（道正编）上海市重点中学重要考题精选及精解(1)4.20

（道正编）上海市重点中学重要考题精选及精解（1）

1、（14分）已知集合A?{x|x?2x?3?0,x?R},B?{x|x?2a|?2,x?R}，若

A?B?R，求实数a的取值范围。

解：A?(??,2]?(3,??)，B?[2a?2,2a?2] 若A?B?R，则??2a?2?2?2a?2?3，得

12?a?2

2、（16分）已知关于x的不等式(kx?k2?4)(x?4)?0，其中k?R。

⑴试求不等式的解集A；

⑵对于不等式的解集A，若满足A?Z?B（其中Z为整数集）。试探究集合B能否为有限集？若能，求出使得集合B中元素个数最少的k的所有取值，并用列举法表示集合

B；若不能，请说明理由。

解：（1）当k?0时，A?(??,4)；当k?0且k?2时，A?(??,4)?(k?4k,??)；

当k?2时，A?(??,4)?(4,??)；（不单独分析k?2时的情况不扣分） 当k?0时，A?(k?4k,4)。（10分）

（2） 由（1）知：当k?0时，集合B中的元素的个数无限；

当k?0时，集合B中的元素的个数有限，此时集合B为有限集。（12分）

因为k?4k??4，当且仅当k??2时取等号，

所以当k??2时，集合B的元素个数最少。（14分） 此时A???4,4?，故集合B???3,?2,?1,0,1,2,3?。（16分）

3、（18分）对定义在[0,1]上，并且同时满足以下两个条件的函数f(x)称为G函数。

① 对任意的x?[0,1]，总有f(x)?0；

② 当x1?0,x2?0,x1?x2?1时，总有f(x1?x2)?f(x1)?f(x2)成立。

2x已知函数g(x)?x与h(x)?a?2?1是定义在[0,1]上的函数。

（1）试问函数g(x)是否为G函数？并说明理由； （2）若函数h(x)是G函数，求实数a的值；

x（3）在（2）的条件下，讨论方程g(2?1)?h(x)?m(m?R)解的个数情况。

解：（1） 当x??0,1?时，总有g(x)?x?0，满足①， ???1分

2当x1?0,x2?0,x1?x2?1时，

g(x1?x2)?x1?x2?2x1x2?x1?x2?g(x1)?g(x2)，满足② ??4分

2222（2）若a?1时，h(0)?a?1?0不满足①，所以不是G函数； ???5分

若a?1时，h(x)在x?[0,1]上是增函数，则h(x)?0，满足① ???6分

由h(x1?x2)?h(x1)?h(x2) ，得a?2即a[1?(2所以 0?2

x1x1?x2?1?a?2x1?1?a?2x2?1，

x1?1)(2x2７分 ?1)]?1， ???x因为 x1?0,x2?0,x1?x2?1

?1?1 0?22?1? 1 x1与x2不同时等于1 ?0?(2x1?1)(2x1?1)?1

?0?1?(2x1?1)(2x1?1)?1 ?a?111?(2x1?1)(2x1?1) ???9分

当x1?x2?0时，(1?(2x1?1)(2x1?1))min?1 ?a?1， ???11分

综合上述：a?{1} ???12分 （3）根据（２）知： a=1，方程为4x?2x?m，

?0?2x?1?1由? 得 x?[0,1] ???１4分 ?0?x?1令2x?t?[1,2]，则m?t?t?(t?212)?214 ???１6分

由图形可知：当m?[0,2]时，有一解；

当m?(??,0)?(2,??)时，方程无解。 ???18分 4．（本题12分）

已知方程x2?px?1?0(p?R)的两根为x1,x2，若|x1?x2|?1，求实数p的值。 解：当

??p?4?0,即p?2或p??2时,由求根公式得|x1?x2|?p?4?1,得p?22p?42

由25或p??54?p2 当

??p?4?0,即-2

的定义域为A，若命题p:3?A与命题q:1?A有且仅有一个为

解：设由题意得：当3?A，则有

当q:1?A，则有

a?51?a3a?55?0?a?(,9)； 9?a3?0或a=1?a?5或a?1；

若P真q假，则a??,5?； 若P假q真，则a??9,???????,1?；

?3??5?故：a??,5???9,???????,1?

?3??5?6．（本题16分）（第（1）小题7分，第（2）小题9分）

已知函数f(x)?loga(ax?1),其中a?0且a?1

（1） 证明函数f(x)的图像在y轴的一侧；

（2） 求函数y?f(2x)与y?f?1(x)的图像的公共点的坐标。

解：(1)因为函数f(x)?loga(ax?1)的定义域解不等式ax?1?0的解集，

当a?1时，不等式ax?1?0等价于ax?a0,即x?0；

当0?a?1时，不等式ax?1?0等价于ax?a0,即x?0。

所以函数f(x)的定义域是(0,??)或(??,0)，所以图像f(x)总在y轴的一侧；

xa?1)（2）由y?log(ay(a?1)，所以f得ax?ay?1，即x?loga?1?x??loga?ax?1?

2x??y?loga(a?1)2xxxxa?a?2?0，解得a??1或a?2， ，消去y，得??x??y?loga(a?1)?x?loga2解得?

y?log3a??函数y?f?2x?与y?f?1?x?的图像的公共点的坐标是?loga2,loga3?。

7. (本题18分) （第（1）小题6分，第（2）小题6分，第（3）小题6分） 已知f?x??log2x,当点M?x,y?在y?f?x?的图像上运动时，点N?x?2,ny? 函数y?gn?x?的图像上运动?n?N??。 （1）求y?gn(x)的表达式； （1） 若集合A?{a?1?（3）设Hn?x?????2?关于x的方程4g1?x??g2?x?2?a?有实根，a?R}，求集合A；

,函数F?x??H1?x??g1?x?的定义域为0＜a?x?b,值域为

gn?x?54?22?log,log??，求实数a,b的值。 22b?2a?2??解：（1）据题设，得ny?gn?x?2?且y?log2x, 得 gn?x?2??nlog2x（x＞0）

?gn?x??nlog2?x?2?（x＞?2，n?N）

?（2）据题设，得：方程4log2?x?2??2log2?x?a?有实根 即：?x?2??x?a （x＞?2）有实根

?a?x?3x?4?227 ?A??,???

4?4??log2?x?2? （x＞?2）

?7?（3）据题设，有F?x???1x?21x?2和?log2?x?2?分别是??2,???上的减函数

?F?x?在??2,???上是减函数 ?F?x?区间?a,b?上的值域为??F?b?,F?a???

4?2Fa?log???2?a?2??52 ?a?2,b?3 ?F?b??log2?b?2?8. （本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，

第3小题满分6分．

阅读下面题目的解法，再根据要求解决后面的问题.

阅读题目：对于任意实数a1,a2,b1,b2，证明不等式

(a1b1?a2b2)?(a1?a2)(b1?b2)22222.

22证明：构造函数

f(x)?(a1x?b1)?(a2x?b2)22?(a1?a2)x?2(a1b1?a2b2)x?(b1?b2)222.

注意到f(x)?0，所以

??[2(a1b1?a2b2)]?4(a1?a2)(b1?b2)?022222，

即

(a1b1?a2b2)?(a1?a2)(b1?b2)22222.

，即

a1b2?a2b1a2（其中等号成立当且仅当问题：

a1x?b1?a2x?b2?0.）

2（1）请用这个不等式证明：对任意正实数a,b,x,y，不等式（2）用（1）中的不等式求函数y?值.

2x?91?2x(0?x?122x?by?(a?b)x?y2成立.

)的最小值，并指出此时x的

（3）根据阅读题目的证明，将不等式(a1b1?a2b2)?(a1?a2)(b1?b2)进行推广，得到一个更一般的不等式，并用构造函数的方法对你的推广进行证明.

2222[证明]（1）因为都是a,b,x,y正实数，由已知不等式得

(x?y)(a2x?b2y)?[(x)?(y)][(a222ax)?(2by)]?(x?2ax?y?by)?(a?b)22，2分

所以不等式

x?b2y?(a?b)x?y2成立.

by?y?axx?（其中等号成立当且仅当

0?x?1，即ay?bx.）…………4分

[解]（2）因为

y?2x?91?2x?222，所以 322x?1?2x?(2?3)22x?(1?2x)?25…………………………7分

x?11?(0,)52.

x?15.…………10分

（其中等号成立当且仅当2(1?2x)?3?2x即

y?2?9(0?x?1)x1?2x2有最小值25，此时所以函数

[解]（4）可将不等式推广到n元的情形，即

对于任意实数

a1,a2,?,an;b1,b2,?,bn22，

22222不等式成立.………………………………………………………………………………13分

证明如下：

设

f(x)?(a1x?b1)?(a2x?b2)???(anx?bn)222(a1b1?a2b2???anbn)?(a1?a2???an)(b1?b2???bn)

2222222?(a1?a2???an)x?2(a1b1?a2b2???anbn)x?(b1?b2???bn).

注意到f(x)?0，所以

??[2(a1b1?a2b2???anbn)]?4(a1?a2???an)(b1?b2???bn)?02222222，

即

(a1b1?a2b2???anbn)?(a1?a2???an)(b1?b2???bn)2222222.…15分

其中等号成立当且仅当

a1x?b1?a2x?b2???anx?bn?0，

ji即ij.………………………………………16分

9. （本题满分16分）本题共有2个小题，第1小题满分8分，第2小题满分8分．

ab?ab(i,j?1,2,?,n,i?j) 已知函数f(x)?2x?1|x|2 （1）若f(x)?2，求x的值；

.

（2）若2tf(2t)?mf(t)?0对于t?[2,3]恒成立，求实数m的取值范围.

[解] （1）当x?0时， 由条件可知 2x解得 2x?2xf(x)?0；当x?0时，f(x)?22xx?12x.………… 2分

?12x?2，即 2?2?2x?1?0，

?1?2?0，?.………………………………………………………… 6分 x?log2?1?2?.………………………………………… 8分

??22t （2）当t?[1,2]时，2t?即 m?22t?2t?122t1???t??m?2?t??02???，…………………10分

??.

2?1?0， ? m???2?1?.……………………………………… 13分 t?[2,3],???1?2??[?65,?17]，

?1??24t???12t2t 故m的取值范围是[?17,??).……………………………………… 16分

10. （本题满分18分）本题共有4个小题，第1小题满分4分，第2小题满分4分，第1小题满分5分，第2小题满分5分．

?11?,x?0;?设函数f(x)是定义在R上的偶函数.若当x?0时，f(x)?? x?0,x?0.?（1）求f(x)在(??,0)上的解析式.

（2）请你作出函数f(x)的大致图像.

（3）当0?a?b时，若f(a)?f(b)，求ab的取值范围.

（4）若关于x的方程f(x)?bf(x)?c?0有7个不同实数解，求b,c满足的条件.

2[解]（1）当x?(??,0)时，f(x)?f(?x)?1?（2）

1?x?1?1x. …………4分

f(x)的大致图像如下：.

数b，方程f(x)?x?0总有两个相异的实数根。...........1’

∴ax2?(b?1)x?b?0中??(b?1)2?4ab?0，

即b2?(4a?2)b?1?0恒成立。………………………....................2’ 故?1?(4a?2)2?4?0，∴0?a?1。………….........................2’

故当0?a?1时，对任意的实数b，方程f(x)总有两个相异的不动点。 ………...................1’

（3）g(x)是R上的奇函数，则g(0)?0，∴（0，0）是函数g(x)的不动点。 ……..................1’

若g(x)有异于（0，0）的不动点(x0,x0)，则g(x0)?x0。 又g(?x0)??g(x0)??x0，∴(?x0,?x0)是函数g(x)的不动点。

∴g(x)的有限个不动点除原点外，都是成对出现的， ..........................4’ 所以有2k个（k?N），加上原点，共有n?2k?1个。即n必为奇数 ........1’ 19．（本题14分）设函数f(x)?x?1x，(x?0)的图象为C1、C1关于点A（2，1）的对称

的图象为C2，C2对应的函数为g(x). （1）求函数y?g(x)的解析式；

（2）若直线y?b与C2只有一个交点，求b的值并求出交点的坐标. 20．（1）设p(u,v)是y?x?1x上任意一点，?v?u?1u ①

?u?x?4?u?4?x设P关于A（2，1）对称的点为Q(x,y),?? ??v?y?2v?2?y??代入①得2?y?4?x??g(x)?x?2?1x?414?x?y?x?2?1x?4

(x?(??,4)?(4,??));

?y?b?2 （2）联立?1?x?(b?6)x?4b?9?0,

?y?x?2?x?4????(b?6)?4?(4b?9)?b?4b?0?b?0或b?4,

22

（1）当b?0时得交点（3，0）； （2）当b?4时得交点（5，4）. （数形结合或利用基本不等式求解相应给分）

21．（本题16分）设定义在(0,??)上的函数f(x)满足下面三个条件：

①对于任意正实数a、b，都有f(a?b)?f(a)?f(b)?1； ②f(2)?0； ③当x?1时，总有f(x)?1. （1）求f(1)及f()的值；

21 （2）求证：f(x)在(0,??)上是减函数. （1）取a=b=1，则f(1)?2f(1)?1.故f(1)?1 又

f(1)?f(2?11)?f(2)?f()?1. 22 且f(2)?0.

得：

1f()?f(1)?f(2)?1?1?1?2 2 （2）设0?x1?x2,则：f(x2)?f(x1)?f(x2?x1)?f(x1)?[f(x2)?f(x1)?1]?f(x1)

x1x1?f(x2x1)?1 依0?x1?x2,可得x2x1?1

再依据当x?1时，总有f(x)?1成立，可得f(x2x1)?1

即f(x2)?f(x1)?0成立，故f(x)在(0,??)上是减函数。

22．（本题18分）已知函数f(x)?loga(1?x)?loga(1?x)(a?0且a?1) （1）讨论f(x)的奇偶性与单调性； （2）若不等式|f(x)|?2的解集为{x|? （3）（文）设f(x)的反函数为f求m的取值范围.

（理）设f(x)的反函数为ff?1?1?112?x?12},求a的值；

?1(x)，若关于x的不等式f(x)?m(m?R）有解，

(x)，若f?1(1)?13，解关于x的不等式

(x)?m(m?R）.

23．（1）???1?x?0?1?x?02,?f(x)定义域为x?(?1,1);f(x)为奇函数；

?f(x)?log1?x1?x，

①当a?1时，在定义域内为增函数；[来源:学+科+网] ②当0?a?1时，在定义域内为减函数；

（2）①当a?1时，∵f(x)在定义域内为增函数且为奇函数，

1?命题?f()?1,得log23?2,?a?3；

a②当0?a?1时,?f(x)在定义域内为减函数且为奇函数，

121a?命题?f(?)?1,得log3?2,?a?33；

（3）（文）f件是m??1

?1(x)的值域为??1，1?，关于x的不等式f?1(x)?m(m?R）有解的充要条

（理）?y?loga?1a?1yy1?xa1?x?1?axy?1?x1?x?ay?1?x(ay?1)

?x?,?f(x)?a?1a?1x1(；?f)(x?R）

?1?,11a1???33a1??2,a?

?f?1(x)?2?12?1xx?m，?2(1?m)?1?m；

x①当m?1时，不等式解集为x?R；[来源:学科网ZXXK] ②当?1?m?1时，得2x?③当m??1,x??

1?m1?m，不等式的解集为{x|x?log1?m21?m}；

24．已知函数f(x)?π，且当x=

?63sin?x?cos?x?cos?x?232(??R,x?R)的最小正周期为

时，函数有最小值.

（1）求f(x)的解析式；

（2）作出f(x)在[0，π]范围内的大致图象.

1.(1)f(x)=1–sin?2x?????? (0.34) (2)略 6?

25．已知函数f(x)=(|x|-b)2+c，函数g(x)=x+m，

(1)当b=2，m=-4时，f(x)?g(x)恒成立，求实数c的取值范围；

(2)当c=-3，m=-2时，方程f(x)=g(x)有四个不同的解，求实数b的取值范围.

2??x?5x?8, x?07?2

26.(1)c?x–4–(|x|–2)=?，由图象得c?–. (0.14)

24???x?3x?8, x?0 (2)(|x|–b)2–3=x–2，即(|x|–b)2=x+1有四个不同的解，

∴ (x–b)2=x+1(x?0)有两个不同解以及(x+b)2=x+1(x<0)也有两个不同解， 由根的分布得b?1且1

54，∴1

54. (0.63)

27.设函数f(x)的定义域D关于原点对称，0∈D，且存在常数a>0，使f(a)=1，又

f(x1?x2)?f(x1)?f(x2)1?f(x1)f(x2)，

（1）写出f(x)的一个函数解析式，并说明其符合题设条件； （2）判断并证明函数f(x)的奇偶性；

（3）若存在正常数T，使得等式f(x)=f(x+T)或者f(x)=f(x-T)对于x∈D都成立，则都称f(x)是周期函数，T为周期；试问f(x)是不是周期函数？若是，则求出它的一个周期T；若不是，则说明理由。

?解：（1）取f(x)=tanx，定义域为{x∣x≠kπ+2，k∈Z}关于原点对称，且0∈D；

a??4且存在常数使得f(a)=tana=1；

f(x1?x2)?f(x1)?f(x2)1?f(x1)f(x2)又由两角差的正切公式知，符合。 ……4分

f(0)?f(x)1?f(0)(f)xf(0?x)?（2）f(x)是D上的奇函数；证明如下：f(0)=0，取x1=0，x2=x，由得f(-x)=-f(x)，所以f(x)是D上的奇函数；

，

……4分

（3）考察f(x)=tanx的最小正周期T=π=4a，可猜测4a是f(x)的一个周期。

f(x?a)?f(x)?f(a)1?f(x)f(a)?f(x)?11?f(x)证明：由已知，则

?1]?[1?f(x)?11?f(x)]??1f(x)f(x?2a)?f[(x?a)?a]?f(x?a)?11?f(x?a)1?[f(x)?11?f(x)，

f(x?4a)?f[(x?2a)-2a]??f（x?2a）?f(x)。

……7分

所以f(x)是周期函数，4a是f(x)的一个周期。

28．（本题满分14分）

?0的解集为M。 2x?a（1）当a?4时，求集合M；（2）若3?M且5?M，求实数a的取值范围。

已知关于x的不等式

ax?5解：（1）a?4时，不等式为

4x?5?5????0，解之，得 M???,?2??,2?； 2x?4?4??3a?55?0??a?9ora??3?M?9?a??5?（2）a?25时，? ?? ? ?a?1,???9,25?，a?25时，3??3??5?M?5a?5?0?1?a?25???25?a不等式为

25x?5?1????0， 解得M???,?5??,5?，则 3?M且5?M，∴a?25满2x?25?5??5??3?足条件，综上，得 a??1,???9,25? 。

29．（本题满分18分）

已知函数f(x)是定义在??2,2?上的奇函数，当x?[?2,0)时，f(x)?tx?常数）。

（1）求函数f(x)的解析式；

（2）当t?[2,6]时，求f(x)在??2,0?上的最小值，及取得最小值时的x，并猜想f(x)在?0,2?上的单调递增区间（不必证明）；

（3）当t?9时，证明：函数y?f(x)的图象上至少有一个点落在直线y?14上。 ．解：（1）x??0,2?时，?x???2,0?， 则 f(?x)?t(?x)?12(?x)??tx?312x（t为

31函数f(x)是定义在??2,2?上的奇函数，即f??x???f?x?，∴?f?x???tx?f(x)?tx?12321x， ∵x，即 x ，

333x，又可知 f?0??0，∴函数f(x)的解析式为 f(x)?tx?212x???2,2?；

（2）f?x??x?t???1122?x?，∵t?[2,6]，x???2,0?，∴t?x?0，

22?3∵ ?f?x??21212??22?x?t?x?t?x?312?8t122?222???x?t?x???，∴x?t?x， 23272????????

即 x2?2t3,x??6t3(?6t3???2,0?)时，fmin??269tt 。

?6t?猜想f(x)在?0,2?上的单调递增区间为?0,?。

3??（3）t?9时，任取

?2?x1?x2?2，∵

1?22?f?x1??f?x2???x1?x2??t?x1?x1x2?x2??0， ∴f?x?在??2,2?上单调递增，

2????即f?x???f??2?,f?2??，即f?x???4?2t,2t?4?，t?9，∴4?2t??14,2t?4?14，∴14??4?2t,2t?4?，∴当t?9时，函数y?f(x)的图象上至少有一个点落在直线

y?14上。

30、（本题满分14分）

记函数f?x??2?x?7x?2的定义域为A，g?x??lg??2x?b??ax?1???b?0,a?R?的定义域为B，

（1）求A： （2）若A?B，求a、b的取值范围

??x?3??0???x?0?????,?2???3,???， x?2???x?2?b1（2）?2x?b??ax?1??0，由A?B，得a?0，则x?orx??，即

2a解：（1）A??x2??x?7b?10??3??1??b?a????2B????,????,???， ?。 ??2a??2???0?b?6??2??1?0??a?

31、（本题满分17分）

设f?x??a?11?axx?a?0,a?1?。

?1（1）求f?x?的反函数f?x?：

?1（2）讨论f?x?在?1.???上的单调性，并加以证明： （3）令g?x??1?logax，当?m,n???1,????m?n?时，

?g?n?,g?m??，求a 的取值范围。

解：（1）f?1f?1?x?在?m,n?上的值域是

?x??logx?1a（2）设1?x1?x2，∵

x?1x1?1?x??1或x??1? x2?1x2?1?2?x1?x2??0

x1?1?x1?1??x2?1?

?x1??f?1?x2?，∴f?1?x?在?1.???上是减函数：a?1时，

?1?1?1f?x1??f?x2?，∴f?x?在?1.???上是增函数。 （3）当0?a?1时，∵f?1?x?在?1.???上是减函数，

?1?x?1x?1?f?m??g?m?2?1?logax得?ax，即ax??a?1?x?1?0， ∴?，由loga

?1x?1x?1??f?n??g?n?∴0?a?1时，f?1????0?可知方程的两个根均大于1，即?f?1??0?0?a?3?22，当a?1时，∵f?1?a??1?2a?1?x?在

??f?1.???上是增函数，∴???f?m??g?n???1?n??g?m??1?m?1?amn?an。 综?a??1（舍去）?n?1?amn?am?上，得 0?a?3?22。

32．（本题满分12分）

解关于x的不等式loga[4?(x?4)a]?2loga(x?2)，其中a?(0,1). 解：∵ loga[4?(x?4)a]?2loga(x?2) ∴ (0?a?1) ，

4a?4?x??∴ ? ∴不等式的解集为{x2?x?4}。 a?x?2?4?(x?4)a?0?? x?2?0??4?(x?4)a?(x?2)2?33．（本题满分14分）

集合A是由具备下列性质的函数f(x)组成的：

(1) 函数f(x)的定义域是[0,??)； (2) 函数f(x)的值域是[?2,4)；

(3) 函数f(x)在[0,??)上是增函数．试分别探究下列两小题： （Ⅰ）判断函数f1(x)?1xx?2(x?0)，及f2(x)?4?6?()(x?0)是否属于集合A？并简

2要说明理由．

（Ⅱ）对于（I）中你认为属于集合A的函数f(x)，不等式f(x)?f(x?2)?2f(x?1)，

是否对于任意的x?0总成立？若不成立，为什么？若成立，请证明你的结论．

解：（1）函数f1(x)?f1(x)?x?2不属于集合A. 因为f1(x)的值域是[?2,??),所以函数

x?2不属于集合A.(或?当x?49?0时,f1(49)?5?4，不满足条件.)

1xf2(x)?4?6?()(x?0)在集合A中, 因为: ① 函数f2(x)的定义域是[0,??)；② 函

2数f2(x)的值域是[?2,4)；③ 函数f2(x)在[0,??)上是增函数．

（2）f(x)?f(x?2)?2f(x?1)?6?()(?21x14)?0，

?不等式f(x)?f(x?2)?2f(x?1)对于任意的x?0总成立

34．（本题满分18分）

已知二次函数f(x)?ax2?x（a?R，a?0）． （Ⅰ）当０＜a＜

12时，f(sinx)（x?Ｒ）的最大值为5，求f(x)的最小值．

4（Ⅱ）如果x?[0，1]时，总有|f(x)|?1．试求a的取值范围．

（Ⅲ）令a?1，当x?[n,n?1](n?N?)时，f(x)的所有整数值的个数为g(n)，求数列

{g(n)2n}的前n 项的和Tn．

12． 解：⑴ 由0?a?即f?1??a?1?54知?1412a??1故当sinx?1时f(x)取得最大值为14x?x?254，

?a?2?f?x??214?x?2?2?1，所以f(x)的最小值为?1；

⑵ 由f?x??1得ax?x?1,?1?ax?x?1对于任意x??0,1?恒成立，

当x?0时，f?x??0使f?x??1成立；

2?111?1?1??????a?2?x2?4x当x?0时，有??x?2?a??1?1???1?1??1??2?x4x?x2??①

②

21?11?对于任意的x??0,1?恒成立；?x??0,1???1，则?????0,故要使①式成立，

x4?x2?1?11?则有a?0，又a?0?a?0；又???????2，则有a??2，综上所述： ?2?a?0；

4?x2?2⑶ 当a?1时，f?x??ax?x，则此二次函数的对称轴为x??2112，开口向上，

故f?x?在?n,n?1?上为单调递增函数，且当x?n,n?1时，f?n?,f?n?1?均为整数， 故g?n??f?n?1??f?n??1??n?1???n?1??n?n?1?2n?322?n?N?，

?g?n?2n?35792n?12n?3?g?n??则数列?n?的通项公式为n?，故 ① T???????nn23n?1n22222222??15792n?12n?3?又Tn?2?3?4??? ② nn?1222222由①—②得Tn?2?Tn?7?2n?72n1511?2n?372n?7?1. ?2?2?3???n????n?1n?12222?22?2

35.（本题满分12分）

命题甲: a?R, 关于x的方程|x|?ax?1(a?0)有两个非零实数解;

命题乙: a?R, 关于x的不等式(a2?1)x2?(a?1)x?2?0的解集为空集; 当甲、乙中有且仅有一个为真命题时, 求实数a的取值范围.

解：当甲真时，设y?|x|和y?ax?1 (a?0)，即两函数图象有两个交点. 则0?a?1

?a2?1?0 当乙真时，a?1时 满足 或? 也满足

??0?

79 则??a?1

?a?1或a?00?a?1???7或?7 ∴当甲乙有但仅有一个为真命题时，即?

a?1或a????a?1??9??9 ∴a?[?79,0]?{1}

36.（本题满分18分）

设函数f(x)在(??,??)上满足f(2?x)?f(2?x), f(7?x)?f(7?x)且在闭区间[0, 7]上只有f(1)?f(3)?0.

⑴试判断函数y?f(x)的奇偶性;

⑵试求方程f(x)?0在闭区间[?2005,2005]上的根的个数, 并证明你的结论. 解⑴由f(2?x)?f(2?x)得f(?1)?f(5)

∵在x?[0,7]上只有f(1)?f(3)?0

∴f(5)?0 ∴f(?1)?f(1),且f(?1)??f(1)

故f(x)为非奇非偶函数。 ⑵由??f(2?x)?f(2?x)?f(7?x)?f(7?x)?f(x)?f(14?x) ?f(4?x)?f(14?x)?f(x)?f(x?10)

得 ??f(x)?f(4?x)

∴f(x)是以10为周期的函数. 又f(3)?f(1)?0 ∴f(11)?f(13)?f(?7)?f(?9)?0

∴f(x)?0在[0, 10]和[?10,0]上各有2个根.

从而方程在[?2000,2000]上有800个根, 而[?2005,?2000]上没有根, 在[2000, 2005]上有2个根.

故方程f(x)?0在[?2005,2005]上共有802个根. 37、(本题满分18分)

(x?0)?f(x)设函数f(x)=ax+bx+1（a,b为实数）,F(x)=?

?f(x)(x?0)?（1）若f(-1)=0且对任意实数x均有f(x)?0成立，求F(x)表达式。

2（2）在（1）的条件下,当x???2,2?时,g(x)=f(x)-kx是单调函数,求实数k的取值范围。 （3）（理）设m>0,n<0且m+n>0,a>0且f(x)为偶函数，求证：F(m)+F(n)>0。

222解：（1）?f(-1)=0 ∴b?a?1由f(x)?0恒成立 知△=b-4a=(a+1)-4a=(a-1)?0

?(x?1)∴a=1从而f(x)=x+2x+1 ∴F(x)=?2??(x?1)22(x?0)(x?0)2 ，

（2）由（1）可知f(x)=x+2x+1 ∴g(x)=f(x)-kx=x+(2-k)x+1，由于g(x)在??2,2?上是单调函数,知-2?k2??2或-2?k2?2，得k?-2或k?6 ，

（3）?f(x)是偶函数，∴f(x)=f(x)，而a>0∴f(x)在?0,???上为增函数

对于F(x)，当x>0时-x<0，F(-x)=-f(-x)=-f(x)=-F(x)，当x<0时-x>0，F(-x)=f(-x)=f(x)=-F(x)，

∴F(x)是奇函数且F(x)在?0，???上为增函数， ?m>0,n<0，由m>-n>0知F(m)>F(-n)∴F(m)>-F(n) ∴F(m)+F(n)>0 。 38．(本题满分14分)

已知不等式x2–3x+t<0的解集为{x|1

(2)若f(x)= –x2+ax+4在(–∞,1)上递增，求不等式log a (–mx2+3x+2–t)<0的解集。

?1?m?3?m?2 (1) 由条件得：?，所以?，

1?m?tt?2??(2)因为f(x)= –(x–

a2)+4+

2

a24在(–∞,1)上递增，所以

2a2≥1，a≥2 ，log a (–mx2+3x+2–t)= log a

(–2x2+3x)<0=log a 1，所以???2x2??2x3?0?x?13?3x?0?2，所以? ，所以0

39．(本题满分18分)

函数f(x)=

xax?b(a，b是非零实常数)，满足f(2)=1，且方程f(x)=x有且仅有一个解。

(1)求a、b的值；

(2)是否存在实常数m，使得对定义域中任意的x，f(x)+f(m–x)=4恒成立？为什么？ (3)在直角坐标系中，求定点A(–3,1)到此函数图象上任意一点P的距离|AP|的最小值。 (1)由f(2)=1得2a+b=2，又x=0一定是方程所以

1ax?bxax?b=x的解，

=1无解或有解为0，若无解，则ax+b=1无解，得a=0，矛盾，若有解为0，则

12b=1，所以a=(2)f(x)=

2xx?2。

，设存在常数m，使得对定义域中任意的x，f(x)+f(m–x)=4恒成立，

2mm?2取x=0，则f(0)+f(m–0)=4，即f(x)+f(–4–x)=

2xx?2?2(?4?x)?4?x?2=4，m= –4(必要性)，又m= –4时，

=……=4成立(充分性) ，所以存在常数m= –4，使得对定义

域中任意的x，f(x)+f(m–x)=4恒成立， (3)|AP|2=(x+3)2+(则|AP|2=(t+1)2+(=( t–

4tx?2x?2t?42t)2，设x+2=t，t≠0，

8t)=t2+2t+2–

4t+

16t2=(t2+

16t2)+2(t–

4t)+2=(t–

4t)2+2(t–

4t)+10

+1)2+9， 所以当t–

+1=0时即t=

?1?172，也就是x=

?5?172时，|AP| min = 3 。

40、（本题满分12分）

已知 f(x)??3x?a(6?a)x?b。 （1）解关于a的不等式f(1)?0．

（2）当不等式f(x)>0的解集为（-1，3）时，求实数a,b的值

解：（1）f(1)=-3+a(6-a)+b =?a?6a?b?3, ∵ f(1)>0 ∴?a?6a?b?3?0, △=24+4b,当b≤-6时，△≤0,∴ f(1)>0的解集为φ； 当

222b>-6时，3?b?6a?3?b??∴ 6f(1)>0的解集为

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