2010年中考数学压轴题100题精选答案

2010年中考数学压轴题100题精选（1-10题）答案

【001】解：（1）

抛物线2

(1)0)

y a x a

=-+≠经过点(20)

A-，，

09a a

∴=+=·······································································································1分∴

二次函数的解析式为：2

y x x

=+ ·························································3分

（2）D

为抛物线的顶点D

∴过D作DN OB

⊥于N

，则DN=

3660

AN AD DAO

=∴=∴∠=

，°···························································4分OM AD

∥

①当AD OP

=时，四边形DAOP是平行四边形

66(s)

OP t

∴=∴=······················································· 5分

②当DP OM

⊥时，四边形DAOP是直角梯形

过O作OH AD

⊥于H，2

AO=，则1

AH=

（如果没求出60

DAO

∠=°可由Rt Rt

OHA DNA

△∽△求

AH

55(s)

OP DH t

∴===··········································································································6分③当PD OA

=时，四边形DAOP是等腰梯形

26244(s)

OP AD AH t

∴=-=-=∴=

综上所述：当6

t=、5、4时，对应四边形分别是平行四边形、直角梯形、等腰梯形．··7分（3）由（2）及已知，60

COB OC OB OCB

∠==

°，，△是等边三角形

则6262(03)

OB OC AD OP t BQ t OQ t t

=====∴=-<<

，，，

过P作PE OQ

⊥于E，则

2

PE= ···················································································8分

11

6(62)

22

BCPQ

S t

∴=???-=

2

3

22

t

??

-

?

??

····································9分当

3

2

t=时，

BCPQ

S···········································································10分∴此时

3339

33

2444

OQ OP OE QE PE

==∴=-==

，=，

2

PQ

∴===························

······

·11分【002】解：（1）1，

8

5

；

（2）作QF⊥AC于点F，如图3，AQ = CP= t，∴3

AP t

=-．

由△AQF∽△ABC，4

BC=，

得

45

QF t

=．∴

4

5

QF t

=．∴

14

(3)

25

S t t

=-?

即2

26

55

S t t

=-+．

（3）能．

①当DE∥QB时，如图4．

∵DE⊥PQ，∴PQ⊥QB，四边形QBED是直角梯形．

此时∠AQP=90°．

由△APQ ∽△ABC，得

AQ AP

AC AB

=，

即

3

35

t t-

=．解得

9

8

t=．

②如图5，当PQ∥BC时，DE⊥BC，四边形QBED是直角梯形．

此时∠APQ =90°．

由△AQP ∽△ABC，得

AQ AP

AB AC

=，

即

3

53

t t-

=．解得

15

8

t=．

（4）

5

2

t=或

45

14

t=．

【注：①点P由C向A运动，DE经过点C．

方法一、连接QC，作QG⊥BC于点G，如图6．

PC t=，222

QC QG CG

=+22

34

[(5)][4(5)]

55

t t

=-+--．

由22

PC QC

=，得222

34

[(5)][4(5)]

55

t t t

=-+--，解得

5

2

t=．

方法二、由CQ CP AQ

==，得QAC QCA

∠=∠，进而可得

B BCQ

∠=∠，得CQ BQ

=，∴

5

2

AQ BQ

==．∴

5

2

t=．

②点P由A向C运动，DE经过点C，如图7．

222

34

(6)[(5)][4(5)]

55

t t t

-=-+--，45

14

t=】

【003】解.(1)点A的坐标为（4，8）…………………1分

将A (4,8)、C（8，0）两点坐标分别代入y=ax2+bx

图4

图3

F

图5

8=16a +4b 得

0=64a +8b

解 得a =-12

,b =4 ∴抛物线的解析式为：y =－

12

x 2+4x …………………3分 （2）①在Rt △APE 和Rt △ABC 中，tan ∠PAE =PE AP =BC AB ,即PE AP =48

∴PE =12AP =12

t ．PB=8-t ． ∴点Ｅ的坐标为（4+12

t ，8-t ）. ∴点G 的纵坐标为：－12（4+12t ）2+4(4+12t ）=－18

t 2+8. …………………5分 ∴EG=－18t 2+8-(8-t ) =－18

t 2+t . ∵-18＜0，∴当t =4时，线段EG 最长为2. …………………7分 ②共有三个时刻. …………………8分 t 1=163， t 2=4013，t 3= …………………11分 【004】（1）解：由

28033x +=，得4x A =-∴．点坐标为()40-，． 由2160x -+=，得8x B =∴．点坐标为()80，．∴()8412AB =--=．

（2分） 由2833216y x y x ?=+???=-+?，．

解得56x y =??=?，．∴C 点的坐标为()56，．（3分） ∴111263622

ABC C S AB y =

=??=△·．（4分） （2）解：∵点D 在1l 上且2888833D B D x x y ==∴=?+=，． ∴D 点坐标为()88，．（5分）又∵点E 在2l 上且821684E D E E y y x x ==∴-+=∴=，．．∴E 点坐标为()48，．（6分）

∴8448OE EF =-==，．（7分）

（3）解法一：①当03t <≤时，如图1，矩形DEFG 与ABC △重叠部分为五边形CHFGR （0

t =时，为四边形CHFG ）．过C 作CM AB ⊥于M ，则Rt Rt RGB CMB △∽△．

∴

BG RG BM CM =，即36

t RG

=，∴2RG t =．Rt Rt AFH AMC △∽△，

∴()()112

36288223

ABC BRG AFH S S S S t t t t =--=-??--?-△△△．

即241644

333

S t t =-++．（10分）

【005】（1）如图1，过点E 作EG BC ⊥于点G ．····················· 1分

∵E 为AB 的中点，

∴1

22

BE AB ==． 在Rt EBG △中，60B =?∠，∴30BEG =?∠． (2)

分

∴112

BG BE EG ====， 即点E 到BC ················································· 3分

（2）①当点N 在线段AD 上运动时，PMN △的形状不发生改变． ∵PM EF EG EF ⊥⊥，，∴PM EG ∥． ∵EF BC ∥，∴EP GM =，PM EG ==

同理4MN AB ==． ············································································································ 4分 如图2，过点P 作PH MN ⊥于H ，∵MN AB ∥， ∴6030NMC B PMH ==?=?∠∠，∠． ∴122

PH PM =

= ∴3

cos302

MH PM =?= ．

则35

422

NH MN MH =-=-=．

在Rt PNH △中，PN === ∴PMN △的周长=4PM PN MN ++． ··················································· 6分 ②当点N 在线段DC 上运动时，PMN △的形状发生改变，但MNC △恒为等边三角形． 当PM PN =时，如图3，作PR MN ⊥于R ，则MR NR =．

类似①，3

2

MR =

． ∴23MN MR ==． ·············································································································· 7分

图1

A

D E

B F C

G

图2

A D E

B

F C

P

N

M

G H

∵MNC △是等边三角形，∴3MC MN ==．

此时，6132x EP GM BC BG MC ===--=--=． ··············································· 8分

当MP MN =时，如图4

，这时MC MN MP ===

此时，615x EP GM ===-=

当NP NM =时，如图5，30NPM PMN ==?∠∠．

则120PMN =?∠，又60MNC =?∠， ∴180PNM MNC +=?∠∠．

因此点P 与F 重合，PMC △为直角三角形．

∴tan 301MC PM =?= ．

此时，6114x EP GM ===--=．

综上所述，当2x =或4

或(5-时，PMN △为等腰三角形． 【006】解：（1）OC=1,所以,q=-1,又由面积知0.5OC ×AB=

45,得AB=5

2

， 设A （a,0）,B(b,0)AB=b -

a=

52，解得p=32±,但p<0,所以p=32

-。 所以解析式为：2

3

12

y x x =-- （2）令y=0，解方程得2

3102x x -

-=，得121,22x x =-=,所以A(12

-,0),B(2,0),在直角三角形AOC 中可求得

同样可求得

AC 2+BC 2=AB 2，得△ABC 是直角三角形。AB 为斜边，所以外接圆的直径为AB=

52,所以5544

m -≤≤。 （3）存在，AC ⊥BC ，①若以AC 为底边，则BD//AC,易求AC 的解析式为y=-2x-1,可设BD 的解析式

为y=-2x+b ，把B(2,0)代入得BD 解析式为y=-2x+4，解方程组2

31

2

24

y x x y x ?=--???=-+?得D （52-，9） ②若以BC 为底边，则BC//AD,易求BC 的解析式为y=0.5x-1,可设AD 的解析式为y=0.5x+b ，把

图3

A D E B

F

C

P

N M

图4

A D E

B

F C

P

M

N 图5

A D E

B F （P ） C

M

N G

G

R

G

A(

1

2

-，0)代入得AD解析式为y=0.5x+0.25，解方程组

2

3

1

2

0.50.25

y x x

y x

?

=--

?

?

?=+

?

得D(

53

,

22

) 综上，

所以存在两点：（

5

2

-,9）或(

53

,

22

)。

【007】

【008】证明：（1）∵∠ABC=90°，BD ⊥EC ，

∴∠1与∠3互余，∠2与∠3互余，

∴∠1=∠2…………………………………………………1分

∵∠ABC=∠DAB=90°，AB=AC

∴△BAD ≌△CBE …………………………………………2分

∴AD=BE ……………………………………………………3分

（2）∵E 是AB 中点，

∴EB=EA 由（1）AD=BE 得：AE=AD ……………………………5分 ∵AD ∥BC ∴∠7=∠ACB=45°∵∠6=45°∴∠6=∠7

由等腰三角形的性质，得：EM=MD ，AM ⊥DE 。

即，AC 是线段ED 的垂直平分线。……………………7分

（3）△DBC 是等腰三角（CD=BD ）……………………8分

理由如下：

由（2）得：CD=CE 由（1）得：CE=BD ∴CD=BD

∴△DBC 是等腰三角形。……………………………10分

【009】解：（1）①AC x ⊥轴，AE y ⊥轴， ∴四边形AEOC 为矩形． BF x ⊥轴，BD y ⊥轴，

∴四边形BDOF 为矩形．

AC x ⊥轴，BD y ⊥轴，

∴四边形AEDK DOCK CFBK ，，均为矩形． ············· 1分 1111OC x AC y x y k === ，，，

∴11AEOC S OC AC x y k === 矩形

2222OF x FB y x y k === ，，，

∴22BDOF S OF FB x y k === 矩形．

∴AEOC BDOF S S =矩形矩形．

AEDK AEOC DOCK S S S =-矩形矩形矩形，

C F B K B

D O F D S S S =-矩形矩形矩形，

∴AEDK CFBK S S =矩形矩形． ·

·········································································································· 2分 ②由（1）知AEDK CFBK S S =矩形矩形．

∴AK DK BK CK =

．

∴

AK BK CK DK

=． ·························································································································· 4分 90AKB CKD ∠=∠=°，

∴AKB CKD △∽△． ·

············································································································· 5分 ∴CDK ABK ∠=∠．

∴AB CD ∥． ···························································································································· 6分 AC y ∥轴，

∴四边形ACDN 是平行四边形．

∴AN CD =． ·

··························································································································· 7分 同理BM CD =．

AN BM ∴=． ···························································································································· 8分

（2）AN 与BM 仍然相等． ····································································································· 9分 AEDK AEOC ODKC S S S =+矩形矩形矩形，

BKCF BDOF ODKC S S S =+矩形矩形矩形，

又 AEOC BDOF S S k ==矩形矩形，

∴AEDK BKCF S S =矩形矩形． ····································· 10分 ∴AK DK BK CK = ． ∴CK DK AK BK

=． K K ∠=∠，

∴CDK ABK △∽△．

∴CDK ABK ∠=∠．

∴AB CD ∥． ·

························································································································· 11分 AC y ∥轴，

∴四边形ANDC 是平行四边形．

∴AN CD =．

同理BM CD =．

∴AN BM =． ·

························································································································ 12分

【010】解：（1）根据题意，得34231.2a a b b a -=+-???-=??， ····· 2分 解得12.

a b =??=-?，∴抛物线对应的函数表达式为223y x x =--． 3

（2）存在．

在223y x x =--中，令0x =，得3y =-．

（第26题图）

令0y =，得2230x x --=，1213x x ∴=-=，．

(10)A ∴-，，(30)B ，，(03)C -，．

又2(1)4y x =--，∴顶点(14)M -，． ·

················································································· 5分 容易求得直线CM 的表达式是3y x =--．

在3y x =--中，令0y =，得3x =-．

(30)N ∴-，，2AN ∴=． ·

········································································································ 6分 在223y x x =--中，令3y =-，得1202x x ==，．

2CP AN CP ∴=∴=，．

AN CP ∥，∴四边形ANCP 为平行四边形，此时(23)P -，． ······································ 8分

（3）AEF △是等腰直角三角形．

理由：在3y x =-+中，令0x =，得3y =，令0y =，得3x =．

∴直线3y x =-+与坐标轴的交点是(03)D ，

，(30)B ，． OD OB ∴=，45OBD ∴∠=°． ····························································································· 9分

又 点(03)C -，，OB OC ∴=．45OBC ∴∠=°． ·························································· 10分

由图知45AEF ABF ∠=∠=°，45AFE ABE ∠=∠=°． ··············································· 11分 90EAF ∴∠=°，且AE AF =．AEF ∴△是等腰直角三角形． ······································ 12分

（4）当点E 是直线3y x =-+上任意一点时，（3）中的结论成立． 14分

2010年中考数学压轴题100题精选（11-20题）答案

【011】解：（1）证明：在Rt △FCD 中，∵G 为DF 的中点，∴ CG= FD ．………1分 同理，在Rt △DEF 中，EG= FD ．…………2分∴ CG=EG ．…………………3分

（2）（1）中结论仍然成立，即EG=CG ．…………………………4分

证法一：连接AG ，过G 点作MN ⊥AD 于M ，与EF 的延长线交于N 点．

在△DAG 与△DCG 中，∵ AD=CD ，∠ADG=∠CDG ，DG=DG ，

∴ △DAG ≌△DCG ．∴ AG=CG ．………………………5分

在△DMG 与△FNG 中，∵ ∠DGM=∠FGN ，FG=DG ，∠MDG=∠NFG ，

∴ △DMG ≌△FNG ．∴ MG=NG 在矩形AENM 中，AM=EN ． ……………6分

在Rt △AMG 与Rt △ENG 中，∵ AM=EN ， MG=NG ，

∴ △AMG ≌△ENG ．∴ AG=EG ．∴ EG=CG ． ……………………………8分

证法二：延长CG 至M,使MG=CG ， 连接MF ，ME ，EC ， ……………………4分

在△DCG 与△FMG 中，∵FG=DG ，∠MGF=∠CGD ，MG=CG ， ∴△DCG ≌△FMG ．∴MF=CD ，∠FMG ＝∠DCG ．

∴MF ∥CD ∥AB ．………………………5分∴ 在Rt △MFE 与Rt △CBE 中，

∵ MF=CB ，EF=BE ，∴△MFE ≌△CBE ．∴∠MEC ＝∠MEF ＋∠FEC ＝∠CEB ＋∠CEF ＝90°．∴ △MEC 为直角三角形．∵ MG = CG ，∴ EG= MC ．………8分

（3）（1）中的结论仍然成立，即EG=CG ．其他的结论还有:EG ⊥CG ．……10分 【012】解：（1） 圆心O 在坐标原点，圆O 的半径为1，

∴点A B C D 、、、的坐标分别为(10)(01)(10)(01)A B C D --，、

，、，、， 抛物线与直线y x =交于点M N 、，且MA NC 、分别与圆O 相切于点A 和点C ，

∴(11)(11)M N --，

、，． 点D M N 、、在抛物线上，将(01)(11)(11)D M N --，、，、，的坐标代入2y ax bx c =++，得：111c a b c a b c =??-=-+??=++? 解之，得：1

11a b c =-??

=??=?

∴抛物线的解析式为：21y x x =-++． ·

··············································································· 4分 （2）2

215124y x x x ?

?=-++=--+ ??

?

∴抛物线的对称轴为12

x =

，

12OE DE ∴===

，． ······················· 6分 连结90BF BFD ∠=，°，

BFD EOD ∴△∽△，DE OD

DB FD

∴

=，

又12DE OD DB ===，，

FD ∴=

，

EF FD DE ∴=-=

= ··············································································· 8分

（3）点P 在抛物线上． ············································································································· 9分

设过D C 、点的直线为：y kx b =+，

将点(10)(01)C D ，、，的坐标代入y kx b =+，得：11k b =-=，，

∴直线DC 为：1y x =-+． ·

································································································· 10分 过点B 作圆O 的切线BP 与x 轴平行，P 点的纵坐标为1y =-， 将1y =-代入1y x =-+，得：2x =．

∴P 点的坐标为(21)-，

，当2x =时，2212211y x x =-++=-++=-， 所以，P 点在抛物线21y x x =-++上． ·············································································· 12分

【013】解：（1） 该抛物线过点(02)C -，，∴可设该抛物线的解析式为22y ax bx =+-． 将(40)A ，

，(10)B ，代入， 得1642020a b a b .+-=??+-=?，解得1252

a b .?

=-????=??，

∴此抛物线的解析式为215

222

y x x =-+-． ·

······························································· （3分） （2）存在． ·························································································································· （4分）

如图，设P 点的横坐标为m ， 则P 点的纵坐标为215

222

m m -+-， 当14m <<时，

4AM m =-，215

222

PM m m =-+-．

又90COA PMA ∠=∠= °，

∴①当

2

1AM AO PM OC ==时， APM ACO △∽△，

即21542222m m m ??

-=-

+- ???

．

解得1224m m ==，（舍去）

，(21)P ∴，． ····································································· （6分） ②当

12AM OC PM OA ==时，APM CAO △∽△，即215

2(4)222

m m m -=-+-． 解得14m =，25m =（均不合题意，舍去）

∴当14m <<时，(21)P ，

． ····························································································· （7分） 类似地可求出当4m >时，(52)P -，． ·

········································································· （8分） 当1m <时，(314)P --，．

综上所述，符合条件的点P 为(21)，或(52)-，或(314)--，

． ·································· （9分） （3）如图，设D 点的横坐标为(04)t t <<，则D 点的纵坐标为215222

t t -

+-． 过D 作y 轴的平行线交AC 于E ．由题意可求得直线AC 的解析式为122y x =-．（10分） E ∴点的坐标为122t t ??- ???

，．2215112222222DE t t t t t ??∴=-+---=-+ ???． ·· （11分） 22211244(2)422DAC S t t t t t ??∴=?-+?=-+=--+ ???

△． ∴当2t =时，DAC △面积最大．(21)D ∴，

． ··························································· （13分） 【014】（1）解：∵A 点第一次落在直线y x =上时停止旋转，∴OA 旋转了045.

∴OA 在旋转过程中所扫过的面积为24523602

ππ?=.……………4分 （2）解：∵MN ∥AC ，∴45BMN BAC ∠=∠=?,45BNM BCA ∠=∠=?.

∴BMN BNM ∠=∠.∴BM BN =.又∵BA BC =，∴AM CN =.

又∵O A O C =,OAM OCN ∠=∠,∴OAM OCN ???.∴AOM CON ∠=∠.∴1(90452

AOM ∠=?-?)=22.5?.∴旋转过程中，当MN 和AC 平行时，正方形OABC 旋转的度数为45?-22.5?=22.5?.……………………………………………8分

（3）答：p 值无变化. 证明：延长BA 交y 轴于E 点，则045AOE AOM ∠=-∠，

000904545CON AOM AOM ∠=--∠=-∠，∴A O E C O ∠=∠.又∵O A O C =，

0001809090OAE OCN ∠=-==∠.∴OAE OCN ???.∴,OE ON AE CN ==.

又∵045MOE MON ∠=∠=,OM OM =, ∴OME

???∴MN ME AM AE ==+.∴MN AM CN =+， ∴p MN BN BM AM CN BN BM AB BC =++=+++=+（第26题） x

∴在旋转正方形OABC 的过程中，p 值无变化. ……………12分

【015】⑴设二次函数的解析式为：y=a(x-h)2

+k ∵顶点C 的横坐标为4，且过点(0，397) ∴y=a(x-4)2+k k a +=16397 ………………① 又∵对称轴为直线x=4，图象在x 轴上截得的线段长为6 ∴A(1，0)，B(7，0)

∴0=9a+k ………………②由①②解得a=93，k=3－∴二次函数的解析式为：y=9

3(x-4)2－3 ⑵∵点A 、B 关于直线x=4对称 ∴PA=PB ∴PA+PD=PB+PD ≥DB ∴当点P 在线段DB 上时PA+PD 取得最小值 ∴DB 与对称轴的交点即为所求点P

设直线x=4与x 轴交于点M ∵PM ∥OD ，∴∠BPM=∠BDO ，又∠PBM=∠DBO

∴△BPM ∽△BDO ∴BO BM DO PM = ∴3

373397=?=PM ∴点P 的坐标为(4，33) ⑶由⑴知点C(4，3-)，又∵AM=3，∴在Rt △AMC 中，cot ∠ACM=3

3， ∴∠ACM=60o ，∵AC=BC ，∴∠ACB=120o

①当点Q 在x 轴上方时，过Q 作QN ⊥x 轴于N 如果AB=BQ ，由△ABC ∽△ABQ 有

BQ=6，∠ABQ=120o ，则∠QBN=60o ∴QN=33，BN=3，ON=10，此时点Q (10，33)，

如果AB=AQ ，由对称性知Q(-2，33)

②当点Q 在x 轴下方时，△QAB 就是△ACB ，此时点Q 的坐标是(4，3-)，

经检验，点(10，33)与(-2，33)都在抛物线上

综上所述，存在这样的点Q ，使△QAB ∽△ABC

点Q 的坐标为(10，33)或(-2，33)或(4，3-)．

【016】解：（1）设正比例函数的解析式为11(0)y k x k =≠，

因为1y k x =的图象过点(33)A ，，所以133k =，解得11k =．

这个正比例函数的解析式为y x =． ················································································· （1分） 设反比例函数的解析式为22(0)k y k x =≠．因为2k y x

=的图象过点(33)A ，，所以 233k =，解得29k =．这个反比例函数的解析式为9y x

=．········································ （2分） （2）因为点(6)B m ，在9y x =的图象上，所以9362m ==，则点362B ?? ???，． ········· （3分） 设一次函数解析式为33(0)y k x b k =+≠．因为3y k x b =+的图象是由y x =平移得到的， 所以31k =，即y x b =+．又因为y x b =+的图象过点362B ?

? ???

，，所以 362b =+，解得92b =-，∴一次函数的解析式为92

y x =-． ·································· （4分） （3）因为92y x =-的图象交y 轴于点D ，所以D 的坐标为902??- ??

?，． 设二次函数的解析式为2(0)y ax bx c a =++≠．

因为2y ax bx c =++的图象过点(33)A ，、362B ?

? ???，、和D 902??- ???

，， 所以933336629.2

a b c a b c c ??++=??++=???=-??，， ····················· （5分） 解得1249.2a b c ?=-??=???=-?，， 这个二次函数的解析式为219422y x x =-

+-． ···························································· （6分） （4）92y x =- 交x 轴于点C ，∴点C 的坐标是902?? ???

，， 如图所示，15113166633322222

S =

?-??-??-?? 99451842

=--- 814

=． 假设存在点00()E x y ，，使12812273432S S ==?=．

四边形CDOE 的顶点E 只能在x 轴上方，∴00y >，

1OCD OCE S S S ∴=+△△ 01991922222y =??+? 0819

84

y =+．

081927842y ∴+=，032y ∴=．00()E x y ，在二次函数的图象上， 2001934222

x x ∴-+-=．解得02x =或06x =．

当06x =时，点362E ?

? ???

，与点B 重合，这时CDOE 不是四边形，故06x =舍去，

∴点E 的坐标为322??

???

，． （8分）

【017】解：（1）已知抛物线2y x bx c =++经过(1

0)(02)A B ，，，， 01200b c c =++?∴?

=++? 解得3

2

b c =-??=? ∴所求抛物线的解析式为232y x x =-+． ·

··········································································· 2分 （2）(1

0)A ，，(02)B ，，12OA OB ∴==， 可得旋转后C 点的坐标为(31)， ·································································································· 3分 当3x =时，由232y x x =-+得2y =，

可知抛物线232y x x =-+过点(32)，

∴将原抛物线沿y 轴向下平移1个单位后过点C ．

∴平移后的抛物线解析式为：231y x x =-+． ·

···································································· 5分 （3） 点N 在2

31y x x =-+上，可设N 点坐标为2000(31)x x x -+，

将2

31y x x =-+配方得2

3524y x ??=-- ??

?，∴其对称轴为32x =． ·································· 6分

①当03

02

x <<

时，如图①， 112NBB NDD S S = △△

00113121222x x ??∴??=???- ???

图①

01x =

此时2

00311x x -+=-

N ∴点的坐标为(11)-，． ·

········································································································· 8分 ②当03

2

x >时，如图②

同理可得

0011312222x x ????=??- ???

03x ∴=

此时2

00311x x -+=

∴点N 的坐标为(31)

，． 综上，点N 的坐标为(11)-，或(31)，． ·

·················································································· 10分 【018】解：（1） 抛物线24y ax bx a =+-经过(1

0)A -，，(04)C ，两点， 404 4.a b a a --=?∴?-=?，

解得13.a b =-??

=?，

∴抛物线的解析式为234y x x =-++．

（2） 点(1)D m m +，在抛物线上，2

134m m m ∴+=-++，

即2

230m m --=，1m ∴=-或3m =．

点D 在第一象限，∴点D 的坐标为(34)，． 由（1）知45OA OB CBA =∴∠=，

°． 设点D 关于直线BC 的对称点为点E ．

(04)C ，，CD AB ∴∥，且3CD =， 45ECB DCB ∴∠=∠=°， E ∴点在y 轴上，且3CE CD ==．

1OE ∴=，(01)E ∴，．

即点D 关于直线BC 对称的点的坐标为（0，1）．

（3）方法一：作PF AB ⊥于F ，DE BC ⊥于E ．

由（1）有：445OB OC OBC ==∴∠=，

°， 45DBP CBD PBA ∠=∴∠=∠ °，．

图②

(04)(34)C D ，，，，CD OB ∴∥且3CD =．

45DCE CBO ∴∠=∠=°，

2

DE CE ∴== 4OB OC ==

，BC ∴=

2BE BC CE ∴=-=

， 3tan tan 5

DE PBF CBD BE ∴∠=∠=

=． 设3PF t =，则5BF t =，54OF t ∴=-， (543)P t t ∴-+，．

P 点在抛物线上，

∴23(54)3(54)4t t t =--++-++，

0t ∴=（舍去）或2225t =，266525P ??∴- ???

，． 方法二：过点D 作BD 的垂线交直线PB 于点Q ，过点D 作DH x ⊥轴于H ．过Q 点作QG DH ⊥于G ．

45PBD QD DB ∠=∴= °，．

QDG BDH ∴∠+∠90=°，

又90DQG QDG ∠+∠=°，DQG BDH ∴∠=∠． QDG DBH ∴△≌△，4QG DH ∴==，1DG BH ==．

由（2）知(34)D ，

，(13)Q ∴-，． (40)B ，，∴直线BP 的解析式为31255y x =-+． 解方程组23431255y x x y x ?=-++??=-+??，，得11

40x y =??=?，；222566.25x y ?=-????=??

， ∴点P 的坐标为266525??- ???

，． 【019】（1）EO ＞EC ，理由如下：

由折叠知，EO=EF ，在Rt △EFC 中，EF 为斜边，∴EF ＞EC ， 故EO ＞EC …2分

（2）m 为定值

∵S 四边形CFGH =CF 2=EF 2－EC 2=EO 2－EC 2=(EO+EC)(EO ―EC)=CO ·(EO ―EC)

S 四边形CMNO =CM ·CO=|CE ―EO|·CO=(EO ―EC) ·CO ∴1==CMNO CFGH

S S m 四边形四边形 ……………………………………………………4分

（3）∵CO=1，32

31==QF CE ， ∴EF=EO=QF ==-32

311

∴cos ∠FEC=21

∴∠FEC=60°， ∴?=∠∠=?=?

-?=∠3060260180EAO OEA FEA ，

∴△EFQ 为等边三角形，32

=EQ

…………………………………………5分

作QI ⊥EO 于I ，EI=31

21

=EQ ，IQ=33

23

=EQ

∴IO=3131

32

=- ∴Q 点坐标为

)31

,33(

……………………………………6分

∵抛物线y=mx 2+bx+c 过点C(0，1)， Q )31

,33

(

，m=1 ∴可求得3-=b ，c=1 ∴抛物线解析式为132+-=x x y

……………………………………7分

（4）由（3），3

323==EO AO 当332

=x 时，31

1332

3)332

(2=+?-=y ＜AB

∴P 点坐标为)31

,33

2( …………………8分

∴BP=32

31

1=-AO

方法1：若△PBK 与△AEF 相似，而△AEF ≌△AEO ，则分情况

如

下： ①3

3232

32=BK 时，932=BK ∴K 点坐标为)1,93

4(或)

1,938( ②3

32

332=BK 时，332=BK ∴K 点坐标为)

1,33

4

(或)1,0(…………10分

故直线KP 与y 轴交点T 的坐标为 )1,0()31,0()37,0()35,0(或或或--

…………………………………………12分 方法2：若△BPK 与△AEF 相似，由（3）得：∠BPK=30°或60°，过P 作PR ⊥y 轴于R ，则∠RTP=60°或30°

①当∠RTP=30°时，2

333

2=?=RT

②当∠RTP=60°时，32

3332=÷=RT ∴)1,0()31

,0()35,0()37,0(4321T T T T ，，，--

……………………………12分

【020】解：（1）①CF ⊥BD ，CF=BD

②成立，理由如下：∵∠FAD=∠BAC=90° ∴∠BAD=∠CAF

又 BA=CA ，AD=AF ∴△BAD ≌△CAF ∴CF=BD ∠ACF=∠ACB=45°

∴∠BCF=90° ∴CF ⊥BD ……（1分）

（2）当∠ACB=45°时可得CF ⊥BC ，理由如下：

如图：过点A 作AC 的垂线与CB 所在直线交于G

则∵∠ACB=45° ∴AG=AC ∠AGC=∠ACG=45°

∵AG=AC AD=AF ………（1分）

∴△GAD ≌△CAF （SAS ） ∴∠ACF=∠AGD=45°

∴∠GCF=∠GCA+∠ACF=90° ∴CF ⊥BC …………（2分）

（3）如图：作AQBC 于Q

∵∠ACB=45° AC=42 ∴CQ=AQ=4

∵∠PCD=∠ADP=90°∴∠ADQ+∠CDP=∠CDP+∠CPD=90°

∴△ADQ ∽△

DPC …（1分） ∴DQ PC =AQ CD

设CD 为x （0＜x ＜3）则DQ=CQ －CD=4－x 则

x PC

-4=4x

…………（1分）

∴PC=41

(－x 2+4x)=－41

(x －2)2+1≥1

当x=2时，PC 最长，此时PC=1 ………（1分）

2010年中考数学压轴题100题精选（31-40题）答案

【031】解：（1）5 , 24, 524

…………………………………3分

（2）①由题意，得AP =t ，AQ =10－2t. ……………………………………1分

如图1,过点Q 作QG ⊥AD ，垂足为G ，由QG ∥BE 得

△AQG ∽△ABE ,∴BA

QA

BE QG =

, ∴QG =2548548t -

, …………………………1分 ∴t t QG AP S 5242524212+-=?=(25≤t ≤5).

∵6)25(25242+--=t S (25

≤t ≤5).

∴当t =

2

5

时，S 最大值为6.…………………1分 ② 要使△APQ 沿它的一边翻折，翻折前后的两个三角形

组成

的四边形为菱形，根据轴对称的性质，只需△APQ 为等腰三角形即可. 当t =4秒时，∵点P 的速度为每秒1个单位，∴AP =4.………………1分 以下分两种情况讨论:

第一种情况：当点Q 在CB 上时, ∵PQ ≥BE >PA ，∴只存在点Q 1,使Q 1A =Q 1P . 如图2,过点Q 1作Q 1M ⊥AP ，垂足为点M ，Q 1M 交AC 于点F ,则AM =1

22

AP =. 由△AMF ∽△AOD ∽△CQ 1F ,得4

311===AO OD CQ F Q AM FM , 23

=FM ,

∴10

33

11=

-=FM MQ F Q . ………………1分

∴CQ 1=QF 34=225.则11CQ AP t k t =

??,

∴11110

CQ k AP == .……………………………1分

第二种情况：当点Q 在BA 上时,存在两点Q 2,Q 3, 分别使A P = A Q 2,PA =PQ 3.

①若AP =A Q 2，如图3,CB +BQ 2=10-4=6.

则2

1BQ CB AP

t k t +=

??,∴232CB BQ k AP +==.……1分 ②若PA =PQ 3，如图4,过点P 作PN ⊥AB ，垂足为N ， 由△ANP ∽△AEB ,得

AB

AP

AE AN =

. ∵AE =57

22=-BE AB , ∴AN ＝2825

.

∴AQ 3=2AN=5625

, ∴BC+BQ 3=10-25194

2556=

则31BQ CB AP

t k t +=

??.∴50973=+=AP BQ CB k . ………………………1分

综上所述，当t = 4秒，以所得的等腰三角形APQ 沿底边翻折，

翻折后得到菱形的k 值为

1011或23或50

97. 【032】解：（1）在△ABC 中，∵1=AC ，x AB =，x BC -=3．

∴?

??>-+->+x x x

x 3131，解得21<

（2）①若AC 为斜边，则22)3(1x x -+=，即0432=+-x x ，无解． ②若AB 为斜边，则1)3(22+-=x x ，解得3

5

=x ，满足21<

4

=x ，满足21<

x 或3

4

=x ． ··················································································································· 9分 （3）在△ABC 中，作AB CD ⊥于D ，

设h CD =，△ABC 的面积为S ，则xh S 21

=．

①若点D 在线段AB 上， 则x h x h =--+-222)3(1．

∴22222112)3(h h x x h x -+--=--，即4312-=-x h x ． ∴16249)1(222+-=-x x h x ，即16248222-+-=x x h x ． ∴462412222-+-==

x x h x S 21

)23(22+--=x （423

x <≤）

． ·································· 11分 当23=

x 时（满足423

x <≤），2S 取最大值21，从而S 取最大值22．·························· 13分

②若点D 在线段MA 上， 则x h h x =----2221)3(．

同理可得，4624

1

2222

-+-==x x h x S

21

)23(22+--=x （413

x <≤）

， 易知此时2

2

综合①②得，△ABC 的最大面积为2

2

． ··············································································· 14分 【033】

（第24题-1）

（第24题-2）