll

å (- 1) k

k = 0 

¥

(k+ l )! 2 k 

x 

k!(2k+l + 1)! 

(14.5.7) 

(-1)l + 1 ¥ (k- l )! 2 k k

nl (x)=ll + 1 å (- 1) x 

2xk = 0 k!(2k- 2l )! （14.5.8）

14.5.4 球贝塞尔函数的递推公式

) 代表球贝塞尔函数或球诺伊曼函数或球汉克尔函数，即令 若用 fl (x 

fl(x)l + 1/2 (x ). （14.5.9）

v 

Zv-1(x)+Zv+ 1 (x)= 2Zv (x ) 

x 根据贝塞尔函数的递推公式（14.3.7）： 

, 得 并取 v =l + 1 / 2 

Zl-(x)+Zl (x)=

1

3故有 

(2l + 1) 

Zl (x ) x

1 fl+1(x )=

2l + 1 

fl- f l - 1 x

(14.5.10) 

) 递推公式．l- 1 和 f l 推算 fl + 1 (x 这就是从 f 

贝塞尔函数 柱函数

14.5.5 球形区域内的球贝塞尔方程的本征值问题

球贝塞尔方程（14.5.1）写成施图姆－刘维尔型即是 

d2d R 

(r-l(l+1)R+k2r2 R = 0. drdr 

2 

0 ] 对应不同本征值的本征函数在区间 [0,r 上带权重 r 正交， 

(14.5.11) 

ò j(k

0 

l

r 0 

m

r)jl(kn r)r2 dr = 0. 

m ¹ k n ) （ k

(14.5.12) 

) 是完备的，可作为广义傅立叶展开的基, 本征函数族 jl(km r)(m= 1,2,3,L

f(r)= å fmjl(km r ) 

m = 1 ¥

(14.5.13) 

其中系数 

1 r 

fm= f(r)jl(km r)r2 d r 2 ò0  [N m ] 

0 

(14.5.14) 

14.6 本章典型实例

例 14.6.1 求积分 

【解】 

3 x  ò J0 (x)dx0 x 

ò

x

xJ0(x)dx=ò

3

x

x d 3

x{[xJ0(x)]}dx=xJ1(x)-2ò x2J1(x)dx=x3J1(x)- 2x2 J2 (x ) 

0 dx  2

上式中的最后一步利用了递推关系 

x2J1(x)=

2 

例 14.6.2 求不定积分 

【解】根据递推公式(14.3.3) ，取n  = 1 有 

d 2 

[xJ2 (x )] dx 

ò xJ

(x)dx 

根据递推公式（14.3.8） 有 

Jn-1-Jn+ 1 = 2J¢ ) ，故n (x

d 

[xJ1(x)]= xJ0 (x ) dx 

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/ywm4.html