立体几何动点问题

立体几何与平面解析几何的交汇问题

在教材中，立体几何与解析几何是互相独立的两章，彼此分离不相联系，实际上，从空间维数看，平面几何是二维的，立体几何是三维的，因此，立体几何是由平面几何升维而产生；另一方面，从立体几何与解析几何的联系看，解析几何中的直线是空间二个平面的交线，圆锥曲线（椭圆、双曲线、抛物线）是平面截圆锥面所产生的截线；从轨迹的观点看，空间中的曲面（曲线）是空间中动点运动的轨迹，正因为平面几何与立体几何有这么许多千丝万缕的联系，因此，在平面几何与立体几何的交汇点，新知识生长的土壤特别肥沃，创新型题型的生长空间也相当宽广，这一点，在高考卷中已有充分展示，应引起我们在复习中的足够重视。

一、动点轨迹问题

这类问题往往是先利用题中条件把立几问题转化为平面几何问题，再判断动点轨迹。 例1定点A和B都在平面?内，定点P??，PB??，

C是?内异于A和B的动点，且PC?AC。那么，动点C在平面?内的轨迹是（ ） A. 一条线段，但要去掉两个点 B. 一个圆，但要去掉两个点 C. 一个椭圆，但要去掉两个点 D. 半圆，但要去掉两个点

例2若三棱锥A—BCD的侧面ABC内一动点P到平面BCD距离与到棱AB距离相等，则动点P的轨迹与△ABC组成的图形可能是（ ）

解：设二面角A—BC—D大小为θ，作PR⊥面BCD，R为垂足，PQ⊥BC于Q，PT⊥AB于T，则∠PQR=θ，

且由条件PT=PR=PQ·sinθ，∴二、几何体的截痕

为小于1的常数，故轨迹图形应选（D）。

例3：球在平面上的斜射影为椭园：已知一巨型广告汽球直径6米，太阳光线与地面所成角为60°，求此广告汽球在地面上投影椭圆的离心率和面积（椭圆面积公式为S=πab，其中a,b为长、短半轴长）。

解：由于太阳光线可认定为平行光线，故广告球的投影

椭园等价于以广告球直径为直径的圆柱截面椭园：此时

b=R，a= =2R，∴离心率

2

，

A1 E D1 B1 M D O 例4题图 B C1 投影面积S=πab=π·k·2R=2πR=18π。 三、动点与某点（面）的距离问题

例4．正方体ABCD?A1B1C1D1中，棱长为a，E是

AA1的中点，

C A 3aBBDD112在对角面上找一动点M，使AM+ME最小.．

四、常见的轨迹问题 （1） 轨迹类型识别

此类问题最为常见，求解时，关注几何体的特征，灵活选择几何法与代数法. 例5、（北京）平面?的斜线AB交?于点B，过定点A的动直线l与AB垂直，且交?于点C ，则动点C 的轨迹是( )

A．一条直线 B.一个圆 C.一个椭圆

D.双曲线的一支

【解析】直线l 运动后形成的轨迹刚好为线段AB的垂面，由公理二易知点C 刚好落在平面?与线段AB的垂面的交线上，所以动点C 的轨迹是一条直线.选择 A.

总结：空间的轨迹最简单的一直存在形式就是两个平面的交线，处理问题中注意识别即可. 例6、如图，在正方体ABCD A1 B1C1D1 中，若四边形A1BCD1 内一动点P到AB1和 BC 的距离相等，则点P的轨迹为（ A．椭圆的一部分 C．一条线段

）

D ? P O B C1 B1 C

B．圆的一部分 D．抛物线的一部分

【解析】由于AB1 ?平面ABCD1 1，连接OP ，此即为点P到AB1 的距离，由此，动点P到AB1和 BC 的距离相等转化为在平面内到定点（定直线外）的距离与到定直线的距离相等的点的轨迹问 题，符合抛物线的定义，所以本题选D.

总结：立体几何中的距离问题，往往需要借助线面垂直转化；涉及到动点的轨迹问题，优先考虑定义法.

例 7、（浙江）如图，AB是平面?的斜线段．．．，A为斜足，若点P在平面?内运动，使得△ABP的面积为定值，则动点P的轨迹是（ ）A．圆 B．椭圆 C．一条直线 D．两条平行直线

【解析】考虑到三角形的面积为定值，结合线段AB固定，易知动点P到线段AB的距离为定值，结合前文定义，在空间到定直线距离为定值的点的轨迹为以定直线为轴的圆柱面，可以得到P点在此圆柱面上，又点P在平面?内运动，所以点P在平面?与圆柱面的截线上，由于AB是平面?的斜线段．．．，所以平面?与圆柱面斜交，由命题 1，可以得到动点P的轨迹是椭圆

总结：“动中寻静”，充分挖掘不变量，是解决此类问题的关键，另外需注意圆柱面的生成过程. 例8、如图，在矩形 ABCD 中，E为边AD上的动点，将 △ABE沿着直线BE 翻转成△ABE1 使平面ABE1 ⊥平面 ABCD ，则点A1的轨迹是（ ） A.线段

B.圆弧

C.椭圆的一部分

D.以上都不是

，

【解析】将 △ABE沿着直线BE 翻转成?ABE1的过程中， AB1 的长度始终是保持不变的，这样，点A1在以B为球

心，以AB为半径的球面上，所以点A1的形成轨迹为圆弧，选择 B. A B

总结:在空间，到定点的距离为定长的点的轨迹为球，球的概念生成的两个必要条件为定点与定长，解题时注意把控.

例9、已知正方体ABCD A1B1C1D1 的棱长为 1，点P是平面 ABCD 内的动点，若点P到直

线A1D 1的距离等于点P到直线CD 的距离，则动点P的轨迹所在的曲线是（ ） A．抛物线 B．双曲线 C．椭圆 D．直线

【解析】本题从几何的角度很难找到突破口，可以尝试从代数的角度处理：如图，建立直角坐标系x D y?

? ，设P x y? , ?，则有 y2 ? ?1 x

A1 M D D Q 1 C1 B1 C B y 化简可得：x2 —y2 =1，即动点P的轨迹所在的曲线为双曲线，选择 B.

A 总结：从几何角度不好入手时，可以尝试从代数的角度，利用解析法求解出相应轨迹 x （2）与轨迹相关的度量

N 与轨迹相关的度量，具体涉及到轨迹长度，轨迹面的面积，轨迹体的体积，以及与轨迹相关的角度、距离、周长等.

例10、在棱长为 1 的正方体ABCD A1B1C1D1 中，M N 分别为AC1、A1B 1的中点，点P在正方体的表面上运动，则总能使MP与 BN 垂直的点P所构成的轨迹的周长为________.

P

【解析】依照题意，只需过点M 作直线 BN 的垂面即可，

垂面与正方体表面的交线即为动点P的轨迹. D1 分别取CC1 、DD1中点G 、H ，易知 BN ? 平面 AGHD ，过M 作平面 AGHD 的平行平面 EFG H?

?，点P所构成的轨迹即为四边形 EFG H? ?，其周长与四边形

AGHD 的周长相等，所以点P所构成的轨迹的周长为 2 ?5 .

总结：本题中面面的交线（截痕）即为动点P的轨迹，处理问题的关键抓住线面垂直，进行合理转化.

例11.已知边长为1的正方体ABCD—A1B1C1D1，在正方体表面上距A为正方体表面上的一条曲线，求这条曲线的长度。 解：此问题的实质是以A为球心、

为半径的球在正方体ABCD—A1B1C1D1，

（在空间）的点的轨迹是

各个面上交线的长度计算，正方体的各个面根据与球心位置关系分成二类：ABCD，AA1DD1，AA1BB1为过球心的截面，截痕为大圆弧，各弧圆心角为

，A1B1C1D1，

B1BCC1，D1DCC1为与球心距离为1的截面，截痕为小圆弧，由于截面圆半径为

，故各段弧圆心角为 ，∴这条曲线长度为

。

例12、已知直线l⊥ 平面?，垂足为O ，在矩形中 ABCD ，AD =1，AB = 2，若点A在l 上移动，点B在平面?上移动，则O 、D两点间距离的最大值为（

+1

【解析】点A在l 上移动，点B在平面?上移动过程中，AB的中点M 到O 点的距离始终保持不变，即AB的中点始终在以O 为球心，1 为半径的球面上.由此可以采用几何法处理，如图，连接 OD 、 MO 、MD，易知OM +MD ?OD ，所以OD 的最大值为C 本题亦可采用代数法求解，如图所示建立坐标系，

总结：利用几何法解决问题，关键抓住几何要素，本题中线段的中点在球面上是几何法解决问题的突破口.利用代数法解决问题时，选择合适的建系方案，尽可能的简化运算.

例13（2015 上海 13 校联考）直线m ⊥平面?，垂足为O ，正四面体 ABCD 的棱长是4. 点C 在平面?上运动，点B在直线m上运动，则点O 到直线AD的距离的取值范围是（2五、练习

1．如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，线段B1D1上有两个动点E，F，且EF=2， 则下列结论中错误的个数是( )

(1) AC⊥BE.

(2) 若P为AA1上的一点,则P到平面BEF的距离为2. (3) 三棱锥A-BEF的体积为定值.

(4) 在空间与DD1,AC,B1C1都相交的直线有无数条.

(5) 过CC1的中点与直线AC1所成角为40?并且与平面BEF所成角为50?的直线有2条. A.0 B.1 C.2 D.3

EF?22,则下

+1 ）

2．如图，正方体ABCD?A1B1C1D1的棱长为1，线段B1D1上有两个动点E,F，且列结论中错误的是（ ）

A．AC?BE B．EF∥平面ABCD C．三棱锥A?BEF的体积为定值 D．△AEF与△BEF 的面积相等 3.关于图中的正方体ABCD?A1B1C1D1，下列说法正确的有： ①P点在线段BD上运动，棱锥P?AB1D1体积不变； ②P点在线段BD上运动，二面角 P?B1D1?A不变；

③一个平面?截此正方体，如果截面是三角形，则必为锐角三角形； ④一个平面?截此正方体，如果截面是四边形，则必为平行四边形； ⑤平面?截正方体得到一个六边形（如图所示），则截面?在平面

ADHD1A1GFB1EC1JCIBAB1D1与平面BDC1间平行移动时此六边形周长先增大，后减小。

4、如图,正方体

ABCD?A1BC11D1的棱长为1,P为BC的中点,Q为线段CC1上的动点,过点A,P,Q的平面

截该正方体所得的截面记为S.则下列命题正确的是___________(写出所有正确命题的编号).

0?CQ?①当

12时,S为四边形;

CQ?②当

12时,S不为等腰梯形;

31C1R?4时,S与C1D1的交点R满足3;

CQ?③当

3?CQ?1④当4时,S为六边形;

6⑤当CQ?1时,S的面积为2.

① ⑤

5. 在正方体ABCD?A1B1C1D1中,M是CC1的中点，若点P在ABB1A1所在的平面上，满足（ ） ?PDB1??MDB1，则点P的轨迹是：

（A）圆 （B）椭圆 （C）双曲线 （D）抛物线

6．在正方体ABCD?A1B1C1D1中, 点P在侧面BCC1B1及其边界上运动, 并总是保持AP?BD1, 则动点P的轨迹(

7.如图，在正方体ABCD?A1B1C1D1中,，点M是棱CD的中点，点0是侧面AA1DlD的中心，若点P在侧面BBlC1C及其边界上运动，并且保持OP⊥AM，则动点P的轨迹是( )

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