复变函数中解析函数的理论分析及应用

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第 8期

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复变函数中解析函数的理论分析及应用王华阁

(新乡医学院基础医学院。河南新乡 4 5 3 0 0 3 )【摘要】本文对解析函数的概念进行分析，给出了判断函数解析性的几种方法，并通过例子对解析函数的数学应用和实际应用都进行了分析。

【关键词】解析函数；解析；复变函数

0前言复变函数这门数学分支在数学理论和实际中都有非常强大应用性。而解析函数是复变函数特有的内容，在复变函数理论中起着重要的作用 .解析函数在理论和实际中都有着广泛的应用，所以对解析函数的理论及应用进行分析有非常大的必要性

自的定义域内解析

5 ) s h z, c h z在整个复平面上解析。2 . 3根据定理判定

定理：函数 f ( z )= u ( x, y )+ i v ( x, y )在区域 D内解析的充分必要条件是： u ( x, y ), v ( x, y )在 D内可微，并且在区域 D上满足柯西一黎曼方程：一

面

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1解析函数的概念如果函数 z )不仅在 z o处可导，而且在 z o的某个邻域内的任意一点可导，则称 z )在z。解析。

一 I_’ 一一定理：函数 z )= u ( x, y )+ i v ( x, y )在区域 D内解析的充分条件是： U x,, 在 D内连续，并且 u ( x, y ), v ( x, y )在区域 D上满足柯西一黎曼方程：O u一

如果 f ( z )在区域 D内的任一点解析，则称 f ( z )在区域 D内解析

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注： 1 )如果 z 1在区域 D内解析，那么 D内每一点都是它的内点 .从而 D是开区域

例：讨论函数 z )= ( 1 _ y ) ( ‘ 十 )的解析性。解：因为 u= 2 x ( 1 - y ), v= i ( x‘ - y‘+ )

2 )如果说函数 z )在闭圆盘l I≤1上解析 .指的是在包含该圆盘的某个区域内解析 3 )“ z )在z o解析，则f ( z )在z。可导； f ( z )在z。可导，则 z )在 z。

所以詈= 2 ( 1 - y )=,一 2 x一誓并且四个偏导数均处处连续 .从而 U。 v在复平面上可微。根据定理 z )在复平

面上处处解析。

不一定解析。但是“ z )在区域 D内解析和可导是等价的。 4 )一个解析函数不可能仅在一个点或一条曲线上解析： 所有解析点的集合必为开集

3解析函数的应用3 . 1解析函数在复变函数中的应用解析函数是复变函数中的一类重要的函数 .函数的解析性对于复变函数定积分的计算、调和函数、留数定义及留数理论、保形映照的一般理论等方面都要用到解析函数的概念。而求满足一定边界条件的解析函数的一类问题。这是解析函数论在许多理论和实际问题中应用极为广泛的一个重

2函数解析的判定2 . 1根据解析函数的定义判定

要考察函数在某一点的解析性 .首先看函数在该点是否有定义，然后看函数在该点及其邻域内是否可导。 例：因为 z )= z 在整个复平面上处处可导，且厂( z )= 则由解析的定义知 z 1在整个复平面上解析。 2 . 2根据初等函数的解析性判定

要分支 .而黎曼边值问题和希尔伯特边值问题是其中两个最典型的例子例黎曼边值问题设 L为复平面上一组有向的光滑曲线 .把平面分割为若

若复变数函数为初等函数 .则可根据初等函数的解析性进行判定

1 )指数函数 e 在整个复平面上解析； 2 )对数函数 L n z的主值函数和各个分支在除去原点和负实轴外的每一点解析： ’ 3 )幂函数。理为正整数时，幂函数在整个复平面上解析；为负整数时。幂函数在除原点外的复平面上解析： 为既约

干个连通区域 .要求一分区全纯函数f即在上述每一个连通区域内全纯 )‘ p ( z ),使 (￡ )= G( t )一 (￡ )+ g (￡ ) ( t∈ )中 C( t )、 g ( t ) 都是已知函数，而+ ( )和一 ( t )分别表示当 z从 L的正侧 (即沿 L正向前进时的左侧 )和负侧(右侧 )趋于 L上一点时‘ P( z )的极限值也就是边值。此外还要求‘ P ( z )在无穷远处至多有一

分数、无理数、虚数时 .在除去原点和负实轴的复平面上解析。

极点。如果 L中含有开口弧段，则也应说明要求‘ p ( z )在 L的

端点附近的性态：具有不到一阶的奇异性。【下转第 1 5 5页 )

4 ) s i n z, c O S Z在整个复平面上解析： t a n z, c o t z,￥ e c z

, c s c z在各

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